2020 年海口市高考模拟演练
数学试卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则其共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ， ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取 1000 个不
重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将 1000 个
不同汉字任意排列，大约有 种方法，设这个数为 N，则 的整数部分为（ ）
A．2566 B．2567 C．2568 D．2569
5．一个底面边长为 3 的正三棱锥的体积与表面积为 24 的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（ ）
A． B． C． D．12
6．已知直线 与圆 相交所得弦长为 4，则 （ ）
A．-9 B．1 C．1 或-2 D．1 或-9
7．设 p：“函数 在 上单调递减”，q：“ ， ”，
则 p 是 q 的（ ）
1 0A x x= + > 2 1 0B x x= + > ( )A B =R
1, 2
∞ − −
[ )1,− +∞ 11, 2
−
11, 2
− −
( )( )31 1z i i= + − z =
2i 2i− 2 i+ 2 i−
( )1,2a = − ( ), 2 1b m m= − − 8a b⋅ = m =
25674.02 10× lg N
12 3 32 3
3
32 3
9
: 2 1 0l x y a− + − = ( ) ( )2 21 2 9x y− + + = a =
( ) 22 5f x x mx m= − + ( ], 2−∞ − 0x∀ > 3
3
82 3x mx
+ ≥ −A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若对任意 ，都有 ，则满足条件的有序实数对
的对数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．已知正项等比数列 满足 ， ，若设其公比为 q，前 n 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线 的离心率 ，C 上的点到其焦点的最短距离为 1，则（ ）
A．C 的焦点坐标为
B．C 的渐近线方程为
C．点 在 C 上
D．直线 与 C 恒有两个交点
11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下
表所示：
所需时间（分钟） 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是（ ）
A．任选一条线路，“所需时间小于 50 分钟”与“所需时间为 60 分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在 45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于 100 分钟的概率为 0.04
12．如图，在直三棱柱 中， ， ，点 D，E 分别是线段 BC，
x ∈ R ( )( )5πcos 2 sin , π6x xω ϕ ω ϕ − = + ∈ > 2e =
( )0, 2±
3y x= ±
( )2,3
( )0mx y m m− − = ∈ R
1 1 1ABC A B C− 1
2 23AA AC AB= = = AB AC⊥上的动点（不含端点），且 ．则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线 与 所成角的正切值为
D．二面角 的余弦值为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设 15 个项目，其中包含 5 个冰上
项目和 10 个雪上项目．李华计划从中选 1 个冰上项目和 2 个雪上项目去现场观看，则共有_________
种不同的选法．
14．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，终边上有一点 ，则
__________．
15．已知抛物线 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，点 ．若 ，且
的面积为 ，则 __________．
16．已知函数 的图象关于点 对称，则 __________，若对于 总有
成立，则 a 的取值范围是__________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
在① ， ，② ， ，③ ， 三组条
件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．
已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 的面积为 ，__________，求 b．
1B C
1
EC DC
B C BC
=
//ED 1ACC
68π
1B C 1AA 3
2
A EC D− − 4
13
α ( )1,2P
2sin
1 3sin cos
α
α α =−
( )2 2 0y px p= > 9 ,02Q p
2QF PF= PQF
8 3 p =
