贵州省贵阳市2020届高三数学（理）6月适应性试题（二）（Word版含答案）

贵阳市 2020 年高三适应性考试（二） 理科数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）． A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，则其共轭复数 （ ）． A． B． C． D． 3．已知直线 ， 和平面 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 ， ， ，则（ ）． A． B． C． D． 5．若抛物线 的焦点是双曲线 的一个焦点，则 （ ）． A． B． C．8 D．16 6．公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米 处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米；当阿基里斯跑完 下一个 10 米时，乌龟仍然前于他 1 米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里 斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距离为（ ）． A． B． C． D． 7．若贵阳某路公交车起点站的发车时间为 6:35，6:50，7:05，小明同学在 6:40 至 7:05 之间到达起点站乘坐 公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 5 分钟的概率是（ ）． A． B． C． D． 8．函数 在 上的图象大致为（ ）． { }2 2A x y x x= = − − { }1 0B x x= − > A B∩ = { }2x x ≥ { }1x x > { }1 2x x< ≤ { }1 2x x− ≤ ≤ z ( )1 i 1 3iz + = − z = 1 i− + 1 i− − 1 i− 1 i+ a b α a α⊂ b a⊥ b α⊥ 2log 0.7a = 0.12b = ln 2c = b c a< < a c b< < b a c< < a b c< < ( )2 2 0x py p= > 2 2 13 y x p p − = p = 1 20 1 4 110− 510 9 90 − 510 1 900 − 410 1 90 − 410 9 900 − 1 5 2 3 2 5 3 5 ( ) 2 3cos 1xf x x −= [ ]π,π−A． B． C． D． 9．在 中，在点 为边 上靠近点 的三等分点， 为 的中点，则 （ ）． A． B． C． D． 10．已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位长度得到，则下列 关于函数 的说法正确的是（ ）． A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C． 在 单调递增 D． 在 单调递减 11．已知 是双曲线 的右焦点， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂 线，垂足为 ，并交 轴于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）． A． B． C． D． 12．已知函数 有两个零点 ， ，则 （ ）． A．2 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 越为 选考题，考生根据要求作答． 二、填空题： 13．曲线 在 处的切线方程为______． 14．在 的展开式中 的系数为______． 15 ． 在 数 列 中 ， ， 则 ______ ， 数 列 的 前 项 和 为 ABC△ D BC B E AD BE = 2 1 3 6AB AC− −  2 1 3 6AB AC− +  5 2 6 3AB AC− +  5 2 6 3AB AC− −  ( ) π2sin 2 3f x x = +   ( )g x ( )f x π 4 ( )g x ( )g x π 6x = ( )g x π ,03      ( )g x π 5π,24 24  −   ( )g x π π,6 3  −   F ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > O F C P y Q 3OQ OP= C 3 2 4 3 3 4 2 3 ( ) 2 2 24 1 x xf x x x e e− − += − − + + 1x 2x 1 2x x+ = ln 2xy x = + 1x = ( )( )62x y x y− + 4 3x y { }na 1 2 32 3 2na a a na n+ + + + = 4a = 1 na n   +  n______． 16．已知三棱锥 外接球的表面积为 ， 是边长为 3 的等边三角形，且平面 平 面 ，则三棱锥 体积的最大值为______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 ． 已 知 的 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且 ． （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 周长的取值范围． 18．2020 年 2 月以来，由于受新型冠状病毒肺炎疫情的影响，贵州省中小学陆续开展“停课不停学”的网 络学习．为了解贵阳市高三学生返校前的网络学习情况，对甲、乙两所高中分别随机抽取了 25 名高三学生 进行调查，根据学生的日均网络学习时长（单位： ）分别绘制了部分茎叶图（如图 1）和乙校学生日均网 络学习时长的部分频率分布直方图（如图 2），其中茎叶图缺少乙校茎“5．”和“6．”叶的数据． 图 1 图 2 注：茎叶图中的茎表示整数位数据，叶表示小数位数据，如乙校收集到的最小数据为 ． （1）补全图 2 的频率分布直方图，并估计乙校学生日均网络学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表）； （2）求 50 名学生日均网络学习时长的中位数 ，并将日均网络学习时长超过 和不超过 的学生人数填 入下面的列联表： 超过 不超过 总计 甲 乙 总计 （3）根据（2）中的列联表，能否有 95％以上的把握认为甲、乙两校高三学生的网络学习时长有差异？ 附： ，其中 P ABC− 15π ABC△ ABC ⊥ PAB P ABC− ABC△ A B C a b c 2 2 2sin sin sin sin cos 1C A B C B− = + − A ABC△ 1a = ABC△ h 3.1 m m m m m ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + +19．如图，在四棱锥 中， 为正方形，且平面 平面 ，点 为棱 的中 点． （1）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？并说明理由； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． 20．已知圆 的圆心为 ，点 是圆 内一个定点，点 是圆 上任意一点， 线段 的垂直平分线与半径 相交于点 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）给定点 ，设直线 不经过点 且与轨迹 相交于 ， 两点，以线段 为直径的圆过点 ．证明：直线 过定点． 21．