2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷二（含附加题）含答案详解

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 ， ，…， 的方差 ，其中 柱体的体积 ，其中 是柱体的底面积， 是柱体的高. 锥体的体积 ，其中 是椎体的底面积， 是椎体的高. 一．填空题：本题共 14 小题.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.集合 ， ，则 ________. 2.复数 （ 为虚数单位），则共轭复数 的虚部________. 3.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ________. 4.在等差数列 中， 为其前 项的和，已知 ，且 ，若 取得最大值， 则 ________. 5.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6.设各局 比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以 3：1 获胜的 概率是________. 6.已知 A，B，P 是双曲线 上的不同三点，且 （ 点为 坐标原点），若直线 PA，PB 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率等于________. 7.设常数 ，如果 的二项展开式中 项的系数为-80，那么 ________. 8.奇函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集 是________. 9.已知两点 A（-1，0），B（1，0），若直线 上存在点 P 满足 ，则实 数 的取值范围是________. 10.如图，正方体 的棱长为 1，中心为 ， ， ，则四 面体 OEBF 的体积为________. 1x 2x nx ( )2 2 1 1 n i i s x xn = = −∑ 1 1 n i i x xn = = ∑ V Sh= S h 1 3V Sh= S h { }2 1 0A x x= − > { }3 ,xB y y x R= = ∈ A B = 1z i= + i z a b 1a = 2b = ( )3, 2a b− =  2a b− =  { }na nS n 8 133 5a a= 1 0a > nS n = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b − = > 0, > 0OA OB+ =   O 3 4 a R∈ 5 2 ax x  +   x a = ( )f x ( ),0−∞ ( )1 0f − = ( ) ( )1 1 0x f x− − < 0x y a− + = 0AP BP =   a 1 1 1 1ABCD A B C D− O 1 2BF BC=  1 1 1 4A E A A= 11.已知 ， ，则 ________. 12. 是 内一点，且 ， 和 的面积分别是 和 ，则 ________. 13.函数 是定义 R 在上的偶函数，且满足 ， ， 则曲线 与 的交点个数为________. 14.A，B 分别为 ： 和 ： 的点，则 的最小值为________. 二.解答题：本大题共 6 小题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. 中 ， 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 ， ， . 已 知 . （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求 的最大值. 16.如图 1，已知菱形 AECD 的对角线 AC，DE 交于点 F，点 E 为 AB 的中点.将 沿线 段 DE 折起到 PDE 的位置，如图 2 所示. （Ⅰ）求证：DE⊥平面 PCF； （Ⅱ）求证：平面 PBC⊥平面 PCF； （Ⅲ）在线段 PD、BC 上是否分别存在点 M，N，使得平面 CFM//平面 PEN？若存在，请指 出点 M，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 17.如图，圆 O 是一半径为 20 米的圆形草坪，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图 中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A，B 两点在 上，A，B，C，D 恰是一个正方形的 四个顶点.根据规划要求，在 A，B，C，D 四点处安装四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在 地下铺设 4 条到 A，B，C，D 四点线路 OA，OB，OC，OD. 3cos 4 5x π + = −   3 5 4 4x π π< < 2sin 2 2sin 1 tan x x x + =− O ABC 2 2 0OA OB OC+ + =    ABC OBC ABCS OBCS OBC ABC S S =  ( )f x ( ) [ ) ( ) ( ] 2 , 0,1 , 1,2 x x f x g x x  ∈=  ∈ ( ) ( )2f x f x+ = − ( )y f x= 3logy x= 1C 2 1 0x y− + = 2C 2 1 0y x− + = AB ABC a b c ( )( ) ( )sin sin sina c A C a b B− + = − sin sinA B ADE O（Ⅰ）若正方形边长为 20 米，求广场的面积； （Ⅱ）求铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值. 18.