【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 1 页（共 5 页） 】
保密★启用前
2020 年海口市高考调研考试
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡
指定位置上。写在本试卷上无效．
3．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点的距离是
A． B． C． D．
3．设向量 ，向量 是与 方向相同的单位向量，则
A． B． C． D．
4． 的展开式中的常数项是
A． B． C． D．
5．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的
立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图 1，两栋建筑第八层由一条长 60m 的连桥连接，
在该抛物线两侧距连桥 150m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为 30m，如图 2，则此抛物
线顶端 O 到连桥 AB 距离为
图 1 图 2
{1,2,3,4}A = {3, 4, 5, 6, 7}B = { | }M x x B x A= ∈ ∉且 M =
{1, 2} {3, 4} {5, 6, 7} {3, 4, 5, 6, 7}
1
1
i
i
+
− i−
1 2 2 2 2
( 1, 2)= −a b a =b
(1, 2)− 5 2 5( , )5 5
− 1 2( , )5 5
− 5 2 5( , )5 5
−
61( 2 )xx
−
160− 80− 80 160【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 2 页（共 5 页） 】
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致是
A． B． C． D．
7．点 ， ， 在球 表面上， ， ， ，若球心 到截面 的距
离为 ，则该球的表面积为
A． B. C. D.
8．已知数列 满足 ，设 ，若 ，称数 为
“企盼数”，则区间 内所有的企盼数的和为
A．2020 B．2026 C．2044 D．2048
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表 1
是空气质量指数与空气质量的对应关系，图 1 是经整理后的某市 2019 年 2 月与 2020 年 2 月
的空气质量指数频率分布直方图
表 1
空气质量指数（AQI）
优（AQI ）
良（ AQI ）
轻度污染（ AQI ）
中度污染（ AQI ）
重度污染（ AQI ）
严重污染（AQI>300）
下列叙述正确的是
A．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032
B．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量
C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数
D．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差
10．设有一组圆 ： ，下列说法正确的是
A．这组圆的半径均为
180m 200m 220m 240m
2
1( ) ln | | 1f x x x
= + −
A B C O 2AB = 4BC = 60ABCÐ = O ABC
2 2
16π 24π 36π 48π
{ }na *
1log ( 2)( )n na n n+= + Î N *
1 2 ( N )k kT a a a k= Î *
kT NÎ k
[1, 2020]
50≤
50 < 100≤
100 < 150≤
150 < 200≤
200 < 300≤
kC 2 2( 1) ( 2 ) 1x k y k− + + − =
1【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 3 页（共 5 页） 】
B．直线 平分所有的圆
C．存在无穷多条直线 被所有的圆 截得的弦长相等
D．存在一个圆 与 轴和 轴均相切
11．如右图，正方体 的棱长为 ，过点 作平面 的垂
线，垂足为点 ．则以下命题正确的是
A．点 是△ 的重心 B． 平面
C． 延长线经过点 D．直线 和 所成角为
12．“已知函数 ，对于 上的任意 ， ，若_______，则必有
恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是
A． B． C． D．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．2020 年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情．武汉市某医院传染科有
甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班．若丁比乙晚两天，
丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_________．
14．已知 ，且 ，则 的值为_________．
15．如图，从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲
线 右 支 于 点 . 设 为 线 段 的 中 点 ， 为 坐 标 原 点 ， 则 ___________ ，
___________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
第 15 题图 第 16 题图
16．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她
的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”．“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全
相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个 2
点和一个 3 点组成，叫做“夹七”，结果由两个 2 点和一个 4 点组成，叫做“夹八”．则在
某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
从① ，② ，③ .这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中，
2 2 0x y− + = kC
l kC
kC x y
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 A 1A BD
