2019-2020 学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷
一.单择题(共 8 小题).
1.若复数 z 满足(1+i)z=2i,其中 i 为虚数单位,则풛 = ( )
A.1﹣i B.1+i C.2﹣2i D.2+2i
2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是 C1D1 的中点,且 →
푨푷 = →
푨푫 + 풙 →
푨푩 + 풚 →
푨푨ퟏ,则实
数 x+y 的值为( )
A. ―
3
2 B. ―
1
2 C.1
2 D.3
2
3.函数 f(x)=3x﹣4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.1 B.1
2 C.0 D.﹣1
4.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A:“甲骰子的点数大于 4”;事件 B:“甲、乙两骰子
的点数之和等于 7”,则 P(B|A)的值等于( )
A.1
3 B. 1
18 C.1
6 D.1
9
5.已知函数 y=f(x)的部分图象如图,则 f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=x+tanx B.f(x)=x+sin2x
C.f(x)=x ―
1
2sin2x D.f(x)=x ―
1
2cosx
6.已知下表所示数据的回归直线方程为^
풚 = ퟒ풙 ― ퟒ,则实数 a 的值为( )x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A.16 B.18 C.20 D.22
7.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列{
1
푓(푛)}的
前 n 项和为 Sn,则 S2020 的值为( )
A.2020
2021 B.2019
2020 C.2018
2019 D.2017
2018
8.如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小
木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均
等,则小球最终落③号球槽的概率为( )
A. 3
32 B.15
64 C. 5
32 D. 5
16
二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,方差也变为原来的 a 倍
B.设有一个回归方程 y=3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位
C.线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱D.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),则 P(ξ>1)=0.5
10.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则下列说法正确
的是( )
A.BC1∥平面 AQP
B.平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形
C.A1D⊥平面 AQP
D.异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60°
11.若(2x﹣1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则( )
A.a2=180
B.|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|=310
C.a1+a2+…+a10=1
D.
푎1
2 +
푎2
22 +
푎3
23 +⋯ +
푎10
210 = ― 1
12.已知 a>b>1,e 为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( )
A.aea>beb B.alnb>blna C.alna>blnb D.bea>aeb
三.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.在市数学竞赛中,A、B、C 三间学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一等,将这六名同
学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,那么不同的排法共有 种.
14.设(풙 ―
2
푥)ퟔ的展开式中 x3 的系数为 a,二项式系数为 b,则푎
푏的值为 .
15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、
艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线,“ ”表示一根
阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为 .16.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设 f''(x)是函数 y=f(x)的
导数 y=f'(x)的导数,若方程 f''(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数
y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都
有对称中心;且‘拐点就是对称中心.”请你将这一发现为条件,解答如下问题:
若已知函数 f(x)=x3 ―
3
2풙ퟐ + ퟑ풙 ―
1
4,则 f(x)的对称中心为 ;计算풇(
1
2021) +
풇(
2
2021) + 풇(
3
2021) + ⋯ + 풇(
2020
2021) = .
四.解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演
算步骤.)
17.在等差数列{an}中,a4=1,a7=﹣5,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)现从{an}的前 10 项中随机取数,_______,求取出的三个数中恰好有两个正数和一
个负数的概率.
从下面两个条件中任选一个将题目补充完整,并解答.
条件①:若每次取出一个数,取后放回,连续取数 3 次,假设每次取数互不影响;
条件②:若从 10 个数中一次取出三个数.
18.在如图所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面 BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠
BCD=60°.
(1)证明:BD⊥平面 ACDE;
(2)求平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值.19.已知 f(x)=kx﹣sin2x+asinx(k,a 为实数).
(1)当 k=0,a=2 时,求 f(x)在[0,π]上的最大值;
(2)当 k=4 时,若 f(x)在 R 上单调递增,求 a 的取值范围.
20.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在 A 点投篮一次,以后都在 B 点投
篮;方案乙:始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A 点命中的概率为3
4,
命中一次记 3 分,没有命中得 0 分;在 B 点命中的概率为4
5,命中一次记 2 分,没有命
中得 0 分,用随机变量 ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果 ξ 的值不低于 3 分,
则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮 3 次.
(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分 ξ 的分布列和数列期望.
(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.
21.推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重
要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参
与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表:
得分 [30,40)[40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于 60 分的概率;
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分)和“不太了解”(得分低于 60 分)两类,完成 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“居民
对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?
