珠海市 2020 届第二学期普通高中学生学业质量监
测
数 学（文科）
第 I 卷（选择题)
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．）
1．已知集合 ，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面上对应的点为 ，则( )
A． 是实数 B． 是纯虚数 C． 是实数 D． 是纯虚数
3．不等式 的解集为( )
A． B．
C． D． 或
4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子 100
次，其中落入正方形的内切圆内有 68 次，则他估算的圆周率约为( )
A．3.15 B．2.72 C．1.47 D．3.84
5．函数 的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设 ，则 ( )
A． B． C． D．
7．已知点 和圆 ，过 作 的切线有两条，则 的取值
范围是( )
A． B． C． D．
8．如图，正方体 ，点 为对角线 上的点，当点 由点 向点 运动
过程中，下列说法正确的是( )
A． 的面积始终不变
B． 始终是等腰三角形
{ } { }21,0,1,2 1A B x x= − = ≥， A B∩ =
{ }1,0,1− { }1,2 { }1,1− { }1,1,2−
Z ( )1, 1−
1Z + 1Z + Z i+ Z i+
1x x
>
{ }| 1x x > { }| 1 1 0x x x− < < ≠且
{ }| 1x x > − { | 1x x > }1 0x− < <
( ) sinf x x x= −
1 1 1 11 + + + +2 6 12 ( 1)S n n
= + + S =
2 1
1
n
n
+
+
2 1n
n
− 1n
n
+ 2
1
n
n
+
+
( )2,2P 2 2: 4 2 0C x y x y k+ + + + = P C k
0 5k< < 20k > − 5k < 20 5k− < <
1 1 1 1ABCD A BC D− P 1 1AC P 1A 1C
BPD∆
BPD∆
第 4 题图
第 8 题图C． 在面 内的投影的面积先变小再变大
D．点 到面 的距离一直变大
9．函数 的图象可能是( )
A． B．
C． D．
10．已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上，过点 作 的垂线与 轴交
于点 ，若 为等腰直角三角形，则 的面积为( )
A． B． C． D．
11．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”… …
依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重
新开始，即“丙子”… …依此类推．1911 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国
性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949 新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )
A．己丑年 B．己酉年 C．丙寅年 D．甲寅年
12．设函数 .若只存在唯一非负整数 ，使得 ，则实数 取
值范围为( )
A． B． C． D．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（本大题共４小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
BPD∆ 1 1ABB A
A BPD
2
cos( ) ln( 2)
xf x x= +
F 2 2: 2C x y- = P C P FP x
Q FPQ△ FPQ△
1
4
5
4 2 3
( )2 2( ) xe ef x x ax= − − 0x ( )0 0f x < a
( 2 ,0e e − ( )2 ,1e− ( ],0−∞ ( )2 ,e e e−13．函数 在 处的切线方程为____________．
14．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 2 的正三角形，
是以 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
15．已知正项等比数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 ＝_______．
16．等腰直角三角形 ， ， ． ， 分别为边 ， 上
的动点，设 ， ，其中 ，且满足 ， ， 分
别是 ， 的中点，则 的最小值为_____．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17〜21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17．(本题 12 分)随机调查某城市 80 名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间
段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：
是否辅导
性别 辅导 不辅导 合计
男 25 60
女
合计 40 80
（1）请将表中数据补充完整；
（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十
点辅导子女作业的概率；
（3）根据以上数据，能否有 99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业
与性别有关？”．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
18．(本题 12 分)如图所示，在 中，点 在线段
ln( ) 1
xf x x
= + 1x =
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC△
PAB△ AB
{ }na nS 6 39S S= 2 3a = 5a
ABC 2AB AC= = 90BAC∠ = ° E F AB AC
AE mAB= AF nAC= , (0,1)m nÎ 2 2 1m n+ = M N
EF BC | |MN
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
ABD∆ C AB
第 18 题图上， ， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）判断 是否为等腰三角形．
19．(本题 12 分)如图所示，梯形 中， ，平面
平面 ，且四边形 为矩形，
， ， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
20．(本题 12 分)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 轴，其准线为 ．
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)设直线 ，对任意的 抛物线 C 上都存在四个点到直线 l 的距离为 ，求
的取值范围．
21．(本题 12 分)设函数 ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若存在 满足 ，证明 成立．
（二）选考题
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本题 10 分)在平面直角坐标内，直线 过点 ，且倾斜角 ．以坐标原点 O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为 ．
(1)求圆 的直角坐标方程；
(2)设直线 与圆 交于 两点，求 的值．
3AD = 1BC = 14BD = 2cos 3DAB∠ =
sin ABD∠
ACD∆
ABCD / /AD BC
CDEF ⊥ ABCD CDEF
2 2BC AD= = 2 3CF = 13AB = 2 6BE =
AD ⊥ BDE
D BEF
y 1y = −
:l y kx n= + k R∈ 4 n
( ) ( 1)xf x e a x= − −
( )f x
,m n R∈
m ne e am n
− =−
2lnm n a+ <
l ( )2,3P
6=
πα
=4sinρ θ
C
l C A B， PA PB+
第 19 题图23．(本题 10 分)已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）当 ， 时，证明： .
