运城市高中联合体 2020 高三模拟测试
文科数学（三）
一、选择题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．已知复数 ，则复数 在复平面内对应的点为（ ）
A． B． C． D．
3．若 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6． ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．若 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则函数 称为取整函数，又称高斯函
数.执行如图所示的程序框图，则输出的 的值为（ ）
{ }2 1A x x= < 1 1B x x
=
1 3 21 2
iz ii
−= ++ z
( )1,3 ( )1, 1− − ( )1,1− ( )1,1
( )1,AB m= ( )3,1BC = − 2
AB AC AB⋅ = m =
3 1
3
− 7− 1
3
{ }na n nS 1 1a = 1 03
n
n
S a ++ = 5S =
8
27
16
81
211
81
32
243
,x y
2 0
3 2 0
2 1 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− + ≥
− − ≤
x y−
[ ]2,0− 42, 3
−
50, 3
[ ]2,2−
0.20.3a = 3
2b = 2log 3c =
b c a> > c b a> > b a c> > c a b> >
[ ]x x [ ]2.5 2= [ ]4 4= ( ) [ ]f x x=
k
A． B． C． D．
8．已知正方体 的棱长为 ，点 为棱 中点，则过点 与 垂直的平面截正方体
所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 的两条渐近线与曲线 围成一个面
积为 的菱形，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 的图象关于直线 对称，把 的图象向左平移
个单位后所得的图象关于点 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知曲线 的抛物线 及抛物线 组成， ， ， 是曲线 上关于
轴对称的两点（ 四点不共线，且点 在第一象限），则四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8 7 6 5
1 1 1 1ABCD A B C D− 2 P AB P 1DB
1 1 1 1ABCD A B C D−
6 3 4 3 3 3 2 3
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > ( )2 23x y c c a b+ = = +
2 3
3 C
2 2
16 2
x y− =
2 2
12 6
x y− =
2
2 13
yx − =
2
2 13
x y− =
( ) ( )cos 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + >
,m n ( ),A m n ( ),B m n− − ( )f x
a
18．已知 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
19．如图，四边形 为平行四边形，且 ，点 为平面 外两点， ，
.
（1）证明： ；
（2）若 ， ，求几何体 的体积.
20．已知椭圆 的离心率为 ，圆 经过椭圆 的左，右焦点
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 与椭圆 交于点 ，线段 的中点为 ， 的垂直平分线与 轴和 轴分别
交于 两点，是否存在实数 ，使得 的面积与 （ 为原点）的面积相等？若存在，求
ABC△ , ,A B C , ,a b c 1cos 2a c B b= +
cosC
3c = a b+
ABCD 2AB AD BD= = = ,E F ABCD EF AC
EAD EAB∠ = ∠
BD CF⊥
2 3EF = 2AE CE= = ABCDEF
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 1
2
2 2 2 1x y y+ − = C
1 2,F F
C
( )1y k x= + C ,A B AB G AB x y
,D E k 1GF D△ OED△ O
出 的值，若不存在，说明理由.
21．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若曲线 关于直线 对称，求 的值；
（2）若 为曲线 上两点，且 ，求 面积的最大值.
23．已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最小值为 ，求证： .
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文科数学（三）参考答案
1 ． A 【 解 析 】 因 为 ， 或 ， 所 以
，故选 A.
2．C【解析】 ，所以复数 在复平面内对应的点为
，故选 C.
k
( ) ( )22ln 1 22
af x x ax x a = − + − ≤
( )f x
( ) 21 12
x af x e x ≤ + − − a
xOy l
2 51 5
5
5
x t
y a t
= +
= −
t x
C 2cosρ θ=
C l a
,A B C OA OB⊥ AOB△
( ) ( )2 2 0f x x a x a a= − + + >
( ) 3f x a≥
( )f x ( )2 0b b− > 2 1 1 2 2a b+ + + ≤
{ } { }2 1 1 1A x x x x= < = − < < {1 1 0B x x xx
= < =
{ }1 0A B x x= − < = c b a> >
100 333s = = 9k = 33 113s = = 8k =
11 33s = = 7k = 3 13s = = 6k =
1 03s = = 5k = k 5
P 1DB 1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1 1 1 1 1, , , , ,AB BC CC C D D A AA 2 3 3
9．D【解析】由题意可得菱形的一个内角为 ， ，一条对角线的长为 ，另一条对角线的长为 ，
所以 ， ， ， ， ，双曲线 的方程为 ，故选 D.
