山东省济南市2019-2020高二数学下学期期中试题(解析版)
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山东省济南市2019-2020高二数学下学期期中试题(解析版)

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资料简介
2019-2020 学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷 一.单择题(共 8 小题). 1.若复数 z 满足(1+i)z=2i,其中 i 为虚数单位,则풛 = (  ) A.1﹣i B.1+i C.2﹣2i D.2+2i 2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是 C1D1 的中点,且 → 푨푷 = → 푨푫 + 풙 → 푨푩 + 풚 → 푨푨ퟏ,则实 数 x+y 的值为(  ) A. ― 3 2 B. ― 1 2 C.1 2 D.3 2 3.函数 f(x)=3x﹣4x3(x∈[0,1])的最大值是(  ) A.1 B.1 2 C.0 D.﹣1 4.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A:“甲骰子的点数大于 4”;事件 B:“甲、乙两骰子 的点数之和等于 7”,则 P(B|A)的值等于(  ) A.1 3 B. 1 18 C.1 6 D.1 9 5.已知函数 y=f(x)的部分图象如图,则 f(x)的解析式可能是(  ) A.f(x)=x+tanx B.f(x)=x+sin2x C.f(x)=x ― 1 2sin2x D.f(x)=x ― 1 2cosx 6.已知下表所示数据的回归直线方程为^ 풚 = ퟒ풙 ― ퟒ,则实数 a 的值为(  )x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 a 21 A.16 B.18 C.20 D.22 7.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列{ 1 푓(푛)}的 前 n 项和为 Sn,则 S2020 的值为(  ) A.2020 2021 B.2019 2020 C.2018 2019 D.2017 2018 8.如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小 木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均 等,则小球最终落③号球槽的概率为(  ) A. 3 32 B.15 64 C. 5 32 D. 5 16 二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分. 9.下列说法正确的是(  ) A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,方差也变为原来的 a 倍 B.设有一个回归方程 y=3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位 C.线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱D.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),则 P(ξ>1)=0.5 10.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则下列说法正确 的是(  ) A.BC1∥平面 AQP B.平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 C.A1D⊥平面 AQP D.异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60° 11.若(2x﹣1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则(  ) A.a2=180 B.|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|=310 C.a1+a2+…+a10=1 D. 푎1 2 + 푎2 22 + 푎3 23 +⋯ + 푎10 210 = ― 1 12.已知 a>b>1,e 为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是(  ) A.aea>beb B.alnb>blna C.alna>blnb D.bea>aeb 三.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.在市数学竞赛中,A、B、C 三间学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一等,将这六名同 学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,那么不同的排法共有   种. 14.设(풙 ― 2 푥)ퟔ的展开式中 x3 的系数为 a,二项式系数为 b,则푎 푏的值为   . 