天津市和平区2019-2020学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学学科试卷 含答案详解与评分标准

第 1 页，共 14 页 温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。 考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共 45 分） 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么 . 锥体的体积公式 . 球体 其中 表示锥体的底面积, 其中 R 为球的半径. 表示锥体的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合푈 = {0,1，2，3，4，5}，퐴 = {1,2}，퐵 = {푥 ∈ 푁|푥2 ―3푥 ≤ 0}，则∁푈(퐴 ∪ 퐵) = ( ) A. {ퟎ,1,2，ퟑ} B. {ퟎ,4,ퟓ} C. {ퟏ,2,ퟒ} D. {ퟒ,ퟓ} • BA， • BA， )()()( BPAPBAP += )()()( BPAPABP = • ShV 3 1= • 3 3 4 RV π= S h 学校 班级 姓名 考号 和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学学科试卷 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯线 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 2 页，共 14 页 2. 已知 p：푥 ≥ 푘，q： 3 푥 + 1 < 1，如果 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 k 的取值范围 是( ) A. [2, + ∞) B. (2, + ∞) C. [1, + ∞) D. ( ― ∞, ― 1] 3. 函数푓(푥) = 2 푥 ― 1 + 푙푛푥的图像大致为( ) A. B. C. D. 4. 三棱锥的棱长均为4 6，顶点在同一球面上，则该球的表面积为( ) A. 36휋 B. 72휋 C. 144휋 D. 288휋 5. 设正实数 a，b，c 分别满足푎·2푎 = 1，푏푙표푔2푏 = 1，푐푙표푔3푐 = 1，则 a，b，c 的大小 关系为 ( ) A. 푎 > 푏 > 푐 B. 푏 > 푎 > 푐 C. 푐 > 푏 > 푎 D. 푎 > 푐 > 푏 6. 已知双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0, > 0)的右焦点为 F，虚轴的上端点为 B，P 为左支上的 一个动点，若 △ 푃퐵퐹周长的最小值等于实轴长的 3 倍，则该双曲线的离心率为(    ) 第 3 页，共 14 页 A. 10 2 B. 10 5 C. 10 D. 2 7. 若函数푓(푥) = 푐표푠(2푥 + 휑)的图象关于点(4휋 3 ,0)成中心对称，且 ― 휋 2 < 휑 < 휋 2， 则函数푦 = 푓(푥 + 휋 3)为( ) A. 奇函数且在(0,휋 4)上单调递增 B. 偶函数且在(0,휋 2)上单调递增 C. 偶函数且在(0,휋 2)上单调递减 D. 奇函数且在(0,휋 4)上单调递减 8. 已知直线 l：푥 ― 푦 = 1与圆：푥2 + 푦2 ―2푥 + 2푦 ― 1 = 0相交于 A，C 两点，点 B，D 分别在圆上运动，且位于直线 l 的两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值为( ) A. 30 B. 2 30 C. 51 D. 2 51 9. 已知函数푓(푥) = {푙표푔1 2 푥,푥 > 0 푎|푥 + 1 2| ― 15 4 ,푥 ≤ 0，函数푔(푥) = 푥3，若方程푔(푥) = 푥푓(푥)有 4 个不 同实根，则实数 a 的取值范围为(    ) A. (3,15 2 ] B. (5,15 2 ] C. ( ― 3,5) D. (3,5) 第Ⅱ卷 非选择题（共 105 分） 第 4 页，共 14 页 注意事项: 1. 