2019-2020 学年度高考模拟考试
数学试题
2020.06
注意事项：
1．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上涂写清楚；
2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． 是虚数单位，复数 ，复数 z 的共轭复数为 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
3．设 是非零向量，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在 的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．函 的图象大致为（ ）
{ }2| 5 , { 3, 2,1,2,4}A x x B= < = − − A B∩ =
{ 2,2}− { 2,1,2}− { 2,1,3,2}− [ 5, 5]−
i 2 11 2
iz ii
+= + +− z z
i 2i− 2−
,a b 0a b⋅ = a b⊥
61 ( 3)2x xx
− +
15
2
− 15
2
5
2
− 5
2
1( ) cos sin 1
x
x
ef x x e
−= ⋅ +
A． B．
C． D．
6．设 则有（ ）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，
即立圆径．“开立圆术”相当给出了一个已知球的体积 V，求这个球的直径 d 的近似公式，即 ．随
着人们对圆周率 值的认知越来越精确，还总结出了其他类似的近似公式．若取 ，试判断下列近
似公式中最精确的一个是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足 ，
E 为 的中点，则点 E 到抛物线准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B．某地气象局预报：6 月 9 日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
0.3
2
1 1 1log ,4 3 2a b = =
a b ab+ > a b ab+ < a b ab+ = a b ab− =
3 16
9d V≈
π 3.14π =
3 2d V≈ 3 16
9d V≈ 3 20
11d V≈ 3 21
11d V≈
2: 4C y x= 2AF FB=
AB
11
4
9
4
5
2
5
4
C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．在回归直线方程 中，当解释变量每增加 1 个单位时，预报变量 增加 0.1 个单位
10．线段 为圆 O 的直径，点 E，F 在圆 O 上， ，矩形 所在平面和圆 O 所在平面垂直，
且 ．则（ ）
A． 平面 B．异面直线 与 所成的角为 30°
C． 为直角三角形 D．
11．已知函数 ，其中 表示不超过实数 x 的最大整数，下列关于 结论
正确的是（ ）
A． B． 的一个周期是
C． 在 上单调递减 D． 的最大值大于
12．已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 ，则 _________．
ˆ 0.1 10y x= + y
AB / /AB EF ABCD
2, 1AB AD EF= = =
/ /DF BCE BF DC
EFC : 1: 4C BEF F ABCDV V− − =
( ) sin[cos ] cos[sin ]f x x x= + [ ]x ( )f x
cos12f
π = ( )f x 2π
( )f x (0, )π ( )f x 2
2y x= − + xy e= lny x= ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2 2x x+ = 1 2 2x xe e e+ > 1 2 2 1ln ln 0x x x x+ < 1 2 2
ex x >
tan( ) 2π α− = sin cos
sin cos
α α
α α
+ =−
14 ．在平行四边形 中， ．若 ，
则 ________．
15．5 人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是_________（用数字作答）；5 人并排
站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________（用数字作答）（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
16．设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作 x 轴的垂线，
与双曲线在第一象限的交点为 A，点 Q 坐标为 且满足 ，若在双曲线 C 的右支上存在点
P 使得 成立，则双曲线的离心率的取值范围是__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）如图，在四边形 中， ，___________，
在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．（选出一种可行的方案解答，若选
出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