不太了解 比较了解 合计
男性
女性
合计
(3)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 10
人,现从这 10 人中随机抽取 3 人作为环保宣传队长,设 3 人中男性队长的人数为 ξ,求
ξ 的分布列和期望.
附:K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)
,(n=a+b+c+d).
临界值表:
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
22.已知函数 f(x) =
1 + 푙푛푥
푥 ― a(a∈R).
(1)若 f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围;
(2)设 g(x)=(x﹣1)2ex,当 a=0 时,若 t(x)=f(x)﹣g(x),求 t(x)零点
的个数.参考答案
一.单择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数 z 满足(1+i)z=2i,其中 i 为虚数单位,则풛 = ( )
A.1﹣i B.1+i C.2﹣2i D.2+2i
【分析】通过化简求出 z,从而求出 z 的共轭复数即可.
解:∵(1+i)z=2i,
∴z =
2푖
1 + 푖 = i(1﹣i)=1+i,
则풛 = 1﹣i,
故选:A.
2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是 C1D1 的中点,且 →
푨푷 = →
푨푫 + 풙 →
푨푩 + 풚 →
푨푨ퟏ,则实
数 x+y 的值为( )
A. ―
3
2 B. ―
1
2 C.1
2 D.3
2
【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果.
解:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是 C1D1 的中点,
所 以 →
푨푷 =
1
2( →
푨푫ퟏ + →
푨푪ퟏ) =
1
2( →
푨푫 + →
푨푨ퟏ) +
1
2( →
푨푩 + →
푨푫 + →
푨푨ퟏ) = →
푨푫 +
1
2
→
푨푩 + →
푨푨ퟏ =
→
푨푫 + 풙 →
푨푩 + 풚 →
푨푨ퟏ,
所以풙 =
1
2,풚 = ퟏ,
故 x+y =
3
2.故选:D.
3.函数 f(x)=3x﹣4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A.1 B.1
2 C.0 D.﹣1
【分析】先求导数,根据函数的单调性研究出函数的极值点,连续函数 f(x)在区间
(0,1)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,从而求出所求.
解:f'(x)=3﹣12x2=3(1﹣2x)(1+2x)
令 f'(x)=0,解得:x =
1
2或 ―
1
2(舍去)
当 x∈(0,1
2)时,f'(x)>0,当 x∈(1
2,1)时,f'(x)<0,
∴当 x =
1
2时 f(x)(x∈[0,1])的最大值是 f(1
2)=1
故选:A.
4.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A:“甲骰子的点数大于 4”;事件 B:“甲、乙两骰子
的点数之和等于 7”,则 P(B|A)的值等于( )
A.1
3 B. 1
18 C.1
6 D.1
9
【分析】P(B|A)为抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 4 时甲、乙两骰子的点数
之和等于 7 的概率.
解:由题意,P(B|A)为抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 4 时甲、乙两骰子的
点数之和等于 7 的概率.
∵抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 4,基本事件有 2×6=12 个,甲骰子的点数
大于 4 时甲、乙两骰子的点数之和等于 7,基本事件有 2 个,
∴P(B|A) =
2
12 =
1
6.
故选:C.5.已知函数 y=f(x)的部分图象如图,则 f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=x+tanx B.f(x)=x+sin2x
C.f(x)=x ―
1
2sin2x D.f(x)=x ―
1
2cosx
【分析】函数 f(x)=x+tanx 的定义域为{풙|풙 ≠
휋
2 + 풌흅,풌 ∈ 풁},不合题意;而由图象
可知,f(0)=0,풇(
휋
4)<ퟏ,可排除 BD,由此选 C.
解:由图象可知,函数的定义域为 R,故排除 A;
又 f(0)=0,故排除 D;
若选择 B,则풇(
휋
4) =
휋
4 + 풔풊풏
휋
2 =
휋
4 + ퟏ>ퟏ,与图象不符.
故选:C.
6.已知下表所示数据的回归直线方程为^
풚 = ퟒ풙 ― ퟒ,则实数 a 的值为( )
x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A.16 B.18 C.20 D.22
【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标,根据回归直线经过样本中心点求出풚的值,
从而求出 a 的值.
