绝密 ★ 启用前
2020 年高三最新信息卷
理 科 数 学（五）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自
己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知全集为实数集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点为 ，将向量 绕原点 按顺时针旋转 ，所得向量对应
的复数是（ ）
A． B． C． D．
3 ． 如 图 ， 四 边 形 是 水 平 放 置 的 一 个 平 面 图 形 的 直 观 图 ， 已 知
，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上任意一点 ，且 垂直于直线 ，交
于点 ，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
7．黄金三角形有两种，一种是顶角为 的等腰三角形，另一种是顶角为 的等腰三角形，例如，
正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为 的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形
中， ，根据这些信息，可得 （ ）
A． B． C． D．
8 ． 根 据 散 点 图 ， 对 两 个 具 有 非 线 性 关 系 的 相 关 变 量 进 行 回 归 分 析 ， 设 ，
，利用最小二乘法，得到线性回归方程为 ，则变量 的最小
R { }2 20 0A x x x= − − > { }2log 2B x x= < ( )A B =R
( 4,4)− (0,4) (0,5) [0,4)
2iz = Z OZ O π
3
3 i+ 1 3i+ 1 3i− 3 i−
O A B C′ ′ ′ ′
2 1 12 2C B O B O A′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
2 2 2 3 3 2
a b 2⋅ =a b (1,1)=b a b
1 2 3 2
2
3πsin 4
4log ( ), 2
( )
2 , 2x
x xxf x
x
− >=
≤
2 8x y= F A AB 1y = − 1y = −
B AB AF⋅
9
4
− 2− 1
4
− 1
36° 108°
108°
ABC 5 1
2
AB
AC
−= cos144° =
1 2 5
4
− 3 5
8
+− 1 5
4
+− 4 5
8
+−
,x y 2logu y=
3 21 2 3 ( )3v x x x x= − + ∈N 3 2u v= + y
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 估计值为（ ）
A． B． C． D．
9．双曲线 的右焦点为 ，点 的坐标为 ，点 为双曲线左
支上的动点，且 的周长不小于 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ， ，当 时，则 最
小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 满足 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D． 或
12．一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，点 是棱 的中点， 分别是线
段 （不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．在点 的运动过程中，存在 B．在点 的运动过程中，不存在
C．三棱锥 的体积为定值 D．三棱锥 的体积不为定值
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知 ，则 ．
14．函数 在 处的切线斜率为 ．
15．已知函数 ，则 ．
16．记 表示数列 的前 项的积，例如 ，
若递增数列 的满足 ，则 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在 中，角 所对应的边分别是 ，若满足
．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
18．（12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是 中点， 是
边长为 的等边三角形．
（1）证明： ；
2 2 2 2 4
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1(2 6,0)F P (0,1) Q
1PQF△ 14
6[ , )2
+∞ ( 6, )+∞ (1, 6) (1, 6]
3 2
1 1 1 1
1 2 4 1 03 x x x y+ − − + = 2 2 3 0x y− − = 1 0x > 2 2
1 2 1 2( ) ( )x x y y− + −
2 2
3
5 2