① ；② ；③
（Ⅰ）求 的大小；
ABCD 1 16, 3, 60 , ,2 2AD AB DAB DE EC BF FC°= = ∠ = = = 2FG GE=
AG BD⋅ =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2 1 2, , 2F F F F c= 2F
3, 2
ac 2 2F Q F A>
1 1 2
7| | 6PF PQ F F+ <
ABCD AB AD⊥ 2DC =
23 4 ,sin 3AB BC ACB= ∠ = tan 36BAC
π ∠ + = 2 cos 2 3BC ACB AC AB∠ = −
DAC∠
（Ⅱ）求 面积的最大值．
18．（12 分）如图 1，四边形 为矩形， ，E 为 的中点，将 分别沿
、 折起得图 2，使得平面 平面 ，平面 平面 ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 F 为线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19．（12 分）已知数列 的各项均为正数，其前 n 项和 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）设 ；若称使数列 的前 n 项和为整数的正整数 n 为“优化数”，试求区间
内所有“优化数”的和 S．
20．（12 分）过去五年，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段．目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，
东部帮西部，全国一盘棋的扶贫格局逐渐形成．到 2020 年底全国 830 个贫困县都将脱贫摘帽，最后 4335
万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去 30 年脱贫人口总和．2020 年是我国打贏脱贫攻坚战收
官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”．为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”
农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于 2020 年初开始种植．已知该经济农作物每年每亩的种植
成本为 1000 元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不
影响，其具体情况如下表：
该经济农作物亩产量（ ） 900 1200
概率 0.5 0.5
ADC
ABCD 2BC AB= AD ABE DCE 、
BE CE ABE ⊥ BCE DCE ⊥ BCE
ABE ⊥ DCE
BC FA ADE
{ }na
( ) *1 ,2
n n
n
a aS n N
+= ∈
{ }na na
2
2log 1
n
n
n
ab a
+= + { }nb (0,2020)
kg
该经济农作物市场价格（元/ ） 15 20
概率 0.4 0.6
（Ⅰ）设 2020 年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列；
（Ⅱ）若该农户从 2020 年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年
中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率；
（Ⅲ）2020 年全国脱贫标准约为人均纯收入 4000 元．假设该农户是一个四口之家，且该农户在 2020 年的
家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在 2020 年底可以脱贫？
并说明理由．
21．（12 分）已知点 F 为椭圆 的右焦点，点 A 为椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求过点 F、A 且和直线 相切的圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 F 任作一条不与 x 轴重合的直线 l，直线 l 与椭圆交于 P，Q 两点，直线 分别与直线
相交于点 M，N．试证明：以线段 为直径的圆恒过点 F．
22．（12 分）已知函数 ．
（Ⅰ）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 a，b 的值；
（Ⅱ）求函数 的极值点；
（Ⅲ）设 ，若当 时，不等式 恒成立，求 a 的最小
值．
2019-2020 学年度高考模拟考试
数学参考答案
一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分）
kg
2 2
19 8
x y+ =
9x =
,PA QA 9x =
MN
( ) lnf x x a x= −
( ) ( , )y f x b a b R= + ∈ 1x = 3 0x y+ − =
1( ) ( ) ( )ag x f x a Rx
+= + ∈
1( ) ( ) ln ( 0)x xh x f x ae a aa a
= + − + > x a> ( ) 0h x
1-4：BCCA 5-8：CADB
二、多项选择题（每小题 5 分，共 20 分）
9．CD 10．BD 11．ABD 12．ABC
