苏州大学 2020 届高考考前指导卷
数学 Ⅰ
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填
在答题卡相应位置上．
1．已知集合 ， ，则 ▲ ．
2．已知纯虚数 满足 ，则实数 等于 ▲ ．
3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的 400 辆汽车的
车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根
据直方图的数据估计 400 辆汽车中时速在区间 的约有 ▲ 辆．
4．函数 的定义域为 ▲ ．
5．在直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为
▲ ．
6．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为 ▲ ．
7．展览会会务组安排了分别标有序号为“1 号”、“2 号”、“3 号”的三辆车，采用等可
能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐
第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第
三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则该嘉宾坐到“3 号”车的概率是 ▲ ．
8．已知函数 ，则 在点 处的切线的斜率为 ▲ ．
9．已知 是等比数列 前 项的和，若公比 ，则 的值是 ▲ ．
10．已知 ，则 的值是 ▲ ．
11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述比西方早一千
多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，
深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁
中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱
形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如
图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦 尺，弓形高 寸，
估算该木材的体积约为 ▲ （立方寸）．
（注：1 丈 尺 寸， ）
{ | 1 2}A x x= − ≤ ≤ { | 1}B x x= > A B =
z (1 i) 2 iz a− = + a
[90 110)，
( ) 1 2 lgf x x x= − +
2
2 1 ( 0)yx λλ− = > 3 λ
( ) cosf x x x= ( )f x ( ( ))2 2f
π π，
nS { }na n 2q = 1 3 5
6
a a a
S
+ +
2 sin cos( )4
α α π= + tan( )4
α π−
1AB = 1CD =
10= 100= π 3.14≈
开始
输出 S
结束
i≤10
i←3
N
Y
S←S+2i
（第 6 题图）
i←i＋2
S←4
墙体
C D
F
EB
A
O
（第 11 题图）12．已知函数 若存在互不相等的正实数 ，满足 且
，则 的最大值为 ▲ ．
13．已知点 P 为正方形 ABCD 内部一点（包含边界）， 分别是线段 中点．若 ，
且 ，则 的取值范围是 ▲ ．
14．已知 D 是 边 上一点，且 ，则 的最大值为
▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
的内角 的对边分别为 ，且 ， ．
（1）求 ；
（2）若 ， 是 上的点， 平分 ，求 的面积．
2| log 2 | 0 1
( )
3 1
x x
f x
x x
+
， ≤ ，
， ， 1 2 3x x x， ， 1 2 3x x x< <
1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x= = 3 1( )x f x
E F， BC CD， 0CP DP⋅ =
AP AE AFλ µ= + λ µ+
ABC△ AC 1s 43 2 coC BD A BD D A C= ∠= =， ， 3AB BC+
ABC△ A B C， ， a b c，， 1a = 3cos sinC c A=
C
3b = D AB CD ACB∠ ACD△16．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上（异于点 ），平面 ABE 与棱 PD 交于
点 F．
（1）求证： ；
（2）若 AF⊥EF，求证：平面 PAD⊥平面 ABCD．
P ABCD− P C，
AB EF∥
EF
A B
CD
P
（第 16 题图）17．（本小题满分 14 分）
如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为 1 千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实
事，拟规划在 区域种荷花，在 区域建小型水上项目．已知 ．
（1）求四边形 的面积（用 表示）；
（2）当四边形 的面积最大时，求 BD 的长（最终结果可保留根号）．
18．（本小题满分 16 分）
如 图 ， 已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 ， 短 轴 长 为 2 ， 左 、 右 顶 点 分 别 为 ． 设 点
