绝密 ★ 启用前
2020 年全国 I 卷高三最新信息卷
文 科 数 学（七）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自
己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 是虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．你知道毕达哥拉斯树吗？在古希腊数学家之中，毕达哥拉斯是最为人们所熟悉、出类拔萃的大
数学家，毕达哥拉斯在西方首次证明了“毕达哥拉斯定理”．在当时的西方引起了轰动，并为此举
行了一个“百牛大祭”以表庆贺．如图是重复上述步聚若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达
哥拉斯树”．如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程；正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三
角形上再连接着正方形，由此继续，设初始正方形边长为 ，当得到 个正方形时，“向该图内随
机投入一点，该点落在三角形内”的概率 （ ）
A． B． C． D．
5．函数 的部分图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．某校共有学生 名，各年级男、女人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取 名，抽到
高二女生的概率是 ，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取 人，则应在高
三年级中抽取的学生人数为（ ）
A． B． C． D．
7． ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知非零向量 ， ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
{ | ( 2) 0}M x x x= − < { 2, 1,0,1,2}N = − − M N =
{0,1,2} { 2, 1}− − {1} { 2, 1,0,2}− −
i 1 iz = + 2z z+ =
1 i+ 1 i− 1 i− − 1 i− +
0.82a = 0.31( )2b −= 1 ln52c = a b c
b a c< < c b a< < c a b< < a b c< <
4 63
P =
3
19
1
6
1
5
5
29
2
8cos( ) 2π
xf x x
= +
2000 1
0.19 64
12 14 16 18
2sin( )12 4
π α+ = sin( 2 )3
π α− =
2
4
3
4
7
4
3
4
−
a b | | 2=a 3 | |⋅ =a b b | | ( 0)λ λ− >a b
3
2
1 3 2
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 9．某程序框图如图所示，其中 ，若输出 ，则判断框内可以填入的条件为
（ ）
A． B． C． D．
10． 的三个内角 所对的边分别为 ， 在边 上，且 ，
， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右两个顶点分别为 ， ， 是双曲线 上任意一点，直
线 分别与直线 ， 交于 ， 两点，则 面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的函数 关于 轴对称，其导函数为 ，当 时，不等式
，若对 ，不等式 恒成立，则正整数 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．曲线 在 时的切线方程为 ．
14．已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ，若 为数列 的
前 项和，则 的最小值为 ．
15．已知函数 满足 ， ，且 在区间 上
单调，则 的最大值为 ．
16．下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成，且前后，左右，
上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 的正方形，高为 ，且两个四棱柱的侧棱互相互相垂
直，则这个几何体的体积为 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）滕州市公交公司一切为市民着想，为方便市区学生的上下学，专门开通了学生公交专
线，在学生上学、放学的时间段运行，为了更好地掌握发车间隔时间，公司工作，人员对滕州二中
车站发射间隔时间与候车人数之间的人数进行了调查研究，现得到如下数据：
调查小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 组，用剩下的 组数据求线性回归方程，再
用被选取的 组数据进行检验：
（1）求选取的 组数据的不相邻的概率；
（2）若选取的是前两组数据，请根据后四组数据，求出 关于 的线性回归方程 ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 人，则称为最佳回归
方程，在（2）中求出的回归方程是否是最佳回归方程？若规定一辆公交车的载客人数不超过
人，则间隔时间设置为 分钟，是否合适？
参考公式： ， ．
2
1( )g n n n
= +
2020
2021S =
2021?n < 2021?n ≤ 2021?n > 2021?n ≥
ABC△ , ,A B C , ,a b c M AB 1
3AM AB=
2b = 2 7
3CM = 2sin sin
sin 2
A B c
B b
− = ABCS =△
3 3
4 3 2 3 8 3
3
2
2: 18
xC y− = A B P C
