2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷一（含附加题）含答案详解

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 的方差 ，其中 柱体的体积 ，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积 ，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高． 一．填空题：本题共 14 小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合 ，则 A∩B=________． 2．已知复数 z 满足 （i 为虚数单位），则 z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为________． 4．下图是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最 低分，所剩数据的平均数为________． 5．直线 x+y+a=0 是圆 x2+y2-4y=0 的一条对称轴，则 a=________． 6．函数 的定义域________． 7 ． 已 知 存 在 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． 8．在区间 上随机取两个数 x，y，则事件“x2+y2≤4”发生的概率为________． 9．等差数列 的前 n 项和 Sn，若 S2=4，S6=10，则 S10=________． 10．已知双曲线 的右焦点为 F，直线 与 C 交于 A，B 两 点，AF，BF 的中点分别为 M，N，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线 C 的离心 率为________． 11．已知函数 的定义域为 R，其导函数 既是 R 上增函数，又是奇函数，则满足不 1 2, , , nx x x ( )22 1 1 n i i s x xn = = −∑ 1 1 n i i x xn = = ∑ V Sh= 1 3V Sh= { }2{ | 1 3}, | 9A x x B x Z x= − ≤ < = ∈ < 4 3iz i= + 3( ) 2 logf x x= − 2, , sin 3sin 02 2x x x a π π ∈ − − + + >   [0,2] { }na 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > : 3l y x= ( )f x '( )f x等式 的实数 m 的取值范围为________． 12．已知球 O 与棱长为 8 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的所有棱都相切，点 P 是球 O 上一点， 点 Q 是△A1C1B 的外接圆上的一点，则线段 PQ 的取值范围是________． 13．已知正数 ab 满足 a+b=1，则 的最小值为________． 14．在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若 ，则 ________． 二．解答题：本大题共 6 小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 15．已知 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的值． 16 ． 如 图 ， 已 知 四 棱 锥 P － ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ， ， BC=CD=PD=2AD，AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 PDC； （Ⅱ）求证：AE⊥BC． 17．如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为弧 EF 的中点，其所在圆 O 的半径为 8dm（圆心 O 在弓形 EMF 内）， ．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD（不计 损耗）， ，且点 A，D 在 上，设 ． （Ⅰ）求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式 （Ⅱ）当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求 的值． ( 1) (3 )f m f m− ≥ 1 4 1 1a b +− − 2 2 22020a b c+ = 2tan tan tan (tan tan ) A B C A B ⋅ =⋅ + 10 10sin sin( ),sin , 0,2 10 2 πα α β β β  = + = ∈   cos2β tan( )α β+ AD BC AE  2 3EOF π∠ = AD BC EF 2AOD α∠ = α cosα18．已知点 在椭圆 上， 分别为 E 的左、右顶点，直 线 A1M 与 A2M 的斜率之积为 ，F 为椭圆的右焦点，直线 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）直线 m 过点 F 且与椭圆 E 交于 B，C 两点，直线 BA2，CA2 分别与直线 l 交于 P，Q 两点，以 PQ 为直径的圆过定点 ，求直线 m 的方程． 19．已知函数 . （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）当 x>1 时， 恒成立，求 a 的取值范围． 20．在数列 中，若 ，且 ，则称 为“J 数 列”．设 为“J 数列”，记 的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）若 a1=10，求 S3n 的值； （Ⅱ）若 S3=17，求 a1 的值； （Ⅲ）证明： 中总有一项为 1 或 3． 数学Ⅱ（附加题） 21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换] 给定矩阵 ． （Ⅰ）求矩阵 A 的特征值； （Ⅱ）证明： 和 是矩阵 A 的特征向量． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线 l 的方程 ，曲线 C 的方程为 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 的值． C．[选修 4-5：不等式选讲] 若 m，n 都是正数，且存在实数 x 使得 成立，求 m+n 的最小 值． 52, 3M      2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1 2,A A 5 9 − 9: 2l x = 3 ,12      ( 1)( ) ln 1 a xf x x x −= − + ( )f x ( ) 0f x > { }na * na N∈ 1 , ( 1,2,3, )2 3, n n n n n a aa n a a + = =  +  是偶数 是奇数 { }na { }na { }na { }na 3 1 1 3A − =  −  1 1 1e  =     2 1 1e  =  −   1sin 6 2 πρ θ − =   4cos 3 πρ θ = +   | |AB 1 1|1 4 | |1 2 |x x m n  − − + ≤ − +  【必做题】第 22 题、第 23 题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 22．设 ，求下列各式的值： （Ⅰ）求 a 的值（用指数表示）； （Ⅱ）求 的值． 23．2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最 严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）． （Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他 们的年龄数据，得下面的频数分布表： 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 ， 其中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（≥70）的患者比例； （Ⅱ）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占 10%，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者 是否确诊相互独立．现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（1 = 2 21 2 1 1 2a a a a a a− − − < < − + − ( )f x 2(1, 1 2 )a a a− + − 2( 1 2 , )a a a− + − +∞ 2( ) ( 1 2 ) (1) 0f x f a a a f= − + − < =最小值 ( ,2]−∞ 2 1 3 3 2 2 a aa += = ( ) 1 1 1 33 172 aa a ++ + + =（2）若 a1 是偶数，不妨设 ，则 ． 若 k 是偶数，则 ， 由 S3=17，得 ，此方程无整数解； 若 k 是奇数，则 a3=k+3， 由 S3=17，得 2k+k+k+3=17，此方程无整数解． 综上， ． （Ⅲ）首先证明：一定存在某个 ，使得 成立． 否则，对每一个 ，都有 ， 则在 为奇数时，必有 ； 在 为偶数时，有 ，或 ． 因此，若对每一个 ，都有 ，则 单调递减， 注意到 ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个 ，使得 成立． 经检验，当 ，或 ，或 时， 中出现 1； 当 时， 中出现 3， 综上， 中总有一项为 1 或 3． 21【选做题】 A．[选修 4-2：矩阵与变换] 解：（Ⅰ） 的特征多项式为 所以 的特征值为 ， ． （Ⅱ）证明： 在矩阵 的作用下，其像与其保持共线，即 ． ( )* 1 2a k k= ∈N 1 2 2 aa k= = 2 3 2 2 a ka = = 2 172 kk k+ + = 1 5a = ia 6ia ≤ *i∈N 6ia > ia 2 3 2 i i i aa a+ += < ia 2 32 i i i aa a+ = + < 2 4 i i i aa a+ = < *i∈N 6ia > 1 3 5, , ,a a a  * na ∈N ia 6ia ≤ 2ia = 4ia = 5ia = { }na 6ia = { }na { }na A 23 1| | (3 ) 1 ( 4)( 2)1 3 λλ λ λ λλ − −− = = − − = − −− −A E A 1 2λ = 2 4λ = 1 1 1e  =     A 3 1 1 2 121 3 1 2 1 −      = =      −      在矩阵 的作用下，其像与其保持共线，即 成立． 所以 和 是矩阵 的特征向量． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 解：由题意知，直线 l 过点 ，且倾斜角 ， 直线 l 的参数方程： （t 是参数）； 由 将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 得 ，整理， 得 ，由韦达定理得： ∴ ． C．[选修 4-5：不等式选讲] 解：设 当 ， ． 由题意， ，即 ， ． ． 2 1 1e  =  −   A 3 1 1 4 141 3 1 4 1 −      = =      − − − −       1 1 1e  =     2 1 1e  =  −   A (1,0)P 6 π 31 2 1 2 x t y t  = +  = 24cos 4 cos cos 4 sin sin3 3 3 π π πρ θ ρ ρ θ ρ θ = + ⇒ = −   2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 3) 4x y x y x y⇒ + − + = ⇒ − + + = 2 23 1 3 42 2t t    + + =        2 3 1 0t t+ − = 1 2 1 2 3 1 t t t t  + = − ⋅ = − 1 2| | | | | |AB PA PB t t= + = − ( )2 2 1 2 1 24 ( 3) 4 ( 1) 7t t t t= + − ⋅ = − − × − = 12 2, 4 1 1( ) | 4 1| | 2 1| 6 , 2 4 12 2, 2 x x f x x x x x x x  − ≥ = − − + = − − <