已知函数 ． （1）设 是 的极值点，求 ，并求 的单调区间； （2）当 时，证明 ． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 （ 为参数），直线 过点 ，倾斜角为 ． （1）求曲线 的普通方程和直线 的参数方程； （2）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段中点的极坐标 为 时，求直线 的斜率． 23．选修 4-5 不等式选讲 设函数 ． ( )2 0P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 P ABCD− ABCD PAD ⊥ ABCD F PD BC E //CF PAE PA PD AB= = AF PBC ( )2 23 16A x y− + = A ( )3,0B − A C A BC AC D D E ( )0,1P l P E M N MN P l ( ) ( )1 ln 1xf x e x a−= − + + 1x = ( )f x a ( )f x 3a ≤ ( ) 1f x > − xOy C 3cos 3sin x y θ θ = = θ l ( )1,1− α C l O x C l 3π2, 4      l ( ) 1 6f x x x a= + + − −（1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求 的取值范围． 参考答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．C 11．A 12．B 13． 14．25 15． ， 16． 17．解：（1）由已知， ， ∴ ， 在 中，由正弦定理得 ， 则 ， 又 ，故 ． （2）由正弦定理， ， 则 ， ，且 ， ∴ 又 为锐角三角形，则 ，解得 ， ∴ ，故 ， 2a = ( ) 0f x ≤ ( ) 2 3f x a≥ − a 1 0x y− + = 1 2 2 1 n n + 27 8 2 2 2sin sin sin sin sinC A B C B− = − 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = ABC△ 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = ( )0,πA∈ π 3A = 1 2 3 πsin sin sin 3sin 3 b c a B C A = = = = 2 3 sin3b B= 2 3 sin3c C= 2ππ 3B C A+ = − 2 3 2 3 2 3 2π1 sin sin 1 sin sin3 3 3 3a b c B C B B   + + = + + = + + −     2 3 3 3 π1 sin cos 1 2sin3 2 2 6B B B    = + + = + +        ABC△ π0 2 2π π0 3 2 B B  <    3: 5l y kx= −故直线 过定点 ． 21．解：（1） ， 由 是 的极值点知， ，即 ，所以 ． 于是 ，定义域为 ，且 ， 函数 在 上单调递增，且 ， 因此当 时， ；当 时， ， 所以 的单调递减区间为 ，增区间为 ． （2）当 ， 时， ，从而 ，则 ， 令 ， ，则 在 单调递增， 且 ， ， 故存在唯一的实数 ，使得 ． 当 时， ；当 时， ． 从而当 时， 取最小值． 由 得 ，则 ， ， 故 ， 由 知， ，故 ， 即当 时， 成立． 22．解：（1）曲线 的直角坐标方程为 ， l 30, 5  −   ( ) 1 1xf x e x a −′ = − + 1x = ( )f x ( )1 0f ′ = 11 01 a − =+ 0a = ( ) 1 ln 1xf x e x−= − + ( )0,+∞ ( ) 1 1xf x e x −′ = − ( ) 1 1xf x e x −′ = − ( )0,+∞ ( )1 0f ′ = ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 3a ≤ x a> − 0 3x a x< + ≤ + ( ) ( )ln ln 3x a x+ ≤ + ( ) ( ) ( )1 11 ln 2 ln 3 2x xf x e x a e x− −+ = − + + ≥ − + + ( ) ( )1 ln 3 2xg x e x−= − + + ( )3,x∈ − +∞ ( ) 1 1 3 xg x e x −′ = − + ( )3,− +∞ ( ) 2 1 11 02g e ′ − = − < ( ) 1 10 0g e e ′ = − > ( )0 1,0x ∈ − ( )0 0g x′ = ( )03,x x∈ − ( ) 0g x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x′ > 0x x= ( )g x ( )0 0g x′ = 0 1 0 1 03 xe x − − =+ 0 1 0 1 3 xe x − = + ( )0 01 ln 3x x− = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 1 0 0 0 0min 0 0 21ln 3 2 1 23 3 x xg x g x e x xx x − += = − + + = + − + =+ + ( )0 1,0x ∈ − ( )2 0 0 2 03 x x + >+ ( ) ( ) ( )01 0f x g x g x+ ≥ ≥ > 3a ≤ ( ) 1f x > − C 2 2 19 3 x y+ =直线 的参数方程 （ 为参数）． （2）点 化成直角坐标为 ， 将 分别代入 ， 化简得 ， 设曲线 截直线 所得线段的两端点所对应的参数分别为 ， ， 则 ， 由已知， ，∴ ， 即 ，则 ， 即直线 的斜率为 ． 23．解：（1）当 时， ． 可得 的解集为 ． （2）要使 ，只需 即可． 又 ，且当 时等号成立． ∴ ，则 ， 当 ，即 时， 恒成立； 当 ，即 时， ， 得 ，故 ， 从而 ， 综上， ． l 1 cos 1 sin x t y t α α = − +  = + t 3π2, 4      ( )1,1− 1 cos 1 sin x t y t α α = − +  = + 2 2 19 3 x y+ = ( ) ( )2 21 2sin 6sin 2cos 5 0t tα α α+ + − − = C l 1t 2t ( ) ( )2 26sin 2cos 20 1 2sin 0α α α∆ = − + + > 1 2 02 t t+ = 1 2 2 6sin 2cos 01 2sint t α α α −+ = − =+ 6sin 2cos 0α α− = sin 1 cos 3 α α = l 1tan 3k α= = 2a = ( ) 2 5, 1 3, 1 2 2 7, 2 x x f x x x x − − < − = − − ≤ ≤  − > ( ) 0f x ≤ 5 7 2 2x x  − ≤ ≤    ( ) 2 3f x a≥ − ( )min 2 3f x a≥ − ( ) 1 6 1 6f x x x a a= + + − − ≥ + − 1x = − ( )min 1 6 2 3f x a a= + − ≥ − 1 2 3a a+ ≥ + 2 3 0a + ≤ 3 2a ≤ − 1 2 3a a+ ≥ + 2 3 0a + > 3 2a > − ( )2 21 2 3a a+ ≥ + 23 10 8 0a a+ + ≤ 42 3a− ≤ ≤ − 3 4 2 3a− < ≤ − 4, 3a  ∈ −∞ −  