用黑色水笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。 2. 本卷共 11 小题，共 105 分。 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上. 10. 若复数2 + 푖 = (1 + 푖)(푎 + 푏푖)(푎,푏 ∈ 푅),其中 i 是虚数单位，则푏 = ． 11. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日 的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且 平均值也相等，则푥 + 푦的值为_______． 12. 若( 3 푥 ― 3 푥)푛的展开式中所有项系数的绝对值之和为 1024，则该展开式中的常数项 是______． 13. 已知一个袋子中装有 4 个红球和 2 个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的， 若从袋子中摸出 3 个球，记摸到的白球的个数为 ，则 的概率是 __________；随机变量 期望是__________． 14. 已知正数 x，y 满足푥2푦 + 4푥푦2 +6푥푦 = 푥 + 4푦，则当 ______时， 푥푦 푥 + 4푦的最大值 为________． 15. 如图，在四边形 ABCD 中，已知퐴퐵 = 2，CD 与以 AB 为直径的半圆 O 相切于点 D，且퐵퐶//퐴퐷，若퐴퐶 ⋅ 퐵퐷 = ―1，则BD=__________;此时퐴퐷 ⋅ 푂퐷 = __________． 三、解答题：本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. = y x 1=ξξ ξ 第 5 页，共 14 页 16.(本小题满分 14 分) 在 △ 퐴퐵퐶中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2푎 ― 푐 = 2푏푐표푠 퐶． （Ⅰ）求 sin(퐴 + 퐶 2 +퐵)的值； （Ⅱ）若푏 = 3，求푐 ― 푎的取值范围． 17．(本小题满分 14 分) 如图甲的平面五边形PABCD中，푃퐷 = 푃퐴，퐴퐶 = 퐶퐷 = 퐵퐷 = 5，퐴퐵 = 1，퐴퐷 = 2， 푃퐷 ⊥ 푃퐴，现将图甲中的△PAD 沿 AD 边折起，使平面푃퐴퐷 ⊥ 平面 ABCD 得图乙的四棱 锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷.在图乙中 （Ⅰ）求证：푃퐷 ⊥ 平面 PAB； （Ⅱ）求二面角퐴 ― 푃퐵 ― 퐶的大小； （Ⅲ）在棱 PA 上是否存在点 M 使得 BM 与平面 PCB 所成的角的正弦值为1 3？并说 明理由． 18．(本小题满分 15 分) 已知数列{푎푛}满足：푎1 = 1，푎2 = 1 2，且[3 + ( ― 1)푛]푎푛+2 ―2푎푛 +2[( ― 1)푛 ―1] = 0，푛 ∈ 푁∗． （Ⅰ）求푎3，푎4，푎5，푎6的值及数列{푎푛}的通项公式； （Ⅱ）设푏푛 = 푎2푛―1 ⋅ 푎2푛，求数列{푏푛}的前 n 项和푆푛． 19．(本小题满分 16 分) 学校 班级 姓名 考号 和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学学科试卷 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯密⋯⋯⋯⋯⋯⋯封⋯⋯⋯⋯⋯⋯线 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 第 6 页，共 14 页 已知椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)的离心率푒 = 2 2 ，椭圆上的点到左焦点퐹1的距离的最 大值为 2 +1． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）已知直线l：푦 = 푘푥 + 푡(푘 ≠ 0)与椭圆C交于M、N两点，在y轴上是否存在点푃(0,푚)， 使得|푀푃| = |푁푃|且|푀푁| = 2.若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由． 