北京市西城区2020届高三6月模拟测试数学试题 含答案详解与评分标准

西城区高三模拟测试 数学 2020.6 本试卷共 6 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡上， 在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项． 1．设全集 ，集合 ，则集合 （ ） A． B． C． D． 2．设复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 4．在锐角 中，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．函数 是（ ） A．奇函数，且值域为 B．奇函数，且值域为 R C．偶函数，且值域为 D．偶函数，且值域为 R U R= { | 2}, { | 1}A x x B x x= < = < ( )U A B∪ = ( ,2)−∞ [2, )+∞ (1,2) ( ,1) [2, )−∞ ∪ +∞ 1z i= + 2z = 2i− 2i 2 2i− 2 2i+ 2 4x y= 2 4y x= 2 8x y= 2 8y x= ABC 2, 3, 6a b A π= = = cos B = 3 4 3 4 7 4 3 3 4 1( )f x x x = − (0, )+∞ (0, )+∞ 6．圆 截 x 轴所得弦的长度等于（ ） A．2 B． C． D．4 7．设 a，b，c 为非零实数，且 ，则（ ） A． B． C． D．以上三个选项都不对 8．设向量 ， 满足 ,则 的最小值为( ) A． B． C．1 D． 9．设 为等比数列，则“对于任意的 ”是“ 为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效．因地方习 俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目． 图 1 的 由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊．那么在图 2 这个六面体中，棱 与 所在直线的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面且不垂直 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 2 2 4 2 1 0x y x y+ + − + = 2 3 2 5 a b c> > a b b c− > − 1 1 1 a b c < < 2a b c+ > a b 1| | | | 1, 2a b a b= = ⋅ =    | |( )a xb x R+ ∈  5 2 3 2 2 { }na * 2, m mm N a a+∈ > { }na ABCD AB CD 11．在 的展开式中，x 的系数为________． 12．在等差数列 中，若 ，则 _________；使得数列 前 n 项的和 取到最 大值的 _________． 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________． 14．能说明“若 ，则方程 表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m，n 的 值是________． 15．已知函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时， ． 有以下三个结论： ① ； ②当 时，方程 在区间 上有三个不同的实根； ③函数 有无穷多个零点，且存在一个零点 ． 其中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 14 分） 6(1 5 )x+ { }na 1 2 516, 1a a a+ = = 1a = { }na nS n = ( 2) 0m n + ≠ 2 2 12 x y m n + =+ ( )f x ( 2) 2 ( )f x f x+ = (0,2]x ∈ ( ) 2 3xf x = − 1( 1) 2f − = − 1 1,4 2a  ∈   ( )f x a= [ 4,4]− ( )f x b Z∈ 如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 底 面 是 的 中 点 ， 且 ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 17．（本小题满分 14 分） 已知函数 同时满足下列四个条件中的三个： ①最小正周期为 ；②最大值为 2；③ ；④ ． （Ⅰ）给出函数 的解析式，并说明理由； （Ⅱ）求函数 的单调递增区间． 18．（本小题满分 14 分） 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计， 小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A，B，C，D，E，F． 在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样 调查，统计得到这 6 款软件的下载量 W（单位：人次）与使用量 U（单位：人次），数据用柱状图表示如下： 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ , ,ABC AC BC D⊥ 1 1AC 1 2AC BC AA= = = 1 / /BC 1AB D BC 1AB D ( ) sin( ) 0, 0,0 2f x A x A πω ϕ ω ϕ = + > > < − 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > (0,1)C 3 2 CD AD 4OP OQ⋅ =  21．（本小题满分 14 分） 如图，表 1 是一个由 个非负实数组成的 40 行 20 列的数表，其中 表示位于第 m 行第 n 列的数．将表 1 中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所 在的列的位置），得到表 2（即 ，其中 ）． 表 1 … … … … … … … 表 2 … … … … … … … （Ⅰ）判断是否存在表 1，使得表 2 中的 等于 ？等于 呢？ （结论不需要证明） （Ⅱ）如果 ，且对于任意的 ，都有 成立，对于任意的 ，都有 成立，证明： ； （ Ⅲ ） 若 ， 求 最 小 的 正 整 数 k ， 使 得 任 给 ， 都 有 成立． 