珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测
高三理科数学试题
时间：120 分钟 满分 150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．
1．已知全集 ,集合 , ,则 （ ）
A. B． C． D．
2．设 是虚数单位，则复数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知在 中， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分
数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为 s1，s2，
{1,2,3,4}U = {1,2}A = {2,3}B = ( )UC A B =
{1,3,4} {3,4} {3} {4}
i 4 3i
i
− =
3 4i− + 3 4i− 3 4i+ 3 4i− −
( )f x R 0x ≥ 2( ) 2f x x x a= + − ( 1)f − =
4
3
8
3
4 8
xxxf sincos)( +=
4
3π
)(g x )(g x
( ) 2 cosg x x= ( ) 2 cosg x x= −
( ) 2 sing x x= ( ) 2 sing x x= −
ABC∆ 4AB = 3BC = 5AC = 1
4AD DC= BD BC =
5
9
4
9
5
16
5
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s3，则它们的大小关系为（ ）
A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2 C．s3＞s1＞s2 D．s3＞s2＞s1
8．已知两条不同直线 ， ，两个不同平面 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
9.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的图表，即
杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 푛行的所有数字之和为2푛―1，
若去除所有为 1 的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前 55 项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
10．甲、乙、丙 3 人从 1 楼乘电梯去商场的 3 到 9 楼，每层楼最多下 2 人，则下电梯的方法
有（ ）
A．210 种 B．252 种 C．343 种 D．336 种
11．已知椭圆 ， 为椭圆 上的一个动点，以 为圆心，2 为半径作圆
， ， 为圆 的两条切线， ， 为切点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
l m α β
α β l α⊂ m β⊂ l m α β m α l β⊥ l m⊥
α β⊥ l α⊥ m β⊥ l m α β⊥ l α m β l m⊥
2 23: 116 16
x yC + = M C M
M OP OQ M P Q POQ∠
[ ]3 2
π π， [ ]4 2
π π， [ ]6 2
π π， 2[ ]3 3
π π，珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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12.设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知等差数列 的前 项的和为 ，且 ， ，则 ．
14．现有三张卡片，每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个，且卡片不重
复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠
海”．乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 ．
15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点 ，则双曲
线的离心率为 .
16 ． 在 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 是 ， 若 ，
，则 面积的最大值为 ．
三、解答题：共 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 题为必考
题，每个试题考生都必须作答． 第 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项的和为 ，且满足 ，
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项的和 .
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 ，四边形 为平行四边形，
， ， ， ，
， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求二面角 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）
1( ) 1 2
xef x t nx xx x
= + − − t
(1, )2
e ∪ +∞
[1, )3
e ∪ +∞ , [1, )2 3
e e ∪ +∞
[1, )+∞
{ }na n nS 1 2a = 10 65S = 2020a =
( 2 )P m m， ( 0)m ≠
ABC∆ A B C cba ,, 6=+ cb
2cos2sin3sinsin CBCBCB
++=+ ABC∆
70 17 ~ 21
22 ~ 23
{ }na n nS *2 1 ( )n nS a n N= − ∈
{ }na na nS
{ }nb | 15|n nb S= − { }nb n nT
P ABCD− ABCD
AD BD⊥ AC BD O= 2AD BD= = PB PD⊥
PB PD= PA PC= M PD
/ /OM PBC
PAD ⊥ PBD
A PB C− −
M
O
D C
BA
P珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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已知曲线 上的点到 的距离比它到直线 的距离少 3．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交曲线 于 ， 两点，交圆 于 ，
两点， ， 在 轴上方，过点 ， 分别作曲线 的切线 ， ， ，求
与 的面积的积的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 k∈R．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 k∈[1，2]时，求函数 在[0，k]上的最大值 的表达式，并求 的最大值．
21．（本小题满分 12 分）
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有 n（ ）份血液样
本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验 n 次；
（2）混合检验，将其中 k（ 且 ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检
验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检
验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这
k 份血液的检验次数总共为 次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果
是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（ ）.
（1）假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过 2
次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中 k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的
总次数为 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 .
（i）试运用概率统计的知识，若 ，试求 p 关于 k 的函数关系式 ；
（ii）若 ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检
验的总次数期望值更少，求 k 的最大值.