解:由表中数据知,样本中心点的横坐标为:풙 =
1
5 × (2+3+4+5+6)=4,
由回归直线经过样本中心点,
得풚 = 4×4﹣4=12,
即풚 =
1
5 × (3+7+11+a+21)=12,
解得 a=18.
故选:B.
7.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列{
1
푓(푛)}的
前 n 项和为 Sn,则 S2020 的值为( )
A.2020
2021 B.2019
2020 C.2018
2019 D.2017
2018
【分析】求得 f(x)的导数,将 x=1 代入可得切线的斜率,解得 b=1,可得 f(n)=
n2+n, 1
푓(푛) =
1
푛2 + 푛 =
1
푛(푛 + 1) =
1
푛 ―
1
푛 + 1,再由数列的裂项相消求和,计算可得所求
和.
解:函数 f(x)=x2+bx 的导数为 f′(x)=2x+b,
可得 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 2+b=3,解得 b=1,
则 f(x)=x2+x,即 f(n)=n2+n,
1
푓(푛) =
1
푛2 + 푛 =
1
푛(푛 + 1) =
1
푛 ―
1
푛 + 1,
S2020=1 ―
1
2 +
1
2 ―
1
3 +⋯ +
1
2020 ―
1
2021 = 1 ―
1
2021 =
2020
2021.
故选:A.
8.如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小
木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小
木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落③号球槽的概率为( )
A. 3
32 B.15
64 C. 5
32 D. 5
16
【分析】用小球落入③球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概
率.
解:由题可知:小球落入③号球槽有 Cퟐ
ퟓ = 10 种情况,小球落入下方球槽共有 25=32,
∴小球最终落③号球槽的概率为10
32 =
5
16.
故选:D.
二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,方差也变为原来的 a 倍
B.设有一个回归方程 y=3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位
C.线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),则 P(ξ>1)=
0.5
【分析】直接利用回归直线的方程的应用,相关的系数的应用,正态分布的应用求出结
果.
解:对于选项 A:将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,方差变为原来的 a2 倍.故错误.
对于选项 B:若有一个回归方程 y=3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,故 y=3﹣5(x+1)=
3﹣5x﹣5.故 y 平均减少 5 个单位,正确.
对于选项 C:线性相关系数|r|越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越
弱,错误.
对于选项 D:在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),由于正
态曲线关于 x=1 对称,则 P(ξ>1)=0.5,正确.
故选:BD.
10.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则下列说法正确
的是( )
A.BC1∥平面 AQP
B.平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形
C.A1D⊥平面 AQP
D.异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60°
【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用,异面直线的夹角的应用,线面垂直的
判定的应用,共面的判定的应用求出结果.
解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,
如图所示:①对于选项 A:P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,
所以 PQ∥BC1,由于 PQ⊂平面 APQ,BC1 不在平面 APQ 内,所以 BC1∥平面 APQ,故
选项 A 正确.
②对于选项 B:连接 AP,AD1,D1Q,由于 AD1∥PQ,D1Q=AP,所以:平面 APQ 截
正方体所得截面为等腰梯形,故正确.
③对于选项 C:由于 A1D⊥平面 ABC1D1,平面 ABC1D1 和平面 APQD1 为相交平面,所
以 A1D⊥平面 AQP,错误.
④对于选项 D:PQ∥BC1,△A1BC1 为等边三角形,所以∠A1C1B=60°,即异面直线 QP
与 A1C1 所成的角为 60°.故正确.
故选:ABD.
11.若(2x﹣1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则( )
A.a2=180
B.|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|=310
C.a1+a2+…+a10=1
D.
푎1
2 +
푎2
22 +
푎3
23 +⋯ +
푎10
210 = ― 1
【分析】分析所给代数式的特点,通过给二项式的 x 赋值,即可判断答案.
解:(2x﹣1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其通项公式为:Tr+1 = ∁풓ퟏퟎ•(2x)10﹣r•(﹣1)r;令 x=0 可得:a0=1;
所以:a2 为 x2 的系数;故 a2 = ∁ퟐퟏퟎ•22•(﹣1)8=180 成立;
由二项式定理可得:x 的偶次项系数为正,奇次项系数为负;
故令 x=﹣1 可得:|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|=310;即 B 对;
令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a10=1;
∴a1+a2+…+a10=0;即 C 错;
令 x =
1
2可得:(2 ×
1
2 ― 1)10=0=a0 +
1
2a1 +
1
22a2 +⋯ +
1
210a10,
∴1
2a1 +
1
22a2 +⋯ +
1
210a10=0﹣a0=﹣1;故 D 对;
故选:ABD.