( ) 1f x x= −
( ) ( 1) 4f x f x+ + ≥
0x ≠ x∈R
1( ) ( ) 2f x f x
− + ≥数学（文科）参考答案
第 I 卷（选择题)
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D 由 ，所以
2．已知复数 在复平面上对应的点为 ，则( )
A． 是实数 B． 是纯虚数
C． 是实数 D． 是纯虚数
【答案】Ｃ由题意可知 z＝1－i, 所以 z＋i 是实数，故选 C.
3．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D 不等式
得解集 或
4．某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子
100 次，其中落入正方形的内切圆内有 68 次，则他估算的圆周率约为
（ ）
A．3.15 B．2.72
C．1.47 D．3.84
【答案】B 根据几何概型 得 2.72
5．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A 由 的零点转化为方程
的根，由 与 的图象只有一个交
点，可得 只有一个零点
6．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A 由 得
7．已知点 和圆 ，过 作 的切线有两条，则 的取值
{ } { }21,0,1,2 1A B x x= − = ≥， A B∩ =
{ }1,0,1− { }1,2 { }1,1− { }1,1,2−
{ }1 1B x x x≥= ≤或 A B∩ = { }1,1,2−
Z ( )1, 1−
1Z + 1Z +
Z i+ Z i+
1x x
>
{ }| 1x x > { }| 1 1 0x x x− < < ≠且
{ }| 1x x > − { | 1x x > }1 0x− < <
1x x
> ⇔
( )2
21 10 0 1 0 0xx x x xx x
−− > ⇔ > ⇔ − > ≠且 { | 1x x >
}1 0x− < <
2
2
68
4 4 100
S r
S r
π π= = ≈圆
正
π ≈
( ) sinf x x x= −
( ) sinf x x x= −
sinx x= y x= siny x=
( ) sinf x x x= −
1 1 1 11 + + + +2 6 12 ( 1)S n n
= + + S =
2 1
1
n
n
+
+
2 1n
n
− 1n
n
+ 2
1
n
n
+
+
1 1 1 11 + + + +2 6 12 ( 1)S n n
= + +
1 1 1 11 + + + +1 2 2 3 3 4 ( 1)S n n
= + × × × +
1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 1 + + + + 22 2 3 3 4 1 1 1
nS n n n n
+= + − = =+ + +- - - -
( )2,2P 2 2: 4 2 0C x y x y k+ + + + = P C k范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D 由 得 ，则 得
，要使过 作 的切线有两条，则点 在圆外，从而 得 ，所以
.