2x = − AP BP M N AMN△
1
2
3
2
2 6
2
R ( )f x y ( )f x′ 0x ≥
( ) 1 ( )xf x f x′ > − x∀ ∈R ( ) ( ) 0x x xe f e e ax axf ax− + − > a
1 2 3 4
ln( ) xf x x
= x e=
{ }na 0d ≠ 1a 3a 9a 1 2a = nS { }na
n 4 50
1
n
n
S
a
+
+
( ) 2sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > π( ) 24f = (π) 0f = ( )f x π π( , )4 3
ω
2 4
2 4
2
2
y x ˆˆ ˆy bx a= +
1
35
18
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nxy x x y y
b
x nx x x
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −18．（12 分）在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 ．
（1）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 都有 ，求实数
的取值范围．
19．（12 分）如图 1，在梯形 中， ， ， ，过 ， 分别作 的
垂线，垂足分别为 ， ，已知 ， ，把 ， 分别沿 ， 向上
折起，使得 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
{ }na 1 1a = 2 3a = *n∈N 2 13 2n n na a a+ += −
1{ }n na a+ − { }na
1
2n
n
n n
b a a +
= { }nb n nS *n∈N
1
n
n
S ma
≥ +
m
ABCD AB CD∥ 2AB = 5CD = A B CD
E F 1DE = 2AE = ADE△ CBF△ AE BF
DE FC∥ 60DEF∠ = °
BE∥ ACD
C AED−20．（12 分）已知椭圆 ，过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且与
轴相交于 点．
（1）由 ，求直线 的方程；
（2）设 关于 轴的对称点为 ，证明：直线 过 轴上的定点．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ ， ， 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，且曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 ， ， 的值；
2 2
: 16 2
x yE + = ( 4,0)Q − l E A B y
P
3
2PA AQ= l
A x C BC x
2 4 2( ) x
x xf x e
+ +=
( )f x
( 2,0]x∈ − 2 ( 1) ( )m x f x+ > m
xOy l
2
2
21 2
x t
y t
= −
= +
t C
cos
sin
x m
y a n
α
α
=
= + 0m > 0n > α x
C 8sinρ θ=
a m n（2）已知点 的直角坐标为 ， 与曲线 交于 ， 两点，求 ．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知 ．
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 （ ， ）对任意 都成立，证明： ．
P (0,1) l C A B PA PB+
( ) 3 2 3 1f x x x= + + −
( ) (5)f x f>
1 1( ) 2f x m n
≥ + 0m > 0n > x ∈ R 42 7m n+ ≥绝密 ★ 启用前
2020 年全国 I 卷高三最新信息卷
文科数学（七）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由 ，解得 ，故 ，
又 ，所以 ．
2．【答案】A
【解析】∵复数 ，∴ ， ，则 ，
故选 A．
3．【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，故选 B．
4．【答案】D
【解析】由图形可推理出 个正方形为第 次操作，
第一次操作后正方形面积为 ，三角形面积为 ；
第二次操作后正方形面积为 ，三角形面积为 ；
第三次操作后正方形面积为 ，三角形面积为 ；
…；
由此类推可得：第 次操作后正方形面积为 ，三角形面积为 ，
第一次操作后正方形个数为 ，第二次操作后正方形个数为 ，
第三次操作后正方形个数为 ，第四次操作后正方形个数为
，第五次操作后正方形个数为 ，
则由几何概型可得概率为面积之比，即 ，
故选 D．
5．【答案】A
【解析】由题意，因为 ，所以 ，
所以函数 是偶函数，图象关于 轴对称，排除选项 C；
又因为当 时， ，所以排除选项 B；
令 ，则 ，故选 A．
6．【答案】C
【解析】依题意，得 ， ，
则应在高三年级中抽取的学生人数为 ．
7．【答案】B
【解析】依题意， ，故选 B．
8．【答案】B
【解析】设 ， 的夹角为 ，
因为 ， ，所以 ，
设 ，如图，
那么 轴时， ．
9．【答案】A
( 2) 0x x − < 0 2x< < { | ( 2) 0} { | 0 2}M x x x x x= − < = < <
{ 2, 1,0,1,2}N = − − {1}M N =
1 iz = + 1 iz = − 2 2(1 i) 2iz = + = 2 1 i 2i 1 iz z+ = − + = +
0.3 0.3 0.81( ) 2 22b a−= = < = 1 b a< <
1 ln5 ln 5 ln 12c e= = < = c b a< <
63 5
32 4
48 8
64 12