12.已知 a>b>1,e 为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( )
A.aea>beb B.alnb>blna C.alna>blnb D.bea>aeb
【分析】采用逐一验证的方法,通过构造函数 풇(풙) = 풙풆풙,품(풙) =
푙푛푥
푥 ,풉(풙) = 풙풍풏풙,
풌(풙) = 푒푥
푥
,根据这些函数在 (1,+∞) 的单调性可得结果.
解:设 f(x)=xex,x>1,则 f′(x)=(x+1)ex>0 在 (1,+∞) 上恒成立,故
函数单调递增,
故 f(a)>f(b),即 aea>beb,故 A 正确;
设 품(풙) =
푙푛푥
푥 ,풙>ퟏ,则 품′(풙) =
1 ― 푙푛푥
푥2 ,函数在 (1,e) 上单调递增,在 (e,+
∞) 上单调递减,
故当 1<b<a<e 时,g(a)>g(b),即
푙푛푎
푎 >
푙푛푏
푏 ,故 alnb<blna,故 B 错误;
设 h(x)=xlnx,x>1,则 h′(x)=lnx+1>0 在 (1,+∞) 上恒成立,故函数单调递增,故 h(a)>h(b),即 alna>blnb,故 C 正确;
设 풌(풙) = 푒푥
푥 (풙>ퟏ),则 풌′(풙) =
푒푥(푥 ― 1)
푥2 >ퟎ 在 (1,+∞) 上恒成立,故函数单调递
增,
故 k(a)>k(b),即 푒푎
푎 >푒3
푏
,故 bea>aeb,故 D 正确.
故选:ACD.
三.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.在市数学竞赛中,A、B、C 三间学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一等,将这六名同
学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,那么不同的排法共有 72 种.
【分析】利用捆绑法,结合排列知识可得结论.
解:因为六名同学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,所以由捆绑法,可得푨ퟑퟑ푨ퟑퟑ푨ퟐퟐ
= 72.
故答案为:72.
14.设(풙 ―
2
푥)ퟔ的展开式中 x3 的系数为 a,二项式系数为 b,则푎
푏的值为 4 .
【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得展
开式中 x3 的系数,再根据 x3 的系数为 a,二项式系数为 b,求得 a、b 的值,可得푎
푏的
值.
解:(풙 ―
2
푥)ퟔ的展开式的展开式通项公式为푻풌+ퟏ = 푪풌ퟔ풙ퟔ―풌( ― ퟐ풙
―
1
2)풌 = ( ― ퟐ)풌푪풌ퟔ풙
ퟔ―
3
2풌,
令ퟔ ―
3
2풌 = ퟑ,得 k=2,即푻ퟑ+ퟏ = ( ― ퟐ)ퟐ푪ퟐퟔ풙ퟑ = ퟔퟎ풙ퟑ即系数为 a=60,
二项式系数为 b = 푪ퟐퟔ = 15,则푎
푏 = ퟒ,
故答案为:4.
15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线,“ ”表示一根
阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为
3
14 .
【分析】找两卦中含两根阳线分为两类,一类两阳线来自同一卦,一类两阳线来自两卦,
分别求出取法,再找出总取法,相比即可.
解:从八卦中任取两卦有 Cퟐ
ퟖ = 28 种;这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线有 Cퟏ
ퟏ
Cퟏ
ퟑ + Cퟐ
ퟑ = 6,
则两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率 P =
6
28 =
3
14
故答案为: 3
14.
16.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设 f''(x)是函数 y=f(x)的
导数 y=f'(x)的导数,若方程 f''(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数
y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都
有对称中心;且‘拐点就是对称中心.”请你将这一发现为条件,解答如下问题:
若已知函数 f(x)=x3 ―
3
2풙ퟐ + ퟑ풙 ―
1
4,则 f(x)的对称中心为 (1
2,1) ;计算풇(
1
2021
) + 풇(
2
2021) + 풇(
3
2021) + ⋯ + 풇(
2020
2021) = 2020 .
【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(1
2,1)对称,即 f(x)+f(1﹣
x)=2,即可得到结论.
