市一中 2019-2020 学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题（理）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1.复平面内表示复数 的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘法法则将复数 表示为一般形式，进而可得出该复数在复平面内对应的
点所在的象限.
【详解】因为复数 ，它在复平面内对应的点的坐标为 ，位
于第一象限，
故选：A.
【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的判断，同时也考查了复数的乘法运算，考查计算
能力，属于基础题.
2. 关于综合法和分析法说法错误的是（ ）
A. 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法
B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法
C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法
D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分析法和综合法的概念可得出合适的选项.
【详解】选项 A 成立，选项 B 和 C 是综合法的思路就是由因导果法，和分析法的概念，是执
果索因法，正确．选项 D 不符合定义，排除 D 选项.
故选：D.
(1 2 )i i−
( )1 2i i−
( ) 21 2 2 2z i i i i i= − = − = + ( )2,1【点睛】本题考查对分析法和综合法概念的理解，属于基础题.
3. 下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A 三角形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 矩形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行六面体的结构特征可得出合适的选项.
【详解】根据题意 ，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平
行四边形的运用，故可知答案为 C.
故选：C.
【点睛】本题主要是考查了类比推理的运用，属于基础题．
4.在应用数学归纳法证明凸 边形的对角线为 条时，第一步应验证 等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
数学归纳法第一步应验证 n 最小时，命题是否成立.
【详解】多边形的边数最少是 3，即三角形，所以第一步应验证 等于 3.
故选：C.
【点睛】本题考查数学归纳法的定义及步骤，考查学生对数学归纳法的理解，是一道容易题.
5.已知 ， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用条件概率公式计算可得结果
n ( )1 32 n n − n
n
( ) 3
10P AB = ( ) 3
5P A = ( )|P B A
9
50
1
2
9
10
1
4【详解】由条件概率公式得 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.
6.函数 导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 的递减区间为
C. 函数 在 处取得极大值
D. 函数 在 处取得极小值
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的图象写出 的单调区间即可.
【详解】由图可知：
在 和 上单调递减，
在 和 上单调递增
所以 在 处取得极小值
故选：D
【点睛】本题考查的是利用导数的图象得 的单调性和极值点，较简单.
7.设函数 f ，则定积分 等于（ ）
A. B. C. D.
( ) ( )
( )
3
110| 3 2
5
P A
P ABP B A = = =
( )y f x= ( )f x¢
( )y f x= ( ),0- ¥
( )y f x= ( )3,5
( )y f x= 0x =
( )y f x= 5x =
( )f x
( )y f x= ( ), 1−∞ − ( )3,5
( )1,3− ( )5,+∞
( )y f x= 5x =
( )f x
( ) 2 ,0 1
1,1 2
x xf x
x
≤ ≤= < ≤
( )2
0
f x dx∫
8
3 2 4
3
1
3【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数 的解析式结合定积分公式可求得 的值.
【详解】 ，因此， ，
故选：C.
【点睛】本题考查定积分的计算，考查计算能力，属于基础题.
8.已知 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，并令 代入可求得 .将 的值代入 可得导函数 ，即可
求得 的值.
【详解】函数 ，则 ，
令 代入上式可得 ，则 ，
所以 ，
则 ，
故选：A.
【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意 为常数，属于基础题.
9.若 ，则
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
( )y f x= ( )2
0
f x dx∫
( ) 2 ,0 1
1,1 2
x xf x
x
≤ ≤= < ≤ ( )2 1 2
2 3 1 2
0 1
0 0 1
1 41 3 3f x dx x dx dx x x= + = + =∫ ∫ ∫
( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( )2f ′ =
1x = ( )1f ′ ( )1f ′ ( )f x′ ( )f x′
( )2f ′
( ) ( )2 3 1f x x xf ′= + ( ) ( )2 3 1f x x f′ ′= +
1x = ( ) ( )1 2 3 1f f′ ′= + ( )1 1f ′ = −
( ) ( )2 3 1 2 3f x x x′ = + × − = −
( )2 2 2 3 1f ′ = × − =
( )1f ′
3 212n nA C= (n = )根据排列数，组合数的公式，求得 ，即可求解，得到答案．
【 详 解 】 由 题 意 ， 根 据 排 列 数 、 组 合 数 的 公 式 ， 可 得
，
即 ，解得 ，故选 A．
【点睛】本题主要考查了排列数，组合数的应用，其中解答中熟记排列数，组合数的计算公
式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10.函数 在区间 上 最小值为( )
A. 72 B. 36 C. 12 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据给出的函数求出导函数；再令 ，求出单调递增区间，再令 ，求出单调递减
区间，确定出函数 上的单调性，从而求出最小值.