( ) 3 3f x ax x b= − + ( )0,1 b = [ ]0,1x ∈
( ) 0f x ≥
2 2cos 3B = 3c = 1cos 3A = ( )sin 3sinA B B+ = 2 2ab = 1cos 3A =
ABC ABC 218．（12 分）
已知等差数列 的前 n 项和为 ，满足 ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 n 项和 ．
19．（12 分）
如 图 ， 三 棱 锥 中 ， ， 是 正 三 角 形 ， 且 平 面 平 面 ABC ，
，E，G 分别为 AB，BC 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ABD；
（Ⅱ）若 F 是线段 DE 的中点，求 AC 与平面 FGC 所成角的正弦值．
20．（12 分）
某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度 t（℃）逐渐升高时，连续测 20 次病毒的活性
指标值 y，实验数据处理后得到下面的散点图，将第 1～14 组数据定为 A 组，第 15～20 组数据定为 B
组．
（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部 20 组数据用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，你认为是否合理？请从
统计学的角度简要说明理由．
（Ⅱ）若根据 A 组数据得到回归模型 ，根据 B 组数据得到回归模型 ，以
活性指标值大于 5 为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到 0.1）．
（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A 组中活性指标值的平均数 ，方差
{ }na nS 4 12S a= 2 52 16a a− = −
na
( )( )1
16
20 20n
n n
b a a +
= + + { }nb nT
D ABC− AB AC⊥ ABD ABD ⊥
4AB AC= =
EG ⊥
2.1 0.8y t= + 90.6 1.3y t= −
14
1
1 1814 i
i
y y
=
= =∑ 14
2
1
1
14A
i
s
=
= ∑；B 组中活性指标值的平均数 ，方差
．请根据以上数据计算全部 20 组活性指标值的平
均数 和方差 ．
21．（12 分）
已知椭圆 的左顶点为 A，O 为坐标原点， ，C 的离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）已知不经过点 A 的直线 交椭圆 C 于 M，N 两点，线段 MN 的中点为
B，若 ，求证：直线 l 过定点．
22．（12 分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，讨论关于 x 的方程 在区间 上实根的个数．
2020 年海口市高考模拟演练
数学答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．【答案】D
【命题意图】本题考查集合的表示及运算．
【解析】依题意 ， ，
所以 ，所以 ．
2．【答案】B
【命题意图】本题考查复数的基本运算和共轭复数的概念．
( ) 142 22
1
1 14 8514i iA A
i
y y y y
=
− = − =
∑ 20
15
1 236 iB
i
y y
=
= =∑
( )20 202 22 2
15 15
1 1 6 456 6B i iB B
i i
s y y y y
= =
= − = − =
∑ ∑
y 2s
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 3OA =
6
3
( ): 0,l y kx m k m= + ≠ ∈ R
2MN AB=
( ) ( )1
ex
k xf x
−= 0k ≠
( )f x
0k > ( )ln x f x= ( )0,2
( )1,A = − +∞ 1 ,2B ∞ = − +
1, 2B ∞ − = − R ( ) 11, 2A B = − − R 【解析】因为 ，所以 ．
3．【答案】A
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算．
【解析】因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
4．【答案】B
【命题意图】本题考查对数的有关运算．
【解析】由题可知， ．
因为 ，所以 ，所以 的整数部分为 2567．
5．【答案】C
【命题意图】本题考查空间几何体的有关运算．
【解析】因为正方体的表面积为 24，所以棱长为 2，其体积为 ．
因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，
设正三棱锥的高为 h，所以 ，解得 ．
6．【答案】D
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系．
【解析】由条件得圆的半径为 3，圆心坐标为 ，
直线 与圆 相交所得弦长为 4，
所以 ，所以 ，
解得 或 ．
7．【答案】B
【命题意图】本题考查充分条件和必要条件的判断．
【解析】因为函数 在 上单调递减，所以 ，即 ．