解:f(x)=x3 ―
3
2풙ퟐ + ퟑ풙 ―
1
4,则 f′(x)=3x2﹣3x+3,f″(x)=6x﹣3,
令 f″(x)=0,解得:x =
1
2,则 f(1
2)=1
故 f(x)的对称中心是(1
2,1),
∴f(x)+f(1﹣x)=2,
∴풇(
1
2021) + 풇(
2
2021) + 풇(
3
2021) + ⋯ + 풇(
2020
2021)
=f( 1
2021)+f(2020
2021)+f( 2
2021)+f(2019
2021)+…+f(1010
2021)+f(1011
2021)
=2×1010=2020,
故答案为:(1
2,1),2020.
四.解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演
算步骤.)
17.在等差数列{an}中,a4=1,a7=﹣5,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)现从{an}的前 10 项中随机取数,_______,求取出的三个数中恰好有两个正数和一
个负数的概率.
从下面两个条件中任选一个将题目补充完整,并解答.
条件①:若每次取出一个数,取后放回,连续取数 3 次,假设每次取数互不影响;
条件②:若从 10 个数中一次取出三个数.
【分析】第一问根据等差数列的概念求出公差 d.第二问根据古典概型公式,注意有放
回取球的特点.
解:(1)设等差数列{an}的公差为 d.则 d =
푎7 ― 푎4
7 ― 4
,又已知 a4=1,a7=﹣5,∴d=﹣
2.所以,等差数列{an}的通项公式为:an=﹣2n+9.
(2)由(1)知等差数列{an}的前 10 项分别为:7、5、3、1、﹣1、﹣3、﹣5、﹣7、﹣
9、﹣11.
若选择①:若每次取出一个数,取后放回,连续取数 3 次,假设每次取数互不影响,
∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P =
퐶1
3퐶2
4퐶1
6
103 =
108
1000 = 0.108
若条件②:若从 10 个数中一次取出三个数.
∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率:P =
퐶2
4퐶1
6
퐶3
10
=
36
120 = 0.30
18.在如图所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面 BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠
BCD=60°.
(1)证明:BD⊥平面 ACDE;
(2)求平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值.
【分析】(1)推导出 BD⊥CD,AC⊥BD,由此能证明 BD⊥平面 ACDE.
(2)法一:延长 AE,CD 相交于 G,连接 BG,二面角 A_BG﹣C 就是平面 BCD 与平面
BAE 所成二面角.由此能求出平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值.
法二:建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利用向量法能求出平面 BCD 与平面 BAE 所成二面
角的正弦值.
【解答】证明:(1)在△BCD 中,BD2=4+1﹣2×1×2×cos60°=3.∴BC2=BD2+DC2,∴△BCD 为直角三角形,BD⊥CD.
又∵AC⊥平面 BCD,∴AC⊥BD.
而 AC∩CD=C,∴BD⊥平面 ACDE.
解:(2)方法一:如图延长 AE,CD 相交于 G,连接 BG,
则平面 AEB∩平面 BCD=BG.
二面角 A_BG﹣C 就是平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角.
∵DE∥AC,AC=2DE,∴DE 是△AGC 的中位线.
GD=DC=1,这样 GC=BC=2,∠BCD=60°,△BGC 是等边三角形.
取 BG 的中点为 H,连接 AH,GH,∵AC⊥平面 BCD.
∴∠AHC 就是二面角 A﹣BG﹣C 的平面角.
在 Rt△AHC 中,AC=4,GH = ퟑ,
所以 sin∠푨푯푪 =
4
19 = 4 19
19
.
∴平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值为4 19
19
.
方法二:建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz,
可得 D(0,0,0),B( ퟑ,0,0),C(0,1,0),
E(0,0,2),A(0,1,4).
→
푩푨 = ( ― ퟑ,1,4), →
푬푨 = (0,1,2).
设→
풏 = (x,y,z)是平面 BAE 的法向量,
则{→
풏 ⋅
→
푩푨 = ― ퟑ풙 + 풚 + ퟒ풛 = ퟎ
→
풏 ⋅
→
푬푨 = 풚 + ퟐ풛 = ퟎ
,令 z = ퟑ,得→
풏 = (2,﹣2 ퟑ, ퟑ).取平面 BCD 的法向量为 →
풎 = (0,0,1).