已知抛物线 C： ，过点（2，3）的直线 交 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在点 A，B 处的切线交于点 P. （Ⅰ）当点 A 的横坐标为 4 时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）若 Q 是抛物线 C 上的动点，当 取最小值时，求点 Q 的坐标及直线 的方程. 19.已知函数 . （Ⅰ）若函数 只有两个零点，求实数 的取值范围； （Ⅱ）设函数 的两个零点为 ， ，且 ，求证： . 20.记无穷数列 的前 项中最大值为 ，最小值为 ，令 ，则称 是 的“极差数列”. （Ⅰ）若 ，求 的前 项和； （Ⅱ）证明： 的“极差数列”仍是 ； 数学Ⅱ（附加题） 21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-2：矩阵与变换] 已知矩阵 ， ，求二阶方阵 X，满足 AX=B. B.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，直线 ： （ 为参数），曲线 ： （ 为 参数），其中 .若曲线 C 上所有点均在直线 的右上方，求 的取值范围. C.[选修 4-5：不等式选讲] 2 4x y= l PQ l ( ) ln ,x axf x a Rx −= ∈ ( )f x a ( )f x 1x 2x 1 2x x≠ 1 2 2x x e+ > { }na n nM nm 2 n n n M mb −= { }nb { }na 3 2na n= − { }nb n { }nb { }nb 2 5 1 3A  =    4 6 2 1B − =    xOy l 32 cos 4 31 sin 4 x t y t π π  = − +  = − + t C 2cos sin x y a θ θ =  = θ 0a > l a已知正数 ， ， 满足 . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求 的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22.在如图所示的四棱锥 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB//CD，∠DAB=60°， FC⊥平面 ABCD，CB=CD=CF. （Ⅰ）求直线 DF 与面 BFC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 23.对于正整数 ，如果 个整数 ， ，…， 满足 ， 且 ，则称数组 为 的一个“正整数分拆”.记 均 为偶数的“正整数分拆”的个数为 均为奇数的“正整数分拆”的个数为 . （Ⅰ）写出整数 4 的所有“正整数分拆”； （Ⅱ）对于给定的整数 ，设 是 的一个“正整数分拆”，且 ，求 的最大值. 参考答案： 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷二 数学Ⅰ答案 一．填空题 1. 2.-1 3. 4.20 5.0.2592 6. 7.-2 8. 9. 10. 11. 12. 13.10 14. 二、解答题 15.解：（Ⅰ）由 . x y z 1x y z+ + = 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 5 x y z y z z x x y + + ≥+ + + 2 16 16 16x y z+ + F ABCD− D BF C− − n ( )k k N ∗∈ 1a 2a ka 1 21 ka a a n≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2 ka a a n+ + + = ( )1 2, , , ka a a n 1 2, , , ka a a 1 2, , , ,n kf a a a ng ( )4n n ≥ ( )1 2, , , ka a a n 1 2a = k ( )1,+∞ 2 2 7 2 { }2 0x x x> > ≥ ( )1 1 2 1 2 1 2 2 ln ln lnln x ax x x a x xx ax = ⇒ − = − = 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 ln ln ln x x x x x ex x x a + −> = = >−令 ，则 . 则 . 令 . . ∴ 在（1，+∞）单调递增， ，得证. ∴ 20.解：（Ⅰ）因为 为递增数列，故 ， . ∴ ∴ 的前 项和为 . （Ⅱ）因为 ， ， ∴ ∴ . 又因为 ， ∴ ， 所以 的“极差数列”仍是 . 21【选做题】 A.[选修 4-2：矩阵与变换] 解：由题意，得 . ∴ . 