，连接 交椭圆于点 ．
OCD△ OBD△ AOC COD θ∠ = ∠ =
OCDB θ
OCDB
2 2
2 2 1 ( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2 A B，
( 2 ) ( 0)M m m >， MA C
O
D
C
BA（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 ，求四边形 的面积．OC CM= OBMC
BA
C
M
O
y
x
（第 18 题图）19．（本小题满分 16 分）
已知函数 （其中 a 为常数）．
（1）求函数 的单调区间；
（2）设函数 有两个极值点 ，若 恒成立，求实数 的取值范围．
20．（本小题满分 16 分）
对于数列 ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 为 数列．
（1）若 的前 项和 ，试判断 是否是 数列，并说明理由；
（2）设数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，若该数列是 数列，求 的取值范围；
2( ) 2lnf x x ax x= − +
( )f x
( )f x 1 2 1 2 ( )x x x x 1 2T T= { }na P
A B C
A
xOy ( 5)P x， 1 2
3 4
= ( 2 )Q y y− ， 1 x
y
−
M．选修 4 − 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程
为 ，曲线 的参数方程为 ，求 与曲线 交点的直角坐标．
B
xOy O x l
sin( ) 24
ρ θ π− = C 2 cos 3( )sin 2 2
x
y
α αα
= − + π π
=
， ≤ ≤ l C【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
在四棱锥 中， ， ， ， ， 为正三角
形，且平面 平面 ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）线段 上是否存在一点 ，使得异面直线 和 所成的角的余弦值为
？若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由．
P ABCD− //AB CD 2 2 2 4AB CD BC AD= = = = 60DAB∠ = ° AE BE= PAD△
PAD ⊥ ABCD
P EC D− −
PC M DM PE
6
8 M
EA
CD
P
B
（第 22 题图）23．（本小题满分 10 分）
已知非空集合 满足 ．若存在非负整数 ，使得当 时，均有
，则称集合 具有性质 ．记具有性质 的集合 的个数为 ．
（1）求 的值；
（2）求 的表达式．
苏州大学 2020 届高考考前指导卷
参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． 2．2 3．280 4．
5．2 6．52 7． 8．
M {0 1 2 }M n⊆ ，， ， ， *( 2 )n n∈N≥ ， ( )k k n≤ a M∈
2k a M− ∈ M P P M ( )f n
(2)f
( )f n
{ |1 2}x x< ≤ 1(0 ]2
， 5
6
π
2
−9．
10．
11．53066 12．4 13． 14．
解答与提示：
1． ．
2． ．因为 为纯虚数，所以 解得 ．
3．由图可知，时速在区间 的频率为 ，所以时速在区间 的频率为
，所以时速在区间 的车辆约为 辆．
4．由 解得 ，即函数 的定义域为 ．
5．离心率 ，所以 ．
6．执行第一次循环 ；执行第二次循环 ；
执行第三次循环 ；执行第四次循环 ，终止循环．
所以 ．
7．记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P 1，P2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，
312，321．方案一坐“3 号”车可能：132，213，231，所以 ；方案二坐“3 号”车可能：312，321，所
以 ．则该嘉宾坐到“3 号”车的概率 ．
8． ，所以在 处的切线的斜率为 ．
9． ．
10．因为 ，解得 ，所以 ．
11．如图， （寸），则 （寸）， （寸），设圆 O 的半径为 x（寸），则
（寸）．在 ，由勾股定理可得 ，解得 （寸），
则该木材的体积约为 （立方寸）．
12．函数 的图象如右图所示，由题意， ，即 ，因为
，所以 ，令 ，构造函数
， ，所以当 时， ，所以 的最
大值为 4．
1
3
1
2
− 2 4[1 ]3 3
− ， 16 5
5
{ |1 2}A B x x=
≥ ，
，
10 2x< ≤ ( )f x 1(0 ]2
，
1 31
ce a
λ+= = = 2λ =
10 5S i= =， 20 7S i= =，
34 9S i= =， 52 11S i= =，
52S =
1
3
6P =
2
2
6P = 1 2
5
6P P P= + =
( ) cos sinf x x x x′ = − π
2x = π π( )2 2k f ′= = −
2 3
1
2
1 3 5
6
16
[1 ( ) ]
1 11
(1 ) 1 3
1
a q
a a a q
a qS q
q
−
+ + −= = =− +
−
π2 sin cos( )4
α α= + 1tan 3
α =
1 1π 13tan( ) 14 21 3
α
−
− = = −
+
10AB = 5AD = 1CD =
