2020届高三选考模拟考试数学试题 含答案详解与评分标准

2020 年高考数学模拟试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．双曲线 的渐近线方程是 A． B． C． D． 3．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是 A． B． 　　　C． D． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 5．已知 是等差数列， ， 为数列 的 前 项和，且 ，则 的最大值为 A． B． 　　　C． D． 6．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，则“ ”是“ 为等腰三角形”的 { }2A x x= < 2{ 3 0}B x x x= − < A B = ( )0,2 ( )0,3 ( )2,3 ( )2,3− 2 2 14 yx − = 5 2y x= ± 5y x= ± 1 2y x= ± 2y x= ± ,x y 0 2 2 0 0 y x y x y ≥  + − ≤  − ≥ | 2 |z x y= − 2 3 2 5 5 2 5 2 4 4 2 12 { }na 1 11a = nS { }na n 5 7S S= nS 66 56 46 36 ABC∆ A B C a b c AC cb B a sinsinsin + += ABC∆ 俯视图 侧视图正视图 3 22 第 4 题图y x-1 1O 第 8 题图 A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知随机变量 满足 ， ，且 ，令随机变量 ，则 A． B． 　C． D． 8．已知函数 的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 9．已知椭圆 ， ， 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆的下顶点，直线 交椭圆于另一点 ，若 ，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 10．如图，三棱锥 的侧棱长都相等，底面 与侧面 都是以 为斜边的等腰直 角三角形， 为线段 的中点， 为直线 上的动点，若平面 与平面 所成锐二面角 的平面角为 ，则 的最大值是 A． B． C． D． ξ ( 0) 1P pξ = = − ( 1)P pξ = = 0 1p< < ( )Eη ξ ξ= − ( ) ( )E Eη ξ< ( ) ( )E Eη ξ> ( ) ( )D Dη ξ< ( ) ( )D Dη ξ> 2 ( ) ( 0)ex ax bx cf x a + += ≠ 0a < 0a c− > 0b c− < 3 2 0a b c− + < 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F A 2AF P 1PF PA= 3 3 1 3 2 2 1 2 V ABC− ABC VAC AC E AC F AB VEF VBC θ cosθ 3 3 2 3 5 3 6 3 EA C V B F 第 10 题 图非选择题部分（共 110 分） 二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分。 11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一．”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上 一层灯数的 2 倍．请问塔顶层有 ▲ 盏灯，塔底层有 ▲ 盏灯． 12．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部是 ▲ ， = ▲ ． 13．已知多项式 ，则 ▲ ， ▲ ． 14．已知圆 ，过点 作两条互相垂直的直线 ， ，其中 交该圆于 ， 两点， 交该圆于 ， 两点，则 的最小值是 ▲ ， 的最大值是 ▲ ． 15．新型冠状病毒疫情期间，5 位党员需要被安排到 3 个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人， 其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 ▲ 种不同安排方法．（用数字作答） 16．已知 ，若函数 在区间 上存在最小值，则 的取值范围是 ▲ ． 17．已知 三边长分别为 ， ， ， 是平面 内任意一点，则 的最小值是 ▲ ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 z (1 i) 2+iz + = − i z | |z 2 5 2 7 2 7 0 1 2 7 0 1 2 7( 1)( 1) ( 2) ( 2) ( 2)x x a a x a x a x b b x b x b x+ − = + + + + + + + = + + + +  0 1 2 7a a a a+ + + + = 5b = 2 2 4O x y+ =： ( )3,0P 1l 2l 1l A B 2l C D | |AB | | | |AB CD+ a∈R e( ) 2 e x x af x = − )2,1(∈x a ABC∆ 3 10 13 P ABC PA PB PB PC PC PA⋅ + ⋅ + ⋅     第 19 题 图 18．