2020年高三数学最新信息卷试题（六）（Word版含解析）

绝密 ★ 启用前 （新高考）2020 年高三最新信息卷 数 学（六） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位，复数 的共轭复数虚部为（ ） A． B．3 C．4 D． 3．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ） A． B． C． D． 4．已知 的展开式的各项系数和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥 中， 平面 ，且 ， ， ， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知 为函数 的图像上任意一点，过 作直线 ， 分别与圆 相切于 ， 两点，则原点 到直线 的距离最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知命题 ， 或 ，则 为（ ） A． ， 且 B． ， 或 C． ， 或 D． ， 且 8．已知函数 满足 ，当 时，函数 单调递减，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9． 即空气质量指数， 越小，表明空气质量越好，当 不大于 时称空气质量为“优 良”，如图是某市 月 日到 日 的统计数据，则下列叙述正确的是（ ） A．这 天的 的中位数是 B． 天中超过 天空气质量为“优良” C．从 月 日到 日，空气质量越来越好 D．这 天的 的平均值约为 10．设 ， 是抛物线 上的两个不同的点， 是坐标原点，若直线 与 的斜率之积 为 ，则下列说法不正确的是（ ） A． B．以 为直径的圆的面积大于 C．直线 过抛物线 的焦点 D． 到直线 的距离不大于 11．如图，在正方体 中，点 在线段 上运动，则下列判断中正确的是（ ） 2{ | 0}A x x x= + ≤ { | ln(2 1)}B x y x= = + A B = 1( ,0]2 − 1[ ,0]2 − 1[0, )2 1[ 1, ]2 − − i 2(1 2i)− 4i 4− (3,2)=a (1, 1)= −b ( )λ+ ⊥a b b λ = 1 1 2 1− 1 2 − ( 1)nx + 32 4x 20 15 10 5 S ABC− SA ⊥ ABC π 6ACB∠ = 2 2 3AC AB= = 1SA = 13 13π 8 13π 13π 6 13 13π 6 M 8y x = M MA MB 2 2 1x y+ = A B O AB 1 8 1 4 2 2 2 4 : 0p x∀ ≥ 1xe ≥ sin 1x ≤ p¬ 0x∃ < 1xe < sin 1x > 0x∃ < 1xe ≥ sin 1x ≤ 0x∃ ≥ 1xe < sin 1x > 0x∃ ≥ 1xe < sin 1x > ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( ,1]x∈ −∞ ( )f x 4 1lo( )g 2a f= 1 3 lo( )g 3b f= 3lo( 9)gc f= a b c a b c< < c a b< < a c b< < c b a< < AQI AQI AQI 100 3 1 12 AQI 12 AQI 90 12 7 3 4 9 12 AQI 110 M N 2y x= O OM ON 1 2 − | | | | 4 2OM ON+ ≥ MN 4π MN 2y x= O MN 2 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1BC 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A．平面 平面 B． 平面 C．异面直线 与 所成角的取值范围是 D．三棱锥 的体积不变 12．已知偶函数 满足 ，则下列命题正确的是（ ） A．函数 是以 为周期的周期函数 B．函数 是以 为周期的周期函数 C．函数 为奇函数 D．函数 为偶函数 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．将三位老师分配到 户贫困家庭实施精准帮扶，若每位老师只去一户，每户家庭最多去 位老 师，则不同的分配方法有 种（用数字作答）． 14．设 为锐角，若 ，则 的值为 ． 15．已知椭圆 的右焦点为 ，其关于直线 的对称点 在椭 圆上，则离心率 ， ． 16 ． 已 知 三 棱 柱 的 侧 面 积 为 ， 平 面 ， ， ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为 ． 四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，（ ），数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 与 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和为 ， 恒成立，求 的范围． 18．（12 分）如图， 是 边 上一点， ， ， ． （1）求 的长； （2）若 ，求 的面积． 