参考数据： ， ， ， ，
E (1 0)F ， : 4l x = −
E
F k 0l E P Q 2 2:( 1) 1F x y− + = A
B P A x P Q E 1l 2l 1 2l l M=
PAM∆ QBM∆
2( ) ( 1) xf x k x e x= − −
2≤k ( )f x
( )f x )(kg )(kg
n ∗∈N
k ∗∈N 2k ≥
1k +
0 1p< <
k ∗∈N 2k ≥
1
ξ 2
ξ
1 2E Eξ ξ= ( )p f k=
3
11
e
p = −
ln 2 0.6931≈ ln3 1.0986≈ ln 4 1.3863≈ ln5 1.6094≈ ln 6 1.7918≈珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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（二）选考题
请考生在第 题中任选一题作答． 如果多做，那么按照所做的第一题计分．
22．(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，且倾斜角 ．以
坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为
．
(1)求圆 的直角坐标方程；
(2)设直线 与圆 交于 两点，求 的值．
23．(本小题满分 10 分)已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）当 ， 时，证明： ．
22 ~ 23
xoy l ( )2,3P
6=
πα
=4sinρ θ
C
l C A B， PA PB+
( ) 1f x x= −
( ) ( 1) 4f x f x+ + ≥
0x ≠ x ∈ R 1( ) ( ) 2f x f x
− + ≥珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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高三理科数学试题
时间：120 分钟 满分 150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．
1．已知全集 ,集合 , ,则 （ ）
A. B． C． D．
2．设 是虚数单位，则复数 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．右图为一个四棱锥的三视图，其体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得
到函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在 中， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三位同学在一项集训中的 40 次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分
数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为 s1，s2，s3，
则它们的大小关系为（ ）
{1,2,3,4}U = {1,2}A = {2,3}B = ( )UC A B =
{1,3,4} {3,4} {3} {4}
i 4 3i
i
− =
3 4i− + 3 4i− 3 4i+ 3 4i− −
( )f x R 0x ≥ 2( ) 2f x x x a= + − ( 1)f − =
4
3
8
3
4 8
xxxf sincos)( +=
4
3π
)(g x )(g x
xcos2 xcos2− xsin2
xsin2−
ABC∆ 4=AB 3BC 5AC 1
4AD DC= BD BC =
5
9
4
9
5
16
5
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A．s1＞s2＞s3 B．s1＞s3＞s2 C．s3＞s1＞s2 D．s3＞s2＞s1
8．已知两条直线 ， ，两个平面 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
9.我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨
辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第푛行的所有数字之和为2푛―1，若
去除所有为 1 的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前 55 项和为( )
A．4072 B．2026 C．4096 D．2048
10．甲、乙、丙 3 人从 1 楼乘电梯去商场的 3 到 9 楼，每层楼最多下 2 人，则下电梯的方法
有（ ）
A．210 种 B．252 种 C．343 种 D．336 种
11．已知椭圆 ， 为椭圆 上的一个动点，以 为圆心，2 为半径作圆
l m α β
α β l α⊂ m β⊂ l m
α β m α l β⊥ l m⊥
α β⊥ l α⊥ m β⊥ l m
α β⊥ l α m β l m⊥
2 23: 116 16
x yC + = M C M珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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， ， 为圆 的两条切线， ， 为切点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知等差数列 的前 项的和为 ，且 ， ，则 ． 2021
14．现有三张卡片每张卡片上分别写着广州、深圳、珠海三个城市中的两个且卡片不重复，
甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观．甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去珠海“．乙
看了丙的卡片后说：“我和丙不都去深圳”则甲、丙同去的城市为 ．深圳
15．已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点 ，则双曲
线的离心率为 或
16．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，且
若 ，则 面积的最大值为 ．
三、解答题：共 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 题为必考
题，每个试题考生都必须作答． 第 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17．（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项的和为 ，且满足 ，
（1）求数列 的通项公式 及 ，
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项的和为 .
