2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 ， ，…， 的方差 ，其中
柱体的体积 ，其中 S 是柱体的底面积， 是柱体的高．
锥体的体积 ，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．
一．填空题：本题共 14 小题，请把答案填写在答题卡相应位置上
1．设集合 ， ，则 ________．
2．复数 的虚部________．
3．以双曲线 的顶点为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程为________．
4．正实数 a，b，c 满足： ， ， ，a，b，c 的大小关系是
________．
5．函数 的值域________．
6．设 是定义在 R 上的偶函数且 对 恒成立，当 时，
，则 ________．
7 ． 等 差 数 列 的 前 n 项 和 是 ， 若 ， 是 方 程 的 两 根 ， 则
________．
8．在 上随机地取一个实数 ，则事件“直线 与圆 相交”发生
的概率为________．
9．如图，在 中， ， ， ， 的面积为 ，则角平分
线 AD 的长等于________．
10． 中， ， ，线段 BN 与 CM 交于点 P．若 ，
则 ________．
1x 2x nx ( )22
1
1 n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
V Sh= h
1
3V Sh=
( ){ }2lg 1A x y x= = − { }3 , 0xB y y x= = > A B =
( )z=i 1+2 i
2
2 13
y x− = 3
3
1
3
1 log3
a
a =
1
3 1
3
b
b =
1
3
1
3
log c c=
sin 2 3cos2 1y x x= + +
( )f x ( ) ( )3f x f x+ = x R∈ 30, 2x ∈
( ) sinf x xπ= 1 2 3 2020
2 2 2 2f f f f + + + ⋅⋅⋅ + =
{ }na nS 2a 8a 2 4 3 0x x− − = 9S =
[ ]2,2− k y kx= ( )2 25 9x y− + =
ABC AB AC> 2 3BC = 60A = ° ABC 2 3
ABC
1
3AM AB= 1
4AN AC= AP AB ACλ µ= +
λ µ+ =11．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 ，F 为 C 的上焦点，A 为 C 的
右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为________．
12．三棱锥 的底面 是边长为 3 的正三角形， ， ， ，则
三棱锥 的体积为________．
13 ． 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 F ， 直 线 过 点 F 与 抛 物 线 交 于 A ， B 两 点 ， 若
，则 ________．
14．已知函数 ，关于 x 的方程 有 5 个
不同的实数解，则 的取值范围是________．
二．解答题：本大题共 6 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
15． 的内角 A，B，C 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
向量 与向量 平行．
（Ⅰ）求 A；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积．
16．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为边 AB 的中点，将正方形沿 DE 折成直二面
角，连接 AC，AB，得到四棱锥 ，F 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ABC；
（Ⅱ）求四面体 FBEC 的体积．
17．某公园有一块边长为 6 百米的正 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来
种植三种花卉．方案是：先建造一条直道 DE 将 分成面积之比为 2∶1 的两部分（点
D，E 分别在边 AB，AC 上）；再取 DE 的中点 M，建造直道 AM（如图）．设 ，
， （单位：百米）
2 2
19 10
x y+ =
P ABC− ABC 3PA = 4PB = 5PC =
P ABC−
2 4y x= l
3AF BF= AB =
( )
( ) ( )
( )
1 0
ln 1 0
xx e x
f x x xx
+ ≤= + >
( ) ( ) ( )2 1 2 2 0f x t f x t− + + =
t
ABC a b c ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn A B=
m n
7a = 2b = ABC
A CDEB− AD
EF
ABC
ABC
AD x=
1DE y= 2AM y=（Ⅰ）分别求 ， 关于 的函数关系式；
（Ⅱ）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求最小值．