40 20× , ( 1,2, ,40; 1,2, ,20)m na m n= =  , 1,i j i jb b + 1,2, ,39; 1,2, ,20i j= =  1 1,a 1,2a 1,20a 2,1a 2,2a 2,20a 40,1a 40,2a 40,20a 1 1,b 1 2,b 1 20,b 2 1,b 2 2,b 2,20b 40,1b 40,2b 40,20b , ( 1,2, ,40; 1,2, ,20)i jb i j= =  100 i j− − 2 ji −+ 40,20 1b = 1,2, ,39; 1,2, ,20i j= =  , 1, 1i j i jb b +−  1,2, ,40; 1,2, ,19m n= =  , , 1 2m n m nb b +−  1,1 78b  ,1 ,2 ,20 19( 1,2, ,40)i i ia a a i+ + + =  i k ,1 ,2 ,20 19i i ib b b+ + +  西城区高三模拟测试 数学参考答案 2020.6 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分． 1．D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分． 11．30 12．9，5 13． 14．答案不唯一．如 15．①② 注：第 12 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 16．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）如图，连接 ．设 ，并连接 ． 由三棱柱 ，得 ． 2 分 又因为 D 是 的中点， 所以 ． 4 分 4 又因为 平面 平面 ， 所以 平面 ． 6 分 4 5 4+ 3, 1m n= = 1A B 1 1A B AB E∩ = DE 1 1 1ABC A B C− 1A E BE= 1 1AC 1 / /BC DE 1BC ⊄ 1 ,AB D DE ⊂ 1AB D 1 / /BC 1AB D （Ⅱ）因为 底面 ， ， 所以 两两垂直，故分别以 为 x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 7 分 则 ， 所以 ， 8 分 设平面 的法向量 ， 由 ，得 令 ，得 ． 11 分 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 14 分 17．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）若函数 满足条件③， 则 ， 这与 矛盾，故 不能满足条件③， 所以函数 只能满足条件①，②，④． 2 分 由条件①，得 ， 1CC ⊥ ABC AC BC⊥ 1, ,CA CB CC 1, ,CA CB CC 1(0,0,0), (0,2,0), (2,0,0), (0,2,2), (1,0,2)C B A B D 1 1( 2,2,2), (1, 2,0), (0, 2,0)AB B D BC= − = − = −   1AB D ( , , )n x y z= 1 10, 0AB n B D n⋅ = ⋅ =    2 2 2 0, 2 0, x y z x y − + + =  − = 1y = (2,1,1)n = BC 1AB D θ 6sin |cos , | 6| | | | BC nBC n BC n θ ⋅= < > = = ⋅      BC 1AB D 6 6 ( )f x (0) sin 1f A ϕ= = − 0,0 2A πϕ> < < ( )f x ( )f x 2 | | π πω = 又因为 ，所以 ． 4 分 由条件②，得 ． 5 分 由条件④，得 ， 又因为 ，所以 ． 所以 ． 8 分 （Ⅱ）由 ， 10 分 得 ， 12 分 所以函数 的单调递增区间为 ． 14 分 （注：单调区间写成开区间亦可．） 18．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率 ． 所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件”． 2 分 记事件 M 为“在 6 款软件中任取 1 款，该款软件是有效下载软件”， 3 分 则事件 M 的概率 ． 4 分 （Ⅱ）随机变量 X 的可能取值为 2，3，4． 5 分 0ω > 2ω = 2A = 2sin 06 3f π π ϕ   − = − + =       0 2 πϕ< < 3 πϕ = ( ) 2sin 2 3f x x π = +   2 2 2 ,2 3 2k x k k Z π π ππ π− + + ∈  5 12 12k x k π ππ π− +  ( )f x 5 , ,12 12k k k Z π ππ π − + ∈   91 84 69 54 64 630.9, 0.9, 0.9, 0.9, 0.9, 0.996 91 85 74 69 65A B C D E Ft t t t t t= > = > = < = < = > = > 4 2( ) 6 3P M = = 则 ． 8 分 所以随机变量 X 的分布列为： X 2 3 4 P 9 分 所以随机变量 X 的数学期望 ． 10 分 （Ⅲ）不能认为大约有 x%的软件为“有效下载软件”． 理由如下： 若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估 计总体． 用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取． 但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前 6 名”的软件， 不是从所有软件中随机抽取 6 款作为样本． 故不能认为大约有 x%的软件为“有效下载软件”． 14 分 19．（本小题满分 15 分） 解：（Ⅰ）由 ，得 ， 2 分 则 ． 所以曲线 在点 处的切线为 ． 4 分 将点 代入切线方程，得 ． 5 分 2 2 3 1 4 4 2 4 2 4 4 4 4 6 6 6 2 8 1( 2) , ( 3) , ( 4)5 15 15 C C C C CP X P X P XC C C = = = = = = = = = 2 5 8 15 1 15 2 8 1 82 3 45 15 15 3EX = × + × + × = ( ) lnf x ax x= ( ) lnf x a x a′ = + (1) 0, (1)f f a′= = ( )y f x= (1, (1))f ( 1)y a x= − (3,2) 1a = （Ⅱ）由题意，得 ． 令 ，得 ． 随着 x 变化， 与 的变化情况如下表所示： - 0 + 极小值 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 9 分 所以函数 存在极小值，且极小值为 ；函数 不存在极大值． 10 分 （Ⅲ）“ ”等价于“ ”． 