6
8
9
25
18
π( ) 2cos( )( 0,0 )3f x xω ϕ ω ϕ= + > < < π π( ) ( )2 2f x f x+ = − π( ) 224f − =
π( )24f =
1 3 3− 1 3
H DN ,P Q
,AC BN
P HP BM∥ Q FQ AH⊥
H QAC− B PEM−
6 2 6
0 1 2 6( 2)x a a x a x a x− = + + + + 3a =
2( ) ( 1)lnf x x x= + 1x =
1 3 , 0( )
3 , 0
x
x
xf x
x−
− ≥= > 1
2e = 1 2,F F 2F
21
7（1）求椭圆 的方程；
（2）过 的直线 交椭圆 于 两点， 为坐标原点，以 ， 为邻边作平行四边形
，是否存在直线 ，使得点 落在椭圆 上，若存在求出直线 的方程；若不存在说明理
由．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
C
1F l C ,P Q O OP OQ
OPDQ l D C l
e 1( ) 1
x
f x axx
−= − −
0a = ( )f x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x > a
l 2 cos
2 sin
x t
y t
α
α
= +
= − + t O x
C 4cosρ θ=（1）若点 在直线 上，且 ，求直线 的斜率；
（2）若 ，求曲线 上的点到直线 的距离的最大值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知 ， ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
( , )P x y l 2 4 52
x y
x y
− + = −+ l
π
6
α = C l
( ) 3f x x ax a= + − + a∈R
1a = ( ) 1f x ≥
( ) 5f x x≥ − [ 2,4]x∀ ∈ − a绝密 ★ 启用前
2020 年高三最新信息卷
理科数学（五）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由题意知， 或 ， ，∴ ．
2．【答案】C
【解析】由题意知， 的坐标为 ，则 ，
∵向量 绕原点 按顺时针旋转 ，∴旋转后得到的向量为 ，
故旋转后所得向量对应的复数是 ．
3．【答案】D
【解析】∵ ，
∴四边形 为直角梯形，且 ， ， ，
可得四边形 直观图的面积 ，
∵直观图面积 与原平面图形的面积 关系为 ，∴ ．
4．【答案】B
【解析】∵ ，可得 ，∴ 在 方向上的投影为 ．
5．【答案】A
【解析】当 时，函数 是增函数，排除 B，D；
当 时， ，此时没有取到最大值，排除 C，故选 A．
6．【答案】A
【解析】设点 ，则 ，
∵ 为抛物线 的焦点，∴ ，
∴ ， ，
则 ，即 的最小值 ．
7．【答案】C
【解析】由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
则 ．
8．【答案】D
【解析】令 ，则 ，
当 和 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减，
∵ ，且 ，∴ ，则 ，
∵ ， ，∴ ，解得 ，
即变量 的最小估计值为 ．
9．【答案】D
【解析】∵ ，点 的坐标为 ，∴ ，
∵ 的周长不小于 ，∴ ，
∵ 为双曲线右焦点，点 为双曲线左支上的动点，设 为双曲线左焦点，
∴ ，则 ，
当 三点共线时， 取的最小值为 ，
{ 4A x x= < − }5x > { }0 4B x x= < < ( ) (0,4)A B =R
Z (0,2) (0,2)OZ =
OZ O π
3 (1, 3)OM = −
1 3i−
2 1 12 2C B O B O A′ ′ ′ ′ ′ ′= = =
O A B C′ ′ ′ ′ 1O C′ ′ = 2O A′ ′ = 90A O C′ ′ ′∠ = °
O A B C′ ′ ′ ′ (1+2) 1 3= 2 2S
× =直
S直 S原
2= 4S S直 原
4 3 3 222
S = × =原
(1,1)=b 2=b a b 2 2
2
⋅ = =a b
b
2x > 2
4( ) log ( )f x x x
= −
0x = sin0(0) 2 1f = =
( , )A x y ( , 1)B x −
F 2 8x y= (0,2)F
(0, 1 )AB y= − − ( ,2 )AF x y= − −
2 21 9 9( 2)( 1) 2 ( )2 4 4AB AF y y y y y⋅ = − + = − − = − − ≥ − AB AF⋅ 9
4
−
sin 5 1
sin 2
ACB AB
ABC AC
∠ −= =∠
sin36 sin36 sin36 5 1
sin108 sin 72 2sin36 cos36 2
° ° ° −= = =° ° ° °
1 5 1cos36 45 1
+° = =
−
5 1cos144 cos(180 36 ) cos36 4