( )( ) ( )( )31 1 1 1 2z i i i i i= + − = + + = 2z i= −
( )1,2a = − ( ), 2 1b m m= − −
( )2 2 1 5 2a b m m m⋅ = − + − − = − −
8a b⋅ = 5 2 8m− − = 2m = −
( )2567lg lg 4.02 10 2567 lg 4.02N = × = +
1 4.02 10< < 0 lg 4.02 1< < lg N
32 8=
1 1 33 3 83 2 2 h× × × × = 32 3
9h =
( )1, 2−
: 2 1 0l x y a− + − = ( ) ( )2 21 2 9x y− + + =
224 11 4 119 2 5
a + + − − =
2 8 9 0a a+ − =
1a = 9a = −
( ) 22 5f x x mx m= − + ( ], 2−∞ − 24
m− ≥ −− 8m ≥ −因为 时， ，
所以“ ， ”等价于 ，即 ，
因为集合 ，所以 p 是 q 的必要不充分条件．
8．【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的性质．
【解析】 ，
由条件知 ．若 ，
由 且 ，得 ；
若 ， ，
则 ，所以 ，
又 ，则 ．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9．【答案】ABD
【命题意图】本题考查等比数列的有关计算．
【解析】由题意 ，得 ，解得 （负值舍去），选项 A 正确；
，选项 B 正确；
，所以 ，选项 C 错误；
，而 ，选项 D 正确．
10．【答案】BC
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和性质．
【解析】由已知得 所以 所以 ，所以双曲线 C 的方程为 ．
所以 C 的焦点为 ，A 错误．
0x∀ > 3 3
3 3
8 82 2 2 8x xx x
+ ≥ ⋅ =
0x∀ > 3
3
82 3x mx
+ ≥ − 3 8m− ≤ 5m ≥ −
[ ) [ )5, 8,− +∞ − +∞
5π π π πcos 2 cos 2 sin 26 3 2 3x x x − = − − = −
2ω = ± 2ω =
( )π 2 π3 k kϕ = − + ∈Z πϕ < π
3
ϕ = −
2ω = − ( ) ( )sin 2 sin 2 πx xϕ ϕ− + = + −
( )ππ 2 π3 k kϕ− = − + ∈Z ( )4π2 π 3k kϕ = − + ∈Z
πϕ < 2π
3
ϕ = −
3 22 4 2q q q= + 2 2 0q q− − = 2q =
12 2 2n n
na −= × =
( ) 12 2 1
2 22 1
n
n
nS +
× −
= = −− 10 2046S =
1 3n n na a a++ = 2 4 3n n na a a+ = >
1,
2,
c a
ce a
− = = =
1,
2,
a
c
=
=
2 3b =
2
2 13
yx − =
( )2,0±C 的渐近线方程为 ，所以 B 正确．
因为 ，所以点 在 C 上，选项 C 正确．
直线 即 ，恒过点 ，
当 时，直线与双曲线 C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．
11．【答案】B
【命题意图】本题考查事件与概率的概念，及概率的应用．
【解析】“所需时间小于 50 分钟”与“所需时间为 60 分钟”是互斥而不对立事件，A 错误；
线路一所需的平均时间为 分钟，
线路二所需的平均时间为 分钟，
所以线路一比线路二更节省时间，B 正确；
线路一所需时间小于 45 分钟的概率为 0.7，线路二所需时间小于 45 分钟的概率为 0.8，小张应
该选线路二，C 错误；
所需时间之和大于 100 分钟，则线路一、线路二的时间可以为 ， 和
三种情况，概率为 ，D 正确．
12．【答案】AD
【命题意图】本题考查立体几何中的关系和计算．
【解析】在直三棱柱 中，四边形 是矩形，
因为 ，所以 ，所以 平面 ，A 项正确．
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
易知 是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为 ，所以 B 项错误．
因为 ，所以异面直线 与 所成角为 ．
在 中， ， ，
3by x xa
= ± = ±
2
2 32 13
− = ( )2,3
0mx y m− − = ( )1y m x= − ( )1,0
3m = ±
30 0.5 40 0.2 50 0.2 69 0.1 39× + × + × + × =
30 0.3 40 0.5 50 0.1 60 0.1 40× + × + × + × =
( )50,60 ( )60,50 ( )60,60
0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.04× + × + × =
1 1 1ABC A B C− 1 1BCC B
1
EC DC
B C BC
= 1 1// //ED BB AA //ED 1ACC
1
2 23AA AC AB= = = 3AB =
AB AC⊥ 2 22 3 13BC = + = 1 13 4 17B C = + =
1B C
( )2
