江苏省2021届高三数学高考一轮复习 立体几何空间角 空间距离专题学案（课堂练习无答案）

江苏省 2021 届高三数学一轮复习教案 立体几何中的角，距离问题 1.空间中的各种角： 1) 等角定理及其推论 定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等. 推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 2) 异面直线所成的角 ①定义：a、b 是两条异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 a′∥a,b′∥b,则 a′和 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角. ②取值范围：0°＜θ≤90°. ③求解方法：i）根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ii）解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 3) 直线和平面所成的角——斜线和射影所成的锐角 ①取值范围 0°≤θ≤90° ②求解方法： i）作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ii）解含θ的三角形，求出其大小. 4) 二面角及二面角的平面角 ①半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. ②二面角 由一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的 棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是 0°＜θ≤180° ③二面角的平面角 i）以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成 的角叫做二面角的平面角. ii）二面角的平面角具有下列性质： a.二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面 b.从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的 另一边(或其反向延长线)上. c.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直 ④找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)垂面法 (iii)三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 ⑤求二面角大小的常见方法 先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 2. 空间的各种距离 1) 点到平面的距离 (1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距 离. (2)求点面距离常用的方法： a.直接利用定义求，则异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦 2 的大小为 䘨 ᾠ? 䘨 ʔ 角线 BD 翻折，使二面角 沿对 ᾠ? 现将 䁞䙡 ，线段 AD，BD 的中点分别为 ᾠ? 㜸 6 5. 如图，在菱形 ABCD 中， 所成角的余弦值为__________． ，则异面直线 EF 与 l ᾠʔ 㜸 平面 ，平面 ᾠʔ 平面 ，且平面 ʔ 过点 平面 的中点， ʔ ， ᾠ ，E，F 分别为 㜸 2 ， ᾠ 㜸 2 3 中， ᾠʔ 䘨 ᾠʔ 4. 在正三棱柱 D. C. 4 3 B. 4 A. 所成的角的余弦值是 䁪䁞ʔ 的中点，则异面直线 ?䁞ᾠʔ 为 分别 䁞䁪 ，点 ? 㜸 ᾠʔ 㜸 2 ， ᾠ 㜸 ʔ 㜸 ᾠ? 㜸 ʔ? 㜸 3 中， 䘨 ᾠʔ? 2 3. 如图，在三棱锥 䁞 D. 3 䁞 C. 4 䁞 B. 6 䁞 A. 的取值范围是 则 ， 的大小为 ᾠ 䘨 ? 䘨 ʔ ，二面角 2 ?ᾠ 㜸 为等边三角形， ᾠʔ? 22. 在四面体 ABCD 中， 3 䘨 D. 4 3 C. 3 3 䘨 B. 6 3 A. 弦值为 棱长均相等，E 点为 VB 的中点，则异面直线 VA 与 CE 所成角的余 䘨 ᾠʔ? 1. 正四棱锥 二、 课前练习 重心：顶点与底面重心的连线的交点 垂心：四个顶点到底面的高的交点 外心：到四个顶点的距离相等 内心：到四个面的距离相等 3.几何中的各类‘心’ 将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之. 2) 直线和平面的距离、平行平面的距离 于计算. 求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便 1 S·h，求出 h 即为所 3 ②求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S；③由 V= b.体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之. ①找到(或作出)表示距离的线段；；平面 ABP 体 若 H 为直线 QN 上任意一点，证明： ． ᾠʔ 平面 折起，使点 D 到达点 P 位置 ʔ? BC，CD，AC 的中点，以 AC 为折痕将 ，M，N，Q 分别为 ᾠʔ 㜸 4 ， ? 㜸 ᾠ 㜸 ʔ? 