2020年全国I卷 高考考前适应性试卷 文科数学（一）（含答案与详解）

2020 年全国 I 卷高考考前适应性试卷 文 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．函数 的零点是（ ） A． ， B． ， C． D． 2．已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．设 是两条不同直线， 、 是两个不同平面，则下列命题中错误的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 4．计算 的值为（ ） A． B． C． D． 5．等差数列 的首项为 23，公差是整数，从第 7 项开始为负值，则公差为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 的一部分图象如图所示，如果 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 7．已知 ， ， ， ，则锐角 等于（ ） A．30° B．75° C．60° D．45° 8．某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如 下的统计表格： 产品类别 A B C 产品数量（件） 1300 样本容量（件） 130 由于不小心，表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是（ ） A．800 B．700 C．600 D．900 9．某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的长度，那么这个几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 10．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ） A．0．6 B．0．4 C．0．2 D．0．8 432 ++−= xxy 1 4− 1− 4 1− 4 2{ | 2 0}A x x x a= − + > 1 A∉ a ( ,1]−∞ [1, )+∞ [0, )+∞ ( ,1)−∞ ,a b α β a α⊥ a β⊥ //α β a α∥ b α⊂ //a b a α⊂ b α⊥ a b⊥ a α⊥ b α⊥ //a b ( )21 2i 1 i2 + − + 2 i− 2 3i+ 1 3i2 + 1 i2 − { }na 5− 4− 3− 2− sin( )y A x Bω ϕ= + + 0A > 0ω > π 2 ϕ < 4A = 1ω = π 6 ϕ = 4B = (1,2 sin )x= +a (2,cos )x=b ( 1,2)= −c ( )− ∥a c b x 3 2 2 3 3 3 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 11．如图，定圆半径为 ，圆心为 ，则直线 与直线 的交点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，则直线 的倾斜角 等于（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．函数 在 处的导数是________． 14．若函数 ，且 的图象经过点 ，则 _________． 15．如图所示，直线 与双曲线 的渐近线交于 ， 两点，记 ， ．任取双曲线 上的点 ，若 （ 、 ），则 、 满足的一个等式 是 ． 16．已知圆 ， ， 是三个两两垂直的平面与球 的球面的交线，其半径分别为 ， ， ， 且圆 ， ， 的公共点 在球面上，则球的表面积为 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（12 分）在 中， ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 18．（12 分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以 家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的 正方体骰子（六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为 ，家长所得点数记为 ；方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间 的随机实 数），宝宝的计算器产生的随机实数记为 ，家长的计算器产生的随机实数记为 ． （1）在方案一中，若 ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概 率； （2）在方案二中，若 ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读 物的概率． a ( , )b c 0ax by c+ + = 1 0x y− + = 2 4y x= F l A B 1 1 1 | | | | 2AF BF − = l π(0 )2 θ θ< < π 2 π 3 π 4 π 6 )1()1( 2 −+= xxy 1=x ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ ( , )a a ( )f x = 2=x 2 2: 14 xC y− = 1E 2E C P a b∈R a b 1O 2O 3O O 1 1 2 1O 2O 3O P ABC△ 5BC = 3AC = 4cos2 cos2 3A C− = AB πsin(2 )4A− x y [1,6] m n 1 2x y+ = 2m n> 1 1OE = e 2 2OE = e 1 2OP a b= +e e 19．