10．C【解析】由题意可得 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，设 的最小
正周期为 ，则 ，即 ，所以 ，
取 ，得 ，故选 C.
11 ． B 【 解 析 】 设 抛 物 线 的 焦 点 为 ， 则 四 边 形 的 周 长
，当 共线时取等号，故选
B.
12 ． C 【 解 析 】 因 为 ， 设 ， 则 ， 且 ， 设
， 则 ， 在 上 是 减 函 数 ， 在 上 是 增 函 数 ， 所 以
，所以 的最小值为 ，即 的最小值为 ，故选 C.
13． 【解析】从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号
分别为 16，08，02，14，07，28，因此选出来的第 6 个个体的编号为 28.
14 ． 【 解 析 】 由 圆 柱 的 底 面 圆 半 径 为 1 ， 高 为 4 ， 可 得 球 不 能 到 达 的 区 域 的 体 积 为
.
15． 【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，整理得
，该等式可看作关于 的一元二次方程，所以 ，所
以 ， ，所以 ，所以 的最大值为 .
16． 【解析】存在非零实数 ，使得点 ， 都在 的图象上，即 图
60° 3
3
b
a
= c 3
3 c
1 3 2 3
2 3 3c c⋅ ⋅ = 2c = 2 2 4a b+ = 3a = 1b = C
2
2 13
x y− =
( )f x 5
24x
π= ,03
π
( )f x
T
( ) ( )2 15
3 24 4
k T k N
π π +− = ∈ ( )2 1 2
8 4
k k N
π π
ω
+ = ⋅ ∈
( )8 4k k Nω = + ∈
0k = 4ω =
2 2y x= F ABNM
2 2 2 2 2 1 1 2 1 17Ml AB AM x AM MF AF= + + = + + − ≥ + = + , ,A M F
( ) 2ln 2xf x xe x x= − − lnt x x= + t R∈ ( ) 2tf x e t= −
( ) 2tg t e t= − ( ) 2tg t e′ = − ( )g t ( ),ln 2−∞ ( )ln 2,+∞
( ) ( )ln 2 2 2ln 2g t g≥ = − ( )g t 2 2ln 2− ( )f x 2 2ln 2−
28
2
3
π
2 2 34 21 4 1 2 13 3
π ππ π× × − × × − × =
3 5 { }na d 2 2
3 6 1a a+ = ( ) ( )2 2
5 52 1a d a d− + + =
2 2
5 55 2 2 1 0d a d a− + − = d ( ) ( )2 2
5 52 20 2 1 0a a= − − − ≥△
2
59 5a ≤ 5
5 5
3 3a− ≤ ≤ ( )1 9
9 5
9 9 3 52
a aS a
+= = ≤ 9S 3 5
( )1,+∞ ,m n ( ),A m n ( ),B m n− − ( )f x ( )f x
象上至少存在两点关于原点对称，显然 ， 的图象上不存在两点关于原点对称， ，
的图象上与不存在两点关于 对称，由于 ， 的图象与 ， 的图象关
于 原 点 对 称 ， 故 问 题 转 化 为 ， 的 图 象 与 ， 的 图 象 有 交 点 ， 即 方 程
有解，分离 得 ，当 时， ， 在
上递减，所以 ，由 时 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
17．解：（1）2019 年前 9 个月我国制造业的采购经理指数的中位数为 ，
平均数为 .
（2）从 2019 年 4 月—2019 年 9 月这 6 个月任意选取 2 个月，结果总共有 15 种，
这 6 个月中采购经理指数与上个月相比有所回升的有 7 月 9 月，共 2 个，
所以从这 6 个月任意选取 2 个月，这两个月至少有一个月采购经理指数与上个月相比有所回升的结果有（4
月，7 月），（5 月，7 月），（6 月，7 月），（8 月，7 月），（4 月，9 月），（5 月，9 月），（6 月，9 月），（8 月，
9 月），（7 月，9 月），结果有 9 种，
所以所求概率 .
