2020年新课标Ⅱ卷高三文科数学最新信息卷（五）（Word版含解析）

绝密 ★ 启用前 2020 年高三最新信息卷 文 科 数 学（五） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ，若 ，则向量 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地 从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在 第三次停止摸球的概率，利用电脑随机产生 到 之间取整数值的随机数，分别用 ， ， ， 代 表“和”、“谐、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产 生了以下 组随机数： 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说： 丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用，若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论 正确的是（ ） A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 6．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 7．若 ， 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数 ，则下列表述正确的是（ ） A． 在 单调递减 B． 在 单调递增 C． 在 单调递减 D． 在 单调递增 9．抛物线 的焦点 是双曲线 的一个焦点，过 且倾斜角为 的 直线 交 于 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 10．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若曲线 在点 处的切线过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 11．若 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 12．过双曲线 左焦点 的直线 交 的左支于 ， 两点，直线 （ 是坐标原点）交 的右支于点 ，若 ，且 ，则 的离心率是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．一组样本数据 ， ， ， ， ， ， ， ， 的平均数为 ，中位数为 ，则 2{ | 2 3}A x x x= − ≥ { | 0 4}B x x= < < A B = ( 1,4)− (0,3] [3,4) (3,4) z (1 i) 1 2iz− = + i | |z = 1 5 2 10 2 3 (3, 4)= −a | | 2=b 5⋅ = −a b a b π 6 π 4 π 3 2π 3 1 4 1 2 3 4 18 343 432 341 342 234 142 243 331112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 1 6 2 9 5 18 1 9 1 2 log 3a = 0.21( )3b = 1 32c = a b c> > c b a> > c a b> > b a c> > l m m α l m⊥ l α∥ 2( ) cos 3sin cos 1f x x x x= + − ( )f x π π( , )3 6 − − ( )f x π π( , )6 3 ( )f x π( ,0)6 − ( )f x π(0, )6 2: ( 0)C y ax a= > F 2 22 2 1y x− = F 60° l C A B | |AB = 4 3 23 + 4 3 2+ 16 3 16 ( )f x R ( ,0]x∈ −∞ 2( ) 2f x x ax= + ( )y f x= (1, (1))f (2,0) a = 3 4 − 1 2 3 4 π 4sin( 2 )2 5 α+ = − π( ,π)2 α ∈ πtan( )4 α + 2− 1 2 − 2 1 2 2 2 2 2: 1( 0, 0)x y a ba b Ω − = > > F l Ω A B AO O Ω D DF AB⊥ | | | |BF DF= Ω 5 2 2 5 10 2 10 23 12 5 9 a 21 b 22 16 21 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ． 14．实数满足 ，则 的最小值是 ． 15 ． 已 知 的 三 个 内 角 的 对 应 边 分 别 为 ， 且 ， 则 使 得 成立的实数 的取值范围是 ． 16．体积为 的三棱锥 中， ， ， ， 则该三棱锥外接球的表面积为 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ． （1）求数列的通项公式 ； （2）记 ， 为 前 项和，求使 成立的 的最小值． 18．（12 分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性 举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动． （1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性 会员和女性会员各 人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示： 感兴趣 无所谓 合计 男性 女性 合计 根据以上数据能否有 的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关? （参考公式 ，其中 ） （2）在感兴趣的会员中随机抽取 人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他 们对此次健身促销活动满意度的分数（满分 分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意” （分数不低于 分）、“满意”（分数不低于平均分且低于 分）、“基本满意”（分数低于平均分） 三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一 人是“很满意”会员的概率． a b− = 2 0 4 0 4 0 x y x x y − + ≥  − ≤  + − ≥ 2z x y= − ABC△ , ,A B C , ,a b c 23 12ABCS a=△ 2 2sin sin sin sinB C m B C+ = m 2 15 3 A BCD− 3BC AC BD AD= = = = 2 5CD = 2 2AB < { }na n nS 1 1( 2, )n nS S n n−= + ≥ ∈N 1 1a = na 1 1 n n n b a a + = ⋅ nT { }nb n 2 nT n ≥ n 50 26 24 50 30 20 50 56 44 100 95% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2( )P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10 10 9.5 9.519．