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 14．21 15．72 16． （注：15 题第一个空 2 分，第二个空 3 分）．
四、解答题
17．（10（Ⅰ）解：若选①在 中，由正弦定理可得： 1 分
又 可得： ，∴ 3 分
又 所以 ，所以 ； 4 分
（Ⅱ）在 中， ，由余弦定理可得：
6 分
即 8 分
∴ 10 分
当且仅当 时取“=”
若选②
（Ⅰ）由 可得：∴ ， 2 分
又 所以 ，所以 ； 4 分
（Ⅱ）在 中， ，由余弦定理可得：
1
3
3
10
3 10,2 2
ABC sin sin
AB BC
ACB BAC
=∠ ∠
23 4 ,sin 3AB BC ACB= ∠ = 1sin 2BAC∠ =
6BAC
π∠ =
AB AD⊥
2BAD
π∠ =
3DAC
π∠ =
ACD 2DC =
2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ⋅ ⋅
4AC AD⋅
1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC= ⋅ ∠ × × =
AC AD=
tan 36BAC
π ∠ + = 6BAC
π∠ =
AB AD⊥
2BAD
π∠ =
3DAC
π∠ =
ACD 2DC =
6 分
即 8 分
∴ 10 分
当且仅当 时取“=”．
若选③（Ⅰ） ，由正弦定理得：
1 分
可得： ，所以 ， 3 分
又 所以 ，所以 ； 4 分
（Ⅱ）在 中， ，由余弦定理可得：
6 分
即 8 分
∴ 10 分
当且仅当 时取“=”
18 ．（ 12 分 ） 解 ： （ Ⅰ ） 证 明 ： 在 图 1 中 ， ， 且 E 为 的 中 点 ， ∴ ， ∴
，同理 所以 ∴ ， 2 分
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 4 分
2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ⋅ ⋅
4AC AD⋅
1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC= ⋅ ∠ × × =
AC AD=
2 cos 2 3BC ACB AC AB∠ = −
2sin cos 2sin 3sinBAC ACB ABC ACB∠ ∠ = ∠ − ∠
2sin cos 2sin( ) 3sinBAC ACB ACB BAC ACB∠ ∠ = ∠ + ∠ − ∠
3cos 2BAC∠ =
6BAC
π∠ =
AB AD⊥
2BAD
π∠ =
3DAC
π∠ =
ACD 2DC =
2 2 24DC AC AD AC AD AC AD= = + − ⋅ ⋅
4AC AD⋅
1 1 3sin 4 32 2 2ADCS AC AD DAC= ⋅ ∠ × × =
AC AD=
2BC AB= AB AE AB=
45AEB °∠ = 45DEC °∠ = 90CEB °∠ = BE CE⊥
ABE ⊥ BCE ABE ∩ BCE BE=
CE ⊥ ABE
又 平面 ，所以平面 平面 5 分
（Ⅱ）由题意可知以 为坐标原点， 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，设
则 ， 6 分
向量 ，设平面 的法向量为
由 得 ，令 ，
得平面 的一个法向量为 ， 8 分
又 10 分
设直线 与平面 所成角为 ，
则
直线 与平面 所成角的正弦值为 12 分
19．（12 分）解：（Ⅰ）由数列 的前 n 和 知
当 时，
CE ⊂ DCE ABE ⊥ DCE
E ,EB EC 1AB =
2 2 2 2 2 2(0,0,0), ( 2,0,0), (0, 2,0), ,0, , 0, , , , ,02 2 2 2 2 2E B C A D F
2 2 2 2,0, , 0, ,2 2 2 2EA ED
= =
ADE ( , , )n x y z=
0
0
n EA
n ED
⋅ = ⋅ =
0
0
x z
y z
+ =
+ = 1z =
ADE ( 1, 1,1)n = − −
2 20, ,2 2FA
= −
FA ADE θ
| | 2 6sin 3| || | 1 3
FA n
FA n
θ ⋅= = =
×
FA ADE 6
3
{ }na
( )1
2
n n
n
a aS
+=
1n = ( )1 1
1 1 1
1 ,2
a aS a S
+= =
∴ ，又 ，所以 2 分
当 时，
整理得：
因为 ，所以有 4 分
所以数列 是首项 ，公差 的等差数列
数列 的通项公式为 6 分
（Ⅱ）由 知：
数列 的前 n 项和为
8 分
令
则有
由 知， 且 10 分
所以区间 内所有“优化数”的和为
12 分
( )1 1 1 0a a − = 1 0a > 1 1a =
1n > ( ) ( )1 1
1
1 1
2 2
n n n n
n n n
a a a aa S S − −
−
+ += − = −
( )( )1 1 1 0n n n na a a a− −+ − − =
1 0n na a −+ > 1 1n na a −− =
{ }na 1 1a = 1d =
{ }na 1 ( 1)na a n d n= + − =
na n= 2 2
2 2log log1 1
n
n
n
a nb a n
+ += =+ +
{ }nb
1 2 3 2 2 2 2
3 4 5 2log log log log2 3 4 1n