H
H 1A BD AH ⊥ 1 1CB D
AH 1C AH 1BB 45
2( ) cosf x x x= − [ , ]2 2
π π− 1x 2x 1 2( ) ( )f x f x>
1 2| |x x> 1 2 0x x+ > 2 2
1 2x x> 1
2
1x
x
>
( , )2
pa pÎ 4sin 5a = tan( )4
pa +
2 2
19 16
x y− = 1F 2 2 9x y+ = T 1FT
P M 1F P O 1| |FT =
| | | |MO MT- =
7a = 2b = 13cos 14B =【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 4 页（共 5 页） 】
回答有关问题．设△ 的角 、 、 所对的边长分别是 、 、 ，若_________，
_________，且满足 ，求△ 其余各边的长度和△ 的面积 ．
（注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.）
18．（12 分）
已知数列 的首项 ，且点 在函数 的图象上．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， ，证明： ．
19．（12 分）
如图，四棱锥 满足 平面 ，底面 是正方形， 与 交于点 ，
，侧棱 上有一点 满足 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
20．（12 分）
已知椭圆 ： 的其中一个焦点与抛物线 的焦点相同，点
到
圆 ： 上点的最大距离为 7，点 ， 分别是椭圆 的左右顶点．
ABC A B C a b c
(2 )cos cosb c A a C- = ABC ABC S
{ }na 1 1a = *
1( , )( )n na a n N+ Î 2 1y x= +
{ }na
{ }nb 1 1b = 1 2 na
n nb b+ = + 2
2 1n n nb b b+ +<
S ABCD- SA ^ ABCD ABCD AC BD O
4SA AB= = SC E 3SE EC=
OE ^ SDB
E BD C- -
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b+ = > > 2 8y x= (4, 3)D
O 2 2 2x y b+ = A B C【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 5 页（共 5 页） 】
（Ⅰ）求圆 和椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，已知位于 轴两侧的 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点，且直线 与 轴
平行，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，证明： 为定值．
21．（12 分）
零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一
项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状
态下切割的零件尺寸服从正态分布 .按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次
零件中任意抽取 10 件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于
0.1（单位：mm），且所有零件尺寸均在 范围内，则认定该切割设备的技术标
准为 A 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于 0.1 小于 0.5，且
所有零件尺寸均在 范围内，则认定该切割设备的技术标准为 B 级；如果样本
尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于 0.5 或存在零件尺寸在
范围外，则认定该切割设备的技术标准为 C 级．
（Ⅰ）设某零件的标准尺寸为 100mm，下面是检验员抽取该设备切割的 10 个零件尺寸：
100.03 100.4 99.92 100.52 99.98
100.35 99.92 100.44 100.66 100.78
经计算，有 ，其中 为抽取的第 个样本的尺寸， ，用
样本的平均数 作为 的估计值 ，用样本的标准差 作为 的估计值 ，根据数据
判断该切割设备的技术标准；
（Ⅱ）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方
案（假设每种方案对销售量没有影响）：
方案 1：每个零件均按 70 元定价销售；
方案 2：若零件的实际尺寸在 范围内，则该零件为Ⅰ级零件，每个零
件定价 100 元，否则为Ⅱ级零件，每个零件定价 60 元．
哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明．
（附：若随机变量 ～ ，则 ，
）
．
22．（12 分）
O C
y P Q C O PQ x
AP BP y M N MQNÐ
2( , )N m s
( 3 , 3 )m s m s- +
( 3 , 3 )m s m s- +
( 3 , 3 )m s m s- +
10 2
1
100601.8i
i
x
=
Ȍ ix i 1, 2, 3, ,10i =
x m ˆm s s ˆs
(99.7, 100.3)
X 2( , )N ms ( ) 0.6826P Xm s m s- < < + =
( 2 2 ) 0.9544P Xm s m s- < < + =【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 6 页（共 5 页） 】
已知函数 ．
（Ⅰ）当 ，分析函数 的单调性；
（Ⅱ）当 时，若函数 与 的图象有且只有一条公切线，求
的值．
2020 年海口市高考调研考试
数学参考答案
一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B
二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD
三、填空题：13、乙 14、 15、 4 、 1 16、
四、解答题
17.解析：在△ 中，已知 ，
由正弦定理得： …………1 分
即 ,
得 …………2 分
又因为 ，所以， …………3 分
得 所以， …………5 分
若选条件①②，由余弦定理得：
…………7 分
…………8 分
所以， …………10 分
若选条件①③，由 …………6 分
又由正弦定理 …………7 分
( ) lnf x m x=
*2cos ( )m k k Nπ= ∈ 2( ) ( )g x x f x= −