( 1)OD x= − Rt ADO△ 2 2 25 ( 1)x x+ − = 13x =
2 2100 13 16900x100π = π× = π ≈ 53066
( )f x 30 ( ) 2f x< < 31 9x< <
1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x= = 3 1 3 3( ) (3 )x f x x x= − 3 (1,3)t x= ∈
3 2( ) 3g t t t= − + 2( ) 3 6g t t t′ = − + 2t = max( ) (2) 4g t g= = 3 1( )x f x13 ．设正方形 ABCD 的边长为 a ，以 A 为原点， 所在直线为分别为 轴建立平面直角坐标系，则
． 设 ， 因 为 ， 所 以 ， 即
，设
又 因 为 ， ， 所 以 ， 即 所 以
，由 P 为正方形 ABCD 内部一点（包含边界），
可得 ，所以 ，所以 ．
14．法一：设 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ，
所以 ，解得 ，①
在 中， ，即 ，②
由①②可得 ．
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最大值为 ．
法二：因为 ，所以 ，即 ，
整理得到 ，两边平方后有 ，
AB AD， x y，
(0 0) ( 0) ( ) (0 )A B a C a a D a， ， ， ， ， ， ， ( )P x y， 0CP DP⋅ = ( ) ( ) 0x a y a x y a− − ⋅ − =， ，
2
2 2( ) ( )2 4
a ax y a− + − =
cos2 2
sin2
a ax
ay a
θ
θ
= +
= +
，
．
( ) ( )2 2
a aE a F a， ， ， AP AE AFλ µ= + ( ) ( ) ( )2 2
a ax y a aλ µ= +， ， ， 2
2
ax a
ay a
λ µ
λ µ
= +
= +
，
，
2 2 3 2( ) [ (sin cos )] 1 sin( )3 3 2 2 3 4
a ax ya a
λ µ θ θ θ π+ = + = + + = + +
[ 2 ]θ ∈ π π， [ ]4 4 4
θ π 5π 9π+ ∈ ， 2 2 41 sin( ) [1 ]3 4 3 3
λ µ θ π+ = + + ∈ − ，
AD t= 3CD t= 4AC t=
ABD△
2 2 2( 2)cos
2 2
t cADB
t
+ −∠ =
BDC△
2 2 2(3 ) ( 2)cos
2 2 3
t aBDC
t
+ −∠ =
⋅
cos cosADB BDC∠ = − ∠
2 2 2 2 2 2( 2) (3 ) ( 2)
2 2 2 2 3
t c t a
t t
+ − + −= −
⋅
2 2 212 3 8t c a= + −
ABC△ 2 2 2 2(4 ) 2 cosAC t a c ac B= = + − 2 2 2 116 2t a c ac= + −
2 2 39 322a c ac+ + =
2 2 2 23 3 3 532 ( 3 ) (3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 )2 2 2 8
a ca c a c a c a c
+= + − + − × = +≥
2 8 32( 3 ) 5a c
×+ ≤ 16 53 5a c+ ≤
3a c= 8 5 8 5,5 15a c= =
3AB BC+ 16 5
5
3CD AD= 3CD DA= 3( )BD BC BA BD− = −
3 1
4 4BD BA BC= + 2 2 29 1 3
16 16 8BD BA BC BA BC= + + ⋅
D C
B
A所以 即 ，
整理得到 ，
设 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
解：（1）因为 且 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
在 中，由正弦定理 ，所以 ，
所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
因为 ，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
（2）由（1）知， ，因为 ， ，
所以 的面积 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
因为 是 上的点， 平分 ，
所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
因为 ，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
16．（本小题满分 14 分）
2 29 1 32 16 16 8BA BC BA BC= + + ⋅ 2 29 1 3 12 | | | |16 16 8 4BA BC BA BC= + + ⋅ ×
2 2 332 9 | | | | | | | |2BA BC BA BC= + + ⋅
| | | |c BA a BC= = ， 2 2 23 932 9 (3 )2 2c a ac c a ac= + + = + −
29 3 3 3 3( )2 2 2 2
ac a c c a⋅ ⋅ += ≤
2 2 2 29 3 532 (3 ) (3 ) (3 ) (3 )2 8 8c a ac c a c a c a= + − + − + = +≥