15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、 艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线,“ ”表示一根 阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为   .16.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设 f''(x)是函数 y=f(x)的 导数 y=f'(x)的导数,若方程 f''(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都 有对称中心;且‘拐点就是对称中心.”请你将这一发现为条件,解答如下问题: 若已知函数 f(x)=x3 ― 3 2풙ퟐ + ퟑ풙 ― 1 4,则 f(x)的对称中心为   ;计算풇( 1 2021) + 풇( 2 2021) + 풇( 3 2021) + ⋯ + 풇( 2020 2021) =    . 四.解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤.) 17.在等差数列{an}中,a4=1,a7=﹣5, (1)求数列{an}的通项公式; (2)现从{an}的前 10 项中随机取数,_______,求取出的三个数中恰好有两个正数和一 个负数的概率. 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整,并解答. 条件①:若每次取出一个数,取后放回,连续取数 3 次,假设每次取数互不影响; 条件②:若从 10 个数中一次取出三个数. 18.在如图所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面 BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠ BCD=60°. (1)证明:BD⊥平面 ACDE; (2)求平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值.19.已知 f(x)=kx﹣sin2x+asinx(k,a 为实数). (1)当 k=0,a=2 时,求 f(x)在[0,π]上的最大值; (2)当 k=4 时,若 f(x)在 R 上单调递增,求 a 的取值范围. 20.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在 A 点投篮一次,以后都在 B 点投 篮;方案乙:始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A 点命中的概率为3 4, 命中一次记 3 分,没有命中得 0 分;在 B 点命中的概率为4 5,命中一次记 2 分,没有命 中得 0 分,用随机变量 ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果 ξ 的值不低于 3 分, 则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮 3 次. (1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分 ξ 的分布列和数列期望. (2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由. 21.推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重 要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参 与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表: 得分 [30,40)[40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 (1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于 60 分的概率; (2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分)和“不太了解”(得分低于 60 分)两类,完成 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“居民 对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关? 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 (3)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 10 人,现从这 10 人中随机抽取 3 人作为环保宣传队长,设 3 人中男性队长的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望. 附:K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) ,(n=a+b+c+d). 临界值表: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 22.