（12 分）如图，四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， 是 的中点，点 在侧棱 上． （1）求证： 平面 ； （2）若 是 PC 的中点，求证： 平面 ； （3）若 ，试求 的值． 20．（12 分）如图，已知椭圆 上两定点 ， ，直线 与椭 圆相交于 A、B 两点（异于 P、Q 两点）． （1）求证： 为定值； （2）当 时，求 A、P、B、Q 四点围成的四边形面积的最大值． 21．（12 分）已知函数 ( 为实常数)． （1）若 ，求证：函数 在 上是增函数； （2）求函数 在 上的最小值及相应的 值； （3）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． P ABCD− ABCD PA PD= 60BAD∠ = ° E AD Q PC AD ⊥ PBE Q PA∥ BDQ 2P BCDE Q ABCDV V− −= CP CQ 2 2 14 3 + =x y ( 2,0)P − 3(1, )2Q 1: 2 = − +l y x m PA QBk k+ ( 1,2)m∈ − 2( ) lnf x a x x= + a 2a = − ( )f x (1, )+∞ ( )f x [1, ]e x [1, ]x e∈ ( ) ( 2)f x a x≤ + a 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在极坐标系中，已知点 到直线 的距离为 3． （1）求实数 的值； （2）设 是直线 上的动点， 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹方程，并指 出轨迹是什么图形． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知 定义在区间 上，设 ， 且 ． （1）求证： ； （2）若 ，求证： ． ( 2,0)A π: sin( ) ( 0)4l m mρ θ − = > m P l Q OP | | | | 1OP OQ⋅ = Q 2( ) 1f x x= + [ 1,1]− 1x 2 [ 1,1]x ∈ − 1 2x x≠ 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x− ≤ − 2 2 1a b+ = ( ) ( ) 6f a f b+ ≤ 2020 年全国 I 卷高考考前适应性试卷 文 科 数 学（一）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】 ，得 或 ． 2．【答案】A 【解析】可知 ， 而 ， ，那么 ，则 ． 3．【答案】B 【解析】对于 ， ， 与 还可能异面． 4．【答案】D 【解析】 ． 5．【答案】B 【解析】可得 ，第 7 项开始为负值，说明 ，且 ， 得 ， ， 又公差是整数，所以公差为 ． 6．【答案】C 【解析】易知 ， ，由图象知 ，那么 ， 又 ，那么 ，那么 A、B、D 错误． 7．【答案】D 【解析】 ， ，则 ，则锐角 等于 45°． 8．【答案】A 【解析】设 C 产品的样本容量为 ，则 A 产品的样本容量为 ，由 B 知抽取的比例为 ， 故 ，故 ，所以 C 产品的数量为 800． 9．【答案】D 【解析】该几何体是一个三棱锥，底面积为 ，高为 1， 则这个几何体的体积是 ． 10．【答案】C 【解析】第一次循环， ， ； 第二次循环， ， ； 第三次循环， ， ； 第四次循环， ， ； 第五次循环， ， ； 第六次循环， ， ； 第七次循环， ， ； 第八次循环， ， ； … 依次可得第 2011 次循环， ， ； 第 2012 次循环， ， ．知输出 ． 11．【答案】C 【解析】易知 ， ，而圆与 轴有两个交点，则 ， 又圆与 轴没有交点，则 ，则 ， 可以解出两直线的交点为 ， ，则 ，则 ，同理得 ， ， 那么可得 ， ，那么交点在第三象限． 12．