8 32 16 53 5 5c a
×+ =≤ 8 5 8 5
5 15a c= =，
3AB BC+ 16 5
5
1a = 3cos sinC c A= 3 cos sina C c A=
ABC△
sin sin
a c
A C
= sin sina C c A=
3sin cos sin sinA C C A=
(0 )A∈ π， sin 0A ≠ 3cos sinC C=
(0 )C ∈ π， sin 0C ≠ cos 0C ≠ tan 3C =
(0 )C ∈ π，
3C
π=
3ACB
π∠ = 1a = 3b =
ABC△ 1 3 3 3sin sin2 2 3 4ABCS ab ACB
π= ∠ = =△
D AB CD ACB∠
1 sin 12 6
1 3sin2 6
BCD
ACD
a CDS a
S bb CD
π⋅ ⋅
= = =π⋅ ⋅
△
△
ABC ACD BCDS S S= +△ △ △
3 3 3 3 9 3
4 4 4 16ACD ABCS S= = × =△ △证：（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又 AB 平面 PDC，CD 平面 PDC，
所以 平面 PDC，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
又因为 AB 平面 ABE，平面 ABE∩平面 PDC ，
所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（2）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB⊥AD．
因为 AF⊥EF，（1）中已证 ，
所以 AB⊥AF，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
因为 AB⊥AD，由点 E 在棱 PC 上（异于点 C），
所以 F 点异于点 D，所以 ，
又 平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
又 AB 平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
17．（本小题满分 14 分）
解：（1）由题意 ，设四边形 的面积为 ，
因为四边形 可以分为 和 两部分，
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以四边形 的面积 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由（1） ，
所以 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以存在唯一的 ，使得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
AB CD∥
⊄ ⊂
AB∥
⊂ EF=
AB EF∥
AB EF∥
AF AD A=
AF AD， ⊂
⊂
AOC COD θ∠ = ∠ = OCDB ( )S θ
OCDB OCD△ OBD△
1 1( ) sin sin( 2 )2 2OCD OBDS S S OC OD OB ODθ θ θ= + = ⋅ + ⋅ π −△ △
1OB OC OD= = = 1( ) (sin sin 2 )2S θ θ θ= +
0 2 0θ θ> π − >， 0 2
θ π< <
OCDB 1( ) (sin sin 2 ) (0 )2 2S θ θ θ θ π= + ∈， ，
1( ) (sin sin 2 ) (0 )2 2S θ θ θ θ π= + ∈， ，
2 21 1( ) ( sin ) (sin cos ) cos cos sin2 2S θ θ θ θ θ θ θ′ ′ ′= + = + − 21 (4cos cos 2)2
θ θ= + −
( ) 0S θ′ = 24cos cos 2 0θ θ+ − = 1 33cos 8
θ − += 1 33cos 8
θ − −=
0 2
θ π< < 0
θ 0
1 33cos 8
θ − +=
EF
A B
CD
P当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 时， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
此时
，
从而 （千米）．
答：当四边形 的面积最大时，BD 的长为 千米．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
18．（本小题满分 16 分）
解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，短轴长为 2，
所以 解得 ，
所以该椭圆的标准方程为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
（2）因为点 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
由 消去 得 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
设 ，则 ，所以 ，所以 ．
连接 ，取 的中点 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
连接 ，因为 ，所以 ．
又 ，
00 θ θ< < ( ) 0S θ′ > ( )S θ 0(0 )θ，
0 2
θ θ π< < ( ) 0S θ′ < ( )S θ 0( )2
θ π，
0