设平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的平面角为 θ,
则|cosθ| =
|
→
푛 ⋅
→
푚|
|
→
푛| ⋅ |
→
푚|
=
3
19,
∴sinθ = ퟏ ―
3
19 = 4 19
19
.
∴平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值为4 19
19
.
19.已知 f(x)=kx﹣sin2x+asinx(k,a 为实数).
(1)当 k=0,a=2 时,求 f(x)在[0,π]上的最大值;
(2)当 k=4 时,若 f(x)在一、选择题上单调递增,求 a 的取值范围.
【分析】(1)求导后,列表得 x,f′(x),f(x)的变化情况,进而求得最大值;
(2)依题意,4cos2x﹣acosx﹣6≤0 恒成立,换元后利用二次函数的图象及性质得解.
解:(1)当 k=0,a=2 时,f(x)=﹣sin2x+2sinxf′(x)=﹣2cos2x+2cosx=﹣4cos2x+2cosx+2=2(2cosx+1)(1﹣cosx),
则 x,f′(x),f(x)的变化情况如下:
x (ퟎ,
2휋
3 )
2휋
3 (
2휋
3 ,흅)
f′(x) + 0 ﹣
f(x) 增函数 极大值 减函数
∴풇(풙)最大值 = 풇(
2휋
3 ) = 3 3
2
.
(2)f(x)在 R 上单调递增,则 f′(x)=4﹣2(cos2x﹣sin2x)+acosx≥0 对∀x∈R 恒
成立.
得 4cos2x﹣acosx﹣6≤0,
设 t=cosx∈[﹣1,1],g(t)=4t2﹣at﹣6,
则 g(t)≤0 在[﹣1,1]上恒成立,由二次函数图象{품( ― ퟏ) ≤ ퟎ
품(ퟏ) ≤ ퟎ ,得﹣2≤a≤2.
20.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在 A 点投篮一次,以后都在 B 点投
篮;方案乙:始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A 点命中的概率为3
4,
命中一次记 3 分,没有命中得 0 分;在 B 点命中的概率为4
5,命中一次记 2 分,没有命
中得 0 分,用随机变量 ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果 ξ 的值不低于 3 分,
则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮 3 次.
(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分 ξ 的分布列和数列期望.
(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.
【分析】(1)在 A 点投篮命中记作 A,不中记作푨;在 B 点投篮命中记作 B,不中记作
푩,求出概率,判断 ξ 的所有可能取值为 0,2,3,4,求出概率,得到 ξ 的分布列,然
后求解 ξ 的数学期望.(2)求出选手选择方案甲通过测试的概率,选手选择方案乙通过测试的概率,即可判断
该选手应选择方案甲通过测试的概率更大.
解:(1)在 A 点投篮命中记作 A,不中记作푨;在 B 点投篮命中记作 B,不中记作푩,
其中푷(푨) =
3
4,푷(푨) = ퟏ ―
3
4 =
1
4,푷(푩) =
4
5,푷(푩) = ퟏ ―
4
5 =
1
5,…………………
ξ 的所有可能取值为 0,2,3,4,则푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푩) = 푷(푨)푷(푩)푷(푩) =
1
4 ×
1
5 ×
1
5 =
1
100,…
푷(흃 = ퟐ) = 푷(푨푩푩) + 푷(푨푩푩) = ퟐ ×
1
4 ×
1
5 ×
4
5 =
8
100,……………………………
푷(흃 = ퟑ) = 푷(푨) =
3
4 =
75
100,…………………………………………………………푷(흃 = ퟒ
) = 푷(푨푩푩) = 푷(푨)푷(푩)푷(푩) =
1
4 ×
4
5 ×
4
5 =
16
100.…………………………
ξ 的分布列为:
ξ 0 2 3 4
P
1
100
2
25
3
4
4
25
所以푬(흃) = ퟎ ×
1
100 + ퟐ ×
8
100 + ퟑ ×
75
100 + ퟒ ×
16
100 =
305
100 = ퟑ.ퟎퟓ,
所以,ξ 的数学期望为 3.05.…………………………………………………………
(2)选手选择方案甲通过测试的概率为푷ퟏ = 푷(흃 ≥ ퟑ) =
75
100 +
16
100 =
91
100 = ퟎ.ퟗퟏ,
选手选择方案乙通过测试的概率为 P2=P(ξ≥3) = ퟐ ×
1
5 ×
4
5 ×
4
5 +
4
5 ×
4
5 =
112
125 =
896
1000
= ퟎ.ퟖퟗퟔ,…
因为 P2<P1,所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大.……………………
21.推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重
要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表:
得分 [30,40)[40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
男性人数 40 90 120 130 110 60 30
女性人数 20 50 80 110 100 40 20
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于 60 分的概率;
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分)和“不太了
解”(得分低于 60 分)两类,完成 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“居民
对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?
