市一中 2019-2020 学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题（文）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 由 得 ， 所 以 ， 因 为 ， 所 以
，故选 D.
【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算
【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦
恩图处理.
2.当 ，命题“若 ，则方程 有实根”的逆否命题是（ ）
A. 若方程 有实根，则
B. 若方程 有实根，则
C. 若方程 没有实根，则
D. 若方程 没有实根，则
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．
【详解】解：由逆否命题的定义可知：当 ，命题“若 ，则方程 有
实根”的逆否命题是：若方程 没有实根，则 ．
故选：D．
{ }1,2,3 ,A = 2{ | 9}B x x= < A B∩ =
{ 2, 1,0,1,2,3}− − { 2, 1,0,1,2}− − {1,2,3} {1,2}
2 9x < 3 3x− < < { | 3 3}B x x= − < < { }1,2,3A =
{ }1,2A B∩ =
*m N∈ 0m > 2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − = 0m >
2 0x x m+ − = 0m ≤
2 0x x m+ − = 0m >
2 0x x m+ − = 0m ≤
*m N∈ 0m > 2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − = 0m【点睛】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
3.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
若 ，则 ，故不充分；若 ，则 ，而 ，故不必要，
故选 D.
考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
4.函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.
【详解】
故答案选 C
【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.
5.如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是( )
A. (1)(2) B. (1)(4) C. (1)(2)(4) D. (3)(4)
,a b∈R a b> 2 2a b>
0, 2a b= = − 2 2a b< 2, 0a b= − = 2 2a b> a b<
1( ) 2lg( 1)f x xx
= + −+
[ 2,2]− [ 2,0) (0,2]−
( 1,0) (0,2]− ∪ (-1,2]
1 0 1
1( ) 2 lg( 1) 0 0 ( 1,0) (0,2]lg( 1) 2 0 2
x x
f x x x x xx x x
+ > ⇒ > −
= + − ⇒ + ≠ ⇒ ≠ ⇒ ∈ − ∪+ − ≥ ⇒ ≤【答案】B
【解析】
试题分析：由映射的定义可知：集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应；
但是（2）中的元素 1,4 没有象与之对应，（3）中的 1,2 都有两个象，所以（1）（4） 正确．
考点：映射的定义．
6.直线 （ 为参数）的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出直线的普通方程，得出直线的斜率，根据斜率计算倾斜角．
【详解】解：由 （t 为参数）得 ．
直线的斜率 ．
直线的倾斜角 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化，直线的斜率与倾斜角，属于基础
题．
7.不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用绝对值不等式的公式求解即可.
【详解】解：因为 ，
5 3
3 3
x t
y t
= − = +
t
30° 60° 120° 150°
5 3
3 3
x t
y t
= − = +
3 5 3 3x y+ = +
∴ 3tan 3k α= = −
∴ 150α = °
2 5x + ≤
{ }1 2x x x≤ ≥或 { }7 3x x− ≤ ≤ { }3 7x x− ≤ ≤
{ }5 9x x− ≤ ≤
2 5x + ≤，
解得 ，
故选：B.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，利用绝对值不等式的公式
直接去绝对值即可，是基础题.
8.若函数 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分段函数的解析式，先计算 ，再计算 的值.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数函数值的求解、分段函数的解析式，考查基本运算求解能力，属
于基础题.
9.已知函数 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
函 数 ， 令 ， 解 得 ，
，故选 D.
10.已知函数 y=f（x）定义域是[-2，3]，则 y=f（2x-1）的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5 2 5x∴− ≤ + ≤
7 3x− ≤ ≤
,( 0)ax b c c c ax b c+ < > ⇒ − < + <
( )
1
3 , 1
2 7, 1
x x
f x
x xx
− ≤ −=
+ − > −
( )8f f − =
2− 4−
( )8f − ( )8f f −
( ) 1
38 ( 8) 2f − = − − =
( ) 28 (2) 2 7 42f f f− = = + − = −
( ) 23 1 3 2f x x x+ = + +
30 6 9 20
( ) 23 1 3 2f x x x+ = + + 3 1 10x + = 3x =
( ) ( ) 210 3 3 1 3 3 3 2 20f f∴ = × + = + × + =
50, 2
[ ]1,4− 1 ,22
−
[ ]5,5−【解析】
∵函数 y=f(x)定义域是[−2,3]，
∴由−2⩽2x−1⩽3，
解得− ⩽x⩽2，
即函数的定义域为 ，
本题选择 C 选项.