θ θ= max 0( ) ( )S Sθ θ=
2 2 2
02 cos( 2 )BD OB OD OB OD θ= + − ⋅ π −
2 2
0 0 01 1 2cos2 2 2(2cos 1) 4cosθ θ θ= + + = + − =
0
1 332cos 4BD θ − += =
OCDB 1 33
4
− +
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
2 2 2
2 2
2
2
b
a b c
c
a
= = +
=
，
，
，
2 1a b= =，
2
2 12
x y+ =
( 2 ) ( 0) ( 2 0)M m m A> −， ， ，
AM ( 2)
2 2
my x= + 2 ( 2)4
my x= +
2
2 12
2 ( 2)4
x y
my x
+ =
= +
，
，
y 2 2 2 2( 4) 2 2 2 8 0m x m x m+ + + − =
0 0( )C x y，
2
0 2
2 82 4
mx m
−− = +
2
0 2
2 4 2
4
mx m
−= − + 0 2
4
4
my m
= +
OM OM R 2( )2 2
mR ，
CR OC CM= CR OM⊥
30
2
0
42
2 2 4 2 3 2
2
OM CR
mym m mk k
mx
− −= = =
−−
，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分
所以四边形 的面积 ．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16 分
19．（本小题满分 16 分）
解：（1）因为 ，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
令 ， ，
当 即 时， ，即 ，
所以函数 单调递增区间为 ．
当 即 或 时， ．
若 ，则 ，所以 ，即 ，
所以函数 的单调递增区间为 ．
若 ，则 ，由 即 ，得 或 ；
由 ，即 得 ．
所以函数 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无减区间；当 时，函数 的单调递增区间
为 ，单调递减区间为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由（1）得 ，
若 有两个极值点 ，则 是方程 的两个不等正实根，
由（1）知 ．则 ，故 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
要使 恒成立，只需 恒成立．
因为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
令 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
3
2
4 1
2 4 2 3 2
m m m
m
−⋅ = −
−
4 22 8 0m m+ − =
0m > 2m =
OBMC 2
1 1 4 2 42 2 2 22 2 3( 2) 4ABM AOCS S S= − = × × − × × =
+△ △
2( ) 2lnf x x ax x= − +
22 2( ) ( 0)x axf x xx
− +′ = >
2( ) 2 2p x x ax= − + 2 16a∆ = −
0∆ ≤ 4 4a− ≤ ≤ ( ) 0p x ≥ ( ) 0f x′ ≥
( )f x (0 )+ ∞，
0∆ > 4a < − 4a >
2 2
1 2
16 16
4 4
a a a ax x
− − + −= =，
4a < − 1 2 0x x< < ( ) 0p x > ( ) 0f x′ >
( )f x (0 )+ ∞，
4a > 2 1 0x x> > ( ) 0f x′ > ( ) 0p x > 10 x x< < 2x x>
( ) 0f x′ < ( ) 0p x < 1 2x x x< <
( )f x 1 2(0 ) ( )x x + ∞， ， ， 1 2( )x x，
4a ≤ ( )f x (0 )+ ∞， 4a > ( )f x
1 2(0 ) ( )x x + ∞， ， ， 1 2( )x x，
22 2( ) ( 0)x axf x xx
− +′ = >
( )f x 1 2x x， 1 2x x， 22 2 0x ax− + =
4a > 1 2 1 22 12
ax x x x+ = > =， 1 20 1x x< < <
1 2( )f x mx> 1
2
( )f x mx
>
2 2 2
31 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2
1
( ) 2ln 2 2 2ln 2 2 ln1
f x x ax x x x x x x x xx x
x
− + − − += = = − − + ，
3( ) 2 2 ln (0 1)h t t t t t t= − − + < < 2( ) 3 2lnh t t t′ = − +当 时， ， 为减函数，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
由题意，要使 恒成立，只需满足 ．
所以实数 的取值范围 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16 分
20．（本小题满分 16 分）
解：（1）由 ，可知 ，
故 对一切正整数 都成立，故 是 数列．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