（本小题满分 14 分）已知函数 ． （Ⅰ）求 的最小正周期；　（Ⅱ）求 在 上的最大值，并求此时的 值． 19．（本小题满分 15 分）如图，已知三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求直线 和平面 所成角的正弦值． 20．（本小题满分 15 分）已知数列 满足： ， . 正 ( ) π2sin cos cos3f x x x x   = ⋅ − +     ( )f x ( )f x 0, 2x π ∈   x P ABC− PAC ⊥ ABC 2AB AC BC PA= = = = °=∠ 120PAC 3PM MC=  BM PC⊥ AB PBC { }na 1 1a = 2 2 1(2 1) (2 1)n nn a n a ++ = − *( )n∈N项数列 满足：对每个 ， ，且 ， ， 成等比数列． （Ⅰ）求数列 ， 的通项公式； （Ⅱ）当 时，证明： ． 21．（本小题满分 15 分）已知点 是抛物线 的焦点， 是其准线 上任意一点， 过点 作直线 ， 与抛物线 相切， ， 为切点， ， 与 轴分别交于 ， 两点． （Ⅰ）求焦点 的坐标，并证明直线 过点 ； （Ⅱ）求四边形 面积的最小值． { }nc *n∈N 2 1n nc a− = 2 1nc − 2nc 2 1nc + { }na { }nc 2n ≥ 1 2 3 5 1 1 1 1 1 7 3 1 4nn c c c c − ≤ + + + + −− a ln3 1.10≈2020 年高考模拟试题数学参考答案 一、选择题 ADCBD ACBAD 二、填空题 11． ， 12． ， 13． ， 14． ， 15． 16． 17． 三、解答题 18．解： 3 192 3 2 10 2 64− 11 2 2 10 114 4 2 2 4e e e e( ) ( )2 2 2 2 − − ， ， 16 3 − ( ) 2 π 3 32sin cos cos =2sin cos sin 13 2 2 3 3 33sin cos 3sin sin 2 cos2 32 2 2 3 3sin(2 ) 56 2 f x x x x x x x x x x x x x π   = ⋅ − + +     = + = − + = − + ⋅⋅    （1） （ ） 分 分 分 分7π=∴T 50, 2 , 82 6 6 6 1sin 2 ,1 106 2 3 3( )= 3sin(2 )+ 3. 126 2 2 2 = ( ) . 146 2 3 x x x f x x x x f x π π π π π π π π π    ∈ − ∈ −          ∴ − ∈ − ⋅⋅       ∴ − − =     （2）当 ，则 分 ， 分 的最大值为 分 此时 即 时， 取到最大值 分19.解法一： （1）取 的中点 ， 的中点 ，连 ， ， . ， ………………………………………1’ 又 ， 是 的中点 ， ………………………………………2’ 又 又 ……………………………4’ 又 面 ， ……………………………6’ （2） 由①知 面 ， 面 面 且交于 ， 过 作 垂足为 ， 即是 到面 的距离 ……………………………9’ ， ………………………12’ 又 是 的中点， 到面 的距离 …… …………………14’ 与面 所成角的正弦值为 ……………………………15’ AC E PC F AF ME BE PA AC= AF PC∴ ⊥ 3PM M C=   M∴ CF AF ME∴  PCME ⊥ AB BC= BE AC∴ ⊥ PAC ABC AC⊥ 面 面 且交于 BE PAC BE PC∴ ⊥ ⊥面 ， ME BE E=  PC∴ ⊥ MBE PC BM∴ ⊥ PC ⊥ MBE ∴ MBE ⊥ PBC MB ∴ E MBEH⊥ H EH E PBC BE ME⊥ 1 3 392 1313 2 ME BEEH MB ⋅⋅∴ = = = E AC A∴ PBC 13 3922 == EHhA AB∴ PBC 13 39 2 1 13 392 =⋅= AB hA解法二：（1）取 的中点 ，连 、 ， ， ， 又 面 面 且交于 面 ， ………………………2’ ， ，又 ， ……………………………………4’ 面 ， . ………………………………………6’ （2） 过 作 交其延长线于 面 面 且交于 面 ，连 可得 ………………………………………8’ 又 ， ， ， 又 ， ……………………10’ ， ………………………………………12’ 令 到面 的距离为 ，则 AC E ME EB 2AB BC= = BE AC∴ ⊥ 1CE =  PAC ⊥ ABC AC BE∴ ⊥ PAC BE PC∴ ⊥ 2PA AC= = 120PAC∠ = ° 3PM M C=   1 3 4 2CM PC∴ = = °=∠=∠ 30APCPCA 2 2 23cos 2 2 CE CM MEPCA CE CM + −∠ = = ⋅ 1 2ME∴ = CM ME⊥ PC∴ ⊥ MBE PC BM⊥ P PO CA⊥ O  PAC ⊥ ABC AC PO∴ ⊥ ABC BO 222 BOPOPB += 2AC AP= = 120PAC∠ = ° 3P O∴ = 2 3PC = 1AO = 2 2 7OB BE OE= + = 2 2 10PB PO BO∴ = + = 2 2 2 1cos 2 2 10 PB BC PCPBC BC PB + −∴ ∠ = =⋅ 39sin 2 10 PBC∴ ∠ = 1 39sin2 2PBCS BC PB