8．如图，正方体 ，点 为对角线 上的点，当点 由点 向点 运动
过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 的面积始终不变
B． 始终是等腰三角形
C． 在面 内的投影的面积先变小再变大
D．点 到面 的距离一直变大
【答案】B 的面积始终不变先变小再变大，Ａ不对；由于
， 始终是等腰三角形所以Ｂ正确； 在面
内投影的面积不变，所以Ｃ不对；点 到面 的距离
先变大再变小，所以Ｄ不对。
9．函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C 函数 为偶函数且 ，排除Ａ、Ｂ，而 ，
所以选Ｃ
10．已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，过点 作
的垂线与 轴交于点 ，若 为等腰直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 取点 为左焦点， 在第一象限，如
图可设 ，代入双曲线得
解得： ，得
11．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、
丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、
0 5k< < 20k > − 5k < 20 5k− < <
2 2: 4 2 0C x y x y k+ + + + = ( ) ( )2 2: +2 +1 5C x y k+ = − 5 0k− >
5k < P C P 5PC k> − 20k > −
20 5k− < <
1 1 1 1ABCD ABC D− P 1 1AC P 1A 1C
BPD∆
BPD∆
BPD∆ 1 1ABB A
A BPD
BPD∆
=BP DP BPD∆ BPD∆
1 1ABB A A BPD
2
cos( ) ln( 2)
xf x x= +
2
cos( ) ln( 2)
xf x x= + 02f
π =
( ) ( )10 1,2ln 2f = ∈
F 2 2: 2C x y- = P C O P FP
x Q FPQ△ FPQ△
1
4
5
4 2 3
F P
( ),2P x x−
( ) 22: 2 2C x x- - = 3
2x = 3 1,2 2P
1 1 112 2 4FPQS = × × =△亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，
天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”… …
依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重
新开始，即“丙子”… …依此类推．1911 年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国
性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”．1949 新中国成立，请推算新中国成立的年份为（ ）
A．己丑年 B．己酉年 C．丙寅年 D．甲寅年
【答案】Ａ根据题意可得，天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列，
从 1911 年到 1949 年经过 38 年，且 1911 年为“辛亥”年，以 1911 年的天干和地支分别为首项，
则 ，则 1949 年的天干为己， ，则 1949 年的地支为丑，所以 1949 年
为己丑年.
12．设函数 .若只存在唯一非负整数 ，使得 ，则实数 取
值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】A 令 ， ，则 ，
，令 ，解得 或 ，
，时有
，时有
，时有 ，
可以描绘出 的草图
为过点 的直线
如图可知：当 不成立
当 时， ，
所以 ，得
所 ．
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（本大题共４小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案
填在答题纸上）
13．函数 在 处的切线方程为____________．
【答案】 （方程其它形式均可得分）求导得
，得 ，切点为 所以
．
14．在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边
长为 2 的正三角形， 是以 为斜边的直角三角形，则该三
棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】 由题意可知 的中心 就是圆心，可知算得
，所以可得外接球的表面积为
15．已知正项等比数列 的前 n 项和为 ， ， ，则
38=3 10+8× 38=12 3+2×
( )2 2( ) xe ef x x ax= − − 0x ( )0 0f x < a
( 2 ,0e e − ( )2 ,1e− ( ],0−∞ ( )2 ,e e e−
( )2 2( ) xg x e ex = − ( )h x ax= ( ) ( ) ( )f x g x h x= −
( )2 2( ) xg x e ex = − ( )=0g x =0x =2x
2x > ( ) 0g x >
0 2x< < ( ) 0g x <
0x < ( ) 0g x <
( )2 2( ) xg x e ex = −
( )h x ax= ( )0,0
0a >
0a < 0 1x =
(1) 0f < 2a e e> −
( 2 ,0x e e ∈ −
ln( ) 1
xf x x
= + 1x =
2 1 0x y− − =
( )2
1 ( 1) ln
1
x xxy
x
+ −
′ =
+ 1
1| 2xk y =′= = ( )1,0
1 ( 1)2y x= −
P ABC− PAB ⊥ ABC ABC△
PAB△ AB
16
3
π
ABC△ O
2 3
3R OC= = 16
3
π
{ }na nS 6 39S S= 2 3a =＝_______．
【答案】 ∵ 为等比数列， ，∴ ，
∴ ， ，此时 ，
16．等腰直角三角形 ， ， ． ， 分别为边 ， 上
的动点，设 ， ，其中 ，且
满足 ， ， 分别是 ， 的中点，则
的最小值为_____．
【答案】 本题如图建坐标系， ， ，
得 ，又 ，可知点 在单位圆上，所以最
小 的最小值为 ．
三、解答题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17〜21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、
23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17．(本题 12 分)随机调查某城市 80 名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间
段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面的数据表：
是否辅导
性别 辅导 不辅导 合计
男 25 60
女
合计 40 80
（1）请将表中数据补充完整；
（2）用样本的频率估计总体的概率，估计在这个城市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子
作业的概率；
（3）根据以上数据，能否有 99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业
与性别有关？”
参考公式： ，其中 .