（2）由题意知，该数列的前 项和为 ， ，
由数列 是 数列，可知 ，故公差 ．
对满足 中的每一个正整数 都成立，
即 对于 都成立． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
由 可得 ，故 的取值范围是 ．∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
（3）若 是 数列，则 ，
若 ，则 ，又由 对一切正整数 都成立，
可知 ，即 对一切正整数 都成立，
由 ， ，故 ，可得 ．
若 ，则 ，又由 对一切正整数 都成立，
可知 ，即 对一切正整数 都成立，
又当 时， 当 时不成立，
故有 或 解得 ．
所以 是 数列时， 与 所满足的条件为 或 12 分
下面用反证法证明命题“若 且 ，则 不是 数列”．
0 1t< < ( ) 0h t′ < ( )h t ( ) (1) 3h t h> = −
1 2( )f x mx> 3m −≤
m ( 3]−∞ −，
3 2n
nS = + 1 1 2 3n
n n na S S+ += − = ×
1 3 2 0n
n na S+ − = − > n { }na P
n ( 1)
2n
n nS n d
−= − + 1 1na nd+ = − +
1 2 3 10a a a a， ， ， ， P 2 1 1a S a> = 0d >
2
1
3(1 ) 1 02 2n n
dS a n d n+− = − + + < 1 9n≤ ≤ n
2 3(1 ) 1 02 2
d n d n− + + < 1 9n≤ ≤
2
2
31 (1 ) 1 02 2
39 9(1 ) 1 02 2
d d
d d
⋅ − + + 1n na S+ > n
1
1
n
n qaq a q
−> −
12 ( )nq q
− < n
1( ) 0n
q
> 1( ) (0 1)n
q
∈ ， 2 0q− ≤ 2q≥
0a < 1q < 1n na S+ > n
1
1
n
n qaq a q
−> − (2 ) 1nq q− < n
( 1]q∈ −∞ −， (2 ) 1nq q− < 2n =
(0 1)
(2 ) 1
q
q q
∈
− 2q≥ { }na
{ }nb { }nc 1 2T T<
{ }nc { }nb 1 2T T>
{ }nb { }nc { }nc { }nb
{ } { }n nb c′ ′， { } { }n nb c， 1 2T T′ ′，
{ },{ }n nb c′ ′ { }nb ′
ma 2m≥
2 1 2 1 1m mT a a a a T−
′ ′+ + + = =，n n
P EC D− −
P EC D− − 2
2
(0 1)PM PCλ λ= ≤ ≤ ( 2 3 3 )PM λ λ λ= − − ， ，
(1 2 3 3 3 )DM DP PM λ λ λ= + = − − ， ， (0 3 3)PE = − ， ，
2
| 6 3| 6| cos | | | 8| || | 6 10 10 4
DM PEDM PE
DM PE
λ
λ λ
⋅ −< > = = =
⋅ − +
，
1
3
λ = 2
3 M PC
2n = {0} {1} {2} {0 2} {0 1 2}M = ， ， ， ， ， ，， P
k 0 1 2 1 1，， ，， (2) 5f =
n t= P M ( )f t
1n t= + ( 1) ( ) ( 1)f t f t g t+ = + +
A
D C
B
P
E
O
x y
z其中 表示 时也具有性质 的集合 的个数，
下面计算 关于 的表达式，
此时应有 ，即 ，故对 分奇偶讨论．
①当 为偶数时， 为奇数，故应该有 ，
则对每一个 ， 和 必然属于集合 ，
且 和 ， ， 和 共有 组数，
每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合 ，
故对每一个 ，对应具有性质 的集合 的个数为 ，
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
②当 为奇数时， 为偶数，故应该有 ，
同理 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
综上，可得 又 ，
由累加法解得
即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
( 1)g t + 1t M+ ∈ P M
( 1)g t + t
2 1k t +≥ 1
2
tk
+
≥ n t=
t 1t + 2
2
tk
+
≥
k 1t + 2 1k t− − M
t 2k t− k k 1t k+ −
M
k P M 0 1 1 1
1 1 1 2t k t k
t k t k t kC C C + − + −
+ − + − + −+ + + =
2
12 2 2( 1) 2 2 2 1 2 2 1
t t t
g t
−
+ = + + + + = × −
t 1t + 1
2
tk
+≥
1 1
12 2 2( 1) 2 2 2 1 2 2 2 1
t t t
g t
+ −
+ = + + + + = × −
2
2
( ) 2 2 1( 1)
( ) 2 2 2 1
t
t
f t tf t
f t t
+ × −+ =
+ × −
，为偶数，
，为奇数，
(2) 5f =
2
1
2
6 2 5( )
4 2 5
t
t
t tf t
t t
+
× − −=
× − −
，为偶数，
，为奇数，
2
1
2
6 2 5( )
4 2 5
n
n
n nf n
n n
+
× − −=
× − −
，为偶数，
，为奇数．
微信/支付宝扫码支付