n 16( 1)n + 4n
1 2 3+ = 1 2 4 7+ + =
1 2 4 8 15+ + + =
1 2 4 8 16 31+ + + + = 1 2 4 8 16 32 63+ + + + + =
4 5 20 5
16 6 4 5 116 29P
×= = =× + ×
2
8cos( ) 2π
xf x x
= + 2
8cos( )( ) ( )( ) 2π
xf x f xx
−− = =− +
2
8cos( ) 2π
xf x x
= + y
0x = 4
πy =
1x = 8cos1 01 2πy = >+
0.19 2000 380a = × = 2000 (385 375 380 360) 500b c+ = − + + + =
64 500 162000
× =
2π π 3sin( 2 ) cos( 2 ) 1 2sin ( )3 6 12
π
4
α α α− = + = − + =
a b θ
| || | cosθ⋅ =a b a b 3 | |⋅ =a b b 3cos 2
θ =
OBλ = b
AB x⊥ min| | 2sin30 1λ− = ° =a b【解析】由
，
解得 ，
可得 的值为 时，满足判断框内的条件，
当 的值为 时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出 的值，
故判断框内可以填入的条件为“ ”．
10．【答案】B
【解析】 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得 或 （不合题意，舍去），
∴ 的面积为 ．
11．【答案】D
【解析】由题意知， 的边 上的高为 ，要使 面积最小，
即求 的最小值．
由条件可知 ， ，
不妨设直线 ， 的斜率分别为 ， （ ， ）， ，
则 ，
∵点 在双曲线 上，∴ ，∴ ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
即 ，
当且仅当 时，取等号，此时 关于 轴对称，
其面积最小值为 ．
12．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
又因为 是在 上的偶函数，所以 是在 上的奇函数，
所以 是在 上的单调递增函数，
又因为 ，
可化为 ，即 ，
又因为 是在 上的单调递增函数，所以 恒成立，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 ，所以 ，
所以正整数 的最大值为 ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 11 1 2 2 2 2 3 1 1S n n n n n
= + + + = − + − + + − = −+ + + + +
2020
1 2021
n
n
= =+
2020n =
n 2020
n 2021 S
2021?n <
ABC△ 2sin sin
sin 2
A B c
B b
− = 2sin sin sin
sin 2 sin
A B C
B B
− =
2sin cos 2sin sinC B A B= −
2sin cos 2(sin cos cos sin ) sinC B B C B C B= + − 1cos 2C =
(0,π)C ∈ 60C = °
1
3AM AB= 1 1 2 1( )3 3 3 3CM CA AM CA AB CA CB CA CA CB= + = + = + − = +
3 2CM CA CB= + 2 2 2
9 4 4CM CA CB CA CB= + + ⋅
228 16 4a a= + + 2a = 6a = −
ABC△ 1 2 2sin 60 32ABCS = × × ° =△
AMN△ MN 2 AMN△
MN
( 2 2,0)A − (2 2,0)B
AP BP 1k 2k 1 0k ≠ 2 0k ≠ 0 0( , )P x y
2
0 0 0
1 2 2
00 0 82 2 2 2
y y yk k xx x
⋅ = ⋅ = −+ −
0 0( , )P x y
2
2: 18
xC y− =
2
20
0 18
x y− =
2
0
1 2 2
0
1
8 8
yk k x
⋅ = =−
AP 1( 2 2)y k x= + 2x = − 1( 2, 2 )M k−
BP 2 ( 2 2)y k x= − 2x = − 2( 2, 3 2 )N k− −
1 2 1 2 1 22 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3MN k k k k k k= + = + ≥ ⋅ =
1 22 3 2k k= AMN△ y
1 63 22 2
× × =
( ) 1 ( )xf x f x′ > − ( ) 1 ( ) 0xf x f x′ − + >
( ) [ ( ) 1]F x x f x= − ( ) ( ) ( ) 1 0F x xf x f x′ ′= + − >
( )f x R ( )F x R
( )F x R
( ) ( )x x xe f e axf ax e ax− > −
[ ( ) 1] [ ( ) 1]x xe f e ax f ax− > − ( ) ( )xF e F ax>
( )F x R 0xe ax− >
( ) xg x e ax= − ( ) xg x e a′ = −
0a > ( )g x ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
min( ) ln 0g x a a a= − > 1 ln 0a− > 0 a e< <
a 213．【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以切点坐标为 ，所以切线方程为 ．
14．【答案】
【解析】 ， ， 成等比数列， ，∴ ，
由题意得 ，解得 （舍）或 ，
可得 ， ， ，
当且仅当 时等号成立，
∴ 的最小值为 ．
15．【答案】
【解析】因为 在区间 上单调，
