云南省大理、丽江、怒江2020届高三文科数学第二次复习检测试题（解析版）

大理、丽江、怒江 2020 届高中毕业生第二次复习统一检测 文科数学 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 考生注意: 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写 在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目， 在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在 答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合 、 ，然后利用交集的定义可求出集合 . 【 详 解 】 ， ， 因此， . 故选：D. 【点睛】本题考查交集的计算，涉及指数函数值域以及对数函数定义域的求解，考查计算能 力，属于基础题. 2.设 是虚数单位,如果复数 的实部与虚部是互为相反数,那么实数 的值为 (　　) { }3 , 0xM y y x= = > ( ){ }2lg 3N x y x x= = − M N∩ ∅ ( )1,+∞ [ )3,+∞ ( )1,3 M N M N∩ { } ( )3 , 0 1,xM y y x= = > = +∞ ( ){ } { } ( )2 2lg 3 3 0 0,3N x y x x x x x= = − = − > = ( )1,3M N = i i 2 i a + + aA. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案． 详解： = = ， ∵复数 的实部与虚部是互为相反数， ∴ ，即 a= ． 故选 D． 点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基础 题． 3.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲 说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则 下列结论正确的是（ ） A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定 谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】 假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题. 4.设 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 ， ，则 ， 为异面直线；②若 ， ， ，则 ； 1 3 1 3 − 3 3− 2 a i i + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2 5 a i i a a i i i + − + + −=+ − 2 1 2 5 5 a a i + −+ 2 a i i + + 2 1 2 05 5 a a+ −+ = 3− m n α β γ m α⊂ / /n α m n m β⊥ α β⊥ m γ⊥ α γ⊥③若 ， ，则 ；④若 ， ， ，则 . 则上述命题中真命题的序号为（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据线面平行的定义可判断①的正误；利用面面垂直的判定定理可判断②的正误；利用面面 平行的性质可判断③的正误；利用线面垂直的性质可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于①，若 ， ，则 与 平行或异面，①错误； 对于②，设 ，在平面 内作 ，因为 ，由面面垂直的性质定理知 ， 又 ， ， ，则 ，因为 ， ，②正确； 对于③，若 ， ，由面面平行的性质可知 ，③正确； 对于④，若 ， ，则 ，又 ， ，④错误. 故选：C 【点睛】本题考查了空间中线面、面面位置关系的判断，解答时要注意空间中垂直、平行的 判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中档题． 5.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 . 下 面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输 出 的值等于（ ） / /α γ / /β γ / /α β m α⊥ n β⊥ //m n α β⊥ m α⊂ //n α m n aα β∩ = α n a⊥ α β⊥ n β⊥ m β⊥ //m n∴ m γ⊥ n γ⊥ n ⊂ α α γ∴ ⊥ //α γ //β γ //α β m α⊥ //m n n α⊥ n β⊥ //α β∴ N m n (mod )N n m≡ 10 3(mod7)≡ nA. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】 由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运 行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】由题中的程序框图可知： 该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件： ①被 除余 ，②被 除余 ， 所以应该满足是 的倍数多 ， 并且是比 大的最小的数， 故输出的 为 ， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取 程序框图的输出数据，属于简单题目. 6.函数 f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为 A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 n 3 2 5 2 15 2 26 n 32 1 5 3 π 6 π 6 5 3 5 1 5由诱导公式可得 ， 则 , 函数 的最大值为 . 