0m > ( ) lnf x m x= 1( ) 2
xh x x
−= m
1
7
− 1
36
ABC (2 )cos cosb c A a C− =
(2sin sin ) cos sin cosB C A A C− ⋅ = ⋅
2sin cos sin cos sin cosB A C A A C⋅ − ⋅ = ⋅
2sin cos sin cos sin cos sin( )B A A C C A A C⋅ = ⋅ + ⋅ = +
sin( ) sinA B C A C Bπ+ + = + =， 2sin cos sinB A B⋅ =
(0 ),sin 0,B Bπ∈ ≠又 ， 12cos 1 cos .2A A= =， (0 ),A π∈ ， .3A
π=
2 2 2 2 212 cos 4 2 2 2 4 72a b c bc A c c c c= + − = + − × × × = − + =
2 2 3 0 3 1( )c c c c− − = = = −得 ， 或 舍去
1 1 3 3 3sin 2 3 .2 2 2 2ABCS bc A∆ = ⋅ = × × × =
213 3 3cos (0 ) sin 1 cos .14 14B B B Bπ= ∈ = − =， ， ，得
7 3 7, .sin sin 73 3 3
2 14
a b b bA B
= = =，得 解得【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 7 页（共 5 页） 】
因为
所 以 ， …………8
分
…………9 分
…………10 分
若选条件②③，由 …………6 分
又由正弦定理 …………7 分
因为
所 以 ， …………8
分
…………9 分
…………10 分
18.解析：
（1）由已知得 …………1 分
所以，数列{ }是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列；………… 2 分
则 =1+ …………4 分
（2）由（1）知 …………5 分
,11 +=+ nn aa
na
na nn =⋅− 1)1(
na
nn
nbb 221 ==−+
,A B C π+ + =
3 13 1 3 3 4 3sin sin( ) sin cos +cos sin .2 14 2 14 7C A B A B A B= + = = × + × =
4 37sin 8 77 .sin 73
2
a Cc A
×⋅= = =从而，
1 1 3 7 4 3 6 3sin 7 .2 2 7 7 7ABCS ab C∆ = ⋅ = × × × =
213 3 3cos (0 ) sin 1 cos .14 14B B B Bπ= ∈ = − =， ， ，得
2 14, .sin sin 33 3 3
2 14
a b a aA B
= = =，得 解得
,A B C π+ + =
3 13 1 3 3 4 3sin sin( ) sin cos +cos sin .2 14 2 14 7C A B A B A B= + = = × + × =
14 4 3
sin 163 7 .sin 33
2
a Cc A
×⋅= = =又
1 1 14 4 3 8 3sin 2 .2 2 3 7 3ABCS ab C∆ = ⋅ = × × × =【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 8 页（共 5 页） 】
…………9 分
所以， …………12 分
19.解析：
（1）法一
如图，在平面 内，过点 作 交 于点 ，则有 ,连 ，取
的中点 ，连接 .
，所以 ……………………2 分
又因为
所以，
所以
又 ，所以
易知 为等边三角形，则 ,由 得 为 的中点，
在 中， 为 的中点，则有 ,从而有
因为
所以 ………………4 分
又 ，所以，
112211 )()()( bbbbbbbb nnnnn +−++−+−= −−−
12222 321 +++++= −−−
nnn
1221
21 −=−
−= n
n
2122
12 )12()12)(12( −−−−=− ++
++
nnn
nnn bbb
022425 × + × = >
2 2( ) ( ) - 2cos ln (0, )g x x f x x k x xπ= − = ⋅ ∈ +∞
' 2cos( ) 2 - kg x x x
π=
k cos -1kπ = ' 2( ) 2 0g x x x
= + >
2( ) - 2cos lng x x k xπ= ⋅ )0 ∞+，（
k cos 1kπ =
2
' 2 2( 1) 2( 1)( 1)( ) 2 - x x xg x x x x x
− − += = =
' '(0,1), ( ) 0; (1, ), ( ) 0x g x x g x∈ < ∈ +∞ >
( )g x 01)（ ， 1 )+ ∞（，
k ( )g x )0 ∞+，（
k ( )g x )10，（ )1 ∞+，（
' ( ) mf x x
= '
2
1( ) 2h x x
=
( )f x ( )h x 2
1 1 2
2
1( , ln ), ( , )2
xA x m x B x x
−
( )f x A 1
1
lnmy x m x mx
= + −
( )h x B 2
2
2 2
- 2
2 2
xxy x x
= +【2020 年海口市高考调研考试数学试题 第 12 页（共 5 页） 】
由两条切线重合，得:
由题知，方程组有唯一解
消去 ，整理得：
…………………8 分
令
易知 在区间 单调递减，在区间 上单调递增。
当 逼近于 0 时， 逼近于 ，
有唯一解，则有 ，即
……10 分
令
易知 在区间 单调递减，在区间 上单调递增。
又 所以 只有唯一实根 .
当 时，函数 与 的图象有且只有一条公切线
……12 分
2
2 1
2
1
2
1
2
- 2 ln2
m
x x
x m x mx
=
= −
1x 2
2
1 12 ln ln 2 - - 02m x m m mx
+ + =
2 2
1 1 2 1 2 1g( ) 2 ln ln 2 - - '( )2
m mxx m x m m m g xx x x x
−= + + = − =，
)(g x ）（
m2
1,0 ),m2
1（ +∞
x ( )g x ∞+
( )g x 0)m2
1(g = 1 12 ln 2 ln 2 - - 02 2m m m m mm
+ + =
1ln 2 02m m m− + =
1 2( ) ln 2 , ( ) ln 2 1 ln 22 2m m m m m m m mm
ϕ ϕ′= − + = + ⋅ − =
( )mϕ 10, 2
（ ） 1( , )2
+∞
1( ) 02
ϕ = 1ln 2 - 02m m m + = ， 1
2m =
1
2m = ( ) lnf x m x= 1( ) 2
xh x x
−=
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