2 1 x tx = 1t > 2 1 2 2 1 2 1 22 1 1 1 1 1ln 2 ln 2 02 ln ln 11 x x x x x x x ttxx x x t x −+ − −> ⇒ > ⇒ − >− ++ ( ) ( )1ln 2 11 tg t t tt −= − >+ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 11 4' 0 1 1 tg t t t t t −= − = > + + ( )g t ( ) ( )1 0g t g> = 1 2 2x x e+ > { }na 3 2nM n= − 1nm = ( )3 2 1 3 12 2n nb n − −= = − { }nb n ( ) 213 3 3 2 2 4 4n n nS n n −= = − { } { }( )1 2 1 2 1max , , , max , , , 1,2,3,n na a a a a a n+≤ =   { } { }( )1 2 1 2 1min , , , min , , , 1,2,3,n na a a a a a n+≥ =   { } { } { } { }1 2 1 1 2 1 1 2 1 2max , , , min , , , max , , , min , , ,n n n na a a a a a a a a a a a+ +− ≥ −    ( )1 1,2,3,n nb b n+ ≥ =  1 1 1 0b a a= − = { } { }1 2 1 2 1max , , , min , , ,n n n nb b b b b b b b b− = − =  { }nb { }nb 2 5 11 3A = = 1 3 51 1 2A AA − ∗ − = =  − 由 ，得 ，所以 . 所求的二阶方阵 . B.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 解：直线 的普通方程： . 由题意， ， ∴ ，解得 . C.[选修 4-5：不等式选讲] 解：（Ⅰ） ∵ ∴ . （Ⅱ） 当且仅当 时，“=”成立 ∵ ∴ ， . 当 ， 时， 故 的最小值为 6. 【必做题】 22.解： 方法一：定义法 AX B= 1X A B−= 3 5 4 6 2 23 1 2 2 1 0 8X − − −    = =    −     2 23 0 8X − =    l 3 0x y+ + = 2cos sin 3 0aθ θ+ + > ( )2 4 sin 3a θ ϕ+ + > − 2 4 3a + < 0 5a< < ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 x y zy z z x x y x y zy z z x x y  + + + + + + + ≥ + +    + + +  1x y z+ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 x y zx y z y z z x x y y z z x x y + ++ + ≥ =+ + + + + + + + 2 2316 16 16 3 16x y z x y z+ ++ + ≥ 2x y z= = 1x y z+ + = 22 1z z+ = 1 2z = 1 4x y= = 1 2z = 2 33 416 16 16 3 16 6x y z+ + ≥ = 2 16 16 16x y z+ +（Ⅰ）过点 C 作 CG⊥BC 交 BD 于点 G，过点 G 作 GE//DF 交 BF 于点 E，连接 CE. 故直线 GE 与平面 BFC 所成的角即为直线 DF 与平面 BFC 所成的角. ∵FC⊥平面 ABCD，FC 平面 FCB ∴平面 ABCD⊥平面 FCB 又∵ 故 直线 GE 与平面 BFC 所成的角. 设 BC=DC=CF= . 在 中，∵BC=CD， ∴ ， . 在 中， ， ； 在 中， . 在 中， . 故直线 DF 与平面 BFC 所成的角的正弦值 . 方法二：空间向量（略） （Ⅱ）方法一：找平面角 由（Ⅰ）知，CG⊥平面 FCB，过点 C 作 CH⊥BF 交 BF 于点 H， 连接 GH，显然 H 是 BF 的中点. ∴CH⊥BF，GH⊥BF. 即 为二面角 的平面角. 在 中， ； 在 中， ； 在 中， ； . 即二面角 的平面角的余弦值 . 方法二：空间向量（略） ⊂ ABCD FCB BC CG BC CG FCB CG ABCD =  ⊥ ⇒ ⊥  ⊂ 平面 平面 平面 平面 CEG∠ a BCD 120DCB∠ = ° 30BDC DBC∠ = ∠ = ° 2 cos30 3BD a a= ° = Rt GCB 3tan30 3GC BC a= ° = 2 32 3BG CG a= = BDF 2 3 2 23 2 33 aGE BG GE a aDF BD a = ⇒ = = Rt GCE 3 63sin 42 2 3 aCGCEG GE a ∠ = = = 6 4 CHG∠ D BF C− − Rt FCB 2 2BC CF a CH a= = ⇒ = Rt GCB 3 3GC a= Rt GCH 2 2 2 2 3 2 30 3 2 6GH GC CH a a a    = + = + =          2 152cos 530 6 aCHCHG GH a ∠ = = = D BF C− − 15 523.解：解：（Ⅰ）（1，1，1，1），（1，1，2），（1，3），（2，2），（4）. （Ⅱ）由题意，知 ，且 ， 得 ，即 . ∴当 是偶数时， 的最大值是 （此时， 是 的一个“正整数分拆”）； 当 是奇数时， 的最大值是 （此时， 是 的一个“正整数分拆）. 1 22 ka a a n= ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2 ka a a n+ + + = 1 2 + 2kn a a a k= + + ≥ 2 nk ≤ n k 2 n ( ) 2 2,2, ,2 k 共有 个 n n k 1 2 n − ( ) 1 2 2,2, ,2,3 k− 共有 个 n