+° = °− ° = − ° = −
3 21( ) 2 33f x x x x= − + 2( ) 4 3 ( 3)( 1)f x x x x x′ = − + = − −
( ,1)x∈ −∞ (3, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
[1,3]x∈ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
3 21 2 33v x x x= − + x∈N min 0v = min(3 2) 2v + =
2logu y= 3 2u v= + 2 min(log ) 2y = 4y =
y 4
1(2 6,0)F P (0,1) 1 24 1 5PF = + =
1PQF△ 14 1 9PQ QF+ ≥
1F Q 2F
1 2 2QF QF a= + 2 2 9PQ QF a+ + ≥
2, ,P Q F 2PQ QF+ 2 5PF =即有 ，解得 ，
∵ ，∴ ，故离心率 ．
10．【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
当 时， 的最小值可转化为函数 图像上的
点与直线 上的点的距离的最小值的平方，
由 ，可得 ，
与直线 平行的直线斜率为 ，
则令 ，解得 ，可得切点为 ，
所以 到直线 的距离为 ，
即函数 上的点与直线 上的点的距离的最小值为 ，
故 最小值为 ．
11．【答案】D
【解析】∵ ，可得 ，
∴ ， ，可得 ，
即 ， ，
∵ ，
∴ ，可得 ，
又∵ ，∴ 或 ，可得 或 ，
即 或 ，
∴ 或 ，
故 或 ．
12．【答案】C
【解析】∵点 是棱 的中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，则直线 上的任意一点到平面 的距离相等，且为定值，
∵点 是线段 上的动点，∴点 到平面 的距离 为定值，
又∵ 的面积为定值，
∴ （定值），故 C 正确．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】由题意知， ．
14．【答案】
【解析】∵ ，则 ，
∴ ，即函数 在 处的切线斜率为 ．
15．【答案】
【解析】由题意知， ，
∵ ， ， ， ，
5 2 9a+ ≥ 2a ≥
2 6a < 2 2 6a≤ < 2 6 (1, 6]e a
= ∈
3 2
1 1 1 1
1 2 4 1 03 x x x y+ − − + = 3 2
1 1 1 1
1 2 4 13y x x x= + − +
1 0x > 2 2
1 2 1 2( ) ( )x x y y− + − 3 21 2 4 1( 0)3y x x x x= + − + >
3 0x y− − =
3 21 2 4 1( 0)3y x x x x= + − + > 2 4 4( 0)y x x x′ = + − >
3 0x y− − = 1
2 4 4 1( 0)y x x x′ = + − = > 1x = 2(1, )3
−
2(1, )3
− 3 0x y− − =
21 3 2 23
32
d
+ −
= =
3 21 2 4 1( 0)3y x x x x= + − + > 3 0x y− − = 2 2
3
2 2
1 2 1 2( ) ( )x x y y− + − 8
9
π π( ) ( )2 2f x f x+ = − ( π) ( )f x f x+ =
2ππ nT n ω= = × n +∈N 2 ,n nω += ∈N
( ) 2cos(2 )f x nx ϕ= + n +∈N
π π( ) 2cos( ) 26 3
nf ϕ− = − + =
π 2 π, ,12
n k k nϕ +− + = ∈ ∈Z N π 2 π, ,12
n k k nϕ += + ∈ ∈Z N
π0 4
ϕ< < π0, 1, 12k n ϕ= = = π0, 2, 6k n ϕ= = = 2ω = 4ω =
π( ) 2cos(2 )12f x x= + π( ) 2cos(4 )6f x x= +
π π π π( ) 2cos(2 ) 2cos 124 24 12 6f = × + = = π π π π( ) 2cos(4 ) 2cos 324 24 6 3f = × + = =
π( ) 124f = 3
H DN OH BN∥
OH ⊂ ACH BN ⊄ ACH
BN∥ ACH BN ACH
Q BN Q ACH d
ACH△
1
3H QAC Q ACH ACHV V d S− −= = ⋅ △
160
3 3
3 6C ( 2) 160a = − = −
4
2( ) ( 1)lnf x x x= + 2 2( 1)( ) ln xf x x x
+′ = +
(1) 4f ′ = ( )f x 1x = 4
2
0(0) 1 3 0f = − =
ln 4 0> ln 2 0> 1ln ln 4 04
= − < 1ln ln 2 02
= − = = =
×
n mn m n m 1 1B C D B− − π
6
1
27
50( ) 9E ξ =【解析】（1）由题意知，每道题 组得 分的概率为 ，
故答完了 题时答活动结束， 组获奖的概率为 ．