已知函数 f(x) = 1 + 푙푛푥 푥 ― a(a∈R). (1)若 f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=(x﹣1)2ex,当 a=0 时,若 t(x)=f(x)﹣g(x),求 t(x)零点 的个数.参考答案 一.单择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.若复数 z 满足(1+i)z=2i,其中 i 为虚数单位,则풛 = (  ) A.1﹣i B.1+i C.2﹣2i D.2+2i 【分析】通过化简求出 z,从而求出 z 的共轭复数即可. 解:∵(1+i)z=2i, ∴z = 2푖 1 + 푖 = i(1﹣i)=1+i, 则풛 = 1﹣i, 故选:A. 2.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是 C1D1 的中点,且 → 푨푷 = → 푨푫 + 풙 → 푨푩 + 풚 → 푨푨ퟏ,则实 数 x+y 的值为(  ) A. ― 3 2 B. ― 1 2 C.1 2 D.3 2 【分析】直接利用向量的线性运算和三角形法则的应用求出结果. 解:正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 是 C1D1 的中点, 所 以 → 푨푷 = 1 2( → 푨푫ퟏ + → 푨푪ퟏ) = 1 2( → 푨푫 + → 푨푨ퟏ) + 1 2( → 푨푩 + → 푨푫 + → 푨푨ퟏ) = → 푨푫 + 1 2 → 푨푩 + → 푨푨ퟏ = → 푨푫 + 풙 → 푨푩 + 풚 → 푨푨ퟏ, 所以풙 = 1 2,풚 = ퟏ, 故 x+y = 3 2.故选:D. 3.函数 f(x)=3x﹣4x3(x∈[0,1])的最大值是(  ) A.1 B.1 2 C.0 D.﹣1 【分析】先求导数,根据函数的单调性研究出函数的极值点,连续函数 f(x)在区间 (0,1)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,从而求出所求. 解:f'(x)=3﹣12x2=3(1﹣2x)(1+2x) 令 f'(x)=0,解得:x = 1 2或 ― 1 2(舍去) 当 x∈(0,1 2)时,f'(x)>0,当 x∈(1 2,1)时,f'(x)<0, ∴当 x = 1 2时 f(x)(x∈[0,1])的最大值是 f(1 2)=1 故选:A. 4.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A:“甲骰子的点数大于 4”;事件 B:“甲、乙两骰子 的点数之和等于 7”,则 P(B|A)的值等于(  ) A.1 3 B. 1 18 C.1 6 D.1 9 【分析】P(B|A)为抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 4 时甲、乙两骰子的点数 之和等于 7 的概率. 解:由题意,P(B|A)为抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 4 时甲、乙两骰子的 点数之和等于 7 的概率. ∵抛掷甲、乙两颗骰子,甲骰子的点数大于 4,基本事件有 2×6=12 个,甲骰子的点数 大于 4 时甲、乙两骰子的点数之和等于 7,基本事件有 2 个, ∴P(B|A) = 2 12 = 1 6. 故选:C.5.已知函数 y=f(x)的部分图象如图,则 f(x)的解析式可能是(  ) A.f(x)=x+tanx B.f(x)=x+sin2x C.f(x)=x ― 1 2sin2x D.f(x)=x ― 1 2cosx 【分析】函数 f(x)=x+tanx 的定义域为{풙|풙 ≠ 휋 2 + 풌흅,풌 ∈ 풁},不合题意;而由图象 可知,f(0)=0,풇( 휋 4)<ퟏ,可排除 BD,由此选 C. 解:由图象可知,函数的定义域为 R,故排除 A; 又 f(0)=0,故排除 D; 若选择 B,则풇( 휋 4) = 휋 4 + 풔풊풏 휋 2 = 휋 4 + ퟏ>ퟏ,与图象不符. 故选:C. 6.已知下表所示数据的回归直线方程为^ 풚 = ퟒ풙 ― ퟒ,则实数 a 的值为(  ) x 2 3 4 5 6 y 3 7 11 a 21 A.16 B.18 C.20 D.22 【分析】由表中数据计算样本中心点的横坐标,根据回归直线经过样本中心点求出풚的值, 从而求出 a 的值. 解:由表中数据知,样本中心点的横坐标为:풙 = 1 5 × (2+3+4+5+6)=4, 由回归直线经过样本中心点, 得풚 = 4×4﹣4=12, 即풚 = 1 5 × (3+7+11+a+21)=12, 解得 a=18. 故选:B. 7.已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 3,数列{ 1 푓(푛)}的 前 n 项和为 Sn,则 S2020 的值为(  ) A.2020 2021 B.2019 2020 C.2018 2019 D.2017 2018 【分析】求得 f(x)的导数,将 x=1 代入可得切线的斜率,解得 b=1,可得 f(n)= n2+n, 1 푓(푛) = 1 푛2 + 푛 = 1 푛(푛 + 1) = 1 푛 ― 1 푛 + 1,再由数列的裂项相消求和,计算可得所求 和. 