π 17 17π× =
1 1//AA BB 1B C 1AA 1BB C∠
1Rt B BC 1 2BB = 13BC =所以 ，所以 C 项错误．
二面角 即二面角 ，
以 A 为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
故二面角 的余弦值为 ，所以 D 项正确．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】225
【命题意图】本题考查排列组合的应用．
【解析】不同的选法有 种．
14．【答案】-4
【命题意图】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换．
【解析】因为角 的终边上有一点 ，所以 ．
所以
．
15．【答案】2
【命题意图】本题考查抛物线的标准方程和性质．
【解析】由条件知 ，所以 ，所以 ，
由抛物线的准线为 ，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为 ，
不妨设点 P 在 x 轴上方，则 P 的纵坐标为 ，
所以 ，解得 ．
16．【答案】1；
【命题意图】本题考查函数的性质与图象、导数的应用．
1
1
13tan 2
BCBB C BB
∠ = =
A EC D− − 1A B C B− −
AB AC
1AA
1AB C ( )2,0, 3− 1BB C ( )2,3,0
A EC D− − 2 2 4
1313 13
× =
×
1 2
5 10C C 225=
α ( )1,2P tan 2α =
2 2
2 2
sin sin
1 3sin cos sin cos 3sin cos
α α
α α α α α α=− + −
2 2
2 2
tan 2 4tan 1 3tan 2 1 3 2
α
α α= = =+ − + − ×
,02
pF
4QF p= 1 22PF QF p= =
2
px = − 32 2 2
pp p− =
3p
1 4 3 8 32PQFS p p= × × =
2p =
[ )4,+∞【解析】由条件知 的图象可由奇函数 的图象上下平移得到，
所以 的图象关于点 对称，所以 ．所以 ．
当 时， 恒成立．
当 时， 等价于 ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ．
四、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【命题意图】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理的应用．
【解析】（方法一）选①： ， ．
因为 ， ，
所以 ．
由 ，解得 ．
由余弦定理得 ，
所以 ．
（方法二）选②： ， ．
因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，由正弦定理可得 ．
所以 ，所以 ．
( )y f x= 3 3y ax x= −
( )y f x= ( )0,b 1b = ( ) 3 3 1f x ax x= − +
0x = ( ) 1 0f x = ≥
0 1x< ≤ ( ) 3 3 1 0f x ax x= − + ≥
2 3
3 1a x x
≥ −
( ) 2 3
3 1g x x x
≥ − ( ) ( )
4
3 1 2xg x x
−′ =
( )g x 10, 2
1 ,12
1 42a g ≥ =
2 2cos 3B = 3c =
2 2cos 3B = 0 πB< <
1sin 3B =
1 1 1sin 3 22 2 3ABCS ac B a= = × × × =
2 2a =
2 2 2 2 22 cos 8 9 2 2 2 3 13b a c ac B= + − = + − × × × =
1b =
1cos 3A = ( )sin 3sinA B B+ =
1cos 3A = 0 πA< < 2 2sin 3A =
πA B C+ + = ( )sin sinA B C+ =
sin 3sinC B= 3c b=
1 1 2 2sin 3 22 2 3ABCS bc A b b= = × × × =
1b =（方法三）选③： ， ．
因为 ，得 ．
又因为 ，所以 ．
因为 ， ，
所以 ，且 ．
根据正弦定理 ，可得 ．
所以 ，解得 ．
18．【命题意图】本题考查等差数列的基本运算以及数列求和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 d．
由题意得
解得 所以 ．
（Ⅱ）由题意得
，
．
19．【命题意图】本题考查线面垂直的证明及空间角的计算、空间向量的应用．
【解析】（Ⅰ）因为 E，G 分别为 AB，BC 的中点，所以 ．
因为 ，平面 平面 ABC，
平面 平面 ，
所以 平面 ABD．
所以 平面 ABD．
（Ⅱ）因为 是正三角形，所以 ．
又由（Ⅰ）知 平面 ABD，即 EG，AB，DE 两两垂直，
2 2ab = 1cos 3A =
1 1sin 2 2 sin 22 2ABCS ab C C= = × × =
sin 1C =
0 πC< < π
2C =
1cos 3A = 0 πA< <
2 2sin 3A = π 1sin sin cos2 3B A A = − = =
sin sin
a b
A B
= 2 2a b=
22 2 2 2ab b= = 1b =
{ }na
( )
1 1
1 1
4 6 2 ,
2 4 16.