20．(本小题满分 16 分) 已知函数푓(푥) = 푙푛푥 ― 푎푥 + 1，푔(푥) = 푥(푒푥 ―푥)。 （Ⅰ）若直线푦 = 2푥与函数푓(푥)的图象相切，求实数 a 的值； （Ⅱ）若存在푥1 ∈ (0, + ∞)，푥2 ∈ ( ― ∞, + ∞)，使푓(푥1) = 푔(푥2) = 0，且 x 1 ―푥 2 > 1，求 实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当푎 =   ― 1时，求证：푓(푥) ≤ 푔(푥) + 푥2。 和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第三次质量调查 数学学科参考答案 一、选择题：（45 分）. 1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D 8.A 9.B 二、填空题：（30 分） 第 7 页，共 14 页 10. ― 1 2 11. 8 12. ―90 13.3 5；1 14.4；1 8 15.1；3 2 三、解答题： 16.(本小题满分 14 分) 解：（Ⅰ）因为2푎 ― 푐 = 2푏푐표푠퐶，所以2푠푖푛퐴 ― 푠푖푛퐶 = 2푠푖푛퐵푐표푠퐶， 所以2푠푖푛(퐵 + 퐶) ― 푠푖푛퐶 = 2푠푖푛퐵푐표푠퐶，整理得sin퐶 = 2푐표푠퐵푠푖푛퐶．…………3 分 因为sin퐶 ≠ 0，所以cos퐵 = 1 2， 所以퐵 = 휋 3，从而퐴 + 퐶 2 +퐵 = 2휋 3 ，…………5 分 故sin(퐴 + 퐶 2 +퐵) = 푠푖푛2휋 3 = 3 2 ．……………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin퐵 = 3 2 ，……………………7 分 所以 푎 sin퐴 = 푐 sin퐶 = 푏 sin퐵 = 2，从而푎 = 2푠푖푛퐴，푐 = 2푠푖푛퐶．………………9 分 所以푐 ― 푎 = 2푠푖푛퐶 ― 2푠푖푛퐴 = 2푠푖푛(2휋 3 ―퐴) ― 2푠푖푛퐴 = 3푐표푠퐴 ― 푠푖푛퐴 = 2푠푖푛(휋 3 ―퐴)．………………11 分 因为퐴 + 퐶 = 2휋 3 ，所以0 < 퐴 < 2휋 3 ，从而 ― 휋 3 < 휋 3 ―퐴 < 휋 3，………………12 分 第 8 页，共 14 页 所以 ― 3 < 2푠푖푛(휋 3 ―퐴) < 3， 故푐 ― 푎的取值范围为( ― 3, 3)．……………………14 分 17.(本小题满分 14 分) （Ⅰ）证明： ∵ 퐴퐵 = 1，퐴퐷 = 2，퐵퐷 = 5 ∴ 퐴퐵2 +퐴퐷2 = 퐵퐷2， ∴ 퐴퐵 ⊥ 퐴퐷， ∵ 平面푃퐴퐷 ⊥ 平面 ABCD，平面푃퐴퐷 ∩ 平面퐴퐵퐶퐷 = 퐴퐷， ∴ 퐴퐵 ⊥ 平面 PAD，又 ∵ 푃퐷 ⊂ 平面 PAD， ∴ 퐴퐵 ⊥ 푃퐷，又 ∵ 푃퐷 ⊥ 푃퐴，푃퐴 ∩ 퐴퐵 = 퐴 ∴ 푃퐷 ⊥ 平面 PAB．…………4 分 （Ⅱ）解:取 AD 的中点 O，连结 OP，OC， 由平面푃퐴퐷 ⊥ 平面 ABCD 知푃푂 ⊥ 平面 ABCD， 由퐴퐶 = 퐶퐷知푂퐶 ⊥ 푂퐴， 以 O 为坐标原点，OC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直 线为 y 轴建立空间直角坐标系如图示， 则易得퐶(2,0，0)，푃(0,0，1)，퐷(0, ― 1,0)，퐴(0,1，0)，퐵(1,1，0) ∴ 푃퐵 = (1,1, ― 1)，푃퐶 = (2,0, ― 1)，푃퐷 = (0, ― 1, ― 1)， 设平面 PBC 的法向量为푚 = (푎,푏,푐)， 由{푚 ⋅ 푃퐵 = 0 푚 ⋅ 푃퐶 = 0，得{푎 + 푏 ― 푐 = 0 2푎 ― 푐 = 0 ，令푎 = 1得푏 = 1，푐 = 2， ∴ 푚 = (1,1,2) 设二面角퐴 ― 푃퐵 ― 퐶大小为휃， 则푐표푠휃 = 푚 ⋅ 퐷푃 |푚| ⋅ |퐷푃| = ―1 ― 2 6 ⋅ 2 = ― 3 2 ， ∵ 0 ≤ 휃 ≤ 휋， ∴ 二面角퐴 ― 푃퐵 ― 퐶的大小휃 = 2휋 3 ．