nb b b b n
++ + + + = + + + + +
2 2
3 4 5 2log log ( 2) 12 3 4 1
n nn
+ = × × × × = + − +
1 2 3 ( )nb b b b k k Z+ + + + = ∈
1
2log ( 2) 1 , 2 2kn k n ++ − = = −
(0,2020),n k Z∈ ∈ 10k < *k N∈
(0,2020)
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 102 2 2 2 2 2 2 2S = − + − + − + + −
( ) ( )2 9
2 3 4 10 112 1 2
2 2 2 2 18 18 2 22 20261 2
−
= + + + + − = − = − =−
20．（12 分）解：（Ⅰ）由题意知：
，
，
所以 X 的所有可能取值为：23000，17000，12500 1 分
设 A 表示事件“作物产量为 ”，则 ；
B 表示事件“作物市场价格为 15 元/ ”，则 ．
则： ， 2 分
， 3 分
， 4 分
所以 X 的分布列为：
X 23000 17000 12500
P 0.3 0.5 0.2
5 分
（Ⅱ）设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 16000 元”，
则 ， 6 分
设这三年中有 Y 年的纯收入不少于 16000 元，
则有： 7 分
所以这三年中至少有两年的纯收入不少于 16000 元的概率为
． 9 分
（Ⅲ）由（IⅠ知，2020 年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为
1200 20 1000 23000,1200 15 1000 17000× − = × − =
900 20 1000 17000,900 15 1000 12500× − = × − =
900kg ( ) 0.5P A =
kg ( ) 0.4P B =
( 23000) ( ) (1 0.5)(1 0.4) 0.3P X P A B= = ⋅ = − − =
( 17000) ( ) ( ) (1 0.5) 0.4 0.5 (1 0.4) 0.5P X P A B P A B= = ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ − =
( 12500) ( ) 0.5 0.4 0.2P X P A B= = ⋅ = × =
( ) ( 16000) ( 23000) ( 17000) 0.3 0.5 0.8P C P X P X P X= > = = + = = + =
~ (3,0.8)Y B
3 3 2 2
3 3( 2) 0.8 0.8 0.2 0.896P P Y C C= = × + × × =
（元） 10 分
11 分
凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，
所以，能预测该农户在 2020 年底可以脱贫． 12 分
21．（12 分）解：（Ⅰ）由已知得：
∴ 1 分
∵圆 C 的圆心一定在线段 中垂线 上班 2 分
由圆 C 与直线 相切，得：圆 C 的半径 3 分
设圆 C 的圆心坐标为 ，则有：
，
即圆心 4 分
∴圆 C 的方程为： 5 分
（Ⅱ）证明：当直线 l 斜率不存在时，其方程为 ，可求得 M，N 两点坐标分别为 或
，又
∴ 的斜率之积为：
∴ ． 6 分
当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为：
联立方程组： ，
( ) 23000 0.3 17000 0.5 12500 0.2 17900E X = × + × + × =
17900 40004
>
3, 2 2, 1a b c= = =
(3,0), (1,0)A F
AF 1 3 22x
+= =
9x = 9 2 7r = − =
(2, )C m
2 2| | (3 2) (0 ) 7, 4 3r AC m m= = − + − = = ±
(2, 4 3)C ±
2 2( 2) ( 4 3) 49x y− + ± =
1x = (9,8), (9, 8)M N −
(9, 8), (9,8)M N− (1,0)F
,FM FN 8 0 8 0 19 1 9 1FM FNk k
− − −⋅ = ⋅ = −− −
FM FN⊥
( ) ( )1 1 2 2( 1), , , ,y k x P x y Q x y= −
2 2
( 1)
19 8
y k x
x y
= − + =
消去 y 整理得：
∴ 8 分
又设
由 P，A，M 共线得： ，
由 Q，A，N 共线得： ， 9 分
所以 的斜率之积为：
10 分
∴ 11 分
综上可知：恒有 ．
∴以线段 为直径的圆恒过点 F． 12 分
22．（12 分）解：（Ⅰ）由 得：
∴ 1 分
由已知可得： 即 2 分
( )2 2 2 28 9 18 9 72 0k x k x k+ − + − =
2 2
1 2 1 22 2
18 9 72,8 9 8 9
k kx x x xk k
−+ = =+ +
( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x= − ⋅ − = − + +
( ) ( )9, , 9,M NM y N y
1 1
1 1
0 0 6,3 9 3 3
M
M
y y yyx x
− −= =− − −
2 2
2 2