（12 分）如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，平面 平面 ， ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求三棱锥 和三棱锥 的体积． 20．（12 分）已知椭圆 ，左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，且 ， 是等边三角形，过点 的直线与椭圆 在 轴右侧的部分交于 ， 两点， 为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若 ，求直线 的方程． 21．（12 分）已知函数 ， ． （1）若 ，求函数 的极值； （2）若在 上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围． BACDEF CDEF AB CD∥ ADF ⊥ CDEF AD AF= AC DF⊥ 2FA FC FD= = = 1AB = A CDF− E BDF− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1A 2A 1B 2B 1(0,1)B 1 1 2A B B△ (1,0) C y M N O 2 21| | 5MN = MN ( ) lnf x x a x= − 1( ) ( )ag x ax += − ∈R 1a = ( )f x [1, ]e 0x 0 0( ) ( )f x g x< a请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），其中 ，在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ． （1）求 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）若 与 相交于点 ， 两点，点 ，求 ． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 设函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若 ， 恒成立，求 的取值范围． xOy 1 3 cos: 1 sin x tC y t α α = +  = + t [0,π)α ∈ O x 2 : 4sinC ρ θ= 1C 2C 1C 2C A B (3,1)P | | | |PA PB⋅ ( ) | 2 1| | 1|f x x x= + + − ( ) 2f x ≥ x∈R 7( ) 4f x ax≥ + a绝密 ★ 启用前 2020 年高三最新信息卷 文科数学（五）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】由 变形，得 ，解得 或 ， ∴ 或 ， 又∵ ，∴ ． 2．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ． 3．【答案】D 【解析】由题可知： ，所以向量 与 的夹角为 ． 4．【答案】B 【解析】随机模拟产生了以下 组随机数： 其中三次就停止摸球的随机数有 ， ， ， ，共 个， 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为 ． 5．【答案】C 【解析】若甲被录用了，则甲的说法错误，乙、丙的说法正确，满足题意； 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意； 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得，甲被录用了． 6．【答案】B 【解析】因为 ， ， ， 所以 ． 7．【答案】B 【解析】若 ，因为 垂直于平面 ，则 或 ； 若 ，又 垂直于平面 ，则 ， 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件． 8．【答案】D 【解析】由已知， ， 当 时， ， 在此区间单调递增，故 A 错误； 当 时， ， 在此区间单调递减，故 B 错误； 当 时， ， 在此区间单调递增，故 C 错误； 当 时， ， 在此区间单调递增，故 D 正确． 9．【答案】D 【解析】由抛物线 可知焦点 ， 由双曲线 的上焦点坐标为 ， 且抛物线的焦点 是双曲线 的一个焦点， 可得 ，得 ，得抛物线方程为 ， 由题意得直线 的方程为 ，设 ， ， 联立 消 化简得 ， 则有 ， ， 所以弦长 ． 10．【答案】D 【解析】设 ，则 ， 当 时， ，所以 ， 又 ，所以 ， 即 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 ，解得 ． 2 2 3x x− ≥ ( 1)( 3) 0x x+ − ≥ 3x ≥ 1x ≤ − { | 3A x x= ≥ 1}x ≤ − { | 0 4}B x x= < < A B = [3,4) 1 2i 1 3 i1 i 2 2z += = − +− 2 21 3 10| | ( ) ( )2 2 2z = − + = 5 1cos = =| || | 10 2 θ ⋅ −= −a b a b a b 2π 3 18 343 432 341 342 234 142 243 331112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 142 112 241 142 4 4 2 18 9p = = 1 1 2 2 log 3 log 1 0a = < = 0.2 01 10 ( ) ( ) 13 3b< = < = 1 032 2 1c = > = c b a> > l m⊥ m α l α∥ l α⊂ l α∥ m α l m⊥ l m⊥ l α∥ 1 cos2 3 π 1( ) sin 2 1 