所以选 A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过 变换把函数化为 的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注 意观察角、函数名、结构等特征． 7.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用导数求出曲线 在 处的切线斜率，可得出 的值，进而利用同角三角 函数的基本关系可求得 的值. 【详解】对于函数 ，则 ，所以， ， ， 为 锐角， 由 ，解得 ，因此， . 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，同时也考查了利用同角三角函数基本关系求值，考查计 算能力，属于基础题. 8.等比数列 的前 项和为 ，若 ， ,则 （ ） π π π πcos cos sin6 2 3 3x x x       − = − + = +             ( ) 1 π π 6 πsin sin sin5 3 3 5 3f x x x x     = + + + = +           ( )f x 6 5 sin( )y A x Bω ϕ= + + 2lny x x = − 1x = α cos sinα α+ 2 10 5 10 5 10 5 − 2 10 5 ± 2lny x x = − 1x = tanα cos sinα α+ 2lny x x = − 2 1 2y x x ′ = + tan 3α = [ )0,α π∈ α\ 2 2 sintan 3cos sin cos 1 sin 0 αα α α α α  = =  + =  >  3 10sin 10 10cos 10 α α  =  = 2 10cos sin 5 α α+ = { }na n nS ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈  1 2 3 8a a a = 8S =A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540 【答案】B 【解析】 【分析】 由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 ， 由 可 得 公 比 ， ，再由等比数列的求和公式即可求出 【详解】由等比数列的性质可得 ，解得 ， 又 ， ， ， 即 ， 又 ，所以 由等比数列的求和公式 故选 B 【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题. 9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） 2 2a = ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈  2q = 1 1a = 8S 3 1 2 3 2 8a a a a= = 2 2a = ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈  2 4 61 3 5 2 1 2 1 3 5 2 1( ) ( ) 3( )n n na a a a a a a a a a a a− −∴ + + + + + + + + + + ++ = +   2 4 2 1 3 5 2 16 2( )n na a a a a a a a −+ + + + + +∴ += +  2 1 1 3 51 3 5 2 12( )n nq q q qa a a a a a a a− −+ + + + + + + +∴ =  2q = 2 1a a q= 1 1a = 8 8 1 8 (1 ) 2 1 2551 1 a qS q − −∴ = = =−A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为几何体，可知该几何体为直三棱锥，计算出底面三角形的外接圆半径， 利用公式求出外接球的半径，然后利用球体的表面积公式求解即可. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体如下图所示： 由图象可知， 平面 ，且 ， 则 外接圆半径 ， 设该几何体的外接球半径为 ，则 . 因此，所求外接球的表面积为 . 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，球体表面积公式的应用，主要 考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题． 10.设函数 ，则使得 成立的 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 的 9 2 π 9π 12π 16π AB ⊥ BCD 90CBD∠ =  Rt BCD∆ 2 21 5 2 2 2 CDr BD CD= = + = R 2 2 3 2 2 ABR r  = + =   24 9S Rπ π= = ( ) ( ) ( )31 3 2 22 x xf x e e x x−= − + − < < ( ) ( )2 1 0f x f x+ − > x ( )2,1− ( )1,2− 1 ,13      1 ,23     【分析】 考虑利用函数的单调性将函数值的大小转为自变量大小关系，所以研究 的单调性和奇偶 性，即可求解. 【详解】 ， 是奇函数， 在 上单调递增， 化为 等价于 解得 ， 所以不等式的解集为 . 故选：C. 【点睛】本题考查运用函数的性质解不等式，要注意函数的定义域，考查等价转化思想和计 算求解能力，属于中档题. 11.设 分别是椭圆 的焦点，过 的直线交椭圆于 两点，且 ， ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知得 ，结合 周长 ，求出 ，再求出 ，即可求解. 【详解】 ， 周长为 ， 为 ( )f x ( ) ( ) ( )31 3 2 22 x xf x e e x x−= − + − < ( ) ( )2 1 (1 )f x f x f x> − − = − 2 1 2 2 2 2 1 2 x x x x > − − < 2F P Q、 1PQ PF⊥ 1PQ PF= 3 2− 6 3− 2 2− 9 6 2− 1 1| | 2 | |FQ PF= 1Rt F PQ△ 4 8a = 1 2| |,| |PF PF 1 2| |F F 1 11 1, | | 2 | |,Q PQ PF FP F QP PF=⊥ ∴ = 1Rt F PQ∴ △ 1 1 12 | | (2 2) 8PF FQ PF+ = + =，设 ， . 