常德市第二中学 2020 届高三临考冲刺卷
理科数学
本试卷共 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合 M={x|x2－x－2＞0}，集合 N={x|2x-2>1
2），则 M∩N=
A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}
C．{x|x＞2 或 x＜－1} D．{x|x＞1 或 x＜－1}
2．设 i 为虚数单位，复数 z= 4
1－i，则|z－i|=
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
3．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S5＝5，a6＝10，则 a8＝
A．15 B．16 C．19 D．20
4.函数 y＝(x3－x)2|x|的图象大致是
5.在矩形 ABCD 中，|AB→
|＝6，|AD→
|＝3．若点 M 是 CD 的中点，点 N 是 BC 的三等分点，且 BN
＝1
3BC，则AM→
·MN→
＝
A．6 B．4 C．3 D．2
6.已知椭圆 C:x2
64
＋y2
39
＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，若|PF1|＝6，
则∠PF1F2 的余弦值为
A． 3
10 B． 7
10 C．2
5 D．3
57．已知函数 f(x)=3cos2x+4sinx，x∈(π
6,
2π
3 )，则 f(x)的值域为
A．[4,
17
4 ) B．(4,
17
4 ) C．[4,
13
3 ] D．(4,
13
3 ]
8. 历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基
米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方
法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得 π 的近似值，他的方法被后人称为割圆
术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种 π 值的表达式纷纷出现，使得 π 值的计
算精度也迅速增加．华理斯在 1655 年求出一个公式：π
2=2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × L
1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × L
，根
据该公式绘制出了估计圆周率 π 的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知
输出的 T>2.8，若判断框内填入的条件为 k≥m?，则正整数 m 的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．5
9.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是两
直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为
A.7π B.8π C.9π D.10π
10.若(2x＋1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn 的展开式中的各项系数和为 243，则 a1＋2a2＋…＋nan
＝
A.405 B.810 C.243 D.64
11.某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企
业每天可获得的最大利润为
甲 乙 原料限额
A/吨 3 2 12
B/吨 1 2 8
A.15 万元 B.16 万元 C.17 万元 D.18 万元
12.已知函数 y＝f(x)对任意的 x∈(0，π)满足 f′(x)sin x>f(x)cos x(其中 f′(x)为函数 f(x)的导函数)，
则下列不等式成立的是( )
A.f(π
4 )< 2f(π
6 ) B.f(π
4 )> 2f(π
6 ) C.f(π
6 )> 2f(π
4 ) D.f(π
6 )< 2f
(π
4 )
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)
13.已知点 A(1，0)，B(1， 3)，点 C 在第二象限，且∠AOC＝150°，OC
→
＝－4OA
→
＋λOB
→
，则 λ＝
________.
14.已知直线 ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆 x 2＋y2－2y－5＝0 的圆心，则 4
b＋1
c的最小值是
________.
15.已知变量 x，y 满足{x－2y＋4 ≤ 0，
x ≥ 2，
x＋y－6 ≥ 0，
则 z＝y＋1
x－3的取值范围是________.
16.为了响应国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有 10 名同
学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为 0.6，每名同学有 2 次射门机会，且各同
学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得 10 分，踢进一个得 5 分，一个未进得 0 分，记 X
为 10 个同学的得分总和，则 X 的数学期望为________.
三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17.已知函数 f(x)=cos2x+ 3sin(π－x)sin(x－π
2)－1
2．
（1）求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC 的内角 A，B，C 所对边为 a， b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，求△ABC 的
面积的最大值．
18.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，E 为 PA 的中点，过 C，D，E 三点的平面与 PB 交于点 F，且 PA=PD=AB=2.
（1）证明： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，则在线段 上是否存在点 G，使得二面角
的余弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
19.如图，李先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1，L2 两条
路线，L1 路线上有 A1，A2，A3 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
1
2；L2 路线上有 B1，B2
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
3
4，
3
5.
(1)若走 L1 路线，求最多遇到 1 次红灯的概率；
(2)若走 L2 路线，求遇到红灯次数 X 的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好
的上班路线，并说明理由.
20.设椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B
两点.若椭圆 E 的离心率为 2
2 ，△ABF2 的周长为 4 6.
(1)求椭圆 E 的方程；
EF AD⊥
P ABCD− 8
3 PB G CD B− −
2 5
5
PG
PB(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦 AB 的直线交椭圆 E 于点 C，D，设弦 AB，CD 的中点分别
为 M，N，证明：O，M，N 三点共线.
21.已知函数 f(x)＝ex－x2－x.
(1)判断函数 f(x)在区间(－∞，ln 2)上的单调性；
(2)若 x1ln 2，且 f′(x1)＝f′(x2)，证明：ex1＋x20)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ－π
3 )＝ 3，l 与 x 轴交于点 M.
(1)求 l 的直角坐标方程和点 M 的极坐标；
(2)设 l 与 C 相交于 A，B 两点，若|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求 p 的值.23.[选修 4－5：不等式选讲]
设函数 f(x)＝|x－a|.
(1)若关于 x 的不等式 f(x)＋b0.∴g(x)在 x∈(0，π)上是增函数，
则 g(π
4 )>g(π
6 )，即
f(π
4 )
sinπ
4
>
f(π
6 )
sinπ
6
，故 f(π
4 )> 2f(π
6 ).
13.1 设|OC→
|＝r，则OC→
＝(－ 3
2 r，1
2r)，由已知，得OA→
＝(1，0)，OB→
＝(1， 3)，又OC→
＝－4OA→
＋λOB→
，∴(－ 3
2 r，1
2r)＝－4(1，0)＋λ(1， 3)＝(－4＋λ， 3λ)，∴{－ 3
2 r＝－4＋λ，
1
2r＝ 3λ，
解得 λ＝1.
14.9 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有 b＋c＝1，4
b＋1
c＝(4
b＋1
c )(b＋c)＝5＋4c
b ＋b
c≥5＋2
4c
b × b
c＝9，当且仅当{b＋c＝1（b，c > 0），
4c
b ＝b
c， 即 b＝2c＝2
3时取等号，因此4
b＋1
c的最小值是 9.
15.(－∞，－5]∪(1
2，＋∞) 由约束条件{x－2y＋4 ≤ 0，
x ≥ 2，
x＋y－6 ≥ 0
作出可
行
域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中 A(2，4)，k＝y＋1
x－3的几 何
意义为可行域内的动点(x，y)与定点 P(3，－1)连线的斜率.
由图可知，k≤kPA＝4－（－1）
2－3 ＝－5，或 k>1
2.
16.60 每位同学的进球个数 ξ～B(2，0.6)，得 E(ξ)＝2×0.6＝1.2.∴E(X)＝10×5E(ξ)＝50×1.2＝60.
17.解：（1）利用三角公式化简变形由已知得 f(x)=－sin(2x－π
6)．
∴2kx－π
2≤2x－π
6≤2kx+π
2，∴kx－π
6≤x≤kx+π
3（k∈Z）
∴函数 f(x)[0，π]的单调递减区间为[0,π
3]和[
5π
6 ,π]．
（2）∵△ABC 为锐角三角形，∴0
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