1PB D ⊥ 1ACD 1A P∥ 1ACD 1A P 1AD π(0, ]3 1D APC− ( )f x ( ) (2 ) 0f x f x+ − = ( )f x 2 ( )f x 4 ( 1)f x − ( 3)f x − 4 2 α π 4cos( )6 5 α + = πsin(2 )12 α + 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > (1,0)F y bx= Q e = FOQS =△ 1 1 1ABC A B C− 6 4 3+ 1AA ⊥ ABC 3BC = 120BAC∠ = ° { }na n nS 2 2n nS a= − *n∈N { }nb 1a 1b 3b 11b { }na { }nb n n n bc a = { }nc n nT nT m< m D ABC△ BC 2 3AB AC= 3BD = sin CAD∠ = 2sin BAD∠ DC 2AD = ABC△19 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 等 腰 梯 形 ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，平面 底面 ， 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 与平面 的交线为 ，求二面角 的正弦值． 20．（12 分）基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给 人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最 近 个月的市场占有率 进行了统计，结果如下表： （1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合 与月份代码 之间的关系．如果能，请计算出 关于 的线性回归方程，如果不能，请说明理由； （2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本 元/辆的 型车和 元/辆 的 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表： 经测算，平均每辆单车每年能为公司带来 元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设 每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利 润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据： ， ， ， ． 参考公式：相关系数 ， ， ． P ABCD− ABCD AB CD∥ 2 4CD AB= = 2AD = PAB△ PA PB= PAB ⊥ ABCD E PD AE∥ PBC EBC PAD l P l B− − 6 %y y x y x 1000 A 800 B 500 6 1 ( )( ) 35i i i x x y y = − − =∑ 6 2 1 ( ) 17.5i i x x = − =∑ 6 2 1 ( ) 76i i y y = − =∑ 1330 36.5≈ ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x = = − = − −∑ ∑  a y bx= − 21．（12 分）已知点 是离心率为 的椭圆 （ ）上的一点，斜率 为 的直线 交椭圆 于 、 两点，且 、 、 三点不重合． （1）求椭圆 的方程； （2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值； （3） 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ 22．（12 分）已知函数 ， ． （1）若 在 处取得极值，求 的值； （2）求 在区间 上的最小值； （3）在（1）的条件下，若 ，求证：当 ，恒有 ． (1, 2)A 2 2 2 2 2 2: 1y xC a b + = 0a b> > 2 BD C B D A B D C AB AD ABD△ 2( ) lnf x x a x= − 0a > ( )f x 1x = a ( )f x [1, )+∞ 2( ) ( )h x x f x= − 21 x e< < 4 ( ) 4 ( ) h xx h x +< −绝密 ★ 启用前 （新高考）2020 年高三最新信息卷 数学（六）答案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】化简集合 ， ， 可得 ， ，所以 ． 2．【答案】C 【解析】因为 ，所以复数 的共轭复数为 ，因此虚部为 4． 3．【答案】D 【解析】由题意得 ， ∵ ，∴ ，∴ ． 4．【答案】D 【解析】由题意知 的展开式的各项系数和为 ，即 ，解得 ， 则二项式 的展开式中 的项为 ，所以 的系数为 ． 5．【答案】D 【解析】∵ ，∴ ， ∴ 是以 为斜边的直角三角形，其外接圆半径 ， 则三棱锥外接球即为以 为底面，以 为高的三棱柱的外接球， ∴三棱锥外接球的半径 满足 ， 故三棱锥外接球的体积 ． 6．【答案】B 【解析】设 ，则 ， ∴以 为直径的圆的方程为 ，即 ， 又∵ 为圆 与圆 的公共弦， ∴两圆作差可得直线 的方程为 ， ∴点 到直线 的距离 ， 当且仅当 ，即 或 时取等号， ∴原点 到直线 的距离的最大值为 ． 7．【答案】D 【解析】全称命题的否定为特称命题． 8．【答案】B 【解析】根据题意，函数 满足 ， 则函数 关于直线 对称， 又由当 时，函数 单调递减，则函数在 上单调递增， 又由 ， ， ，则有 ． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．