PBC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ = A PBC Oh ABCPPBCA VV −− =， ………………………14’ 与面 所成角的正弦值为 ……………………………15’ 解法三：（1）取 的中点 ，建立如图所示的坐标系 由已知可得 ， ………………………………………3’ ， ………………………………………6’ （2）由（1）可知 ………………………9’ 设面 的法向量为 则 令 ，则 ， ， ………………………………………12’ 与面 所成角的正弦值为 ………………………………………15’ 1 1 3 3PBC O ABCS h S PO∆ ∆∴ ⋅ = ⋅ 39 6=⋅= ∆ ∆ PBC ABC O S POSh AB∴ PBC 13 39 392 6 == AB ho AC O ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,0O C B A − ( 2,0, 3)P − 1 3( ,0, )4 4M 1 3( , 3, )4 4BM∴ = − (3,0, 3)PC = − 3 3 0,4 4BM PC BM PC∴ ⋅ = − = ⊥    BM PC∴ ⊥ (1, 3,0), (2, 3, 3), (1, 3,0)AB PB BC= = − = −   PBC ( , , )n x y z=    =−=⋅ =−+=⋅ 03 0332 yxBCn zyxPBn 1y = 3x = 3z = ( 3,1,3)n = AB∴ PBC 2 3 39cos , 132 13 AB n AB n AB n ⋅ < > = = = ⋅      20.解：（Ⅰ）解法一：由已知可得 时， （2 分） ，又 （3 分） 解法二： ，即 为常数列， ， （2 分） 又 （3 分） 又 （ 为奇数） （5 分） 又 是等比数列 （ 是偶数） 综上可得 （7 分） 2 1 2 (2 1) (2 1) n n a n a n + += － 2n∴ ≥ 1 3 2 1 1 2 2 1 n n n n n a a a aa aa a a a − − − ∴ = ⋅ …… ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) (2 3) 3 1 (2 1)(2 3) (2 5) 1 n n nn n = ⋅ …… ⋅ =－ － －－ － 2 1 (2 1 1)a = × − 2(2 1)na n∴ = − 1 2 2(2 1) (2 1) n na a n n + =+ － [ ] 1 2 2(2 1)2( 1) 1 n na a nn + = + − － 2(2 1) na n ∴ － 1 2 2(2 1) (2 1 1) na a n ∴ = ×－ － 2 1 (2 1 1)a = × − 2(2 1)na n∴ = − 2 2 1 (2 1)n nc a n= = − － 2 nc n∴ = n 2 1 2 2 1, ,n n nc c c + － 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1n n nc c c n n− +∴ = ⋅ = − ⋅ +（ ）（ ） 2 (2 1) (2 1)nc n n∴ = − ⋅ + 2( 1) ( 1)nc n n n∴ = − ⋅ + = - 1 n 2(2 1)na n= − ， 2 2 1n n nc n n =   是奇数 － 是偶数（Ⅱ）先证 证法一 直接放缩、裂项相消求和 时， ，显然成立。 （8 分） 时， 时， （9 分） （11 分) 证法二 分奇偶讨论 时， ，显然成立。 （8 分） 时，① 为偶数时， （9 分） 1 2 3 1 1 1 1 7 4nc c c c + + + + −+ ++只需 ；只需 ；只需 ； 显然成立，故当 时也成立。 综上所述，不等式在 且 时均成立。 （15 分） 证法二（分析法证明） 令 ， 为数列 的前 项和。 只需要证 ，且 （ 时） ① ， ，显然成立。 （12 分） ② 时，不论 为奇数偶数都有 ， （13 分） ，则 也成立。 综上所述，不等式在 且 时均成立。 （15 分） 证法三（放缩法证明） ① 时，左边 ，右边 ，成立； （12 分） ② 时， （13 分） （14 分） 2 1 1 ( 1)( 2)( 1) k kk > + ++ 2( 1)( 2) ( 1)k k k+ + > + 2 1k k+ > + 1n k= + *n N∈ 2n ≥ 1 2 3 1 1 1 1 c c c cn n S = + + +……+ 5 1 3 1nT n = − + { }nd n 1 2 1 2 1 1 c c d d+ ≥ + 1 c n n d≥ 3n ≥ 1 2 1 1 4 c c 3 + = 1 2 2 4 3d d T+ = = 3n ≥ n 2 1 1 cn n ≥ 2 1 1 1 1 1 (n 1)nd n n n n = − = *n N∈ 2n ≥ 2n = 1 41 3 3 = + = 4 3 = 3n ≥ 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 11 + +c c c c 3 3 4k n + + +……+ ≥ + + +  1 1 1 11 + +3 3 4 4 5 ( 1)n n ≥ + + +× × × + （15 分） 证法四（分奇偶讨论证明） 时均成立。（证明略） （12 分） 当 时，① 为偶数时， （13 分） （14 分） ② 为奇数时，同理 （15 分） 21．