（2）由 组学生抢到答题权的概率为 ，可知 学生抢到答题权的概率为 ，
由题意知，每道题的答题结果有一下三种：
① 组得 分， 组得 分，此时的概率为 ；
② 组得 分， 组得 分，此时的概率为 ；
③ 组得 分， 组得 分，此时的概率为 ，
根据题意知， 所有的可能取值为 ．
， ，
，
，
故 的分布列为
．
20．【答案】（1） ；（2）存在，直线 ．
【解析】（1）由离心率 ，可知 ， ，
则过椭圆上顶点和右顶点的直线方程为 ，
由题意知 ，解得 ，
∴ ， ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ， ， ，
则 ， ，
由 为平行四边形，得 ，故 ，
又 ， ，
可得 ，即 ，
若点 落在椭圆 上，则 ，代入得 ，无解；
当直线斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时存在点 在椭圆 上，
故存在直线 ，使得点 落在在椭圆 上．
21．【答案】（1） 在 和 上单调递增；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
A 1 1 2 1
2 3 3
× =
3 A 31 1( )3 27P = =
A 1
2 B 1 11 2 2
− =
A 1 B 0 1 2 1
2 3 3
× =
A 0 B 1 1 2 1
2 3 3
× =
A 0 B 0 1 1 11 3 3 3
− − =
ξ 3,4,5,6
31 2( 3) 2 ( )3 27P ξ = = × = 1 2
3
1 1 1 2( 4) 2 C ( ) ( )3 3 3 27P ξ = = × × × =
2 2 2 1 2 2
4 3
1 1 1 1 1 1 2( 5) 2 [C ( ) ( ) C ( ) ( ) ]3 3 3 3 3 3 27P ξ = = × × × + × × =
2 2 2 7( 6) 1 27 27 27 9P ξ = = − − − =
ξ
ξ 3 4 5 6
P 2
27
2
27
2
27
7
9
2 2 2 7 50( ) 3 4 5 627 27 27 9 9E ξ = × + × + × + × =
2 2
14 3
x y+ = : 1l x = −
1
2
ce a
= = 2a c= 3b c=
3 2 2 3 0x y c+ − =
2 2
| 3 2 3 | 21
7( 3) 2
c c− =
+
1c =
2a = 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
PQ l ( 1)y k x= +
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
0 0( , )D x y 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
2
1 2 2
8
3 4
kx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x k
−= +
OPDQ OD OP OQ= + 0 1 2
0 1 2
x x x
y y y
= +
= +
1 1( 1)y k x= + 2 2( 1)y k x= +
2
0 2
0 2
8
3 4
6
3 4
kx k
ky k
−= +
= +
2
2 2
8 6( , )3 4 3 4
k kD k k
−
+ +
D C
2 2
0 0 14 3
x y+ =
4 2
2 2
16 12 1(3 4 )
k k
k
+ =+
l 1x = − ( 2,0)D − C
: 1l x = − ( 2,0)D − C
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1( , ]2
−∞
0a = e 1( ) 1( 0)
x
f x xx
−= − ≠ 2
e ( 1) 1( )
x xf x x
− +′ =
( ) e ( 1) 1xg x x= − + ( ) exg x x′ =
( ,0)x∈ −∞ ( ) 0g x′ < ( )g x当 时， ，函数 单调递增，
可得 ，则 恒成立，
故函数 在 和 上单调递增．
（2）由对任意的 ， ，可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时，则 ，函数 在 上单调递增，
∴ ，函数 在 上单调递增，
∴ ，即对任意的 ， ；
当 时，由 ，解得 ，
若 时， ，函数 单调递减；
若 时， ，函数 单调递增，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 在 上为减函数，∴ ，即 ，
∴ ，当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
∵ ，∴当 时， ，
∴当 时，对任意的 ， 不恒成立，
故实数 的取值范围 ．
22．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）设点 ，
则 ，
整理可得 ，即 ，