【详解】解： ，令 ，即
解得
当 时，
当 时，
∴ ，
而端点的函数值 ， ，得 ．
故选 D.
【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进
而确定最值.
11.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排
方式共有
A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种
【答案】D
的
( 1)( 1)( 2) 12 2
n nn n n
−− − = ×
3 2 ( 1)( 1)( 2),12 12 2 1n n
n nA n n n C
−= − − = × ×
( 1)( 2) 6 ( 1)n n n n n− − = − 8n =
4 4 3y x x= − + [ 2,3]−
0y′ > 0y′ <
[ 2,3]−
34 4y x′ = − 0y′ = 34 4 0x − =
1x =
1x < 0y′ <
1x > 0y′ >
1| 0xy y == =极小值
2| 27xy =− = 3| 72xy = = min 0y =
( )【解析】
4 项工作分成 3 组,可得： =6，
安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，
可得： 种．
故选 D.
12.若函数 在 上是单调函数，则 a 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由求导公式和法则求出 f′（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等
式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得 a
的取值范围．
【详解】解：由题意得，f′（x） ，
因为 在[1，+∞）上是单调函数，
所以 f′（x）≥0 或 f′（x）≤0 在[1，+∞）上恒成立，
①当 f′（x）≥0 时，则 在[1，+∞）上恒成立，
即 a ，设 g（x） ，
因为 x∈[1，+∞），所以 ∈（0，1]，
当 1 时，g（x）取到最大值是：0，
所以 a≥0，
②当 f′（x）≤0 时，则 在[1，+∞）上恒成立，
2
4C
36 363A× =
1( ) lnf x x ax x
= + + [1, )+∞
1( ,0] 4
−∞ ∪ + ∞
1, [0, )4
−∞ ∪ +∞
1 ,04
− ( ,1]−∞
2
1 1ax x
= + −
( ) 1f x lnx ax x
= + +
2
1 1 0ax x
+ − ≥
2
1 1
x x
≥ − 2
2
1 1 1 1 1( )2 4x x x
= − = − −
1
x
1
x
=
2
1 1 0ax x
+ − ≤即 a ，设 g（x） ，
因为 x∈[1，+∞），所以 ∈（0，1]，
当 时，g（x）取到最大值是： ，
所以 a ，
综上可得，a 或 a≥0，
所以数 a 的取值范围是（﹣∞， ]∪[0，+∞），
故选：B．
【点睛】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查
分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
13.在 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项式定理求出展开式中 的系数与 的系数，相加即可得出结果.
【详解】由 的展开式通项公式可知 的项为 ， 的项为
，
，因此， 的系数与 的系数之和等于 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用二项式定理求项的系数和，考查计算能力，属于基础题.
14.若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别令 和 ，再将两个等式相加可求得 的值.
2
1 1
x x
≤ − 2
2
1 1 1 1 1( )2 4x x x
= − = − −
1
x
1 1
2x
= 1
4
−
1
4
≤ −
1
4
≤ −
1
4
−
( )10x y− 7 3x y 3 7x y
240−
7 3x y 3 7x y
( )10x y− 7 3x y ( )37 7 3
10 1C x y⋅ ⋅ − 3 7x y
( )77 3 7
10 1C x y ⋅ −
7 3
10 10 120C C= = 7 3x y 3 7x y 240−
240−
( )5 2 3 4 5
0 1 2 3 4 51 2x a a x a x a x a x a x+ = + + + + + 0 2 4a a a+ + =
121
1x = 1x = − 0 2 4a a a+ +【详解】令 ，则 ；
令 ，则 .
上述两式相加得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令 和 ，通过对等式相加减求得，考
查计算能力，属于中等题.
15.定积分 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义即可求出．
【详解】令 ，则（x 1）2+y2＝1 表示以（1，0）为圆心，以 1 为半
径的圆，其面积为 π，
所以 表示半径为 1 的四分之一圆的面积,如下图.