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
解（1）
辅导 不辅导 合计
男 25 35 60
女 15 5 20
合计 40 40 80
--------------------------------------------------4 分(答任意对２个得 2 分)
（2）在样本中有 20 位女士，其中有 15 位辅导孩子作业，其频率为
所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为 ；---------7 分
5a
24 { }na 6 39S S= 1 2 3 4 5 6 1 2 39( )a a a a a a a a a+ + + + + = + +
4 5 6 1 2 38( + )a a a a a a+ + = + 3 8q = 3
5 2 3 8 24a a q= = × =
ABC 2AB AC= = 90BAC∠ = ° E F AB AC
AE mAB= AF nAC= ( ), 0,1m nÎ
2 2 1m n+ = M N EF BC
| |MN
2 1− ( )0,2E m ( )2 ,0F n
( ),M n m 2 2 1m n+ = M
| |MN | | 2 1AN AM− = −
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k≥
0k
15 0.7520P = =
0.75（3） ---------11 分
可知有 99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关”
------------------12 分
18．(本题 12 分)如图所示，在 中，点 在线段 上， ， ，
， .
（1）求 的值；
（2）判断 是否为等腰三角形．
解：（1）因为 ，
所以 --------------------2 分
在 中，由正弦定理得：
，即：
解得 ．--------------------5 分
（2）在 中因为 ，所以
所以 --------------------7 分
------11 分
得 ，------11 分
所以梯形 是为等腰梯形．--------------------12 分
19．如图所示，梯形 中， ，平面 平面 ，且四边形
为矩形， ， ， ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
解：（1）
又 平面 平面 ，且平面 平面
， 面
面 --------------------2 分
又 平面 平面 ，
， --------------------3 分
在 ， ， ．
在 中， ， ，
( )2
2 80 25 5 15 35 6.67 6.63540 40 20 60K
× − ×= ≈× × × >
ABD∆ C AB 3AD = 1BC =
14BD = 2cos 3DAB∠ =
sin ABD∠
ACD∆
2cos 3DAB∠ =
2 5sin 1 3 3DAB∠ = = =
ABD∆
sin sin
AD BD
ABD BAD
=∠ ∠
3 14
sin 5
3
ABD
=∠
70sin 14ABD∠ =
ABD∆ BD AD>
2ABD
π∠ <
3 14cos 14ABD∠ =
2 2 2 2 cosCD BD BC BD BC CBD= + − ∠ 3 1414 1 2 14 14
= + − × 9=
3BC =
ABCD
ABCD / /AD BC DCFE ⊥ ABCD CDEF
2 2BC AD= = 2 3CF = 13AB =
2 6BE =
AD⊥ BDE
D BEF
ED CD⊥
EDCF ⊥ ABCD EDCF ∩
ABCD CD＝ ED∈ EDCF
ED∴ ⊥ ABCD
AD BD∈， ABCD
ED BD∴ ⊥ AD ED⊥
Rt BDE∆ 2 3ED = 2 6BE =
2 3BD∴ =
ABD∆ 2 3BD = 1AD = 13AB =
第 18 题图
第 19 题图--------------------5 分
又 ， 面
面 --------------------6 分
(2)由(1)可知 为 ，且 ，
作 于 ，则
由已知平面 平面 ，且平面 平面 ，
--------------------8 分
在 中， ， ，
--------------------10 分
设点 到平面 的距离为 ，则
，解得：
所以点 到平面 的距离为 --------------------12 分
20．已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 轴，其准线为 .