故直线 的斜率为 ．
（2）∵ ，∴直线 的参数方程为 （ 为参数），
可得直线 的直角坐标方程为 ，
∵曲线 的极坐标方程为 ，
∴曲线 的的普通方程为 ，
即曲线 表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆心 到直线 的距离为 ，
则曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ，
当 时， 不成立，即 ；
当 时， ，解得 ，即 ；
当 时， 恒成立，即 ，
综上，不等式 的解集为 ．
（2）当 时， ，
由 可得 ，
(0, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) (0) 0g x g≥ =
2
e ( 1) 1( ) 0
x xf x x
− +′ = >
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x > 2e 1 0x ax x− − − >
2( ) e 1( 0)xh x ax x x= − − − > ( ) e 2 1xh x ax′ = − −
( ) e 2 1( 0)xx ax xϕ = − − > ( ) e 2xx aϕ′ = −
1
2a ≤ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ (0, )+∞
( ) (0) 0h x h′ ′> = ( )h x (0, )+∞
( ) (0) 0h x h> = (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x >
1
2a > ( ) e 2 0xx aϕ′ = − = ln 2x a=
0 ln 2x a< < ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ
ln 2x a> ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
( ) (ln 2 ) 2 1 2 ln 2h x h a a a a′ ′> = − −
1( ) 2 1 2 ln 2 ( )2t x x x x x= − − > ( ) 2ln 2 0t x x′ = − <
( )t x 1( , )2
+∞ 1( ) ( ) 02t x t< = (ln 2 ) 0h a′ <
0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0(0, )x x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x
0( , )x x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x
(0) 0h = 0(0, )x x∈ ( ) 0h x <
1
2a > (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x >
a 1( , ]2
−∞
7
9
− 3 2+
(2 cos , 2 sin )P t tα α+ − +
2 4 4 2 cos 2 sin 4 52 2 cos 4 2 sin
x y t t
x y t t
α α
α α
− + + + − += = −+ + − +
9sin 7cosα α= − 7tan 9
α = −
l 7
9
−
π
6
α = l
32 2
12 2
x t
y t
= +
= − +
t
l 3 2 2 3 0x y− − − =
C 4cosρ θ=
C 2 2( 2) 4x y− + =
C (2,0)C 2
C l
2 2 2 3
32d
− −
= =
C l 3 2+
3
2x x
≥ −
8 8[ , ]3 3
−
1a = ( ) 3 1f x x x= + − +
3x < − ( ) 2 1f x = − ≥ x∈∅
3 1x− ≤ ≤ − ( ) 2 4 1f x x= + ≥ 3
2x ≥ − 3 12 x− ≤ ≤ −
1x > − ( ) 2 1f x = ≥ 1x > −
( ) 1f x ≥ 3
2x x
≥ −
[ 2,4]x∈ − ( ) 3f x x ax a= + − +
( ) 5f x x≥ − 8ax a+ ≤∴ 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
∴ ，解得 ，
故 的取值范围 ．
2( ) 64ax a+ ≤ [ 2,4]x∈ −
2 2 2 22 64 0a x a x a+ + − ≤ [ 2,4]x∈ −
2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) 2 ( 2) 64 0
( 4) 2 ( 4) 64 0
a a a
a a a
× − + × − + − ≤ × − + × − + − ≤
8 8
3 3a− ≤ ≤
a 8 8[ , ]3 3
−
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