11.若指数函数 在区间 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性，知道其在 上的最大值和最小值之和即为 ，代入即
可解出答案．
【详解】因为指数函数 在区间 上单调，且 ，
即 解得 ，又
所以
故选 B
【点睛】本题考查指数函数的单调性，与指数函数的定义，需要注意的是解出的两个值中根
据指数函数的定义一定要把负的舍去．属于基础题．
12.已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足 f（x-4）=f（x），且在区间[0，2]上 f（x）=x，若关于
x 的方程 f（x）=loga|x|有六个不同的根，则 a 的范围为（ ）
A. B. C. D. （2，4）
【答案】A
【解析】
由 得 ： ， 当 时 ， 函 数 的 图 象 如 图 ：
1
2
1 ,22
−
( ) xf x a= [ ]0,2 10 a
1
3 3 3± 1
3
±
[ ]0,2 ( )0 + (2)f f
( ) xf x a= [ ]0,2 ( )0 1f = ( ) 22f a=
21 10a+ = 3a = ± 0, 1a a> ≠
3a =
( )6, 10 ( )6,2 2 ( )2,2 2
( )4f x f x− =（ ） 4T = 010]x∈（ ，，再由关于 的方程 有六个不同的根，则关于 的
方程 有三个不同的根，可得 ，解得 ，故选 A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，
体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出 的周期是 4，画出函数的图象，将
方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于 的不等式，解得即可.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
13. 与 2 的大小关系为________.
【答案】＞
【解析】
【分析】
平方作差即可得出．
【详解】解：∵
＝13+2 （13+4 ）
0，
∴ 2 ，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
14.已知 是一次函数，且有 ，则 的解析式为______．
【答案】 或
( ) ( ) ( )2 6 10 2f f f= = = x ( ) logaf x x= x
( ) logaf x x= log 6 2
log 10 2
a
a
6 10a∈（ ， ）
( )f x
a
6 7+ 2 5+
2 2( 6 7) (2 2 5)+ − +
42 − 10
( )2 42 40= − ＞
6 7+ ＞ 2 5+
( )y f x= [ ( )] 16 15f f x x= − ( )f x
( ) 4 3f x x= − ( ) 4 5f x x= − +【解析】
【分析】
由题意设 ，代入 ，化简后列出方程组，解出 ， 的值即
可．
【详解】解：由题意设 ，
，
则 ，解得 或 ，
或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了求函数的解析式方法：待定系数法，以及方程思想，属于基础题．
15.函数 的最小值是______．
【答案】
【解析】
分析】
将函数化为 ，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同
时注意最小值取得时， 的取值要一致，即可得到所求最小值．
【详解】解：函数
．
当且仅当 ，即有 ，取得等号．
则函数的最小值为 ．
【
( )f x ax b= + ( ( )) 16 15f f x x= − a b
( )f x ax b= + ( )0a ≠
2( ( )) ( ) 16 15f f x a ax b b a x ab b x∴ = + + = + + = −
2 16
15
a
ab b
=
+ = −
4
5
a
b
= −
=
4
3
a
b
=
= −
( ) 4 3f x x∴ = − ( ) 4 5f x x= − +
( ) 4 3f x x= − ( ) 4 5f x x= − +
2
2
3
2
xy
x
+=
+
3 2
2
2 2
2
1 1 1( 2 ) 22 22
y x x
x
= + + + +
+
x
2 2
2 2
3 2 1
2 2
x xy
x x
+ + += =
+ +
2
2
12
2
x
x
= + +
+
2 2
2
1 1 1( 2 ) 22 22
x x
x
= + + + +
+
1 1 3 22 22 2 2
+ =
2
2
1 122 2
x
x
+ =
+ 0x =
3 2
2故答案为： ．
【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中
档题和易错题．
16.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，
解之解得．
【详解】圆 化为普通方程为 ，
圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
由直线与圆相切，则有 ，解得 ．
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半
径的大小作出判断．
17.已知 ，且 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
转化为求 的最大值，利用基本不等式计算可得；
【详解】解： ， ，且 ，
，
3 2
2
a R∈ 2 0ax y− + = 2 2cos ,
1 2sin
x
y
θ
θ
= +
= +
θ a
3
4
a
2 2cos ,
1 2sin
x
y
θ
θ
= +
= +
2 2( 2) ( 1) 2x y− + − =
(2,1) 2
2
2 1 2
1
a
a
+ =
+
3
4a =
,a b R∈ + 1a b+ = 2 1 2 1a b+ + +
2 2
2( 1 2 1)a b+ + +
a b R+∈ 1a b+ =
1 2a b ab∴ + =
1
4ab∴ 的最大值是 （当且仅当 时，等号成立）
故答案为：
【点睛】本题考查了基本不等式的应用和转化的数学思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）
18.已知 是定义在 上的偶函数，且 时， ．
（1）求 ；
（2）求函数 的解析式；
【答案】（1）-3；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用函数奇偶性的性质即可求
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数 的解析式；
【详解】解：（1） 是定义在 上的偶函数，且 时， .