故答案为
【点睛】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基础
题．
1x = 5
0 1 2 3 4 5 3a a a a a a+ + + + + =
1x = − 0 1 2 3 4 5 1a a a a a a− + − + − = −
5
0 2 4
3 1 1212a a a
−+ + = =
121
1x = 1x = −
( )1 2
0
1 1x dx− − =∫
4
π
( )21 1 ( 0)y x y= − − ≥ -
( )1 2
0
1 1x dx− −∫
4
π16.用数字 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ．
【答案】
【解析】
【分析】
用 组成无重复数字的五位奇数，可以看作是 个空,要求个位是奇数,其它位置无条件
限制,因此先从 个奇数中任选 个填入个位,其它 个数在 个位置上全排列即可.
【详解】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排 中的一个数，共有 3 种排法，然
后还剩 个数，剩余的 个数可以在十位到万位 个位置上全排列，共有 种排法，
由分步乘法计数原理得，由 组成的无重复数字的五位数中奇数有 个.故
答案为： .
【点睛】本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制
的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排
在有限制的位置.
17.若函数 在 上单调递增，则实数 a 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得 在 上恒成立，参变分离得到 在
上恒成立，令 ，求出 的最大值即可求出参数的取值范围；
【 详 解 】 解 ： 因 为 的 定 义 域 为 ， 且 函 数
在 上单调递增，
在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令
1,2,3,4,5
72
1,2,3,4,5 5
3 1 4 4
1,3,5
4 4 4 4
4 24A =
1,2,3,4,5 3 24 72× =
72
( ) 2 1 lnf x x x a x= − + + ( )0, ∞+
1
8a ≥
( ) 2 1 0af x x x
′ = − + ≥ ( )0,x∈ +∞ 22a x x≥ −
( )0,x∈ +∞ ( ) 22g x x x= − ( )g x
( ) 2 1 lnf x x x a x= − + + ( )0,x∈ +∞
( ) 2 1 lnf x x x a x= − + + ( )0, ∞+
( ) 2 1 0af x x x
′∴ = − + ≥ ( )0,x∈ +∞
22a x x≥ − ( )0,x∈ +∞
( ) 2
2 1 12 2 4 8g x x x x = − = − − + 当 时
所以 即
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）
18.用数学归纳法证明：
．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
按照数学归纳法的步骤证明即可.
详解】证明（1）当 时，左边 ，右边 ，命题成立．
（2）假设 时，命题成立，即 ．
则当 时，
．
所以当 时，命题成立．
综合（1）（2）可知，原命题成立．
【点睛】本题考查利用数学归纳法证明恒等式，考查学生对数学归纳法的理解与掌握，是一
道容易题.
19. 袋中装有 4 个白棋子，3 个黑棋子，从袋中随机地取出棋子，若取到一个白棋子得 2 分，
取到一个黑棋子得 1 分，现从袋中任取 4 个棋子．
（1）求得分 的分布列；
（2）求得分大于 6 的概率．
【答案】（1）详见解析；（2）
【
1
4x = ( )max
1
8g x =
1
8a ≥ 1 ,8a ∈ +∞
1 ,8
+∞
( ) 21 5 9 1 4 )3 3 2 (n n n n N++ + + + ⋅⋅⋅+ − = − ∈
1n = 1= 1=
1,( )n k k k N+= ≥ ∈ ( ) 21 5 9 13 4 3 2k k k+ + + + ⋅⋅⋅+ − = −
1n k= + ( ) ( ) ( )21 5 9 13 4 3 4 1 2 4 1k k k k k+ + + + + − + + = − + +
( ) ( )222 3 1 2 1 1k k k k= + + = + − +
1n k= +
X
13
35【解析】
【分析】
（1）确定随机变量 的可能取值，并计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出 的
分布列；
（2）根据题意得出 ，进而可求得结果.
【详解】（1）由题意可知，随机变量 的取值为 、 、 、 .
， ，
， .
所以，随机变量 的分布列为
（2）根据 的分布列，可得到得分大于 的概率为 .
【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的列举，同时也考查了事件概率的计算，考查计
算能力，属于中等题.
20.已知函数 ， ，若 在 处与直线 相切．
（1）求 的值；
（2）求 在 上的极值．
【答案】（1） （2）极大值为 ，无极小值．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用切线意义可列得方程组，于是可得答案；
（2）利用导函数判断 在 上的单调性，于是可求得极值.
