北京市2020届高三数学高考押题仿真卷（二）（Word版含答案）

1 2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（二） 本试卷共 8 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） 2． 设 , , ,则 （A） （B） （C） （D） 3. 下列函数中，最小正周期为 的是 （A） （B） （C） （D） 4. 若 ， ，则 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 5. 与圆 相切于原点的直线方程是 （A） （B） （C） （D） 6. 设 是公差为 的等差数列， 为其前 项和，则“ ”是“ 为递增数列”的 { 1 0}A = − ， { | 1 1}B x x= − < < A B = { 1}− {0} { 1 0}− ， { 1 0 1}− ，， 1 32a = 3log 2b = πcosc = c b a> > a c b> > c a b> > a b c> > 2 π xsiny = x2cosy = xtany = x2siny = OA AB⊥  2OA = OA OB⋅ =  2 2 2 4 0x y x y+ + − = 2 0x y− = 2 0x y+ = 2 0x y− = 2 0x y+ = { }na d nS n 0d > { }nS2 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为 ，则该几何体体积为 （A） （B） （C） （D） 8.双曲线 的方程 ，左右焦点分别为 ， 为 右支上的一点， ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 9. 已知函数 ， ，若对任意的实数 ，总存在实数 使得 成立，则 的取值范围是 （A） 　　 （B） （C） （D） 　 1 1 6 2 6 3 6 1 2 C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F P C 1 2 0PF PF⋅ =  O a 1PF 5 3 2 π( ) sin(2 )3f x x= − 2( ) 2g x x= − 1x 2x 1 2( ) ( )f x g x= 2x [ ]1,1− 3, 3 −  [ 3, 1] [1, 3]− −  ( , 1] [1, )−∞ − +∞ 俯视图 侧（左）视图正（主）视图3 10. 已知函数 ， ，若对于任意实数 ， 与 的值至少有一个为正数，则实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）复数 =_________ 答案： （12）已知 ， ，则 . 答案： （13）在 中,若 ,则 . 答案： （14） 为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 （单位: ）随时间 （单位: ）的变化关系为 ,则经过 后池水中药品浓度达 到最大. 答案：2 （15）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达 2( ) 2 2(4 ) 1f x mx m x= − − + ( )g x mx= x ( )f x ( )g x m (0,2) (0,8) (2,8) ( ,0)−∞ 1i 2 + 2 ,2 πα π ∈   4sin 5 α = tan 4 πα + =   ______ 1 7 − ABC cos sin 0b C c B+ = C∠ = ______ 3π 4 C mg / L t h 2 20 4 tC t = + ______ h4 式 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求 得 ，类似上述过程，则 __________． 答案. 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若 问题中的 存在，求 的值，若 不存在，请说明理由. 设等差数列 的前 项和为 ， 是等比数列， ， ， ，是否存在 ，使得 且 ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 解析：因为等比数列 中， ， ，所以其公比 从而 ， 若存在 使得 ，则 ， 同理： ，得： .即： ---用求和公式较繁！ 总体分析：等比数列 可求！等差数列 缺一个条件！ 方案 1： 11 11 1 + + + 11 xx + = 1 5 2x += 3 3+ + = 13 1 2 + 1 3 2b b a+ = 4 4a b= 5 25S = − k k k { }na n nS { }nb 1 5 2, 3b a b= = 5 81b = − k 1k kS S +> 1 2k kS S+ +< { }nb 2 3b = 5 81b = − 3,q = − 1( 3)n nb −= − − 1 5 1,b a= = − k 1k kS S +> 1 0ka + < 1 2k kS S+ +< 2 0ka + > 1 2 0 0 k k a a + + < >    { }nb { }na5 P A B C DE x y z 若选①，由 ，得 ， .