；
（2）令 ，则 ，
时， ，
则 ；
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决
本题的关键，属于基础题．
2( 2 1 2 1) 2 1 2 1 2 2 1 2 1a b a b a b∴ + + + = + + + + + +
4 2 4 2 2 1 4 2 4 3 4 2 1 3ab a b ab= + + + + = + + + +
2( 2 1 2 1) 8a b∴ + + +
∴ 2 1 2 1a b+ + + 2 2 a b=
2 2
( )f x R 0x ≤ 1
2
( ) log ( 1)f x x= − +
(3) ( 1)f f+ −
( )f x
1
2
1
2
log ( 1), 0
( ) log ( 1), 0
x x
f x x x
− + ≤
= + >
( ) ( )3 1f f+ −
( )f x
( )f x R 0x ≤ 1
2
( ) log ( 1)f x x= − +
1 1
2 2
(3) ( 1) ( 3) ( 1) log 4 log 2 2 1 3f f f f∴ + − = − + − = + = − − = −
0x > 0x− < 1
2
( ) log ( 1) ( )f x x f x− = + =
0x∴ > 1
2
( ) log ( 1)= +f x x
1
2
1
2
log ( 1), 0
( ) log ( 1), 0
x x
f x x x
− + ≤
= + >19.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该
学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游
泳
不喜欢游
泳
合
计
男
生
10
女
生
20
合
计
已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ．
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随机抽
取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率．
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 n=a+b+c+d）
【答案】（1）列联表见解析；（2）有 的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3） .
【解析】
2
2 n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)
−= + + + +
99.9%试题分析：（1）根据在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，
可得喜爱游泳 学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得 与邻界值比较，即可得到结
论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有 1 人喜
欢游泳的概率.
试题解析：（1）因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为人
其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）因
所以有 99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关
（3）5 名学生中喜欢游泳的 3 名学生记为 a，b，c，另外 2 名学生记为 1， 2，任取 2 名学
生，则所有可能情况为（a，b）、（a，c）、（a，1）、（a，2）、（b，c）、（b，1）、（b，2）、（c，
1）、（c，2）、（1，2），共 10 种.
其中恰有 1 人喜欢游泳的可能情况为（a，1）、（a，2）、（b，1）、（c，1）、
（c，2），共 6 种
所以，恰好有 1 人喜欢游泳的概率为
【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用
古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定
要按顺序逐个写出：先 ， …. ，再 ， …..
依次 …. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
的
为
3
5
2K
1 1( , )A B 1 2( , )A B 1( , )nA B 2 1( , )A B 2 2( , )A B 2( , )nA B
3 1( , )A B 3 2( , )A B 3( , )nA B20.已知直线 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 C 的交点为 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】试题分析：（1）在方程 两边同乘以极径 可得 ，再根据
，代入整理即得曲线 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代
入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到 的值.
试题解析：（1） 等价于 ①
将 代入①既得曲线 C 的直角坐标方程为
，②
（2）将 代入②得 ，
设这个方程的两个实根分别为
则由参数 t 的几何意义既知， .
考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.
21.选修 4-5：不等式选讲
设函数 ，
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
35 2:{
13 2
x t
l
y t
= +
= +
t x
C 2cosρ θ=
(5, 3) l A B MA MB⋅
=2cosρ θ ρ 2 =2 cosρ ρ θ
2 2 2= , cosx y xρ ρ θ+ = C
MA MB⋅
=2cosρ θ 2 =2 cosρ ρ θ
2 2 2= , cosx y xρ ρ θ+ =
2 2 2 0x y x+ − =
35 2
13 2
x t
y t
= +
= +
2 5 3 18 0t t+ + =
1 2,,t t
1 2 18MA MB t t⋅ = =
( ) 2 2 2f x x x= + − −
( ) 2f x >
x R∀ ∈ ( ) 2 7
2f x t t≥ − t【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为
； （ II ） 由 （ I ） 值 ， 函 数 的 最 小 值 为 ， 即
，由此解得 .
试题解析：
（I） ，
当 ， ， ，
当 ， ， ，
当 ， ， ，
综上所述 .
（II）易得 ，若 ， 恒成立，
则只需 ，
综上所述 .
考点：不等式选讲．
2 63x x x < − 或 3 22 t≤ ≤
2 63x x x < − 或 ( )f x ( )1 3f − = −
2 73 2t t− ≥ − 3 22 t≤ ≤
( )
4, 1
{3 , 1 2
4, 2
x x
f x x x
x x
− − < −
= − ≤ <
+ ≥
1x < − 4 2x− − > 6x < − 6x∴ < −
1 2x− ≤ < 3 2x > 2
3x > 2 23 x∴ < <
2x ≥ 4 2x + > 2x > − 2x∴ ≥
2 63x x x < − 或
( ) ( )min 1 3f x f= − = − x R∀ ∈ ( ) 2 11
2f x t t≥ −
( ) 2 2
min
7 33 2 7 6 0 22 2f x t t t t t= − ≥ − ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤
3 22 t≤ ≤
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