sin(2 )2 2 6 2 xf x x x += + − = + − π π( , )3 6x∈ − − π π π2 ( , )6 2 6x + ∈ − − ( )f x π π( , )6 3x∈ π π 5π2 ( , )6 2 6x + ∈ ( )f x π( ,0)6x∈ − π π π2 ( , )6 6 6x + ∈ − ( )f x π(0, )6x∈ π π π2 ( , )6 6 2x + ∈ ( )f x 2: ( 0)C y ax a= > 1(0, )4F a 2 22 2 1y x− = (0,1) 1(0, )4F a 2 22 2 1y x− = 1 14a = 1 4a = 21 4y x= l 3 1y x= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 21 4 3 1 y x y x  =  = + y 2 4 3 4 0x x− − = 1 2 4 3x x+ = 1 2 4x x = − 2 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 1 ( 3) (4 3) 4 ( 4) 16AB k x x x x= + + − = + − × − = 0x ≥ 0x− ≤ ( ,0]x∈ −∞ 2( ) 2f x x ax= + 2( ) 2f x x ax− = − ( ) ( )f x f x− = − 2( ) 2f x x ax− = − 2( ) 2f x x ax= − + (1) 1 2f a= − + ( ) 2 2f x x a′ = − + (1) 2 2f a′ = − + 1 2 0 2 21 2 ak a − + −= = − +− 3 4a =11．【答案】B 【解析】∵ ，所以 ， ∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． 12．【答案】D 【解析】如图， 设双曲线的右焦点为 ，连接 并延长交右支于 ，连接 ， 因为 ， ，故四边形 为平行四边形， 又 ，故平行四边形 为矩形，故 ， 又双曲线为中心对称图形，故 ， 设 ，则 ，故 ，故 ， 因为 为直角三角形，故 ，解得 ， 在 中，有 ，所以 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】∵数据的平均数为 ， ∴ ，∴ ， ∵ ，且数据的中位数为 ， ∴ ， ，∴ ，∴ ． 14．【答案】 【解析】如图，画出可行域， 令 ，作出初始目标函数 ， 由 知，当直线 在 轴上的截距最大时， 取得最小值， 由图像可知，当直线过点 时，目标函数取得最小值， 联立 ，解得 ， ，即 ，即 ． 15．【答案】 【解析】由三角形的面积公式可得 ，即 ， 由余弦定理可得 ，∴ ， ∴ ， ∵ ，由正弦定理可得 ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，当且仅当 时取等号， ∴ ，∴ ， 综上所述 的取值范围为 ． 16．【答案】 【解析】取 的中点 ，连接 ， ， 由 ， 设 ，∴ ， 取 的中点 ，连接 ，则 ， ∴ ， π 4sin( 2 )2 5 α+ = − 4cos2 5 α = − π( ,π)2 α ∈ 1 cos2 10cos 2 10 αα += − = − 3 10sin 10 α = tan 3α = − π tan 1 1tan( )4 1 tan 2 αα α ++ = = −− 2F 2DF C FC 2FO OF= AO OD= 2FAF D DF AB⊥ 2FAF D 2FD DF⊥ 2F C BF= 2DF x= 2DF x a= + 2 2F C x a= + 4FC x a= + FDC△ 2 2 2( 4 ) (2 2 ) ( 2 )x a x a x a+ = + + + x a= 2FDFRt△ 2 2 24 9c a a= + 5 10 2 2 ce a = = = 0 16 10 23 12 5 9 21 22 16 9 144a b+ + + + + + + + = × = 42a b+ = 5 9 10 12 21 22 23< < < < < < 21 21a ≥ 21b ≥ 21a b= = 0a b− = 8− 0z = 1 2y x= 1 1 2 2y x z= − 1 1 2 2y x z= − y 2z x y= − C 2 0 4 x y x − + =  = 4x = 6y = (4,6)C min 4 2 6 8z = − × = − [2,4] 21 3sin2 12ABCS bc A a= =△ 2 2 3 sina bc A= 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 22 3 sin 2 cosbc A b c bc A= + − 2 2 π2 ( 3sin cos ) 4 sin( )6b c bc A A bc A+ = + = + 2 2sin sin sin sinB C m B C+ = 2 2b c mbc+ = π4 sin( )6bc A mbc+ = π4sin( )6m A= + 0 πA< < π π 7π 6 6 6A< + < 1 πsin( ) 12 6A− < + ≤ 2 4m− < ≤ 2 2 2b c bc+ ≥ b c= 2mbc bc≥ 2m ≥ m [2,4] 61π3 AB E CE DE 3BC AC BD AD= = = = AE BE x= = 2 2 23 9CE DE x x= = − = − CD F EF 2 22 29 5 4EF x x= − − = − 1 1 1 2 1523 3 3 3A BCD CDE CDE CDEV S AE S BE S x− = ⋅ + ⋅ = ⋅ =△ △ △即 ， 解得 或 ， 又 ，∴ ，即 ，∴ ， 利用对称性可知外接球的球心 在 上或 的延长线上， 若球心 在 上，设 ， ∴ ，即 ，此时 无解， 即球心 在 的延长线上，∴ ，解得 ， 即球的半径 ， ∴三棱锥外接球的表面积为 ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由已知 ， ∴数列 为等差数列，且 ， ， ∴ ，即 ， 当 时， ， 又 也满足上式， ∴ ． （2）由（1）知， ， ∴ ， 由 ，有 ，有 ，所以 ， ∴ 的最小值为 ． 18．【答案】（1）没有 的把握认为；（2） ． 