（I）解法一： 1 分 设 ，则 即 4 1 1 1 1 1 1+3 3 4 4 5 1n n = + − + − + − + 5 1 5 3 1 3n = − + + + + +…+ × × × − +  1 1 11 (1 )6 2 1n > + + − + 5 1 5 1 3 2( 1) 3 ( 1)n n = − > −+ + n 1 2 3 1 1 1 1 c c c nc + + +…+ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 11 + +3 5 7 2 1 4 1 6 1 -1) 1n   ≥ + + + + +…+   − − − −   （ 1 1 1 5 1 5 11 (1 )6 2 3 2 3 ( 1)n n n > + + − = − ≥ − + (0,1)F  )1,(),4,(),4,( 0 2 2 2 2 1 1 −xPxxBxxA )(2: 1 1 1 xxxyylPA −=− 1 12 xy x y= −同理 . 4 分 又 在 上,则 ,所以 6 分 所以直线 过焦点 F. 7 分 （I）解法二： 1 分 设 AB 直线方程 为 则由 得 所以 2 分 过 A 的切线方程为 过 B 的切线方程为 4 分 所以交点 P 的坐标为 因为 P 在直线 上，所以 6 分 所以 即直线过焦点 7 分 （II）由（I）知 ,代入 得 则 , 2 2 2: yxxylPB −=  P PBPA,      −=− −=− 20 2 10 1 21 21 yxx yxx 0: 12AB xl y x= +  AB  (0,1)F  y kx m= + 2 4 y kx m x y = +  = 2 4 4 0x kx m− − = 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x m⋅ = −  1 1 1( )2 xy y x x− = − 2 2 2( )2 xy y x x− = −  1 2 1 2( , )2 4 x x x x+ 1y = − 1 2 4 4x x m⋅ = − = −  1m = F  12: 0 += xxyl AB yxC 4: 2 = 042 0 2 =−− xxx    −= =+ 4 2 21 021 xx xxx则 , 9 分 到 AB 的距离 ,所以 由（1）知 ,则 , 所以 ,令 则 在 上是增函数, 则四边形 面积的最小值为 3 15 分 22.解：（1） 的定义域为 = = …………2 分 （i） 若 ,则 ，所以 在 递增， 递减 …… 3 分 （ii） 若 ，则 在 递增， 递减，在 递增 …………4 分 （iii） 若 ,则 在 递增; 5 分 （iv） 若 ，则 在 递增，在 递减，在 递增 … … [ ] 422)(4 12 2 021 2 2121 +=+−+=++= xxxxxyyAB  P 42 0 += xd 2 2 0 0 1 ( 42 04) 1PABS x x∆ = + +  分 )0,2(),0,2( 21 xRxQ 42 1 2 021 +=−= xxxQR 2 0 1 42PQRS x∆ = + 2 0 4, 2 12t x t= + ≥  分 31 1 ,( 2) 132 2PAB PQRABRQS S S t t t∆ ∆= − = − ≥ 四边形 分 tttf 2 1 2 1)( 3 −= ),2[ +∞ ABRQ  6ln6)43()( 2 +++−= xxaaxxf }0|{ >xx xaaxxf 6)43(2)(' ++−= x xaax 6)43(2 2 ++− x axx )2-)(32( − 0≤a 02 − − xx xhxh a a a ttxx xx 3 4 3 4 12)( 2 21 2 21 ==++=+ )3 1,4 1( )12(3 4 ∈ ++ = tt a a )3 1,4 1( 6ln6)43()( 2 +++−= xxaaxxf axxg 3)( = 6ln64)()()( 2 ++−=+= xxaxxgxfxh x xax xaxxh 642642)( 2 ' +−=+−= )(xhy = 0322 =+− xax axxaxxxx 3,2,, 212121 ==+ 0,0,0344 21 >>>×−=∆ xxa 3 10 − +− − − 1 2 1 2 ln ln3 04 x x x x − >− 2 2 3 0ax x− + = 1,2 1 1 3ax a ± −= 1 3t a= − (0,1)t ∈ 21 3 ta −= 1 2 2 1 2 2 1 1 3 1 3ln ln 2ln ln3ln3 ln31 1 3 1 1 0124 42 1 3 1 x a t t x a t t tx x a ta + − + −− − − −− = − = >− − − 2 1 3( ) 2ln ln31 1 t tG t t t += −− − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 1 ( 2 ) 4 (1 )3ln3'( ) 3ln31 (1 ) (1 ) 1 (1 ) 4(1 ) 3ln3(1 ) (4 3ln3) (4 3ln3) (1 ) (1 ) t t t t tG t t t t t t t t t t t − − − − += ⋅ − ⋅ = −+ − − − − − − + − − += =− − '( ) 0G t = 0 4 3ln3 14 3ln3t −= ∈得 11-3 (0, )2a ∈ 1 1 4 3a< < a 1 1 4 3 （ ，）