11 分 由（Ⅱ），得 （当且仅当 时等号成立）． ① 所以 ． 故只要证明 即可（需验证等号不同时成立）． 12 分 设 ，则 ． 13 分 因为当 时， ；当 时， ， ( ) ln , ( ) ln 1f x x x f x x′= = + ( ) 0f x′ = 1x e = ( )f x′ ( )f x x 10, e     1 e 1 ,e  +∞   ( )f x′ ( )f x   ( )f x 10, e     1 ,e  +∞   ( )f x 1 1f e e   = −   ( )f x 2( ) x xf x e e > − 2ln 0x xx x e e − + > 1( ) lnf x x x e = − 1x e = 2 1ln x x x xx x e e e e − + − 1 0x x e e − ≥ 1( ) , (0, )x xg x xe e = − ∈ +∞ 1( ) x xg x e ′ −= (0,1)x ∈ 1( ) 0x xg x e ′ −= < (1, )x ∈ +∞ 1( ) 0x xg x e ′ −= > 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 所以 （当且仅当 时等号成立）． ② 因为①②两个不等式中的等号不同时成立， 所以当 时， ． 15 分 20．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意，得 ． 2 分 又因为 ， 3 分 所以 ． 故椭圆 E 的方程为 ． 5 分 （Ⅱ） ． 设 ，则 ． 6 分 所以直线 的方程为 ， 7 分 令 ，得点 P 的坐标为 ． 8 分 设 ，由 ，得 （显然 ）． 9 分 直线 的方程为 ， 10 分 ( )g x (0,1) (1, )+∞ ( ) (1) 0g x g = 1x = (0, )x ∈ +∞ 2( ) x xf x e e > − 31, 2 cb a = = 2 2 2a b c= + 2, 3a c= = 2 2 14 x y+ = ( 2,0), (2,0)A B− ( )( )0 0 0 0, 0D x y x y ≠ 2 20 0 14 x y+ = CD 0 0 1 1yy xx −= + 0y = 0 0 ,01 x y    −  ( ),Q QQ x y 4OP OQ⋅ =  ( )0 0 4 1 Q yx x −= 2Qx ≠ AD 0 0 ( 2)2 yy xx = ++ 将 代入，得 ，即 ． 11 分 故直线 的斜率存在，且 12 分 ． 13 分 又因为直线 的斜率 ， 所以 ，即 C，B，Q 三点共线． 14 分 21．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）存在表 1，使得 ；不存在表 1，使得 等于 ． 3 分 （Ⅱ）因为对于任意的 ，都有 ， 所以 ， 所以 ， 即 ． 6 分 又因为对于 ，都有 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． Qx ( ) ( )0 0 0 0 0 4 4 2 2Q y y xy x x − += + ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 4 1 4 4 2, 2 y y y xQ x x x  − − +  +  BQ ( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 4 4 2 2 2 4 4 2 Q BQ Q y y y xk x x y x − += =− + − − 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 4 2 4 y y x y x x y y − += − − − 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 4 2 4 2 y y x y y x y y − += = −− − BC 1 2BCk = − BC BQk k= , 100i jb i j= − − ,i jb 2 ji −+ 1,2, ,39; 1,2, ,20i j= =  , 1, 1i j i jb b +−  1,20 2,20 2,20 3,20 39,20 40,201, 1, , 1b b b b b b− − −   ( ) ( ) ( )1,20 2,20 2,20 3,20 39,20 40,20 39b b b b b b− + − +…+ −  1,20 40,20 39 40b b + = 1,2, ,40; 1,2, ,19m n= =  , , 1 2m n m nb n +−  1,1 1,2 1,2 1,3 1,19 1,202, 2, , 2b b b b b b− − −   ( ) ( ) ( )1,1 1,2 1,2 1,3 1,19 1,20 38b b b b b b− + − +…+ −  1,1 1,20 38 40 38 78b b + + =  即 ． 8 分 （Ⅲ）当表 1 如下图时： 0 1 1 … 1 1 0 1 1 … 1 1 1 0 1 … 1 1 1 0 1 … 1 1 1 1 0 … 1 1 1 1 0 … 1 1 … … … … … … 1 1 1 … 0 1 1 1 1 … 0 1 1 1 1 … 1 0 1 1 1 … 1 0 其中，每行恰好有 1 个 0 和 19 个 1：每列恰好有 2 个 0 和 38 个 1：因此每行的和均为 19．符合题意． 重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20：后 2 行各数均为 0，因此 ． 10 分 以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全 部实数（即包含 ）． 假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数． 则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的 个数， 这与表 2 中前 39 行中共有 个数矛盾． 所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全部实数． 12 分 1,1 78b  39k ,1 ,2 ,20, , ,r r ra a a 40 19 760× = 39 20 780× = 其次，在表 2 中，根据重排规则得：当 时， ， 所以 ． 所以 ． 综上， ． 14 分 39i , 39, , ( 1,2, ,20)i j j r jb b a j =   ,1 ,2 ,20 ,1 ,2 ,20 19i i i r r rb b b a a a+ + + + + +   39k 39k =