解:函数 f(x)=x2+bx 的导数为 f′(x)=2x+b, 可得 f(x)的图象在点 A(1,f(1))处的切线的斜率为 2+b=3,解得 b=1, 则 f(x)=x2+x,即 f(n)=n2+n, 1 푓(푛) = 1 푛2 + 푛 = 1 푛(푛 + 1) = 1 푛 ― 1 푛 + 1, S2020=1 ― 1 2 + 1 2 ― 1 3 +⋯ + 1 2020 ― 1 2021 = 1 ― 1 2021 = 2020 2021. 故选:A. 8.如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小 木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落③号球槽的概率为(  ) A. 3 32 B.15 64 C. 5 32 D. 5 16 【分析】用小球落入③球槽的种数除以小球落入下方的各个球槽的种数即可求得概 率. 解:由题可知:小球落入③号球槽有 Cퟐ ퟓ = 10 种情况,小球落入下方球槽共有 25=32, ∴小球最终落③号球槽的概率为10 32 = 5 16. 故选:D. 二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求,全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,有选错的得 0 分. 9.下列说法正确的是(  ) A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,方差也变为原来的 a 倍 B.设有一个回归方程 y=3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位 C.线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱 D.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),则 P(ξ>1)= 0.5 【分析】直接利用回归直线的方程的应用,相关的系数的应用,正态分布的应用求出结 果. 解:对于选项 A:将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后,方差变为原来的 a2 倍.故错误. 对于选项 B:若有一个回归方程 y=3﹣5x,变量 x 增加 1 个单位时,故 y=3﹣5(x+1)= 3﹣5x﹣5.故 y 平均减少 5 个单位,正确. 对于选项 C:线性相关系数|r|越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越 弱,错误. 对于选项 D:在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0),由于正 态曲线关于 x=1 对称,则 P(ξ>1)=0.5,正确. 故选:BD. 10.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则下列说法正确 的是(  ) A.BC1∥平面 AQP B.平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形 C.A1D⊥平面 AQP D.异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60° 【分析】直接利用线面平行的判定和性质的应用,异面直线的夹角的应用,线面垂直的 判定的应用,共面的判定的应用求出结果. 解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 如图所示:①对于选项 A:P,Q 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点, 所以 PQ∥BC1,由于 PQ⊂平面 APQ,BC1 不在平面 APQ 内,所以 BC1∥平面 APQ,故 选项 A 正确. ②对于选项 B:连接 AP,AD1,D1Q,由于 AD1∥PQ,D1Q=AP,所以:平面 APQ 截 正方体所得截面为等腰梯形,故正确. ③对于选项 C:由于 A1D⊥平面 ABC1D1,平面 ABC1D1 和平面 APQD1 为相交平面,所 以 A1D⊥平面 AQP,错误. ④对于选项 D:PQ∥BC1,△A1BC1 为等边三角形,所以∠A1C1B=60°,即异面直线 QP 与 A1C1 所成的角为 60°.故正确. 故选:ABD. 11.若(2x﹣1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则(  ) A.a2=180 B.|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|=310 C.a1+a2+…+a10=1 D. 푎1 2 + 푎2 22 + 푎3 23 +⋯ + 푎10 210 = ― 1 【分析】分析所给代数式的特点,通过给二项式的 x 赋值,即可判断答案. 