当 时， ， 存在. 或 ,或 解不等式组. 方案 2：若选②， ， ， 是递减数列，不存在 ， . 方案 3：若选③， ， ， ，当 时， ， . 17. (本小题共 14 分) 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， ， , ， . （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅰ）证明：由已知平面 平面 ， ， 且平面 平面 ， 所以 平面 . 所以 . 又因为 ， ， 所以 . 1 3 2b b a+ = 2 10a = − 3 16na n= − 4k = 5 0a < 6 0a > 3( 1) 16 0 3( 2)-16 0 k k + −  1 1 2 k k k k S S S S + + + >  5 25S = − 5 1a = − 2 11na n= − 4k = 5 0a < 6 0a > P ABCD− PAD ⊥ ABCD E AD PA AD⊥ BE  CD BE AD⊥ 2, 1PA AE BE CD= = = = PAD ⊥ PCD − −C PB E PAD ⊥ ABCD PA AD⊥ PAD  ABCD AD= PA ⊥ ABCD PA CD⊥ BE AD⊥ BE  CD CD AD⊥6 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以平面 平面 . ……4 分 （Ⅱ）作 Ez AD，以 E 为原点，以 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 E－xyz， 则点 ， ， ， , ， . 所以 ， ， . 设平面 的法向量为 n＝(x，y，z)， 所以 即 令 ，解得 . 设平面 的法向量为 m＝(a，b，c)， 所以 即 令 ，解得 . 所以 . 由图可知，二面角 的余弦值为 . …………………………………14 分 （18）（本小题 14 分） 某单位共有员工 45 人，其中男员工 27 人，女员工 18 人．上级部门为了对该单位员工 的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核． CD ⊥ PAD CD ⊂ PCD PAD ⊥ PCD ⊥ , EB ED (0,0 0)，E (0, 2 2)，−P (0, 2 0)，−A (2,0 0)，B (1,2 0)，C (0,2 0)，D (2,2 2,)，= −PB ( 1,2 0)，= −BC (0, 2 2)，= −EP PBC 0, 0. n n PB BC  ⋅ = ⋅ =   0, 2 0. x y z x y + − =  − + = 1=y (2,1,3)n = PBE 0, 0. PB EP  ⋅ = ⋅ =   m m 0, 0. a b c b c + − =  − + = 1=b (0,1,1)m = 2 0 1 1 3 1 2 7cos , 714 2 n m × + × + ×〈 〉 = = ⋅ − −C PB E 2 7 77 （Ⅰ）求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； （Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈．设选出的 3 人中男 员工人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5 名员工的笔试成绩分别为 78，85，89，92，96；结合答辩 情况，他们的考核成绩分别为 95，88，102，106，99．这 5 名员工笔试成绩与考核 成绩的方差分别记为 ， ，试比较 与 的大小．（只需写出结论） 解：（Ⅰ）抽取的 5 人中男员工的人数为 ， 女员工的人数为 ．…………………………………4 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的 5 名员工中，有男员工 3 人，女员工 2 人． 所以，随机变量 的所有可能取值为 ． 根据题意， ， ， ． 随机变量 的分布列是： 数学期望 ． ………………………………10 分 X X 2 1s 2 2s 2 1s 2 2s 5 27 345 × = 5 18 245 × = X 1, 2, 3 1 2 3 2 3 5 3( 1) 10 C CP X C ⋅= = = 2 1 3 2 3 5 6( 2) 10 C CP X C ⋅= = = 3 0 3 2 3 5 1( 3) 10 C CP X C ⋅= = = X 3 6 1 18 91 2 310 10 10 10 5EX = × + × + × = = X 1 2 3 P 3 10 6 10 1 108 （Ⅲ） ． ……………………………………………………………14 分 19．（本小题满分 15 分） 已知函数 ( ), . （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，若函数 在区间 内存在唯一的极值点，求 的值. 