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，焦点三角形要注意椭圆定义的应用，属于中档题. 12.已知 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意 ， ， ， 又 ， ，易知 ， ， ，即 ， ∴ ，又 ，∴ ，故选 D． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.命题“ ， ”的否定是_______. 【答案】 ， 【解析】 【分析】 原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“ ， ”的否定是 ， 故答案为： ， 点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法: (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【 1 2| | 8 4 2,| | 4 4 2PF PF∴ = − = − + 2 11 2| | 2 , PF c F PF F= ⊥ 2 2 2 1 2 2 2 1 2 | | | | 48( 2 1) , 2 6 2 3| | 4 PF PF cF F c∴ ∴= == + = − − 2 6 2 3 6 32 ce a −∴ = = = − 1t > 2 3 5=log , log , =logx t y t z t= 2 3 5x y z< < 5 2 3z x y< < 3 5 2y z x< < 3 2 5y x z< < 2 22 2log logx t t= = 33 33 3log logy t t= = 55 55 5log logz t t= = 11 622 2 8= = 1 1 3 3 63 3 9= = 11 322 3< 1 1 5 105 25= 11 1022 32= 1 1 5 25 2< 1 11 5 321 5 2 3< < < 1t > 3 2 5y x z< < x∃ ∈R 2 1 2x x+ < x∀ ∈R 2 1 2x x+ ≥ x∃ ∈R 2 1 2x x+ < x∀ ∈R 2 1 2x x+ ≥ x∀ ∈R 2 1 2x x+ ≥14.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织， 日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日减功迟”的具 体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 设第 天织布的尺数为 ，可知数列 为等差数列，根据题意得出关于公差的方程，解出 这个量的值，即可得出结果. 【详解】设第 天织布的尺数为 ，可知数列 为等差数列， 设等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则 ， ， ， 则 ，解得 ， ，解得 ， 因此，每天比前一天少织布的尺数为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 15.已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切， 且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则双曲线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用渐近线与圆相切求得 的值，求出圆 的圆心坐标可得出 的值，由此可得出关 于 、 的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程. 【详解】圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径长为 . 4 29 n na { }na n na { }na { }na d n nS 1 5a = 1na = 90nS = ( )1 3 902 n n n a aS n += = = 30n = 30 1 29 5 29 1a a d d∴ = + = + = 4 29d = − 4 29 4 29 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 2: 8 12 0C x y x+ − + = C 2 2 112 4 x y− = b a C 2 2a b+ a b C ( )2 24 4x y− + = ( )4,0C 2双曲线 的渐近线方程为 ， 由于双曲线的两条渐近线与圆 相切，则 ，解得 ， 又 双曲线的右焦点为圆 的圆心，则 ， 则有 ，解得 ，因此，双曲线的方程为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及双曲线几何性质的应用以及直线与圆相切的转化， 考查计算能力，属于中等题. 16.平行四边形 ABCD 中， 是平行四边形 ABCD 内一点，且 ，若 ，则 的最大值为______. 【答案】2. 【解析】 【详解】 分析：根据 ，利用 ，利用向量的平方和向量模的平方是相等的， 利用基本不等式得出 的最大值. 详解：因为 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时， ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > by xa = ± C 2 4 2 1 b a b a =  +    3 3 b a =  C 2 2 4a b+ = 2 2 3 3 4 b a a b  =  + = 2 2 3 b a = = 2 2 112 4 x y− = 2 2 112 4 x y− = 3, 2, 120 ,AB AD BAD P= = ∠ = 1AP = AP xAB yAD= +   3 2x y+ AP xAB yAD= +   2 1AP = 3 2x y+ AP xAB yAD= +   2 2 2 2 1( ) 9 4 2 3 2 ( )2AP xAB yAD x y xy= + = + + × × × −   2 2 23= 3 2 ) 3 3 2 (3 2 ) (3 2 )4x y x y x y x y+ − ⋅ ⋅ ≥ + − × +（ 21 (3 2 )4 x y= + 2 1AP = 21 (3 2 ) 14 x y+ ≤ 3 2 2x y+ ≤ 3 2x y= 1 1,3 2x y= =取得最大值 2，故答案是 2. 