解:(2x﹣1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其通项公式为:Tr+1 = ∁풓ퟏퟎ•(2x)10﹣r•(﹣1)r;令 x=0 可得:a0=1; 所以:a2 为 x2 的系数;故 a2 = ∁ퟐퟏퟎ•22•(﹣1)8=180 成立; 由二项式定理可得:x 的偶次项系数为正,奇次项系数为负; 故令 x=﹣1 可得:|a0|+|a1|+|a2|+…|a10|=310;即 B 对; 令 x=1 可得 a0+a1+a2+…+a10=1; ∴a1+a2+…+a10=0;即 C 错; 令 x = 1 2可得:(2 × 1 2 ― 1)10=0=a0 + 1 2a1 + 1 22a2 +⋯ + 1 210a10, ∴1 2a1 + 1 22a2 +⋯ + 1 210a10=0﹣a0=﹣1;故 D 对; 故选:ABD. 12.已知 a>b>1,e 为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是(  ) A.aea>beb B.alnb>blna C.alna>blnb D.bea>aeb 【分析】采用逐一验证的方法,通过构造函数 풇(풙) = 풙풆풙,품(풙) = 푙푛푥 푥 ,풉(풙) = 풙풍풏풙, 풌(풙) = 푒푥 푥 ,根据这些函数在 (1,+∞) 的单调性可得结果. 解:设 f(x)=xex,x>1,则 f′(x)=(x+1)ex>0 在 (1,+∞) 上恒成立,故 函数单调递增, 故 f(a)>f(b),即 aea>beb,故 A 正确; 设 품(풙) = 푙푛푥 푥 ,풙>ퟏ,则 품′(풙) = 1 ― 푙푛푥 푥2 ,函数在 (1,e) 上单调递增,在 (e,+ ∞) 上单调递减, 故当 1<b<a<e 时,g(a)>g(b),即 푙푛푎 푎 > 푙푛푏 푏 ,故 alnb<blna,故 B 错误; 设 h(x)=xlnx,x>1,则 h′(x)=lnx+1>0 在 (1,+∞) 上恒成立,故函数单调递增,故 h(a)>h(b),即 alna>blnb,故 C 正确; 设 풌(풙) = 푒푥 푥 (풙>ퟏ),则 풌′(풙) = 푒푥(푥 ― 1) 푥2 >ퟎ 在 (1,+∞) 上恒成立,故函数单调递 增, 故 k(a)>k(b),即 푒푎 푎 >푒3 푏 ,故 bea>aeb,故 D 正确. 故选:ACD. 三.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.在市数学竞赛中,A、B、C 三间学校分别有 1 名、2 名、3 名同学获一等,将这六名同 学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,那么不同的排法共有 72 种. 【分析】利用捆绑法,结合排列知识可得结论. 解:因为六名同学排成一排合影,要求同学校的同学相邻,所以由捆绑法,可得푨ퟑퟑ푨ퟑퟑ푨ퟐퟐ = 72. 故答案为:72. 14.设(풙 ― 2 푥)ퟔ的展开式中 x3 的系数为 a,二项式系数为 b,则푎 푏的值为 4 . 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得展 开式中 x3 的系数,再根据 x3 的系数为 a,二项式系数为 b,求得 a、b 的值,可得푎 푏的 值. 解:(풙 ― 2 푥)ퟔ的展开式的展开式通项公式为푻풌+ퟏ = 푪풌ퟔ풙ퟔ―풌( ― ퟐ풙 ― 1 2)풌 = ( ― ퟐ)풌푪풌ퟔ풙 ퟔ― 3 2풌, 令ퟔ ― 3 2풌 = ퟑ,得 k=2,即푻ퟑ+ퟏ = ( ― ퟐ)ퟐ푪ퟐퟔ풙ퟑ = ퟔퟎ풙ퟑ即系数为 a=60, 二项式系数为 b = 푪ퟐퟔ = 15,则푎 푏 = ퟒ, 故答案为:4. 15.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“ ”表示一根阳线,“ ”表示一根 阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为  3 14 . 【分析】找两卦中含两根阳线分为两类,一类两阳线来自同一卦,一类两阳线来自两卦, 分别求出取法,再找出总取法,相比即可. 解:从八卦中任取两卦有 Cퟐ ퟖ = 28 种;这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线有 Cퟏ ퟏ Cퟏ ퟑ + Cퟐ ퟑ = 6, 则两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率 P = 6 28 = 3 14 故答案为: 3 14. 16.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设 f''(x)是函数 y=f(x)的 导数 y=f'(x)的导数,若方程 f''(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都 有对称中心;且‘拐点就是对称中心.”请你将这一发现为条件,解答如下问题: 若已知函数 f(x)=x3 ― 3 2풙ퟐ + ퟑ풙 ― 1 4,则 f(x)的对称中心为 (1 2,1) ;计算풇( 1 2021 ) + 풇( 2 2021) + 풇( 3 2021) + ⋯ + 풇( 2020 2021) =  2020 . 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(1 2,1)对称,即 f(x)+f(1﹣ x)=2,即可得到结论. 