【解析】（1）由列联表可得： ， 所以没有 的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关． （2）由茎叶图可知，这 个数据的平均数为： ， 依题意这 人中“满意”的有 人，记为 ；“很满意”的有 人，记为 ， 从这 人中任取 人，所有的基本事件有 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个基本事件， 记 为从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人至少有一人很满意， 则 中包含的基本事件有 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 共 个基本事件， 所以 ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） ， ． 【解析】（1）证明：如图，连接 ，与 交于点 ，则 为 的中点， 连接 ， 由四边形 是菱形，可得 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ． （2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 所以 平面 ，即 为三棱锥 的高， 由 ，四边形 是菱形，且 ， 可得 与 都是边长为 的等边三角形，所以 ， 因为 的面积 ， 1 1 2 1523 2 3CD EF x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 21 1 2 152 5 4 23 2 3x x⇒ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = 3x = 1x = 2 2AB < 1x = 2AB = 3EF = O EF EF O EF OF a= 2 2 2OD OE AE= + 2 2 2( 5) 1 ( 3 )a a+ = + − a O EF 2 2 2( 5) 1 ( 3 )a a+ = + + 3 6a = 2 615 12R a= + = 2 614π π3S R= = 2 1na n= − 5 1 1n nS S −− = { }nS 2 1 1S a− = 1 1a = nS n= 2 nS n= 2n ≥ 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n−= − = − − = − 1 1a = 2 1na n= − 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n = = −− + − + 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n = − + − + + − = − =− + + + 2 nT n ≥ 2 4 2n n≥ + 2( 2) 6n − ≥ 5n ≥ n 5 95% 3 5 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2100 (26 20 30 24) 0.649 3.84150 50 56 44 × × − ×= ≈ 2 0x > 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k −= + | | 1k > 2 3k = 2 6 13k = − MN 3( 1)y x= ± − 2 1( , 2) ( , )1 e e +−∞ − +∞− ( )f x (0, )+∞ 1a = ( ) lnf x x x= − 1( ) xf x x −′ = ( )f x (0,1) (1, )+∞ ( )f x 1x = 1 1( ) ( ) ( ) lnah x f x g x x a xx += − = + − 0 [1, ]x e∃ ∈ 0( ) 0h x < [1, ]x e∈ min ( ) 0h x < 2 2 1 ( 1)[ ( 1)]( ) 1 a a x x ah x x x x + + − +′ = − − = 1 a e+ ≥ 1a e≥ − ( )h x [1, ]e min 1( ) ( ) + ah x h e e ae += = − min ( ) 0h x < 2 1 1 ea e +> − 2 1 11 e ee + > −− 2 1 1 ea e +> − 1 1a+ ≤ 0a ≤ ( )h x [1, ]e min ( ) (1) 1 1h x h a= = + + min ( ) 0h x < 2a < − 1 1 a e< + < 0 1a e< < − ( )h x [1,1 ]a+ ( )h x [1 , ]a e+ min ( ) (1 ) 2 ln( 1)h x h a a a a= + = + − + 0 ln(1 ) 1a< + < 0 ln( 1)a a a< + < ( 1) 2h a + > ( ) 0h x < 2 1( , 2) ( , )1 ea e +∈ −∞ − +∞− 6 1 3 cos: 1 sin x tC y t α α = +  = + t 3 cos 1 sin x t y t α α − =  − = t 1 sin tan3 cos y x α αα − = =− 1C πtan 3tan 1 0( )2x yα α α− − + = ≠ π3( )2x α= = 2 : 4sinC ρ θ= ρ 2 4 sinρ ρ θ=又因为 ， ， 代入可得 ，即 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 ． （2）将曲线 代入 ， 得 ， 整理得 ， 设 ， 两点对应的参数为 ， ， 则 ，∴ ． 23．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意 ， 不等式 等价于 或 或 ， 所以 或 或 ， 故原不等式的解集为 ． （2）做出 的图像如图所示： 且 ， ，直线 ，过定点 ， 因为 ， ，所以 ． cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 4x y y+ = 2 2( 2) 4x y+ − = 2C 2 2( 2) 4x y+ − = 1 3 cos: 1 sin x tC y t α α = +  = + 2 2 2 : ( 2) 4C x y+ − = 2 2(3 cos ) (1 sin 2) 4t tα α+ + + − = 2 (6cos 2sin ) 6 0t tα α+ − + = A B 1t 2t 1 2 1 2| | | | | | | | | | 6PA PB t t t t⋅ = ⋅ = = | | | | 6PA PB⋅ = 2( , ] [0, )3 −∞ − +∞ 1 5 2 4a≤ ≤ 13 , 2 1( ) 2, 12 3 , 1 x x f x x x x x − < − = + − ≤