解：（Ⅰ）由已知得 ， . （ⅰ）当 时， 恒成立，则函数 在 为增函数； （ⅱ）当 时，由 ，得 ； 由 ，得 ； 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . ……4 分 （Ⅱ）因为 ， 则 . 由（Ⅰ）可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 又因为 ， ， 所以 在 上有且只有一个零点 . 又在 上 ， 在 上单调递减； 2 2 1 2s s= ( ) ln 1f x x ax= − − Ra∈ 21( ) ( ) 22g x xf x x x= + + ( )f x 1a = ( )g x ( , 1)( )m m m+ ∈Z m 0x > 1 1( ) axf x ax x −′ = − = 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a > ( ) 0f x′ > 10 x a < < ( ) 0f x′ < 1x a > ( )f x 1(0, )a 1( , )a +∞ 21( ) ( ) 22g x xf x x x= + + 21(ln 1) 22x x x x x= − − + + 21ln 2x x x x= − + ( ) ln 1 1g x x x′ = + − + ln 2 ( ) 3x x f x= − + = + ( )g x′ (0,1) (1, )+∞ 2 2 1 1( ) 2 2e eg′ = − − + 2 1 0e = − < (1) 1 0g′ = > ( )g x′ (0,1) 1x 1(0, )x ( ) 0g x′ < ( )g x 1(0, )x9 在 上 ， 在 上单调递增. 所以 为极值点，此时 . 又 ， ， 所以 在 上有且只有一个零点 . 又在 上 ， 在 上单调递增； 在 上 ， 在 上单调递减. 所以 为极值点，此时 . 综上所述， 或 . ……………………………………………………15 分 20．（本小题满分 14 分） 已知直线 与椭圆 相交于 , 两点, 是椭圆 上一点. （Ⅰ）当 时,求 面积的最大值; （Ⅱ）设直线 和 与 轴分别相交于点 , , 为原点.证明: 为定值. 解:（Ⅰ）将 代入 , 解得 ,所以 . 当 为椭圆 的顶点 时, 到直线 的距离取得最大值 , 所以△ 面积的最大值是 . 1( ,1)x ( ) 0g x′ > ( )g x 1( ,1)x 1x 0m = (3) ln3 1 0g′ = − > (4) 2ln 2 2 0g′ = − < ( )g x′ (3,4) 2x 2(3, )x ( ) 0g x′ > ( )g x 2(3, )x 2( ,4)x ( ) 0g x′ < ( )g x 2( ,4)x 2x 3m = 0m = 3m = :l x t= 2 2 : 14 2 x yC + = A B M C 1t = MAB MA MB x E F O | | | |OE OF⋅ 1x = 2 2 14 2 x y+ = 6 2y = ± | | 6AB = M C ( 2,0)− M 1x = 3 MAB 3 6 210 （Ⅱ）设 两点坐标分别为 , ,从而 . 设 ,则有 , , . 直线 的方程为 , 令 ,得 ,从而 . 直线 的方程为 , 令 ,得 ,从而 . 所以 . 所以 为定值. 21.（本小题满分 14 分） ,A B ( , )A t n ( , )B t n− 2 22 4t n+ = 0 0( , )M x y 2 2 0 02 4x y+ = 0x t≠ 0y n≠ ± MA 0 0 ( )y ny n x tx t −− = −− 0y = 0 0 0 ty nxx y n −= − 0 0 0 ty nxOE y n −= − MB 0 0 ( )y ny n x tx t ++ = −− 0y = 0 0 0 ty nxx y n += + 0 0 0 ty nxOF y n += + 0 0 0 0 0 0 = ty nx ty nxOE OF y n y n − +⋅ ⋅− + 2 2 2 2 0 0 2 2 0 = t y n x y n − − 2 2 2 2 0 0 2 2 0 (4 2 ) (4 2 )= n y n y y n − − − − 2 2 0 2 2 0 4 4= y n y n − − = 4 OE OF⋅11 数字 的任意一个排列记作 ,设 为所有这样的排列构成 的集合. 集合 任意整数 ,都有 ;集合 任意整数 ,都有 . （Ⅰ）用列举法表示集合 , ; （Ⅱ）求集合 的元素个数; （Ⅲ解:（Ⅰ） , （Ⅱ）考虑集合 中的元素 . 由已知,对任意整数 ,都有 , 所以 , 所以 . 由 的任意性可知, 是 的单调递增排列, 所以 又因为当 , 时,对任意整数 , 都有 . 所以 ,所以 . 所以集合 的元素个数为 1. 1,2,3, , ( 2)n n ≥ 1 2( , , , )na a a nS 1 2{( , , , ) |n n nA a a a S= ∈ , ,1i j i j n