解:f(x)=x3 ― 3 2풙ퟐ + ퟑ풙 ― 1 4,则 f′(x)=3x2﹣3x+3,f″(x)=6x﹣3, 令 f″(x)=0,解得:x = 1 2,则 f(1 2)=1 故 f(x)的对称中心是(1 2,1), ∴f(x)+f(1﹣x)=2, ∴풇( 1 2021) + 풇( 2 2021) + 풇( 3 2021) + ⋯ + 풇( 2020 2021) =f( 1 2021)+f(2020 2021)+f( 2 2021)+f(2019 2021)+…+f(1010 2021)+f(1011 2021) =2×1010=2020, 故答案为:(1 2,1),2020. 四.解答题(本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤.) 17.在等差数列{an}中,a4=1,a7=﹣5, (1)求数列{an}的通项公式; (2)现从{an}的前 10 项中随机取数,_______,求取出的三个数中恰好有两个正数和一 个负数的概率. 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整,并解答. 条件①:若每次取出一个数,取后放回,连续取数 3 次,假设每次取数互不影响; 条件②:若从 10 个数中一次取出三个数. 【分析】第一问根据等差数列的概念求出公差 d.第二问根据古典概型公式,注意有放 回取球的特点. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d.则 d = 푎7 ― 푎4 7 ― 4 ,又已知 a4=1,a7=﹣5,∴d=﹣ 2.所以,等差数列{an}的通项公式为:an=﹣2n+9. (2)由(1)知等差数列{an}的前 10 项分别为:7、5、3、1、﹣1、﹣3、﹣5、﹣7、﹣ 9、﹣11. 若选择①:若每次取出一个数,取后放回,连续取数 3 次,假设每次取数互不影响, ∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率 P = 퐶1 3퐶2 4퐶1 6 103 = 108 1000 = 0.108 若条件②:若从 10 个数中一次取出三个数. ∴取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率:P = 퐶2 4퐶1 6 퐶3 10 = 36 120 = 0.30 18.在如图所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面 BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠ BCD=60°. (1)证明:BD⊥平面 ACDE; (2)求平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值. 【分析】(1)推导出 BD⊥CD,AC⊥BD,由此能证明 BD⊥平面 ACDE. (2)法一:延长 AE,CD 相交于 G,连接 BG,二面角 A_BG﹣C 就是平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角.由此能求出平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值. 法二:建立空间直角坐标系 D﹣xyz,利用向量法能求出平面 BCD 与平面 BAE 所成二面 角的正弦值. 【解答】证明:(1)在△BCD 中,BD2=4+1﹣2×1×2×cos60°=3.∴BC2=BD2+DC2,∴△BCD 为直角三角形,BD⊥CD. 又∵AC⊥平面 BCD,∴AC⊥BD. 而 AC∩CD=C,∴BD⊥平面 ACDE. 解:(2)方法一:如图延长 AE,CD 相交于 G,连接 BG, 则平面 AEB∩平面 BCD=BG. 二面角 A_BG﹣C 就是平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角. ∵DE∥AC,AC=2DE,∴DE 是△AGC 的中位线. GD=DC=1,这样 GC=BC=2,∠BCD=60°,△BGC 是等边三角形. 取 BG 的中点为 H,连接 AH,GH,∵AC⊥平面 BCD. ∴∠AHC 就是二面角 A﹣BG﹣C 的平面角. 在 Rt△AHC 中,AC=4,GH = ퟑ, 所以 sin∠푨푯푪 = 4 19 = 4 19 19 . ∴平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值为4 19 19 . 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz, 可得 D(0,0,0),B( ퟑ,0,0),C(0,1,0), E(0,0,2),A(0,1,4). → 푩푨 = ( ― ퟑ,1,4), → 푬푨 = (0,1,2). 设→ 풏 = (x,y,z)是平面 BAE 的法向量, 则{→ 풏 ⋅ → 푩푨 = ― ퟑ풙 + 풚 + ퟒ풛 = ퟎ → 풏 ⋅ → 푬푨 = 풚 + ퟐ풛 = ퟎ ,令 z = ퟑ,得→ 풏 = (2,﹣2 ퟑ, ퟑ).取平面 BCD 的法向量为 → 풎 = (0,0,1). 