海南省2020届高三数学第九次月考试题（Word版含答案）

2020 届高三第九次月考 数学试题卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 22 小题，共 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要 求的. 1.已知集合 ， ，若 ，则实数 a=（ ） A. B.1 C.0 或 D.0 或 1 2.已知 ，其中 x，y 是实数，i 是虚数单位，则 =（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知 （a 是常数）的展开式中含 项的系数为 ，则 a=（ ） A.1 B. C. D. 4.圆 上到直线 l： 的距离为 1 的点有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6.新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学、生物、政治、地理四门学科中选课，每名同学都要 选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没 有相同课程.则以下说法一定正确的是（ ） { }0,1A = { }1 0B x ax= + = B A⊆ 1− 1− 11 x yii = −+ x y− ( )62x a− 3x 160− 1− 1 2 1 2 − 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + = 1 0x y+ + = ( ) ln 1f x x= −A.丙没有选化学 B.丁没有选化学 C.乙、丁可以两门课都相同 D.这四个人里恰有 2 个人选化学 7.已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P，从直线 l 出发的两个半平面 截球 O 的两个截面圆的半分别 为 1 和 ，二面角 的平面角为 ，则球 O 的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴 阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两个部 分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，设圆 O： ，则下列说法中正确的是（ ） A.函数 是圆 O 的一个太极函数 B.圆 O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C.函数 是圆 O 的一个太极函数 D.函数 的图象关于原点对称是 为圆 O 的太极函数的充要条件 10.已知某校高三年级有 1000 人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数 转换区间为 ，若使标准分 X 服从正态分布 N ，则（ ） A.这次考试标准分超过 180 分的约有 450 人 B.这次考试标准分在 内的人数约为 997 C.甲、乙、丙三人恰有 2 人的标准分超过 180 分的概率为 D. 4loga π π= 4log eb e= 1 3c e −= , ,a b c c b a< < a b c< < b a c< < b c a< < ,α β 3 lα β− − 150° 112π 28π 16π 4π 2 2 1x y+ = 3y x= siny x= ( )f x ( )f x ( ]60,300 ( )180,900 ( ]90,270 3 8 ( )240 270 0.0428P X< ≤ =参考数据：① ② ；③ 11.已知双曲线 C： （ ）的焦点与抛物线 的焦点之间的距离为且 C 的离心率 为 3，则（ ） A.C 的渐近线方程为 B.C 的标准方程为 C.C 的顶点到渐近线的距离为 D 曲线 经过 C 的一个焦点 12.已知函数 （ ）在 处取得最大值，且最小正周期为 2，则（ ） A.函数 是奇函数 B.函数 是偶函数 C.函数 在 上单调递增 D.函数 是周期函数 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 ，则 的值为_______. 14.已知向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则 _______， 在 方向上 的投影等于_______. 15.在直角梯形 中， ， ， ，若将直角梯形绕 边旋转 一周，则所得几何体的表面积为_______. 16.已知 是定义在 R 上的奇函数， 是 的导函数，当 时， ，则不等 式 的解集为_______. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题 10 分）如图：某快递小哥从 A 地出发，沿小路 以平均时速 20 公里/小时，送快件到 C 处，已知 （公里）， ， ， 是等腰三角形， . ( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < ≤ + = 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 2 4x y= 2y x= ± 2 2 12 yx − = 2 3 3 1xy e += − ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0, 0A ω> > 1x = ( )1f x − ( )1f x + ( )2f x + [ ]0,1 ( )3f x + 4 3cos sin 06 5 2 π πα α α   − + = − − < − ( ) ( )lg lg 1x f x f⋅ > AB BC→ 10BD = 45DCB∠ = ° 30CDB∠ = ° ABD△ 120ABD∠ = °（1）试问，快递小哥能否在 50 分钟内将快件送到 C 处？ （2）快递小哥出发 15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路 追赶，若汽车平均时速 60 公里/小时，问，汽车能否先到达 C 处？ 参考值： ， ， . 18.（本题 12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，对任意正整数 n，点 都在函数 的图象上，且 在点 处的切线的斜率为 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求证： . 19.（本题 12 分）某 P2P 平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间 岁之间，对区间 岁的人群随机抽取 20 人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各 年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 人数 第一组 2 第二组 a 第三组 5 第四组 4 第五组 3 第六组 2 AD DC→ 2 1.414≈ 3 1.732≈ 6 2sin105 4 +° = { }na nS ( ),n nP n S ( ) 2 2f x x x= + ( )f x ( ),n nP n S nK { }na ( )2 2nk nb = − 1 2 3 1 1 1 1 1 nb b b b + + +…+ < [ ]20,50 [ ]20,50 [ )20,25 [ )25,30 [ )30,35 [ )35,40 [ )40,45 [ ]45,50（1）求 a 的值并画出频率分布直方图； （2）从被调查的 20 人且年龄在 岁中的投资者中随机抽取 3 人调查对其 P2P 理财观念的看法活动， 记这 3 人中来自于区间 岁年龄段的人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望. 20.（本题 12 分）在四棱锥 中，底面 是一直角梯形， ， , ， ， 底面 . （1）在线段 上是否存在一点 F，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，试说明 理由； （2）在（1）的条件下，若 与 所成的角为 ，求二面角 的余弦值. 21.（本题 12 分）已知椭圆 C: （ ）的离心率为 ，且椭圆 C 的中心 O 关于直线 的对称点落在直线 上. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P ，M、N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两点，连接 交椭圆 C 于另一点 E，求直线 的斜率取值范围，并证明直线 与 x 轴相交于定点. 22.（本题 12 分）设函数 . （1）当 时，求 的最大值； （2）令 ，（ ），其图象上任意一点 处切线的斜率 恒 成立，求实数 a 的取值范围； [ )20,30 [ )25,30 P ABCD− ABCD 90BAD∠ = ° //AD BC AB AD a= = 2BC a= PD ⊥ ABCD PD / /PB ACF PF FD PA CD 60° A CF D− − 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1 2 2 5 0x y− − = 2x a= ( )4,0 PN PN ME 21( ) ln 2f x x ax bx= − − 1 2a b= = ( )f x 21( ) ( ) 2 aF x f x ax bx x = + + + 0 3x< ≤ ( )0 0,P x y 1 2k ≤（3）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 m 的值. 2020 届高三第九次月考 参考答案 一、单项选择题 CAAB BDCA 二、多项选择题 9.AC 10.BC 11.ABD 12.BCD 三、填空题 13. 14. ，1 15. 16. 四、解答题 17.解：（1）在 中， ，由 ，得 ， 2 分 于是，由 可知，快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到 C 处. 5 分 （2）在 中，由 ，得 ， 7 分 在 中， ，由 ，得 ， 9 分 由 可知，汽车能先到达 C 处. 10 分 18.（1）解：依题意可知 ，当 时， ，当 时， 也符合上式， ∴ ； 4 分 （2）证明：∵ ，∴ ， ，∴ ， 0a = 1b = ( ) 22mf x x= 3 5 2 ( )5 2 π+ 1 ,1010      BCD△ 10AB = sin 45 sin30 BD BC=° ° 5 2BC = 10 5 2 60 51.21 5020 + × ≈ > ABD△ 2 2 2 110 10 2 10 10 3002AD  = + − ⋅ ⋅ ⋅ − =   10 3AD = BCD△ 105CBD∠ = ° 5 2 sin105 sin30 CD =° ° ( )5 1 3CD = + 10 3 5(1 3) 60 15 20 15 3 45.98 51.2160 + + × + = + ≈ < 2 2nS n n= + 2n ≥ ( )2 2 1 2 ( 1) 2( 1) 2 1n n na S S n n n n n−  = − = + − − + − = +  1n = 1 1 3a S= = 2 1na n= + ( ) 2 2f x x′ = + 2 2nK n= + 12 2n nb += − 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2n n n n nb += = ≤− + −∴ ， ∴原不等式成立 12 分 19.解：（1） ， 2 分 直方图中小矩形的高度依次为 ， ， ， ， ， ， 其频率分布直方图如图. （2）因为区间 岁年龄段的“投资者”有 2 名，区间 岁年龄段“投资者”有 4 名， 则易知 X 所有可能取值是 1，2，3. 7 分 则 ； ； . 