不太了解 比较了解 合计
男性
女性
合计
(3)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 10
人,现从这 10 人中随机抽取 3 人作为环保宣传队长,设 3 人中男性队长的人数为 ξ,求
ξ 的分布列和期望.
附:K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)
,(n=a+b+c+d).
临界值表:
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【分析】(1)计算小区中得分不低于 60 分的人数,根据古典概型的概率公式计算;
(2)计算四类人数填表,计算观测值 K2,与 3.841 比较得出结论;(3)计算 10 人中男女人数,按超几何分布得出分布列和数学期望.
解:(1)小区 1000 名居民中,得分不低于 60 分的人数为:130+110+60+30+110+100+40+20
=600,
故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于 60 分的概率为 P =
600
1000 =
3
5.
(2)2×2 联表如下:
不太了解 比较了解 合计
男性 250 330 580
女性 150 270 420
合计 400 600 1000
K2 = 1000 × (250 × 270 ― 330 × 150)2
580 × 420 × 400 × 600 ≈ 5.54,
∵5.54>3.841,
∴有 95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.
(3)参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,男性有 90 人,女性有 60 人,
若按分层抽样的办法从中抽取 10 人,则男性人数为 10 ×
90
150 = 6,女性人数为 10 ×
60
150
= 4.
故 ξ 的可能取值有 0,1,2,3.
P(ξ=0) =
퐶3
4
퐶3
10
=
1
30,P(ξ=1) =
퐶1
6 ⋅ 퐶2
4
퐶3
10
=
3
10,P(ξ=2) =
퐶2
6 ⋅ 퐶1
4
퐶3
10
=
1
2,P(ξ=3) =
퐶3
6
퐶3
10
=
1
6.
∴ξ 的分布列为:ξ 0 1 2 3
P
1
30
3
10
1
2
1
6
E(ξ)=0 ×
1
30 + 1 ×
3
10 + 2 ×
1
2 + 3 ×
1
6 = 1.8.
22.已知函数 f(x) =
1 + 푙푛푥
푥 ― a(a∈R).
(1)若 f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围;
(2)设 g(x)=(x﹣1)2ex,当 a=0 时,若 t(x)=f(x)﹣g(x),求 t(x)零点
的个数.
【分析】(1)变换得到1 + 푙푛푥
푥 ≤ a,设 F(x) =
1 + 푙푛푥
푥 ,求导得到函数单调区间,计
算最值得到答案.
(2)求导得 t′(x) = ―
푙푛푥
푥2 ― (x2﹣1)ex,得到函数单调区间,得到 t(x)max=t
(1)=1,且当 x→0 时,t(x)→﹣∞;当 x→+∞时,t(x)→﹣∞,根据零点存在性
定理,得到答案.
解:(1)f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,故1 + 푙푛푥
푥 ≤ a,设 F(x) =
1 + 푙푛푥
푥 ,
则 F′(x) =
―푙푛푥
푥2 ,当 x∈(0,1)时,函数单调递增,当 x∈(1,+∞)时,函数单
调递减,
故 F(x)max=F(1)=1,故 a≥1.
(2)a=0 时,t(x)=f(x)﹣g(x) =
1 + 푙푛푥
푥 ― (x﹣1)2ex,则 t′(x) = ―
푙푛푥
푥2 ―
(x2﹣1)ex,
当 x∈(0,1)时, ―
푙푛푥
푥2 >0,﹣(x2﹣1)ex>0,故 t′(x)>0,函数单调递增,
当 x∈(1,+∞)时, ―
푙푛푥
푥2 <0,﹣(x2﹣1)ex<0,故 t′(x)<0,函数单调递减,t(x)max=t(1)=1,
且当 x→0 时,t(x)→﹣∞;当 x→+∞时,t(x)→﹣∞,
根据零点存在性定理知:函数在(0,1)和(1,+∞)上各有一个零点,故函数 t(x)
有两个零点.