解：（1）由 得： ，即 ，…………………1 分
M OP OQ M P Q POQ∠
[ ]3 2
π π， [ ]4 2
π π， [ ]6 2
π π， 2[ ]3 3
π π，
1( ) 1 2
xef x t nx xx x
= + − − t
(1, )2
e ∪ +∞
[1, )3
e ∪ +∞
, [1, )2 3
e e ∪ +∞
[1, )+∞
{ }na n nS 1 2a = 10 65S = 2020a =
( 2 )P m m， ( 0)m ≠
5 5
2
ABC∆ A B C cba ,, 6=+ cb
2cos2sin3sinsin CBCBCB
++=+ ABC∆ 52
70 17 ~ 21
22 ~ 23
{ }na n nS *2 1 ( )n nS a n N= − ∈
{ }na na nS
{ }nb | 15|n nb S= − { }nb n nT
2 1n nS a= − 1 12 1S a= − 1 1a =珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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由 得： ,两式相减得: ,
即 ，即数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， ………2 分
则 ， ……………………………………………………………………3 分
则 ， …………………………………………………………5 分
（2）由（1）知： ，则 ， …………6 分
则当 时，
， ……………………………………………8 分
当 时，
，…………………………………………11 分
则 ． …………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 ，四边形 为平行四边形，
， ， ，
， ， ， 为 中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)求二面角 的余弦值．
(1) 证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ 为 中点……………………………………1 分
2 1n nS a= − 1 12 1n nS a+ += − 1 12 2n n na a a+ += −
1 2n na a+ = { }na
12n
na −=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
| 2 16 |n
nb = − 16 2 (1 4)
2 16 ( 4)
n
n n
nb
n
− ≤ ≤= − >
1 4n≤ ≤ 1 2(16 2 ) (16 2 ) (16 2 )n
nT = − + − + + −
1 2 2(1 2 )16 (2 2 2 ) 16 1 2
n
nn n
−= − + + + = − −
116 2 2nn += − +
4n >
1 2 4 5 6 7(16 2 ) (16 2 ) (16 2 ) (2 16) (2 16) (2 16) (2 16)n
nT = − + − + + − + − + − + − + + −
1 2
42 (2 2 2 ) 16nT n= + + + + −
12(1 2 )2 34 16 2 16 661 2
n
nn n+−= × + − = − +−
1
1
16 2 2 (1 4)
2 16 66 ( 4)
n
n n
n nT
n n
+
+
− + ≤ ≤= − + >
P ABCD− ABCD
AD BD⊥ AC BD O= 2AD BD= =
PB PD⊥ PB PD= PA PC= M PD
/ /OM PBC
PAD ⊥ PBD
A PB C− −
ABCD AC BD O=
O BD
M
O
D C
BA
P珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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∵ 为 中点
∴ ， 平面 ， 平面 …………2 分
∴ 平面 ……………………………3 分
(2) 证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ 为 ， 中点
∵ ，
∴ ， ， ………………………4 分
∴ 平面
∴
又 ，
∴ 平面 ， 平面 ………………………5 分
∴平面 平面 ………………………6 分
(3) 解：以 ， 分别为 轴， 轴，过 且与平面 垂直的直线为 轴，建立
如图所示空间直角坐标系
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
M PD
//OM PB OM ⊄ PBC PB ⊂ PBC
/ /OM PBC
ABCD AC BD O=
O AC BD
PB PD= PA PC=
PO AC⊥ PO BD⊥ AC BD O=
PO ⊥ ABCD
AD PO⊥
AD BD⊥ BD PO O=
AD ⊥ ABD AD ⊂ PAD
PAD ⊥ PBD
DA DB x y D ABCD z
2AD BD= = AD BD⊥
BC BD⊥ 2BC = 2 2AB CD= =
PB PD⊥ PB PD=
2PB PD= = 1PO =
2AD = AD BD⊥ 1DO =
5AO OC= =珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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∴ ， ， ， ………………………8 分
， ，
设平面 和平面 的法向量分别为 ，
则 ， 夹角的补角 就是二面角 的平面角