点睛：该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平方是 相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确 使用. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答.第 22.23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ，且 . （1）求 ； （2）求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理可知 ，利用正弦定理边角互化思想求得 的值，然后利用同 角三角函数的基本关系可求出 的值； （2）利用余弦定理求出 的值，然后利用三角形的面积公式可计算出 的面积. 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理得 ， 又 ，所以 ，即 又 ，由余弦定理得 ，所以 ； （2）因为 ，所以 ，即 ， 所以 . 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，涉及 正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 18.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人 次数学考试的成 3 2x y+ ABC∆ A B C a b c 2 2 2 6b c a+ − = − sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = cos A ABC∆ 3 2 − 3 2 cos 0A < sin A cos A bc ABC∆ sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ = sin sin 0B C ≠ 4sin 2A = 1sin 2A = 2 2 2 6b c a+ − = − cos 0A < 2 3cos 1 sin 2A A= − − = − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 3 6 2 2bc −− = 2 3bc = 1 1 1 3sin 2 32 2 2 2ABCS bc A∆ = = × × = 5绩，统计结果如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩(分) 乙的成绩(分) (1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从 道备选题中任意抽出 道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从 道备选题中任意抽出 道，若至少答对其中 道，则可参加复赛，否则被润 汰. 已知学生甲、乙都只会 道备选题中的 道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的 可能性更大?并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）选方案二 【解析】 【分析】 （1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定 选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得 以上(含 分)的概率的大小决定选 手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解. 【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为 ； 乙的平均成绩为 ， 甲的成绩方差 ； 乙的成绩方差为 ； 由于 ， ，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下： 从统计的角度看，甲获得 以上(含 分)的概率 ，乙获得 分以上(含 分)的概率 80 85 71 92 87 90 76 75 92 82 5 1 5 3 2 5 3 85 85 1 80 85 71 92 87 835x + + + += = 2 90 76 75 92 82 835x + + + += = ( )25 2 1 1 1 50.85 i i s x x = = − =∑ ( )25 2 2 1 1 48.85 i i s x x = = − =∑ 1 2x x= 2 2 1 2s s> 85 85 1 3 5P = 85 85因为 故派甲参赛比较合适， (2) 道备选题中学生乙会的 道分别记为 ， ， ，不会的 道分别记为 ， . 方案一：学生乙从 道备选题中任意抽出 道的结果有： ， ， ， ， 共 5 种，抽中会 的备选题的结果有 ， ， ，共 3 种. 所以学生乙可参加复赛的概率 . 方案二：学生甲从 道备选题中任意抽出 道的结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种， 抽中至少 道会的备选题的结果有： ， ， ， ， ， ， 共 种， 所以学生乙可参加复赛的概率 因为 ，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大. 【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查 学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19.如图，直三棱柱 中， 是 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ，求点 到平面 的距离. 