设平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的平面角为 θ, 则|cosθ| = | → 푛 ⋅ → 푚| | → 푛| ⋅ | → 푚| = 3 19, ∴sinθ = ퟏ ― 3 19 = 4 19 19 . ∴平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的正弦值为4 19 19 . 19.已知 f(x)=kx﹣sin2x+asinx(k,a 为实数). (1)当 k=0,a=2 时,求 f(x)在[0,π]上的最大值; (2)当 k=4 时,若 f(x)在一、选择题上单调递增,求 a 的取值范围. 【分析】(1)求导后,列表得 x,f′(x),f(x)的变化情况,进而求得最大值; (2)依题意,4cos2x﹣acosx﹣6≤0 恒成立,换元后利用二次函数的图象及性质得解. 解:(1)当 k=0,a=2 时,f(x)=﹣sin2x+2sinxf′(x)=﹣2cos2x+2cosx=﹣4cos2x+2cosx+2=2(2cosx+1)(1﹣cosx), 则 x,f′(x),f(x)的变化情况如下: x (ퟎ, 2휋 3 ) 2휋 3 ( 2휋 3 ,흅) f′(x) + 0 ﹣ f(x) 增函数 极大值 减函数 ∴풇(풙)最大值 = 풇( 2휋 3 ) = 3 3 2 . (2)f(x)在 R 上单调递增,则 f′(x)=4﹣2(cos2x﹣sin2x)+acosx≥0 对∀x∈R 恒 成立. 得 4cos2x﹣acosx﹣6≤0, 设 t=cosx∈[﹣1,1],g(t)=4t2﹣at﹣6, 则 g(t)≤0 在[﹣1,1]上恒成立,由二次函数图象{품( ― ퟏ) ≤ ퟎ 품(ퟏ) ≤ ퟎ ,得﹣2≤a≤2. 20.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在 A 点投篮一次,以后都在 B 点投 篮;方案乙:始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A 点命中的概率为3 4, 命中一次记 3 分,没有命中得 0 分;在 B 点命中的概率为4 5,命中一次记 2 分,没有命 中得 0 分,用随机变量 ξ 表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果 ξ 的值不低于 3 分, 则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮 3 次. (1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分 ξ 的分布列和数列期望. (2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由. 【分析】(1)在 A 点投篮命中记作 A,不中记作푨;在 B 点投篮命中记作 B,不中记作 푩,求出概率,判断 ξ 的所有可能取值为 0,2,3,4,求出概率,得到 ξ 的分布列,然 后求解 ξ 的数学期望.(2)求出选手选择方案甲通过测试的概率,选手选择方案乙通过测试的概率,即可判断 该选手应选择方案甲通过测试的概率更大. 解:(1)在 A 点投篮命中记作 A,不中记作푨;在 B 点投篮命中记作 B,不中记作푩, 其中푷(푨) = 3 4,푷(푨) = ퟏ ― 3 4 = 1 4,푷(푩) = 4 5,푷(푩) = ퟏ ― 4 5 = 1 5,………………… ξ 的所有可能取值为 0,2,3,4,则푷(흃 = ퟎ) = 푷(푨푩푩) = 푷(푨)푷(푩)푷(푩) = 1 4 × 1 5 × 1 5 = 1 100,… 푷(흃 = ퟐ) = 푷(푨푩푩) + 푷(푨푩푩) = ퟐ × 1 4 × 1 5 × 4 5 = 8 100,…………………………… 푷(흃 = ퟑ) = 푷(푨) = 3 4 = 75 100,…………………………………………………………푷(흃 = ퟒ ) = 푷(푨푩푩) = 푷(푨)푷(푩)푷(푩) = 1 4 × 4 5 × 4 5 = 16 100.………………………… ξ 的分布列为: ξ 0 2 3 4 P 1 100 2 25 3 4 4 25 所以푬(흃) = ퟎ × 1 100 + ퟐ × 8 100 + ퟑ × 75 100 + ퟒ × 16 100 = 305 100 = ퟑ.ퟎퟓ, 所以,ξ 的数学期望为 3.05.………………………………………………………… (2)选手选择方案甲通过测试的概率为푷ퟏ = 푷(흃 ≥ ퟑ) = 75 100 + 16 100 = 91 100 = ퟎ.ퟗퟏ, 选手选择方案乙通过测试的概率为 P2=P(ξ≥3) = ퟐ × 1 5 × 4 5 × 4 5 + 4 5 × 4 5 = 112 125 = 896 1000 = ퟎ.ퟖퟗퟔ,… 因为 P2<P1,所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大.…………………… 21.