18．解：（1）方法一：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 .
方法二：由 ，可得 ，
整理得 ，
1 x
y e
= − 0x > y x a= +
0x ≤ y x= 1 x
y e
= − 0x > xy e= 0x <
y x a= + 0x ≤ xy e= 0x <
( )0xe x a x= + < a ( )xa e x g x= − = 0x < ( ) 1 0xg x e′ = − < ( )g x ( ),0−∞
( ) ( )0 1g x g> = x → −∞ ( )g x → +∞ 1a > a ( )1,+∞
49.5
49.5 49.2 50.5 50.1 49.4 49.4 49.7 49.5 49.8 49.79
+ + + + + + + + ≈
9 3
15 5P = =
1cos 2a c B b= +
1sin cos sin sin2A B C B= +
( ) 1sin sin cos cos sin cos sin sin2B C B C B C B C B+ = + = +
1sin cos sin2B C B=
0 B π< < sin 0B ≠ 1cos 2C =
1cos 2a c B b= + 2 2 2 22 2 cosa ab ac B a c b− = = + −
2 2 2a b c ab+ − =
所以 .
（2）解法一：由（1）得 ， ， ， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 的取值范围 .
解法二：由（1）得 ， ，及余弦定理得
，
所以 ， ，当 时取等号，
又 ，
所以 的取值范围 .
19．解：（1）设 与 相交于点 ，连接 ，
由题意可得四边形 为菱形，所以 ， ，
在 和 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）由题意可得 ， ，
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
1cos 2C =
3C
π= 3sin 2C = 3c =
2sin sin sin
a b c
A B C
= = =
22sin 2sin 2sin 2sin 3sin 3 cos 2 3sin3 6a b A B A A A A A
π π + = + = + − = + = +
3C
π= 20 3A
π< < 5
6 6 6A
π π π< + < 1 sin 12 6A
π < + ≤
a b+ ( 3,2 3
1cos 2C = 3c =
( ) ( ) ( )2
2 2 22 2 13 3 3 2 4
a ba b ab a b ab a b a b
+ = + − = + − ≥ + − = +
( )2 12a b+ ≤ 2 3a b+ ≤ a b=
3a b c+ > =
a b+ ( 3,2 3
BD AC G EG
ABCD BD AC⊥ DG GB=
EAD△ EAB△ AD AB= AE AE= EAD EAB∠ = ∠
EAD EAB≅△ △ ED EB= BD EG⊥
AC EG G= BD ⊥ ACFE
CF ⊂ ACFE BD CF⊥
EF AC 2 3EF AC= =
所以四边形 是平行四边形，
由 ，点 为 中点，可得 ， ，
所以平行四边形 的面积 ，
由 平面 ， ，
可得 ，
同理可得 ，
所以几何体 的体积 .
20．解：（1）设 ，由题意得 ，
由圆 经过椭圆 的左，右焦点 ，得 ，
所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）假设存在实数 ，使得 的面积与 的面积相等，易知 ，
把 代入 ，
整理得 ， ，
设 ， ，则 ，
故点 的横坐标为 ，点 的给坐标为 ，
ACFE
2AE CE= = G AC EG AC⊥ 1EG =
ACFE 1 2 3 2 3S = × =
BD ⊥ ACFE 1BG =
1 2 31 2 33 3B ACFEV − = × × =四棱锥
1 2 31 2 33 3D ACFEV − = × × =四棱锥
ABCDEF 4 3
3B ACFE D ACFEV V V− −= + =四棱 四棱锥 锥
2 2c a b= − 1
2
c
a
=
2 2 2 1x y y+ − = C 1 2,F F 1c =
2a = 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
k 1GF D△ OED△ 0k ≠
( )1y k x= +
2 2
14 3
x y+ =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − = ( )216 9 9 0k= + >△
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
8
3 4
kx x k
+ = − +
G
2
1 2
2
4
2 3 4
x x k
k
+ = − + G
2
2 2
4 313 4 3 4
k kk k k
− + = + +
即 .设 点坐标为 .因为 ，
所以 ，解得 ，即 .