10 分 故随机变量 X 的分布为 11 分 1 2 3 故随机变量 X 的数学期望为 . 12 分 20.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D ， ， ，C ，设 ， 则 P ，假设存在点 F，使 平面 ，F ， 设平面 的一个法向量为 ， ， ， ， 则 ，取 ，则 ， ， 2 3 1 2 3 1 111 1 1 1 1 1 1 1 12 2 1 12 2 2 2 1 1 2 n n n nb b b b  −  + + +…+ ≤ + + +…+ = = − = = = ⋅ + ⋅      a b= ACF ( )2,1,3n = 90BAD∠ = ° AB AD a= = 2BC a= 2CD a= 2BD a= 2 2 2BC CD BD= + BD CD⊥ PD ⊥ ABD PD BD⊥ BD ⊥ CDF CDF ( ), ,0DB a a= 3 3 7cos , 14| || | 14 2 n DB an DB n DB a ⋅= = = ×   A CF D− − 3 7 14 2 5 0x y− − = ( )0 0,O x y′ 0 0 0 0 2 5 02 2 2 1 x y y x  × − − =  × = −  0 0 4 2 x y =  = − 2 4 1 2 a ce a  = = = 2a = 1c = 3b = 2 2 14 3 x y+ = PN ( )4y k x= − ( )0k ≠ ( )1 1,N x y ( )2 2,E x y ( )1 1,M x y−由 ，消去 y 得 ， ，解得 ，且 ， ∴直线 的斜率取值范围是 ； ， 直线 的方程为 ，令 ，解得 ， ∴直线 与 x 轴交于定点 . 12 分 22.解：（1）依题意，知 的定义域为 ， 当 时， ， ，令 ，解得 . 当 时， ，此时 单调递增； 当 时， ，此时 单调递减， 所以，当 时， 取得极大值 ，此即为 的最大值. 4 分 （2） ， ，则有 ，在 上恒成立， 所以 ，∵ ， ∴当 时， 取得最大值 ，所以 . 8 分 （3）因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解， 2 2 ( 4) 14 3 y k x x y = − + = ( )2 2 2 23 4 32 64 12 0k x k x k+ − + − = ( ) ( )( )2 2 232 4 3 4 64 12 0k k k∆ = − − + − > 1 1 2 2k− < < 0k ≠ PN 1 1,0 0,2 2    −       2 1 2 2 2 1 2 2 32 3 4 64 12 3 4 kx x k kx x k  + = + − ⋅ = + ME ( )2 1 1 1 2 1 y yy y x xx x ++ = −− 0y = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 64 12 4 32 4 4 2 4 3 4 3 4 1324 4 8 83 4 k k kx x kx x x x x xx y x y k kx ky y k x k x x x k − ×−− + − − ++ + += = = = =+ − + − + − −+ ME ( )1,0 ( )f x ( )0,+∞ 1 2a b= = 21 1( ) ln 4 2f x x x x= − − 1 1 1 ( 2)( 1)( ) 2 2 2 x xf x xx x ′ − + −= − − = ( ) 0f x′ = 1x = ( )0x > ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1x = ( )f x ( ) 31 4f = − ( )f x ( ) ln aF x x x = + ( ]0,3x∈ ( ) 0 0 2 0 1 2 x ak F x x −′= = ≤ ( ]0 0,3x ∈ 2 0 0 0 max 1 , (0,3]2a x x x ≥ − + ∈   ( )22 0 0 0 1 1 112 2 2x x x− + = − − + 0 1x = 2 0 0 1 2 x x− + 1 2 1 2a ≥ ( ) 22mf x x= 2 2 ln 2 0x m x mx− − =设 ，则 ，令 ，即 . 因为 ， ，所以 （舍去）， 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 单调递增， ∴当 时， ， 取最小值 . 则 ，即 ， 所以 ，因为 ，所以 设函数 ， 因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解. 因为 ，所以方程 的解为 ，即 ，解得 . 12 分 ( ) 2 2 ln 2g x x m x mx= − − ( ) 22 2 2x mx mg x x − −′ = ( ) 0g x′ = 2 0x mx m− − = 0m > 0x > 2 1 4 02 m m mx − += < 2 2 4 2 m m mx + += ( )20,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )20, x ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )2 ,x +∞ 2x x= ( )2 0g x′ = ( )g x ( )2g x ( ) ( )2 2 0 0 g x g x = ′ = 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 0 0 x m x mx x mx m  − − =  − − = 2 22 ln 0m x mx m+ − = 0m > ( )2 22ln 1 0x x+ − = ∗ ( ) 2ln 1h x x x= + − ( )0,x∈ +∞ ( )h x ( ) 0h x = ( )1 0h = ( )∗ 2 1x = 2 4 12 m m m+ + = 1 2m =