…………9 分 （Ⅲ）解:假设点 M 存在，其坐标为(푥,y，푧)，BM 与平面 PBC 所成的角为훼， 则存在 ，有퐴푀 = 휆퐴푃， 即(푥,푦 ― 1,푧) = 휆(0, ― 1,1)，푀(0,1 ― 휆,휆)， [ ]1,0∈λ 3 1 16 1sin 222 = ++ +−=⋅= λλ λα BMm BMm 第 9 页，共 14 页 则퐵푀 = ( ― 1, ― 휆,휆)，从而 化简得 ∴ 在棱 PA 上满足题意的点 M 存在．…………14 分 18．(本小题满分 15 分) 解：(Ⅰ)푎1 = 1，푎2 = 1 2，且[3 + ( ― 1)푛]푎푛 +2 ―2푎푛 +2[( ― 1)푛 ―1] = 0， 则2푎3 ―2푎1 ―4 = 0，解得푎3 = 3，…………2 分 4푎4 ―2푎2 = 0，解得푎4 = 1 4， 2푎5 ―2푎3 ―4 = 0，解得푎5 = 5， 4푎6 ―2푎4 = 0，解得푎6 = 1 8，………………5 分 当 n 为奇数时，푎푛 +2 = 푎푛 +2，푎푛 = 푛； 当 n 为偶数时，푎푛 +2 = 1 2푎푛，푎푛 = (1 2) 푛 2． 即有푎푛 = {푛,푛 为奇数 (1 2) 푛 2,푛 为偶数；……………7 分 （Ⅱ）由于2푛 ― 1为奇数，则푎2푛 ― 1 = 2푛 ― 1， 由于 2n 为偶数，则푎2푛 = (1 2)푛． 因此，푏푛 = 푎2푛 ― 1 ⋅ 푎2푛 = (2푛 ― 1) ⋅ (1 2)푛．……………10 分 푆푛 = 1 ⋅ 1 2 +3 ⋅ (1 2)2 +5 ⋅ (1 2)3 +… + (2푛 ― 3) ⋅ (1 2)푛 ― 1 +(2푛 ― 1) ⋅ (1 2)푛， 1 2푆푛 = 1 ⋅ (1 2)2 +3 ⋅ (1 2)3 +5 ⋅ (1 2)4 +… + (2푛 ― 3) ⋅ (1 2)푛 +(2푛 ― 1) ⋅ (1 2)푛 +1， [ ] 310,1,0 −=∴∈ λλ 3-10,0162 ±==−+ λλλ 解得 第 10 页，共 14 页 两式相减得1 2푆푛 = 1 ⋅ 1 2 +2[(1 2)2 +(1 2)3 +(1 2)4 +… + (1 2)푛] ― (2푛 ― 1) ⋅ (1 2)푛 +1， = 1 2 +2 ⋅ 1 4(1 ― 1 2푛 ― 1) 1 ― 1 2 ―(2푛 ― 1) ⋅ (1 2)푛 +1，…………………13 分 化简可得，푆푛 = 3 ― 2푛 + 3 2푛 ．………………15 分 19.(本小题满分 16 分) 解:（Ⅰ）设椭圆 C 的焦距为2푐(푐 > 0)，则푒 = 푐 푎 = 2 2 ， 椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为푎 + 푐 = 2 +1，…………………2 分 所以，{푎 = 2 푐 = 1 ，则푏 = 푎2 ― 푐2 = 1， 因此，椭圆 C 的标准方程为푥2 2 + 푦2 = 1；…………………5 分 （Ⅱ）设点푀(푥1,푦1)、푁(푥2,푦2)， 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立{푦 = 푘푥 + 푡 푥2 2 + 푦2 = 1 , 消去 y 并整理得(2푘2 +1)푥2 +4푘푡푥 + 2푡2 ―2 = 0． 훥 = 16푘2푡2 ―4(2푘2 +1)(2푡2 ―2) = 8(2푘2 +1 ― 푡2) > 0，得푡2 < 2푘2 +1， 由韦达定理得{푥1 + 푥2 = ― 4푘푡 2푘2 + 1 푥1푥2 = 2푡2 ― 2 2푘2 + 1 , …………………8 分 设线段 MN 的中点为 Q， 则푥1 + 푥2 2 = ― 2푘푡 2푘2 + 1，푦1 + 푦2 2 = 푘 ⋅ 푥1 + 푥2 2 +푡 = 푡 2푘2 + 1， 所以，点 Q 的坐标为( ― 2푘푡 2푘2 + 1, 푡 2푘2 + 1)．…………………10 分 由于|푀푃| = |푁푃|，则푃푄 ⊥ 푀푁， 直线 PQ 的斜率为푘푃푄 = 푚 ― 푡 2푘2 + 1 2푘푡 2푘2 + 1 = ― 1 푘，得푚 = ― 푡 2푘2 + 1.①…………………12 分 | 不 푀푁| = 1 + 푘2 ⋅ |푥1 ― 푥2| = 1 + 푘2 ⋅ (푥1 + 푥2)2 ― 4푥1푥2 = 1 + 푘2 ⋅ ( ― 4푘푡 2푘2 + 1)2 ― 4 × 2푡2 ― 2 2푘2 + 1 = 2 2 ⋅ (1 + 푘2)(2푘2 + 1 ― 푡2) 2푘2 + 1 = 2， 第 11 页，共 14 页 得푡2 = 2푘2 + 1 2(푘2 + 1)，由①式得푚2 = 푡2 (2푘2 + 1)2 = 1 (2푘2 + 2)(2푘2 + 1) ∈ (0,1 2)．