a d a
a d a d
+ = + − + = −
1 12,
4.
a
d
= −
= 4 16na n= −
( )( ) ( )( )1
16 16
20 20 4 16 20 4 12 20n
n n
b a a n n+
= =+ + − + − +
( )( )
1 1 1
1 2 1 2n n n n
= = −+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 1 2 2 2 2 4n
nT n n n n
= − + − + + − = − =+ + + +
//EG AC
AB AC⊥ ABD ⊥
ABD ABC AB=
AC ⊥
EG ⊥
ABD DE AB⊥
EG ⊥则以 E 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为
x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
因为 ， 是正三角形，
所以 ， ， ，
， ， ．
因为 F 是 DE 的中点，所以 ．
， ， ．
设平面 FGC 的一个法向量为 ，
所以
令 ，则 ， ，所以 ．
设 AC 与平面 FGC 所成的角为 ，
则 ．
20．【命题意图】本题考查线性回归分析的基本思想和应用，以及平均数与方差的计算公式．
【解析】（Ⅰ）不合理．
从散点图上看：①A 组数据呈正相关，B 组数据呈负相关，
两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．
②20 个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，
EB EG ED
E xyz−
4AB AC= = ABD
( )0,0,0E ( )2,0,0A − ( )2,0,0B
( )0,2,0G ( )0,0,2 3D ( )2,4,0C −
( )0,0, 3F
( )0,4,0AC = ( )0,2, 3FG = − ( )2,2,0GC = −
( ), ,m x y z=
( ) ( )
( ) ( )
, , 0,2, 3 2 3 0,
, , 2,2,0 2 2 0.
m FG x y z y z
m GC x y z x y
⋅ = ⋅ − = − =
⋅ = ⋅ − = − + =
1x = 1y = 2 3
3z = 2 31,1, 3m
=
θ
4 30sin cos 1044 1 1 3
m ACm AC
m AC
θ ⋅= ⋅ = = =
× + +
故不适合用线性回归模型来拟合．
（以上给出了 2 种理由，答出任意一种或其他合理理由均可得分）
（Ⅱ）令 ，得 ；令 ，得 ．
由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，
到达一定温度后，开始随温度升高而降低，
所以这种病毒适宜生存的温度范围是 ．
（Ⅲ）全部 20 组活性指标值的平均数为
．
因为 ，
，
所以全部 20 组活性指标值的方差为
．
21．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和性质．
【解析】（Ⅰ）由已知 ，所以 ，
设椭圆 C 的半焦距为 c．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 C 的方程为 ．
（Ⅱ）由题意知 ．联立
得 ．
由题意知，
．（*）
2.1 0.8 5t+ = 3.6t ≈ 90.6 1.3 5t− = 65.8t ≈
( )3.6,65.8
( )20
1
1 1 14 18 6 23 19.520 20i
i
y y
=
= = × × + × =∑
14
2 2
1
85 14 14 18 5726i
i
y
=
= × + × =∑
20
2 2
15
45 6 6 23 3444i
i
y
=
= × + × =∑
( )20 22 2 2
1
1 120 5726 3444 19.5 78.2520 20i
i
s y y
=
= − = + − =
∑
3OA = 3a =
6
3
ce a
= = 2c = 2 3 2 1b = − =
2
2 13
x y+ =
( )3,0A − 2
2
,
1,3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 1 6 3 3 0k x kmx m+ + + − =
( ) ( )( )2 2 2 2 26 4 3 1 3 3 12 36 12 0km k m k m∆ = − + − = + − >设 ， ，
则 ， ．
因为 ，B 为线段 MN 的中点，
所以 ，
所以 ．