X X X
( ) ( ) ( )6 7 8P X P X P X> = = + =
X 5 6 7 8
( ) 1 3
4 3
4
7
45 35
C CP X C
= = = ( ) 2 2
4 3
4
7
186 35
C CP X C
= = =
( ) 3 1
4 3
4
7
127 35
C CP X C
= = =
4
4
4
7
1( 8) 35
CP X C
= = =
X
X 5 6 7 8
P 4
35
18
35
12
35
1
35
X 6 ( ) ( ) ( ) 136 7 8 35P X P X P X> = = + = =
2( ) lnf x a x bx= − ,a b∈R ( )f x 1x = 1
2y = -
,a b
( )f x 1[ , ]ee
11, 2a b= = 1
2
−
( )f x 1[ , ]ee【详解】解：（1）
∵函数 在 处与直线 相切，
∴ ，即 ，解得 ；
（2）由（1）得： ，定义域为 ．
，
令 ，解得 ，令 ，得 ．
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 上的极大值为 ，无极小值．
【点睛】本题主要考查导数 几何意义，利用导函数求极值，意在考查学生的分析能力，转
化能力和计算能力，比较基础.
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明 .
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）先求函数导数 ，再根据导函数符号
的变化情况讨论单调性：当 时， ，则 在 单调递增；当 时，
在 单调递增，在 单调递减.（2）证明 ，即证
，而 ，所以需证 ，设 g（x）
=lnx-x+1 ，利用导数易得 ，即得证.
试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+ ），
的
'( ) 2af x bxx
= −
( )f x 1x = 1
2y = -
'(1) 0
1(1) 2
f
f
= = −
2 0
1
2
a b
b
− =− = −
1
1
2
a
b
= =
21( ) ln 2f x x x= − (0, )+∞
21 1'( ) xf x xx x
−= − =
'( ) 0f x > 0 1x< < '( ) 0f x < 1x >
( )f x 1( ,1)e (1, )e
( )f x 1[ , ]ee
1(1) 2f = −
2( ) ln (2 1)f x x ax a x= + + +
( )f x
0a < 3( ) 24f x a
≤ − −
(2 1)( 1)'( ) ( 0)ax xf x xx
+ += >
0a ≥ '( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0a <
( )f x 1(0, )2a
− 1( , )2a
− +∞ 3( ) 24f x a
≤ − −
max
3( ) 24f x a
≤ − − max
1( ) ( )2f x f a
= − 1 1ln( ) 1 02 2a a
− + + ≤
max( ) (1) 0g x g= =
∞.
若 a≥0，则当 x∈（0，+ ）时， ，故 f（x）在（0，+ ）单调递增.
若 a＜0，则当 x∈ 时， ；当 x∈ 时， .故 f（x）在
单调递增，在 单调递减.
（2）由（1）知，当 a＜0 时，f（x）在 取得最大值，最大值为
.
所以 等价于 ，即 .
设 g（x）=lnx-x+1，则 .
当 x∈（0,1）时， ；当 x∈（1，+ ）时， .所以 g（x）在（0,1）单调
递增，在（1，+ ）单调递减.故当 x=1 时，g（x）取得最大值，最大值为 g（1）=0.所以当x
＞0 时，g（x）≤0.从而当 a＜0 时， ，即 .
【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数
.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，
进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，
或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
( )( )‘ 1 2 11) 2 2( 1 x axf x ax ax x
+ += + + + =
∞ ’ )( 0f x ＞ ∞
’ )( 0f x ＞ ’ )( 0f x ＞ 1( )2a
∞− +， ’ )( 0f x <
’ )( 0f x ＞ 1( )2a
∞− +，
1
2x a
= −
1 1 1( ) ln( ) 12 2 4f a a a
− = − − −
3( ) 24f x a
≤ − − 1 1 3ln( ) 1 22 4 4a a a
− − − ≤ − − 1 1ln( ) 1 02 2a a
− + + ≤
’ 1( 1)g x x
= −
( ) 0g x′ > ∞ ( ) 0g x′ <
∞
1 1ln( ) 1 02 2a a
− + + ≤ 3( ) 24f x a
≤ − −
( ) ( ) ( )h x f x g x= −
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