18．如图，椭圆 E： ，经过 E 的左焦点 F，斜率为 的直线 与 E 交于 A，B
两点．
（Ⅰ）当 时，求 ；
（Ⅱ）给定 ，延长 ， 分别与椭圆 E 交于点 C，D，设直线 CD 的斜率为 ．
证明： 为定值，并求此定值．
19．已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证：函数 恰有两个零点．
20．给定数列 ， ，…， ，对 ，2，…， ，该数列前 项 ， ，…， 的最
小值记为 ，后 项 ， ，…， 的最大值记为 ，令 ．
（Ⅰ）设数列 为 2，1，6，3 写出 ， ， 的值；
（Ⅱ）设 ， ，…， 是等比数列，公比 ，且 ，证明： ，
，…， 是等比数列；
（Ⅲ）设 ， ，…， 是公差大于 0 的等差数列，且 ，证明： ， ，…，
1y 2y x
2
2 15
x y+ = ( )1 1 0k k ≠ l
1 1k = AB
( )1,0R AR BR 2k
1
2
k
k
( ) ( )ln 1 1f x x x ax x= − − − a R∈
1a = − ( )y f x= ( )( )1, 1M f
1a > ( ) ( ) 1g x f x= +
1a 2a na 1i = 1n − i 1a 2a ia
iA n i− 1ia + 2ia + na iB i i id B A= −
{ }na 1d 2d 3d
1a 2a ( )4na n ≥ 0 1q< < 1 0a > 1d
2d 1nd −
1d 2d 1nd − 1 0d > 1a 2a 1na −是等差数列．
数学Ⅱ（附加题）
21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作
答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]
已知二阶矩阵 有特征值 及其对应的一个特征向量 ，特征值 及其对应
的一个特征向量 ，求矩阵 的逆矩阵 ．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为： ，直线 与曲线 C 交于 O，A
两点．
（Ⅰ）求直线 的普通方程；
（Ⅱ）点 P 为曲线 C 上一点，求满足 的点 P 有多少个？
C．[选修 4-5：不等式选讲]
已知函数 ， ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围．
【必做题】第 22 题、第 23 题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
22 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， 底 面 为 平 行 四 边 形 ，
， ， ．
（Ⅰ）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值的大小．
23．已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑
球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球．
（Ⅰ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
A 1 4λ = 1
1
1
α =
2 1λ = −
2
1
1
α = −
A 1−A
l 3 3
1
x t
y t
= + = +
t
2 3cosρ θ= l
l
3 3
4POAS =
( ) 2 1 2f x x x= − − − ( ) 1g x x= +
( ) ( )f x g x<
( ]2 , 1x a a∈ − + ( ) ( )f x g x≥
P ABCD− PD ⊥ ABCD ABCD
AB AC⊥ 1AB AC= = 1PD =
D PC B− −（Ⅱ）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望．
参考答案：
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五
数学Ⅰ答案
一．填空题
1 2 3 4 5 6 7
1 336 18
8 9 10 11 12 13 14
二．解答题
15．解：（Ⅰ）设等差数列 的公差 d，等比数列 的公比为 ．
由 ．
∴ ．
， ．
∴ ， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，则
①
②
①－②得：
．
∴ ．
又∵ ∴ ．
16．解：（Ⅰ）
ξ ξ
( )1,+∞ 2 2
16 9
x y+ = b c a< < [ ]1,3−
3
8
4 3
3
5
11
3 11 6
2
+
11
16
3 2
1 1,0 0,2 2e
−
{ }na { }nb q
( )
1
1
1 1
2 5 1
4 3 24 3 72
a d a
da d a d
+ = = ⇒ × =+ − + =
( )1 1 2 1na a n d n= + − = −
1 2 3b a= = ( )
4 9
9 1 17 812b S
× += = =
3 4
1
27bq b
= = 1
1 3n n
nb b q −= ⋅ =
2 1
3n n
nc
−=
( ) ( )2 1