由 和
解得： 和 ………………………10 分
∴ ，
∴ ………………………11 分
∴二面角 的余弦值为 ．…………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
已知曲线 上的点到 的距离比它到直线 的距离少 3．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 交曲线 于 ， 二点，交圆 于 ，
二点， ， 在 轴上方，过点 ， 分别作曲线 的切线 ， ， ，求
与 的面积的积的取值范围．
解：(1)因为曲线 上的点到 的距离比它到直线 的距离少 3
所以曲线 上的点到 的距离和它到直线 的距离相等…………………2 分
故曲线 是 为焦点， 为准线的抛物线
故 ………………………4 分
(2)由题设知：
则
(2,0,0)A (0,1,1)P (0,2,0)B ( 2,2,0)C −
(2, 1, 1)PA = − − (0,1, 1)PB = − ( 2,1, 1)PC = − −
PAB PBC 1 1 1( , , 1)n x y= −
2 2 2( , , 1)n x y= −
1n
2n θ A PB C− −
1 1 1
1 1
2 1 0
1 0
n PA x y
n PB y
⋅ = − + =
⋅ = + =
2 2
2 2 2
1 0
2 1 0
n PB y
n PC x y
⋅ = + =
⋅ = − + + =
1
1
1
1
x
y
= −
= −
2
2
0
1
x
y
=
= −
1 ( 1, 1, 1)n = − − −
2 (0, 1, 1)n = − −
1 2 2 6cos 36| | | |
n n
n n
θ ⋅= − = − = −
⋅
A PB C− − 6
3
−
E (1 0)F ， : 4l x = −
E
F k 0l E P Q 2 2:( 1) 1F x y− + = A
B P A x P Q E 1l 2l 1 2l l M=
PAM∆ QBM∆
E (1 0)F ， : 4l x = −
E (1 0)F ， : 1l x = −
E (1 0)F ， : 1l x = −
2: 4E y x=
0k ≠
0 : ( 1)l y k x= −珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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设 ，
∵ ， 在 轴上方
∴ ， ， ，
与 方程联立消得
则 ， 是“*”的二根
则 且“*”的 ………………………6 分
由 得 时 ，则 ；
时 ，则
，
故
， 联立消 得 ，同时带入 ， 方程相加得 ………………………8 分
∴
到 的距离 ………………………9 分
1 1( )P x y， 2 2( )Q x y，
P A x
1 0x > 2 0x > 1 0y > 2 0y <
0l E 2 4 4 0y yk
− − = ∗“ ”
1y 2y
1 2
1 2
4
4
y y k
y y
+ =
= −
2
16 16 0k
∆ = + >
2: 4E y x= 0y > 2y x= 1y
x
′ =
0y < 2y x= − 1y
x
′ = −
1
11
1 2
x xy yx=′ = =
2
22
1 2
x xy yx=′ = − =
2
1
1 1
1
2: ( )4
yl y y xy
− = −
2
2
2 2
2
2: ( )4
yl y y xy
− = −
1l 2l y 1x = − 1l 2l 2y k
=
2( 1, )M k
−
2( 1, )M k
− 0 : 0l kx y k− − =
22 1
| |
kd k
+=
2
1
1| | | | 1 4
yPA PF x= − = =珠海市 2019～2020 学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题
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………………………10 分
………………………11 分
∴ 与 的面积的积的取值范围是 ．………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 k∈R．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 k∈[1，2]时，求函数 在[0，k]上的最大值 的表达式，并求 的最大值．
解：（1） ，………………………………………………1 分
当 时 ，令 得 令 得 故 的单调递增区
间为 的单调递减区间为 ……………………………………………3 分
当 时，令 得 或 ，
当 时 ，当 时 或 ；当 时 ；
的单调递增区间为 ；减区间为 .………………………5 分
当 时 ，当 时 ；当 时 ； 的单调递增区间
为 ；…………………………………………………………………………………6 分
（2）当 时由（1）知， 的单调递增区间为为 ；减区间为
2
2
2| | | | 1 4
yQB QF x= − = =
1 1| | | |2 2PAM QBMS S PA d QB d∆ ∆⋅ = ⋅
2
2 2 2
1 2 2
1 1 1| | | | ( )4 64
kPA QB d y y d k
+= ⋅ ⋅ = =
2
11 1k
= + >
PAM∆ QBM∆ (1, )+∞
2( ) ( 1) xf x k x e x= − −
2≤k ( )f x
( )f x )(kg )(kg
( ) e 2 ( e 2)x xf x kx x x k′ = − = −
0≤k 02 0xf 0
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