㜸 2 ， ?ᾠʔ 8. 如图，在等腰梯形 ABCD 中， 弦值． 的正 䘨 ? 䘨 ᾠ °，求二面角 4 若 M 为 PC 中点，直线 PD 与平面 PAB 所成的角为 2 平面 PBC； ? 证明：平面 平面 ABCD． ᾠ ，平面 ᾠ ， 㜸 ᾠ ，ABCD 为矩形， 䘨 ᾠʔ? 7. 如图，在四棱锥 的最小值为________． ᦙ䁪 ，则 所夹角为 ʔʔ 设直线 MN 与直线 ᾠ?ʔ 平面 䁪 ，满足 不包含边界 内一点 ᾠʔ? 的中点，若N为菱形 点M为棱 ᾠ? 㜸 6 ， 㜸 2ᾠ 㜸 4 中，底面 ABCD 为菱形， ᾠʔ?ᾠʔ? 6. 在如图所示的直四棱柱 值为 ．．后利用余弦定理可以计算 为所求，得到三边的值，然 或其补角 ʔ䁪 ，则 䁪ᾠ 取 AD 的中点 N，连接 MN，CN，则 本题考查异面直线所成的角，做，证，算三者不可缺一，属于基础题目． 6【分析】 3 【答案】 ________． 2. 在正四面体 ABCD 中，M 是棱 BD 上的中点，则异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值为 理能力与计算能力 【考点】直三棱柱的性质、异面直线所成的角、正方体与直角三角形的性质、向量夹角公式，推 公式即可得出． 的球，利用勾股定理可得 x，建立空间直角坐标系，利用向量夹角 3 内接于一个半径为 ᾠʔ ᾠʔ 䘨 ，根据三棱柱 ʔ 㜸 吠 设 ʔᾠ 㜸 晦 ，可得 2 ᾠ ʔ 㜸 的中点， ʔ ， ᾠ N 分别是 为直三棱柱．M， ᾠʔ 䘨 ᾠʔ 即三棱柱 ᾠʔ 底面 ʔʔ 均为正方形， ᾠᾠʔʔ 与 ʔʔ 四边形 故选：B． ． 3 6 㜸 3 ᾠ 㜸 ， cos 䁪 ， ᾠ 㜸 䁞 䘨 䁞2 ， 2 1， 䁪 㜸 䁞 ， 䘨 䁞 䘨 䁞2 ， 䁪䁞 䘨 䁞2 ， 0， ᾠ 䘨 2䁞 ， 䁞 䘨 2䁞 ． 吠 㜸 2 ，解得 2 2 吠 2 2 吠 2 㜸 2 3 的球， 3 内接于一个半径为 ᾠʔ 䘨 ᾠʔ 三棱柱 ， ʔ 㜸 吠 设 ． ʔᾠ 㜸 晦 ， 2 ᾠ ʔ 㜸 的中点， ʔ ， ᾠ M，N 分别是 ᾠʔ 䘨 ᾠʔ为直三棱柱． 即三棱柱 ᾠʔ 底面 ʔʔ 均为正方形， ᾠᾠʔʔ 与 ʔʔ 【解析】解：四边形 【答案】B D. C. 3 B. 3 A. 的余弦值为 ，则异面直线 BM 与 AN 所成角 2 ᾠ ʔ 㜸 的中点， ʔ ， ᾠ 方形，M，N 分别是 均为正 ᾠᾠʔʔ 与 ʔʔ 的球，四边形 3 内接于一个半径为 ᾠʔ 䘨 ᾠʔ 1. 已知三棱柱 三、 例题讲解 的余弦值． 䘨 ʔ 䘨 ᾠ ，求二面角 4 若直线 AB 与 MN 所成角为 2． 2 故答案为 所以 ． ， ʔ 㜸 2 ， 体 㜸 设正方体的棱长为 2，所以 所成的角， ᾠᾠ?? 就是 l 与平面 ʔ体 ，连结 HO，则 ᾠ??ᾠ 垂直于面 ʔ 则 的中点为 O， ᾠ? ，取 ʔ 所以 l 与正方体的体对角线平行，不妨令其为 的所有面的成角都相等， ᾠʔ? 䘨 ᾠʔ? 因为直线 l 与正方体 解： 【解答】 关键是确定直线 l．  本题考查线面角的求法 【分析】 2 【答案】 所成角的正切值是__________． ᾠᾠ?? ，则 l 与平面 体 ᾠᾠ?? 㜸 平面 的所有面所成的角都相等，且 ᾠʔ? 䘨 ᾠʔ? 3. 己知直线 l 与正方体 ． 6 3 故答案 ． 6 3 2 3 㜸 2 䘨 3 2 2 3 cos䁪ʔ 㜸 中， ʔ䁪 则在 ， ʔ䁪 㜸 3 ，同理 ʔ 㜸 3 中， ᾠʔ? ，在 䁪 㜸 ，则 ᾠ 㜸 2 设 为异面直线 AB 与 CM 所成角， 或其补角 ʔ䁪 则 ，如图所示： 䁪ᾠ 解：取 AD 上的中点 N，连接 MN，CN，则 解答】】.强 本节课重要掌握了 ；还有 方面待加 四、 课堂小节 其锐二面角的余弦值． 的法向量，进而求得 ?ʔʔ? 与平面 ᾠᾠ 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面 所在的直线分别 由已知得，从 A 出发的三条棱两两垂直，以 A 为坐标原点，AB，AD， 2 ； ʔʔ 为矩形，所以 ᾠᾠ 因为侧面 ， ᾠᾠʔʔ ，再由线面平行的性质定理证得 ʔʔ?? 平面 ᾠᾠ 由线面平行的判定定理可证 【解析】本题主要考查线面平行的判定定理与性质定理，以及利用空间向量法求二面角的余弦值， ． 2 2 2 㜸 䁪 䁪2 㜸 䁪 䁪2 所成的锐二面角的余弦值为 ?ʔʔ? 与平面 ᾠᾠ 所以平面 ． 1， 䁪2 㜸 䁞 ，即 ᦙ 㜸 ，所以 䘨 ᦙ 㜸 ，所以 䁪2 ʔ? 㜸 ， 1， 䁪2 㜸 ᦙ䁞 的法向量为 ?ʔʔ? 设平面 ． 1， ʔ? 㜸 䘨 䁞 ， 2， ?䁞 ， 1， ʔ䁞 ， 1， 䁪 㜸 䁞 的法向量为 ᾠᾠ 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，显然平面 别 所在的直线分 解：由已知得，从 A 出发的三条棱两两垂直，以 A 为坐标原点，AB，AD， 2 ． ʔʔ 所以 ， ᾠᾠʔʔ ，所以 ᾠʔʔᾠ 平面 ᾠᾠ ， ʔʔ?? 㜸 ʔʔ 平面 ᾠʔʔᾠ 因为平面 ， ʔʔ?? 平面 ᾠᾠ ，所以 ʔʔ?? 平面 ?? 内， ʔʔ?? 因为 不在平面 ， ᾠᾠ?? ，所以 ?? ， ᾠᾠ 为矩形，所以 ᾠᾠ 证明：因为侧面 【答案】解： 所成的锐二面角的余弦值． ?ʔʔ? 与平面 ᾠᾠ ，求平面 ? 㜸 2ᾠ 㜸 2ᾠʔ 㜸 2 若 2 ； ʔʔ 求证： ． ᾠʔ? ， ᾠ ? ，底面 ABCD 也为直角梯形， ?? ， ? 为直角梯形， ?? 为矩形，侧面 ᾠᾠ 中，侧面 ᾠʔ? 䘨 ᾠʔ? 如图，在六面体 .4