又 ， ，
，
所以 ，
所以 ．
整理得 ，
得 或 ．
当 时，l 的方程为 ，
过定点 ，不符合题意；
当 时，l 的方程为 ，
过定点 ，经检验，符合（*）式．
综上所述，直线 l 过定点 ．
22．【命题意图】本题考查导数在研究函数中的应用．
【解析】（Ⅰ）由条件，得
令 ，得 ．
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 2
6
3 1
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
3 3
3 1
mx x k
−= +
2MN AB=
AM AN⊥
( )( )1 2 1 23 3 0AM AN x x y y⋅ = + + + =
1 1y kx m= + 2 2y kx m= +
( )2 2
1 2 1 2 1 2y y k x x m km x x= + + +
( ) ( )( )2 2
1 2 1 21 3 3 0k x x km x x m+ + + + + + =
( )( ) ( )2 2
2
2 2
6 33 3 1
3 03 1 3 1
km kmm k
mk k
+− +
− + + =+ +
2 23 3 3 2 0k km m− + =
3
3k m= 2 3
3k m=
3
3k m= ( )3 33y m x= +
( )3,0A −
2 3
3k m= 2 3 3
3 2y m x
= +
3 ,02
−
3 ,02
−
( ) ( ) ( )
2
e e 1 2
e e
x x
x x
k k x k xf x
− − −′ = =
( ) 0f x′ = 2x =当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ．
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 ．
当 时，由 ，得 ，
由 ，得 ．
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 ．
（Ⅱ）因为 ，
所以 是方程 的实根．
当 时，由（Ⅰ）知 单调递增，
所以 ．
而 ，
所以方程 在区间 上无实根．
当 时， ．
设 ，
则 ．
设 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增．
①当 ，即 时，在区间 上，
总有 ，从而 ，
所以 在 上单调递增， ，
即原方程在 上无实根．
0h > ( ) 0f x′ > 2x <
( ) 0f x′ < 2x >
( )f x ( ),2−∞ ( )2,+∞
0k < ( ) 0f x′ > 2x >
( ) 0f x′ < 2x <
( )f x ( )2,+∞ ( ),2−∞
( )ln1 1 0f= =
1x = ( )ln x f x=
0 1x< < ( )f x
( ) ( )1 0f x f< =
ln ln 0x x= − >
( )ln x f x= ( )0,1
1 2x< < ln lnx x=
( ) ( )1ln ex
k xF x x
−= −
( ) 2e 2
e
1
e
2 x
x x
kx kk kxF x x x
x−′ = − = + −
( ) 2e 2x ku x x kx+= −
1 2x< < ( ) e 2 2 0xu x kx k′ = + − >
( )u x ( )1,2
( )1 e 0u k= − ≥ ek ≤ ( )1,2
( ) ( )1 0u x u> ≥ ( ) 0F x′ >
( )F x ( )1,2 ( ) ( )1 0F x F> =
( )1,2②当 ，即 时，
因为 ，
所以存在 ，满足 ．
所以在 上， ， 单调递减，
在 上， ， 单调递增．
又因为 ， ，
所以当 ，即 时，
原方程在 上有唯一实根，
当 ，即 时，原方程在 上无实根；
综上所述，当 或 时，
原方程在 上仅有一个实根；
当 时，原方程在 上有两个实根．
( )1 e 0u k= − < ek >
( ) 22 e 0u = >
( )0 1,2x ∈ ( )0 0u x =
( )01, x ( ) 0u x < ( )F x
( )0 ,2x ( ) 0u x > ( )F x
( )1 0F = ( ) 22 ln 2 e
kF = −
( )2 0F > 2e e ln 2k< <
( )1,2
( )2 0F ≤ 2e ln 2k ≥ ( )1,2
0 k e< ≤ 2e ln 2k ≥
( )0,2
2e e ln 2k< < ( )0,2
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