1 1 1 11 3 2 3 2 13 3 3 3n n nT n n−= × + × + ⋅⋅⋅ + − × + − ×
( ) ( )2 3 1
1 1 1 1 11 3 2 3 2 13 3 3 3 3n n nT n n += × + × + ⋅⋅⋅ + − × + − ×
( )2 3 1
2 1 1 1 1 11 2 2 2 2 13 3 3 3 3 3n n nT n += × + × + × + ⋅⋅⋅ + × − − ×
( )
1
2
1
1 113 31 12 2 113 31 3
n
nn
−
+
− = + × − − ×
−
11 3n n
nT
+= −
1 10 3 3n
n +< ≤ 1 13 nT≤
0x > ( ) ( )ln 1h x x a x= − −
( ) 1h x ax
′ = −
10,x a
∈
( ) 0h x′ > 1 ,x a
∈ +∞
( ) 0h x′ <
( )h x 10, a
1 ,a
+∞
( )h x ( )1 1 0h ha
> =
( ) ( )0xr x e x x= − > ( ) 1 0xr x e′ = − >
( )r x ( )0,+∞当 时， ，即 ，则 ．
∵ ．
由 ， ，且 在 单调递增，可得：
在 存在唯一的零点 ，使得 ．
又∵ 在 单调递减， ， ．
故 恰有两个零点
所以，当 时，函数 恰有两个零点．
20．解：（Ⅰ）由题意，得 ， ， ．
（Ⅱ）因为 ，公比 ，所以 ， ，…， 是递减数列．
因此，对 ，2，…， ， ， ．
于是对 ，2，…， ，
．
因此 且 ，
即 ， ，…， 是等比数列
（Ⅲ）设 为 ， ，…， 的公差，则
对 ，因为 ，
∴ ，即
又∵ ，所以 ．
从而 ， ，…， 是递减数列．因此 ．
又∵ ，所以 ．
因此 ．
∴ ．
因此对 ，2，…， 都有 ，
1a > ( ) ( )1 1 0r a r e> = − > 0ae a− > 1 10 ae a
< <
1 1 1 1ln 1 1 0a a a a a
ah a a ae e e e e
= − − = − − − = −
1 0ah e
( ) ( ) 1g x f x= +
1 4d = 2 5d = 3 2d =
1 0a > 0 1q< < 1a 2a na
1i = 1n − i iA a= 1i iB a +=
1i = 1n −
( ) 1
1 1 1 i
i i i i id B A a a qa q −
+= − = − −=
0id ≠ ( )1 1,2, , 2i
i
d q i nd
+ = = ⋅⋅⋅ −
1d 2d 1nd −
d 1d 2d 1nd − 0d >
1 2i n − 1i iB B +≥
1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A+ + + += − ≤ − = − − < − = 1i iA A+ <
{ }1 1min ,i i iA A a+ += 1 1i i i ia A A a+ += < ≤
1a 2a 1na − ( )1,2, , 1i iA a i n= = ⋅⋅⋅ −
1 1 1 1 1 1B A d a d a= + = + > 1 1 2 1nB a a a −> > > ⋅⋅⋅ >
1na B=
1 2 1n n i i ii i nB B B a a A B d a d−= = ⋅⋅⋅ = = ⋅ = = − = −
1i = 2n − 1 1i i i ia a d d d+ +− = − = −即 ， ，…， 是等差数列．
21．【选做题】
A．[选修 4-2：矩阵与变换]
解：设二阶矩阵 ，由题意，得：
， ．
， ．得： ， ， ， ．
∴ ．
又∵ ， ．
∴ ．
即矩阵 的逆矩阵 ．
B．【选修 4-4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由 ，消参，得到直线的普通方程 ．
（Ⅱ）由曲线 C 的极坐标方程： 可得，
曲线 C 的直角坐标方程 ．
圆心 C 到直线 的距离 ，
∴
1a 2a 1na −
a b
c d
= A
1 141 1
a b
c d
=
( )1 111 1
a b
c d
= − − −
4
1
a b
a b
+ =
− = −
4
1
c d
c d
+ =
− =
3
2a = 5
2b = 5
2c = 3
2d =
3 5
2 2
5 3
2 2
=
A
3 5
2 2 45 3
2 2
= = −A *
3 5
2 2
5 3
2 2
−
=
−
A
1 *
3 5
1 8 8
5 3
8 8
−
−
= =
−
A AA
A 1
3 5
8 8
5 3
8 8
−
−
=
−
A
3 3
1
x t
y t
= + = +
3 0x y− =
22 3cos 2 3 cosρ θ ρ ρ θ= ⇒ =
( )2 23 3x y− + =
3 0x y− =
( )2
3 3
21 3
d = =
+
( ) 2
2 32 3 32OA
= − = 由 （ 表示点 P 到 OA 的距离）
∵圆心 C 到直线 的距离 ，
∴在直线的上方的圆上存在一个点 P 到 OA 的距离 ；
在直线的下方的圆上的点到 OA 的距离最大值为 ，
∴在直线的下方的圆上存在两个点 P 到 OA 的距离 ．
综上所述，满足题意的点 P 共 3 个．
C．[选修 4-5：不等式选讲]
解：（Ⅰ）由题意知，解不等式
（1）当 时，不等式化为 ，
此时不等式的解 ；