推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重 要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取 1000 名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表: 得分 [30,40)[40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 (1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于 60 分的概率; (2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于 60 分)和“不太了 解”(得分低于 60 分)两类,完成 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“居民 对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关? 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 (3)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 10 人,现从这 10 人中随机抽取 3 人作为环保宣传队长,设 3 人中男性队长的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望. 附:K2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) ,(n=a+b+c+d). 临界值表: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【分析】(1)计算小区中得分不低于 60 分的人数,根据古典概型的概率公式计算; (2)计算四类人数填表,计算观测值 K2,与 3.841 比较得出结论;(3)计算 10 人中男女人数,按超几何分布得出分布列和数学期望. 解:(1)小区 1000 名居民中,得分不低于 60 分的人数为:130+110+60+30+110+100+40+20 =600, 故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于 60 分的概率为 P = 600 1000 = 3 5. (2)2×2 联表如下: 不太了解 比较了解 合计 男性 250 330 580 女性 150 270 420 合计 400 600 1000 K2 = 1000 × (250 × 270 ― 330 × 150)2 580 × 420 × 400 × 600 ≈ 5.54, ∵5.54>3.841, ∴有 95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关. (3)参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,男性有 90 人,女性有 60 人, 若按分层抽样的办法从中抽取 10 人,则男性人数为 10 × 90 150 = 6,女性人数为 10 × 60 150 = 4. 故 ξ 的可能取值有 0,1,2,3. P(ξ=0) = 퐶3 4 퐶3 10 = 1 30,P(ξ=1) = 퐶1 6 ⋅ 퐶2 4 퐶3 10 = 3 10,P(ξ=2) = 퐶2 6 ⋅ 퐶1 4 퐶3 10 = 1 2,P(ξ=3) = 퐶3 6 퐶3 10 = 1 6. ∴ξ 的分布列为:ξ 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 E(ξ)=0 × 1 30 + 1 × 3 10 + 2 × 1 2 + 3 × 1 6 = 1.8. 22.已知函数 f(x) = 1 + 푙푛푥 푥 ― a(a∈R). (1)若 f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=(x﹣1)2ex,当 a=0 时,若 t(x)=f(x)﹣g(x),求 t(x)零点 的个数. 【分析】(1)变换得到1 + 푙푛푥 푥 ≤ a,设 F(x) = 1 + 푙푛푥 푥 ,求导得到函数单调区间,计 算最值得到答案. (2)求导得 t′(x) = ― 푙푛푥 푥2 ― (x2﹣1)ex,得到函数单调区间,得到 t(x)max=t (1)=1,且当 x→0 时,t(x)→﹣∞;当 x→+∞时,t(x)→﹣∞,根据零点存在性 定理,得到答案. 解:(1)f(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,故1 + 푙푛푥 푥 ≤ a,设 F(x) = 1 + 푙푛푥 푥 , 则 F′(x) = ―푙푛푥 푥2 ,当 x∈(0,1)时,函数单调递增,当 x∈(1,+∞)时,函数单 调递减, 故 F(x)max=F(1)=1,故 a≥1. (2)a=0 时,t(x)=f(x)﹣g(x) = 1 + 푙푛푥 푥 ― (x﹣1)2ex,则 t′(x) = ― 푙푛푥 푥2 ― (x2﹣1)ex, 当 x∈(0,1)时, ― 푙푛푥 푥2 >0,﹣(x2﹣1)ex>0,故 t′(x)>0,函数单调递增, 当 x∈(1,+∞)时, ― 푙푛푥 푥2 <0,﹣(x2﹣1)ex<0,故 t′(x)<0,函数单调递减,t(x)max=t(1)=1, 且当 x→0 时,t(x)→﹣∞;当 x→+∞时,t(x)→﹣∞, 根据零点存在性定理知:函数在(0,1)和(1,+∞)上各有一个零点,故函数 t(x) 有两个零点.

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