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)设直线 ，对任意的 ，抛物线 C 上都存在四个点到直线 l 的距离为 ，求
的取值范围．
解：(1)由题意可设： ，则 得 ，所以 ----------2 分
(2)设与直线 平行的直线 ，要满足题设条件“对任意的 抛物线 C 上都有四
个点到直线 l 的距离为 ”，则有当 与抛物线 相切时， 点 到
距离大于 4 恒成立，
得： ---------------------------------------5 分
得
点 到 距离
所以 不等式 恒成立，
代入 得
整理得： -------------------------------------9 分
① 得 ，求得 -------------------------------------10 分
2 2 2AB AD BD∴ = +
AD BD∴ ⊥
ED BD D∩ ＝ ED BD∈， BDE∴ AD⊥ BDE
BCD∆ Rt∆ 2 3BD∴ = 2BC =
4CD∴ =
BH CD⊥ H 3BH =
EDCF ⊥ ABCD EDCF ∩ ABCD CD＝
BH ABCD∈面
BH CDEF∴ ⊥ 面
1 43B DEF DEFV S BH∴ = × =－
BEF∆ 2 2 4BF BC CF= + = 4EF CD= = 2 6BE =
( )221 2 6 4 6 2 152BEFS∆∴ = × × − =
D BEF h
1
2 BEF B DEFS h V∆ −∴ = 2 15
5h =
D BEF 2 15
5
y 1y = −
:l y kx n= + k R∈ 4
n
2 2x py= 12
p− = − 2p = 2 4x y=
l :m y kx b= + k R∈
4 m C k R∀ ∈ ( )0,n :m y kx b= +
2 4
y kx b
x y
= +
=
2 4 4 0x kx b− − =
( ) ( )24 4 4 0k b∆ = − − = 2 0k b+ =
( )0,n :m y kx b= +
21
n b
k
− +
+
k R∀ ∈
2
4
1
n b
k
− + >
+
2b k= −
4 2 2(2 16) 16 0k n k n+ − + − >
0∆ > ( )2 2(2 16) 4 16 0n n− − ② 得 -------------------------------------11 分
所以 -------------------------------------12 分
21．设函数 .
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若存在 满足 ，证明 成立.
解：解：（1）由 得
当 时， 从而得 在 上单调递增没有极值；-------------------------1 分
当 时， 得 ；
得 ；
得 ；
在 上单调递增， 在 上单调递减，
此时有极小值 ．-------------------------------------4 分
（2）由 得： ，从而得
由(1)知当 时， 从而得 在 上单调递增，所以此时不成立------5 分
可知此时 ，由于 的极小值点为 ，可设
设
-------------------------------------7 分
，仅当 时取得“ ”
所以 在 为单调递增函数且 -------------------------------------9 分
当 ，时有 ，即
又由 ，所以 -------------------------------------11 分
又由(1)知 在 上单调递减，且 ，
所以 从而得证 成立。-------------------------------------12 分
2
2 16 02
16 0
n
n
−
－
8n >
5n >
( ) ( 1)xf x e a x= − −
( )f x
,m n R∈
m ne e am n
− =−
2lnm n a+ <
( ) ( 1)xf x e a x= − − ( ) xf x e a′ = −
0a < ( ) 0f x′ > ( )f x R
0a > ( ) 0f x′ = lnx a=
( ) 0f x′ > lnx a>
( ) 0f x′ < lnx a<
( )f x ( )ln ,a +∞ ( )f x ( ),ln a−∞
( )ln 2 lnf a a a= −
m ne e am n
− =−
m ne am e an− = − ( ) ( )f m f n=
0a < ( ) 0f x′ > ( )f x R
0a > ( )f x lnx a= lnm a n> >
2ln( ) ( ) (2ln ) ( 1) (2ln 1)a xxF x f x f a x e a x e a a x− = − − = − − − − − −
2ln 2 2 lna xxe e ax a a−= − − +
2
2 2 lnx
x
ae ax a ae
= − − +
2 2
( ) 2 2 2 0x x
x x
a aF x e a e ae e
′ = + − ≥ − = lnx a= =
( )F x ( )ln ,a +∞ (ln ) 0F a =
lnm a> ( ) ( ) (2ln ) 0F m f m f a m= − − > ( ) (2ln )f m f a m> −
( ) ( )f m f n= ( ) (2ln )f n f a m> −
( )f x ( ),ln a−∞ ( )2ln ,lna m a− ∈ −∞ ( ),lnn a∈ −∞
2lnn a m< − 2lnm n a+
( )1 2 1 2 3 3PA PB t t t t+ = + = − + =
( ) 1f x x= −
( ) ( 1) 4f x f x+ + ≥
0x ≠ x ∈ R 1( ) ( ) 2f x f x
− + ≥
( ) ( 1) 4f x f x+ + ≥ 1 4x x− + ≥
1x > 2 1 4x − ≥ 5
2x ≥
0 1x≤ ≤ 1 4≥ 3
2x ≤ −
1( ) ( )f x f x
− + = 11 1x x
+ + −
1 11 1x xx x
+ + − ≥ +
1,x x
1 1x xx x
+ = +由基本不等式得： …………………9 分
所以 …………………10 分
1 2x x
+ ≥
1( ) ( ) 2f x f x
− + ≥
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