0 0 6,3 9 3 3
N
N
y y yyx x
− −= =− − −
,FM FN
( )( )1 2
1 2
0 0 9
9 1 9 1 64 16 3 3
M N M N
FM FN
y y y y y yk k x x
− −⋅ = ⋅ = =− − − −
( )
( )
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
22 2
1 2 1 2
2 2
9 72 189 19 1 8 9 8 9 64 9 116 3 9 16 369 72 3 1816 98 9 8 9
k kkk x x x x k k k
x x x x kk k
k k
− − + − + + + + − × = = = = −− + + × − × − + + +
FM FN⊥
FM FN⊥
MN
( ) lnf x x a x= − lny x a x b= − +
( ) 1 ay f x x
′ ′= = −
(1) 1
(1) 2
f
f b
′ = −
+ =
1 1
1 2
a
b
− = −
+ =
∴ 3 分
（Ⅱ）
∴ 4 分
所以：当 ，即 时， 在 上为增函数，无极值点 5 分
当 ，即 时，
则有：当 时， ，当 时， ，
∴ 在 为减函数，在 上为增函数，
所以， 是 极小值点，无极大值点； 6 分
综上可知：当 时，函数 无极值点，
当 时，函数 的极小值点是 ，无极大值点． 7 分
（Ⅲ）
由题意知：当 时， 恒成立
又不等式 等价于： ，即
即 ① 8 分
方法（一）
①式等价于 9 分
由 知：
2, 1a b= =
1 1( ) ( ) lna ag x f x x a xx x
+ += + = − +
2 2
1 ( 1)[ ( 1)]( ) 1 ( 0)a a x x ag x xx x x
′ + + − += − − = >
1 0a + 1a − ( ) 0, ( )g x g x′ > (0, )+∞
1 0a + > 1a > −
0 1x a< < + ( ) 0g x′ < 1x a> + ( ) 0g x′ >
( )g x (0, 1)a + ( 1, )a + +∞
1x a= + ( )g x
1a − ( )g x
1a > − ( )g x 1a +
1( ) ( ) ln ln ln ( 0)x xxh x f x ae a ae x a aa a
= + − + = − + >
x a> ln ln 0xae x a− +
ln ln 0xae x a− + lnx xae a
1 lnx xe a a
lnx x xxe a a
ln
ln
x
x axxe ea
0x a> > 1,ln 0x x
a a
> >
令 ，则原不等式即为：
又 在 上为增函数
所以，原不等式等价于： ， ②
又②式等价于 ，亦即： 10 分
方法（二）
由 知：
知：①式等价于
即： 9 分
设 ，则原不等式即为：
又 在 上为增函数
所以，原不等式等价于： ， ②
又②式等价于 ，亦即： 10 分
方法（一）
设 ，则
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
又
∴当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数
( ) ( 0)xx xe xϕ = > ( ) ln xx a
ϕ ϕ
( ) ( 0)xx xe xϕ = > (0, )+∞
ln xx a
x xe a ( 0)x
xa x ae
> >
0x a> > 1,ln 0x x
a a
> >
( )ln ln lnx x xxe a a
ln ln ln lnx xx x a a
+ +
( ) ln ( 0)x x x xϕ = + > ( ) ln xx a
ϕ ϕ
( ) ln ( 0)x x x xϕ = + > (0, )+∞
ln xx a
x xe a ( 0)x
xa x ae
> >
( ) ( 0)x
xF x xe
= > 1( ) x
xF x e
′ −=
( )F x (0,1) (1, )+∞
0x a> >
0 1a< < ( )F x ( ,1)a (1, )+∞
∴ 11 分
要使原不等式恒成立，须使 ，
当 时，则 在 上为减函数，
要使原不等式恒成立，须使 ，
∴ 时，原不等式恒成立
综上可知：a 的取值范围是
所以，a 的最小值为 ． 12 分
方法（二）
又②式等价于： ，即 10 分
设 ，则
∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
当
∴当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数
∴ 11 分
要使原不等式恒成立，须使 ，即
当 时， 在 上为减函数，
∴
要使原不等式恒成立，须使
1( ) (1)F x F e
=
1 1ae
≤ <
1a ( )F x ( , )a +∞ 1( ) (1)F x F e
< =
1a e
1a
1 ,e
+∞
1
e
ln lnx x a− ln lna x x−
( ) ln ( 0)F x x x x= − > 1( ) xF x x
′ −=
( )F x (0,1) (1, )+∞
0x a> >
0 1a< < ( )F x ( ,1)a (1, )+∞
( ) (1) 1F x F = −
1 ln 0a− ≤ < 1 1ae
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