（2）当 时，不等式化为 ，
此时不等式的解 ；
（3）当 时，不等式化为 ，
此时不等式的解 ；
综上所述，原不等式的解集 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 的解集是 ；
∴实数 a 的取值范围 ．
【必做题】
22．解：（Ⅰ）取 C 为坐标原点，过点 C 的 PD 平行线为 z 轴，
依题意建立如图所示的空间直角坐标系 ．
1 3 3 332 4 2POAS d d′ ′= × × = ⇒ =
d′
3 0x y− = 3
2
3
2
3 3
2
3
2
2 1 2 1x x x− − − < +
2x ≥ ( ) ( )2 1 2 1 0 1x x x− − − < + ⇒ <
2x ≥
1 2x< < ( ) ( ) 52 1 2 1 2x x x x− + − < + ⇒ <
1 2x< <
1x ≤ ( ) ( ) 12 1 2 1 2x x x x− − + − < + ⇒ > −
1 12 x− < ≤
1
2x x
> −
( ) ( )f x g x≥ 1
2x x
≤ −
1 2
111 2
a a
a
a
− + > − ⇒ < −− + ≤ −
( ), 1−∞ −
C xyz−由题意得， ， ， ，
故 ，
设平面 PAC 的法向量 ，则：
，得 ．
令 ，得 ．
∴
设直线 PB 与平面 PAC 所成角为 ．
．
故直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ．
设平面 PBC 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ．
∴ ．
∵ABCD 为平行四边形，且 ，
∴ ．∵ 面 ABCD，
∴ ．
又∵ ，∴ 面 PDC．
∴平面 PDC 的法向量为 ．
( )0, 1,1P − ( )1,0,0A ( )0,0,0C ( )1,1,0B
( )0,1, 1CP = − ( )1,0,0AC = −
( ), ,m x y z=
0
0
m CP
m CA
⋅ = ⋅ =
0
0
y z
x
− =
=
1y = 1z =
( )0,1,1m =
θ
2 1 3sin cos , 61 1 1 4 1
m PBθ −= = =
+ ⋅ + +
3
6
( )1,1,0CB =
( ), ,zn x y=
0,
0,
n PC
n CB
⋅ = ⋅ =
0,
0.
y z
x y
− =
+ =
1y = − 1x = 1z = −
( )1, 1, 1n = − −
AB AC⊥
CD AC⊥ PD ⊥
PD AC⊥
CD PD D= AC ⊥
( )1,0,0AC = −∴ ， ．
经判断二面角 的平面角为钝角，
∴二面角 余弦值的大小为 ．
23．解：（Ⅰ）设事件 为“甲盒中取出 个红球”，事件 为“甲盒中取出 个红球”；事
件 C 为“4 个球恰有 1 个红球”
∴ ．
（Ⅱ） 的可能取值为 0，1，2，3，4．
的分布列：
0 1 2 3 4
．
( )1,0,0AC = − 1 3cos , 31 1 1
n ACn AC
n AC
⋅ −= = = −
+ +⋅
D PC B− −
D PC B− − 3
3
−
iA i jB j
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1. 1
2 3 3 3 3 3
1 0 0 1 2 2 2 2
5 6 5 6
3
10
C C C CP C P A B P A B C C C
C C
C
⋅ ⋅= + = ⋅ + ⋅ =
ξ
( ) ( ) 2 2
3 3
0 0 2 2
5 6
30 50
C CP P A B C C
ξ = = = ⋅ =
( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1
2 3 3 3 3 3
1 0 0 1 2 2 2 2
5 6 5 6
31 10
C C C C C CP P A B P A B C C C C
ξ ⋅ ⋅= = + = ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 22
3 2 3 3 3 3 32
2 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2
5 6 5 6 5 6
112 25
C C C C C C CCP P A B P A B P A B C C C CC C
ξ ⋅ ⋅= = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 22
3 3 2 3 32
2 1 1 2 2 2 2 2
5 6 5 6
93 50
C C C C CCP P A B P A B C C CC
ξ ⋅ ⋅= = + = ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) 22
32
2 2 2 2
5 6
14 50
CCP P A B C C
ξ = = = ⋅ =
ξ
ξ
( )P ξ 3
50
3
10
11
25
9
50
1
50
( ) 3 3 11 9 1 90 1 2 3 450 10 25 50 50 5E ξ = × + × + × + × + × =
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