…………………15 分 因此，实数 m 的取值范围为( ― 2 2 ,0) ∪ (0, 2 2 )．…………………16 分 20.(本小题满分 16 分) 解：（Ⅰ）设切点为(푥0,푓(푥0))，由푓′(푥) = 1 푥 ―푎． ∴ 푓′(푥0) = 1 푥0 ―푎． ∴ 切线方程为：푦 ― (푙푛푥0 ―푎푥0 +1) = ( 1 푥0 ―푎)(푥 ― 푥0)， 即푦 = ( 1 푥0 ―푎)푥 + 푙푛푥0．…………………2 分 ∵ 直线푦 = 2푥与函数푓(푥)的图象相切， ∴ 1 푥0 ―푎 = 2，푙푛푥0 = 0． 解得푥0 = 1，푎 = ―1． …………………4 分 （Ⅱ）设푢(푥) = 푒푥 ―푥，푥 ∈ 푅.푢′(푥) = 푒푥 ―1，可得 0 是函数푢(푥)的极小值点，可得 푢(푥) ≥ 푢(0) = 1 > 0． 由푔(푥2) = 푥2(푒푥2 ― 푥2) = 0，解得푥2 = 0．由푥1 ― 푥2 > 1， 即푥1 > 1．…………………5 分 由题意可得：函数푓(푥) = 푙푛푥 ― 푎푥 + 1在푥 ∈ (1, + ∞)上有零点． 由푓′(푥) = 1 푥 ―푎 = 1 ― 푎푥 푥 ． 当푎 ≤ 0时，푓′(푥) > 0，函数푓(푥)在푥 ∈ (1, + ∞)上单调递增，푓(푥) > 푓(1) = 1 ― 푎 > 0， 此时函数푓(푥)无零点，舍去． 当푎 > 0时，푓′(푥) = ―푎(푥 ― 1 푎) 푥 ，…………………7 分 当푎 ≥ 1时，0 < 1 푎 ≤ 1，푓′(푥) < 0，函数푓(푥)在푥 ∈ (1, + ∞)上单调递减， 第 12 页，共 14 页 푓(푥) < 푓(1) = 1 ― 푎 ≤ 0，此时函数푓(푥)无零点，舍去．当1 푎 > 1，即0 < 푎 < 1时，由 푓′(푥) = 0，解得푥 = 1 푎，可得函数푓(푥)在푥 ∈ (1,1 푎)上单调递增，在푥 ∈ (1 푎, + ∞)上单调递 减， ∴ 푥 = 1 푎时，函数푓(푥)取得极大值即最大值， ， ∴ 函数푓(푥)在푥 ∈ (1,1 푎)上无零点．…………………9 分 由 ． 令ℎ(푎) = ln4 ― 2ln푎 ― 4 푎 +1，则ℎ′(푎) = ― 2 푎 + 4 푎2 = 2(2 ― 푎) 푎2 > 0， ∴ 函数ℎ(푎)在푥 ∈ (0,1)上单调递增， ∴ ℎ(푎) < ℎ(1) = ―3 < 0， ∴ 푓( 4 푎2) < 0． ∴ 函数푓(푥)在푥 ∈ (1 푎, + ∞)上连续不断，存在唯一的零点． ∴ 푓(푥)在푥 ∈ (1 푎, + ∞)上有零点． 综上可得：푎 ∈ (0,1)．…………………11 分 （Ⅲ）证明：当푎 = ―1时，푓(푥) = 푙푛푥 + 푥 + 1， 令퐹(푥) = 푥2 +푔(푥) ― 푓(푥) = 푥푒푥 ―푙푛푥 ― 푥 ― 1， 퐹′(푥) = (푥 + 1)푒푥 ― 1 푥 ―1 = 푥 + 1 푥 (푥푒푥 ―1)．…………………12 分 令퐺(푥) = 푥푒푥 ―1，푥 > 0，则퐺′(푥) = (푥 + 1)푒푥 > 0． ∴ 函数퐺(푥)在푥 ∈ (0, + ∞)上单调递增． ∵ 퐺(0) = ―1，퐺(1) = 푒 ― 1 > 0． ∴ 函数퐺(푥)在区间(0,1)上存在一个零点，即函数퐺(푥)在区间(0, + ∞)上存在唯一零点푥0 ∈ (0,1)． ∴ 当푥 ∈ (0,푥0)时，퐺(푥) < 0，即퐹′(푥) < 0，此时函数퐹(푥)单调递减； 第 13 页，共 14 页 当푥 ∈ (푥0, + ∞)时，퐺(푥) > 0，即퐹′(푥) > 0，此时函数퐹(푥)单调递增．…………14 分 ∴ 퐹(푥)푚푖푛 = 퐹(푥0) = 푥0푒푥0 ―푙푛푥0 ― 푥0 ―1， 由퐺(푥0) = 0可得：푥0푒푥0 = 1． 两边取对数可得：푙푛푥0 + 푥0 = 0． 故 F(푥0) = 1 ― (푙푛푥0 + 푥0) ― 1 = 0， ∴ 푥2 +푔(푥) ― 푓(푥) ≥ 0，即푓(푥) ≤ 푔(푥) + 푥2．…………………16 分 第 14 页，共 14 页