所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
当 ，所以 ．
16．【答案】
【解析】该几何体的直观图如图所示，
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，
两个四棱柱的体积和为 ，
交叉部分的体积为四棱锥 的体积的 倍，
在等腰 中， ， 边上的高为 ，则 ，
则由该几何体前后，左右，上下对称，知四边形 为边长为 的菱形，
设 的中点为 ，连接 ， ，易证 即为四棱锥 的高，
在 中， ，
又 ，∴ ，
因为 ，所以 ，
所以所求体积为 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ；（3）是最佳回归方程，合适．
【解析】（1）设抽到不相邻的两组的数据为事件 ，
设这 组数据分别为 ， ， ， ， ， ，从中选取 组数据共有 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种情况，
其中，抽到相邻数据的情况有 ， ， ， ， 共 种情况，
∴ ．
（2）后四组数据是：
∴ ， ，
又 ， ，
∴ ，
1y e
=
2
1 ln( ) xf x x
−′ = ( ) 0f e′ =
1( )f e e
= 1( , )e e
1y e
=
14
1a 3a 9a 1 2a = 2
3 1 9a a a=
2(2 2 ) 2 (2 8 )d d+ = × + 0d = 2d =
2na n= 2
nS n n= +
2 24 50 4 4 50 (2 1) 49 492 1 141 2 1 2 1 2 1
n
n
S n n n na n n n
+ + + + += = = + + ≥+ + + +
3n =
4 50
1
n
n
S
a
+
+ 14
34
3
( )f x π π( , )4 3
π π π π 2π π 0 122 3 4 12 6 6
T T ωω≥ − = ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ≤
π( ) 24f = (π) 0f = 2 1 π 3ππ4 4 4
k T
− = − = *k ∈N
3π 2π 3π 4 2
2 1 2 1 3
kT k k
ωω
−= ⇒ = ⇒ =− −
*k ∈N
4 2 12 93
k kω −= ≤ ⇒ ≤ max
4 9 2 34
3 3
ω × −= =
16 232 3
−
2 2 2 4 32V = × × × =
S ABCD− 2
ABS△ 2 2SB = SB 2 6SA =
ABCD 6
AC H BH SH SH S ABCD−
ABHRt△ 2 2 6 2 2BH AB AH= − = − =
2 2AC SB= = 12 2 2 2 4 22ABCDS = × × × =
BH SH= 1 1 8 22 4 2 23 3 3ABCDS ABCDV S− = × = × × =
四棱锥
8 2 16 232 2 323 3
− × = −
2
3
ˆ 1.4 9.6y x= +
4
6 1 2 3 4 5 6 2 12 13 14 15 16
23 24 25 26 34 35 36 45 46 56 15
12 23 34 45 56 5
5 2( ) 1 15 3P A = − =
13 12 15 14 13.54x
+ + += = 29 26 31 28 28.54y
+ + += =
1
13 29 12 26 15 31 14 28 1546
n
i i
i
x y
=
= × + × + × + × =∑ 2 2 2 2 2
1
13 12 15 14 734
n
i
i
x
=
= + + + =∑
1
2
2 2
1
1546 4 13.5 28.5ˆ 1.4734 4 13.5
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
− − × ×= = =− ×−
∑
∑则 ，∴ 关于 的线性回归方程为 ．
（3）由（2）知，当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，∴求出的回归方程是最佳回归方程；
当 时， ，
∵ ，∴间隔时间设置为 分钟合适．
18．【答案】（1）证明见解析； ；（2） ．
【解析】（1）由 ，可得 ，
又 ， ，∴ ，∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴
，
又∵对任何的 都有 ，∴ 恒成立，
即 ，即当 时， ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）设 ，取 中点 ，连接 ，
∵四边形 为正方形，∴ 为 中点，∴ 且 ，
又 ，所以可得到 且 ，所以四边形 平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ．
（2）连接 ，由 ， ， ，可得 ， ，
由已知条件也易得出 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，即 为三棱锥 的高，
又 ，所以 ．
20．【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析．
【解析】（1）由条件可知直线 的斜率存在，
可设直线 的方程为 ，则 ，
由 ，有 ，所以 ， ，
由 在椭圆 上，则 ，解得 ，
此时 在椭圆 内部，所以满足直线 与椭圆相交，
故所求直线 方程为 或 ．
（2）设 ， ， ，
直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
由 ，解得 ，
ˆˆ 28.5 1.4 13.5 9.6a y bx= − = − × = y x ˆ 1.4 9.6y x= +
10x = ˆ 23.6y = 23.6 23 1− <
11x = ˆ 25y = 25 25 1− <