【答案】CD 2{ | 0}A x x x= + ≤ { | ln(2 1)}B x y x= = + 1 0{ | }A xx= − ≤ ≤ 1{ | }2B x x= > − 1{ | 0}2A B x x= − < ≤ 2(1 2i) 3 4i− = − − ( )21 2i− 3 4i− + (3 ,2 )λ λ λ+ = + −a b ( )λ+ ⊥a b b ( ) 3 (2 ) 0λ λ λ+ ⋅ = + − − =a b b 1 2 λ = − ( 1)nx + 32 2 32n = 5n = 5( 1)x + 4x 1 4 4 5C 5x x= 4x 5 30ACB∠ = ° 2 2 3AC AB= = ABC△ AC 32 ACr = = ABC△ SA R 2 2 13( )2 2 SAR r= + = 34 13 13π π3 6V R= = 0 0 )( ,M x y 0 0 8x y = OM 2 2 2 2 0 0) ( )2 2 4( x yx yx y +− + − = 2 2 0 0 0x y x x y y+ − − = AB 2 2 0 0 0x y x x y y+ − − = 2 2 1x y+ = AB 0 0 1x x y y+ = O AB 2 2 0 00 0 1 1 1 42 d x yx y = ≤ = + 0 0 0 0 8x y x y =  = 0 0 2 2 2 2 x y  = = 0 0 2 2 2 2 x y  = − = − O AB 1 4 ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( )f x 1x = ( ,1]x∈ −∞ ( )f x [1, )+∞ 4 4 1 1 5log log( 2) ( ) ( ) ( )2 2 2a f f f f= = − = − = 1 3 log 3 1 (3)) )( (b f f f= = − = 3log 9( ) (2)c f f= = c a b< 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ce a b a a b c  = =   + =   = +  2a = 2b = 2c = C 2 2 12 4 x y+ = 1 1( , )D x y 2 2( , )B x y AB AD ABk ADk BD 2y x m= + 2 2 2 2 4 y x m x y  = + + = 2 24 2 2 4 0x mx m+ + − = 28 64 0Δ m= − + > 2 2 2 2m− < < 1 2 2 2x x m+ = − 2 1 2 4 4 mx x −= 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1AD AB y y x m x mk k x x x x − − + − + −+ = + = +− − − − 1 2 1 2 1 2 22 2 [ ]( ) 1 x xm x x x x + −= + − + + 0AD ABk k+ = AB AD 2 2 1 2 6| | 1 ( 2) | | 82BD x x m= + − = − d A : 2BD y x m= + | | 3 md = 2 21 2| | (8 ) 22 4ABDS BD d m m= = − ≤△ 2m = ± 2 ( 2 2,2 2)± ∈ − 2m = ± ABD△ 2 2a = 2( ) lnf x x a x= − (0, )+∞ ( ) 2 af x x x = −′ 2( ) lnf x x a x= − 1x = (1) 0f ′ = 2 0a− = 2a = 2a = 22( ) 2 a x af x x x x = =′ −− (0, )+∞ 0 2a< ≤ ( ) 0f x′ = 2 ax = 0 12 a< ≤ (0, )2 ax∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )2 ax∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x [1, )+∞ (1) 1f = 2a > 12 a >当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以函数 在 处取得最小值 ， 综上，当 时， 在区间 上的最小值为 ； 当 时， 在区间 上的最小值为 ． （3）证明：由 ，得 ， 当 时， ， ， 欲证 ，只需证 ， 即证 ，即 ，设 ， 则 ， 当 时， ，所以 在区间 上单调递增， 所以当 时， ，即 ，故 ， 所以当 时， 恒成立． (1, )2 ax∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )2 ax∈ +∞ ( )f x′ 0> ( )f x ( )f x 2 ax = ( ) ln2 2 2 2 a a a af = − 0 2a< ≤ ( )f x [1, )+∞ 1 2a > ( )f x [1, )+∞ ln2 2 2 a a a− 2( ) ( )h x x f x= − ( ) 2lnh x x= 21 x e< < 0 ln 2x< < 0 ( ) 4h x< < 4 ( ) 4 ( ) h xx h x +< − [4 ( )] 4 ( )x h x h x− < + 4 4( ) 1 xh x x −> + 2 2ln 1 xx x −> + 2 2( ) ln 1 xx x x ϕ −= − + 2 2 2 1 2( 1) (2 2) ( 1) ( 1( )) ( 1) x xx x x x x x ϕ + − −′ = + + −− = 21 x e< < ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ 2(1, )e 21 x e< < ( ) (1) 0xϕ ϕ> = 2 2ln 01 xx x −− >+ 4 ( ) 4 ( ) h xx h x +< − 21 x e< < 4 ( ) 4 ( ) h xx h x +< −