由 ，及 的面积与 面积相等，可得 .
所以 ，
整理得 .因为此方程无解，
所以不存在实数 ，使得 的面积与 的面积相等.
21．解：（1）由 得，
，
当 时， ，
所以由 得 ，由 得 ，
所以 在 上递减，在 上递增.
（2） 时， 恒成立，
即 恒成立.
由（1）知 时， 在 上递减，在 上递增.
所以 ，取 ，得 ，
2
2 2
4 3,3 4 3 4
k kG k k
− + +
D ( ),0Dx DG AB⊥
2
2
2
3
3 4 14
3 4 D
k
k kk xk
+ ⋅ = −
− −+
2
23 4D
kx k
= − +
2
2 ,03 4
kD k
− +
1 ~GF D OED△ △ 1FG D△ OED△ GD OD=
2 22 2 2
2 2 2 2
4 3
3 4 3 4 3 4 3 4
k k k k
k k k k
− + + − = − + + + +
28 9 0k + =
k 1FG D△ OED△
( ) 22ln 12
af x x ax x = − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 22 22 2 x a xa x axf x a a xx x x
− − − − − + ′ = − + − = =
2a ≤ ( )2 2 0a x− − <
( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ > 0 1x< <
( )f x ( )1,+∞ ( )0,1
( )0,x∈ +∞ ( ) 21 12
x af x e x ≤ + − −
2 2ln 1xx e xa x
− −− ≤
2a ≤ ( )f x ( )1,+∞ ( )0,1
( ) ( )1f x f≤ 2a = ln 1x x≥ +
所以 ，
所以 ，
当 时取等号，设 ，求导易知 在 上递增，由 ，
，
可知存在 ，使得 ，
所以 的最小值为 ，故 ， ，又 ，
所以实数 的取值范围是 .
22．解：（1）直线 的参数方程为 ，消去参数 得直线 的普通方程为 .
由 ， ，得曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，因为
圆 关于直线 对称，所以圆心 在直线 上，所以 .
（2）由点 在圆 上，且 ，不妨设 ， ，
则 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
23．解：（1） ，
①当 时，由 得 ；
( )2 2ln 1 2ln 1x xx e x e x x≥ + = + +
2 2ln 1 2ln 1 2ln 1 1
xx e x x x x
x x
− − + + − −≥ =
2 1xx e = ( ) 2 xg x x e= ( )g x ( )0,+∞ 1 1 12 4
g
e
=
( )0 0,x ∈ +∞ 02
0 1xx e =
2 2ln 1xx e x
x
− −
1 1a− ≤ 1a ≥ − 2a ≤
a [ ]1,2−
l
2 51 5
5
5
x t
y a t
= +
= −
t l 2 2 1 0x y a+ − − =
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = C 2 2 2 0x y x+ − = ( )2 21 1x y− + =
C l ( )1,0 2 2 1 0x y a+ − − = 0a =
,A B 2cosρ θ= OA OB⊥ AOx α∠ =
2BOx
πα∠ = −
AOB△ 1 1 2cos 2cos sin 2 12 2 2S OA OB
πα α α = = − = ≤
AOB△ 1
( )
3 ,
3 ,
3 ,
x a x a
f x x a a x a
x a x a
− + < −
= − + − ≤ ≤
− >
x a< − ( ) 3f x a≥ x a< −
②当 时，由 得 ；
③当 时，由 得 .
综上可得不等式 的解集为 或 .
（2）由 ，可得当 时， 取到最小值 ，
所以 ，即 .
所以 ，
当 ， 时取等号.
a x a− ≤ ≤ ( ) 3f x a≥ 0a x− ≤ ≤
x a> ( ) 3f x a≥ 4
3
ax ≥
( ) 3f x a≥ { 0x x ≤ 4
3
ax ≥
( )
3 ,
3 ,
3 ,
x a x a
f x x a a x a
x a x a
− + < −
= − + − ≤ ≤
− >
x a= ( )f x 2a
2 2a b= − 2 2a b+ =
( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2a b a b a b+ + + ≤ + + + = + + =
1
2a = 1b =
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