18x = ˆ 1.4 18 9.6 34.8y = × + =
34.8 35< 18
2 1n
na = − 1
3m ≤ −
2 13 2n n na a a+ += − 2 1 12( )n n n na a a a+ + +− = −
1 1a = 2 3a = 2 1 2a a− = 1{ }n na a+ − 2 2
1 2n
n na a+ − =
2 1
1 2 1 1( ) ( ) 1 2 2 2 2 1n n
n n na a a a a a −
−= + − + + − = + + + + = −
1
1 1 1
2 (2 1) (2 1) 1 1
(2 1)(2 1) (2 1)(2 1) 2 1 2 1
n n n
n n n n n n nb
+
+ + +
− − −= = = −− − − − − −
1 2 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nS b b b += + + + = − + − + + −− − − − − −
1
11 2 1n+= − −
*n∈N
1
n
n
S ma
≥ +
1
1 11 2 1 2 1n nm +≤ − −− −
min1
1 1(1 )2 1 2 1n nm +≤ − −− − 1n = 1
3m ≤ −
3
3C ADEV − =
AF BE O= AC M OM
ABFE O AF 1
2OM CF∥ 1 12OM CF= =
DE FC∥ OM DE∥ OM DE= OMDE
OE DM∥ DM ⊂ ACD OE ⊄ ACD
OE∥ ACD BE∥ ACD
DF 1DE = 2AE = 60DEF∠ = ° DF DE⊥ 3DF =
AE ⊥ CDEF DF AE⊥
DE AE E= DF ⊥ ADE DF F ADE−
DE FC∥ 1 1 32 1 33 2 3C ADE F ADEV V− −= = × × × × =
2 2
8 2y x= + 2 2
8 2y x= − −
l
l ( 4)y k x= + (0,4 )P k
3
2PA AQ= 3( , 4 ) ( 4 , )2A A A Ax y k x y− = − − − 12
5Ax = − 8
5A
ky =
12 8( , )5 5
kA − E
2 212 8( ) ( )5 5 16 2
k−
+ =
2
8k = ±
2(0, )2P ± E l
l 2 2
8 2y x= + 2 2
8 2y x= − −
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 1( , )C x y−
BC 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( ) 0y y x x x y x y x y+ + − − + =
2 2
( 4)
3 6
y k x
x y
= +
+ =
2 2 2 2(1 3 ) 24 48 6 0k x k x k+ + + − =
2 2 2 2(24 ) 4(1 3 )(48 6) 0Δ k k k= − + − > 2 1
5k 1 3 1 3x− − < < − + ( )f x ( 1 3, 1 3)− − − +
( ) 0g x < 1 3x < − − 1 3x > − + ( )f x ( , 1 3)−∞ − − ( 1 3, )− + +∞
2( ) 2 ( 1) 4 2xh x me x x x= + − − −
(0) 0 2 2 1h m m> ⇒ > ⇒ > ( ) 0h x′ = 2x = − lnx m= −
( 2,0]x∈ − 2( 2) 0x + >
21 m e< < ln ( 2,0)m− ∈ − ( 2, ln )x m∈ − − ( ) 0h x′ <
( ln ,0)x m∈ − ( ) 0h x′ >
min( ) ( ln ) ln (2 ln ) 0h x h m m m= − = ⋅ − >
( 2,0]x∈ − ( ) 0h x >
2m e= 2( ) 2( 2)( 1)xh x x e +′ = + −
( 2,0]x∈ − ( ) 0h x′ > ( )h x 2 2( 2) 2 ( 1) 4 8 2 0h e e−− = − − + − =
( 2,0]x∈ − ( ) ( 2) 0h x h> − =
2m e> 2( 2) 2 2 0mh e
− = − + < (0) 2 2 0h m= − >
0 ( 2,0)x ∈ − 0( ) 0h x = ( ) 0h x >
m 2(1, ]e
4a m n= = = 46
8sinρ θ= 2 8 sinρ ρ θ=
2 2 8x y y+ = 2 2( 4) 16x y+ − =
0m > 0n > 4a m n= = =
2
2
21 2
x t
y t
= −
= +
2 2( 4) 16x y+ − = 2 3 2 7 0t t− − =
A B 1t 2t 1 2 3 2 0t t+ = > 1 2 7 0t t = − <
2
1 2 1 2 1 2( ) 4 46PA PB t t t t t t+ = − = + − =
20( , ) (5, )3
−∞ − +∞
( ) (5)f x f> 3 2 3 1 35x x+ + − >
2x < − 3 6 3 1 35x x− − − + > 20
3x < −
12 3x− ≤ ≤ 3 6 3 1 35x x+ − + >
1
3x > 3 6 3 1 35x x+ + − > 5x >
( ) (5)f x f> 20( , ) (5, )3
−∞ − +∞
3 2 3 1 3 6 3 1 3 6 3 1 7x x x x x x+ + − = + + − ≥ + − + =
1 1 72m n
+ ≤ 2 72
m n
mn
+ ≤ 2 14m n mn+ ≤
2 22 714 7 ( ) ( 2 )2 4
m nmn m n
+≤ × = + 27( 2 ) ( 2 )4m n m n+ ≤ +
42 7m n+ ≥ 22 7m n= =
42 7m n+ ≥
微信/支付宝扫码支付