【答案】B 【解析】设直线 的斜率为 ，则 的方程为 ， 设 、 ，由 ，可得 ， 则 ， ， 而 ， ， 那么由 ，可得 ， 0432 =++−= xxy 1−=x 4=x 2{ 2 0}A x x x a= − + ≤ 1 A∉ 1 A∈ 21 2 0a− + ≤ 1a ≤ a α∥ b α⊂ a b ( )21 2i 1 11 i i 2i i2 2 2 + − + = + − = − 23 ( 1)na n d= + − 6 0a ≥ 7 0a < 5 23 0d + ≥ 6 23 0d + < 4− 2A = 2B = 5π π π 4 12 6 4 T = − = πT = 2πT ω= 2ω = (2,sin )x− =a c ( )− ∥a c b 2cos 2sin 0x x− = x x 10 x+ 1 10 10 130 300x x+ + + = 80x = 1 2 3 32 × × = 1 33 13 3 × × = 0.4A = 2n = 0.8A = 3n = 0.6A = 4n = 0.2A = 5n = 0.4A = 6n = 0.8A = 7n = 0.6A = 8n = 0.2A = 9n = 0.6A = 2012n = 0.2A = 2013n = 0.2A = 0b < 0c > x 0a c> > y a b< 0 c a b< < < ( , )b c a c a b a b + −− + + a b< a b< − 0a b+ < 0b c+ < 0a c− > 0b c a b +− ( )f x (1, )+∞ 22( ) ( 0)x af x xx +′ = > [1, ]x e∈ 2 22 [ 2, 2 ]x a a a e+ ∈ + + 2a ≥ − ( )f x′ [1, ]e 2a = − 1x = ( ) 0f x′ = ( )f x [1, ]e min( ) (1) 1f x f= = 22 2e a− < < − 2 ax −= ( ) 0f x′ = 1 2 ax −≤ < ( ) 0f x′ < ( )f x 2 a x e − < ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x min( ) ( ) ln( )2 2 2 2 a a a af x f −= = − − 22a e≤ − ( )f x′ [1, ]e 22a e= − x e= ( ) 0f x′ = ( )f x [1, ]e 2 min( ) ( )f x f e a e= = + 2a ≥ − ( )f x x 22 2e a− < < − ( )f x ln( )2 2 2 a a a− − x 2 a− 22a e≤ − ( )f x 2a e+ x e ( ) ( 2)f x a x≤ + 2( ln ) 2a x x x x− ≥ − [1, ]x e∈ ln 1x x≤ ≤ ln x x< ln 0x x− > 2 2 ln x xa x x −≥ − [1, ]x e∈ 2 2( ) ln x xg x x x −= − [1, ]x e∈ 2 ( 1)( 2 2ln )( ) ( ln ) x x xg x x x − + −′ = − [1, ]x e∈ 1 0x − ≥ ln 1x ≤ 2 2ln 0x x+ − > ( ) 0g x′ ≥ 1x = ( )g x [1, ]e ( )g x (1) 1g = − a [ 1, )− +∞ 22．【答案】（1） ；（2） ，点 的轨迹是一个圆． 【解析】（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系， 则点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ， 由点 到直线 的距离为 ，∴ ． （2）由（1）得直线 的方程为 ， 设 ， ，则 ，① 因为点 在直线 上，所以 ，② 将①代入②，得 ，则点 的轨迹方程为 ． 化为直角坐标方程为 ，则点 的轨迹是一个圆． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， ∵ ， ， ∴ ． （2） ， 要证 ，只要证 ， 进一步只要证明 ， 只要证明 ， 因为 ，所以 ， 所以 成立，所以结论成立． 2m = 1 πsin( )2 4 ρ θ= − Q x A ( 2,0) l 2 0x y m− + = A l | 2 2 | 1 3 2 md m += = + = 2m = l πsin( ) 24 ρ θ − = 0 0( , )P ρ θ ( , )Q ρ θ 00 0 0 11 ρρρ ρθ θ θ θ  == ⇒ =  = 0 0( , )P ρ θ l 0 0 πsin( ) 24 ρ θ − = 1 πsin( ) 24 θρ − = Q 1 πsin( )2 4 ρ θ= − 2 22 2 1( ) ( )8 8 16x y+ + − = Q 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 | || || ( ) ( ) | 1 1 1 1 x x x xf x f x x x x x − +− = + − + = + + + 1 2 1 2| | | | | |x x x x+ ≤ + 2 2 1 2 1 21 1 | | | |x x x x+ + + > + 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x− ≤ − 2 2( ) ( ) 1 1f a f b a b+ = + + + ( ) ( ) 6f a f b+ ≤ 2 21 1 6a b+ + + ≤ 2 2 2( 1 1 ) 6a b+ + + ≤ 2 2 3(1 )(1 ) 2a b+ + ≤ 2 2 1a b+ = 2 2 2 2 (1 ) (1 )(1 )(1 ) 2 a ba b + + ++ + ≤ 2 2 3(1 )(1 ) 2a b+ + ≤