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 2 2 5P = 1 2P P> 5 3 a b c 2 E F 5 1 a b c E F a b c 1 3 5P = 5 3 ( ), ,a b c ( ), ,a b E ( ), ,a b F ( ), ,a c E ( ), ,a c F ( ), ,a E F ( ), ,b c E ( ), ,b c F ( ), ,b E F ( ), ,c E F 10 2 ( ), ,a b c ( ), ,a b E ( ), ,a b F ( ), ,a c E ( ), ,a c F ( ), ,b c E ( ), ,b c F 7 2 7 10P = 1 2P P< 1 1 1ABC A B C− M AB 1 / /BC 1MCA 1 2 2AB A M MC= = = 2BC = 1C 1MCA 3 2【分析】 （1）由线线平行可证明线面平行，即易证 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； （2）由 的中点 在平面 上，即点 到平面 的距离与 到平面 的距 离相等，再由三棱锥 的体积 ， 的面积 ，结合三棱锥的体积 公式求解即可. 【详解】解：（1）连接 ，设 与 的交点为 ，则 为 的中点， 连接 ，又 是 的中点， 所以 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）由 ， 是 的中点， 所以 ， 在直三棱柱中， ， ， 所以 ， 又 ， 所以 ， ， 所以 . 设点 到平面 的距离为 ， 1/ /MN BC MN ⊂ 1MCA 1BC ⊂ 1MCA 1 / /BC 1MCA 1AC N 1MCA 1C 1MCA A 1MCA 1A AMC− 3 6V = 1MCA∆ 1S = 1AC 1AC 1AC N N 1AC MN M AB 1/ /MN BC MN ⊂ 1MCA 1BC ⊂ 1MCA 1 / /BC 1MCA 2 2AB MC= = M AB 90ACB °∠ = 1 2A M = 1AM = 1 3AA = 2BC = 2AC = 1 5AC = 1 90A MC °∠ = 1C 1MCA h因为 的中点 在平面 上， 故 到平面 的距离也为 ， 三棱锥 的体积 ， 的面积 ， 则 ，得 ， 故点 到平面 的距离为 . 【点睛】本题考查了由线线平行从而证明线面平行及等体积法求点到面的距离，重点考查了 空间想象能力，属中档题. 20.设函数 ． Ⅰ 求函数 的单调区间； Ⅱ 记函数 最小值为 ，证明： ． 【答案】（I） 在 上单调递减，在 上单调递增；（II）详见解析. 【解析】 【分析】 （I）对函数 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II）由（I）先得到 ，要证 ，即证明 ，即证明 ， 构造函数 ，用导数的方法求函数 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然 的定义域为 ． ． ∵ ， ， 的 1AC N 1MCA A 1MCA h 1A AMC− 1 1 3 3 6AMCV S AA∆= • = 1MCA∆ 1 1 12S A M MC= • = 1 1 3 3 3 6V Sh h= = = 3 2h = 1C 1MCA 3 2 ( ) 2 a 2xf x x alnx (a 0)x −= − + > ( ) ( )f x ( ) ( )f x ( )g a ( )g a 1< ( )f x ( 0 , )a ( , )a + ∞ ( )f x ( )g a ( ) 1g a < 1ln 1a a a a − − < 2 1 11 lna a a − − < ( ) 2 1 1ln 1h a a a a = + + − ( )h a ( )f x ( )0,+ ∞ ( ) ( ) ( )( )22 2 2 4 2 3 3 22 2 2 2 21 x x ax x a xa x xf x ax x x x x + −− − − + += − ⋅ =′ − + = 2 2 0x + > 0x >∴若 ， ，此时 ， 在 上单调递减； 若 ， ，此时 ， 在 上单调递增； 综上所述： 在 上单调递减，在 上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ， 即： ． 要证 ，即证明 ，即证明 ， 令 ，则只需证明 ， ∵ ，且 ， ∴当 ， ，此时 ， 在 上单调递减； 当 ， ，此时 ， 在 上单调递增， ∴ ． ∴ ．∴ ． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数 的单调性，最值等，属于常考题型. 21.已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ，与 轴的交点 为 . （1）若 ，求直线 的方程； （2）若 ，求线段 的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）设直线 方程为 ， ，直线方程与抛 物线方程联立，由根与系数关系求出 ，进而得出 建立 的方程，求解即可； ( )0,x a∈ 0x a− < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,a ( ),x a∈ + ∞ 0x a− > ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),a + ∞ ( )f x ( )0,a ( ),a + ∞ ( ) ( )min 1lnf x f a a a a a = = − − ( ) 1lng a a a a a = − − ( ) 1g a < 1ln 1a a a a − − < 2 1 11 lna a a − − < ( ) 2 1 1ln 1h a a a a = + + − ( ) 2 1 1ln 1 0h a a a a = + + − > ( ) ( )( )2 2 3 3 3 2 11 1 2 2 a aa ah a a a a a a ′ − +− −= − − = = 0a > ( )0,2a∈ 2 0a − < ( ) 0h a′ < ( )h a ( )0,2 ( )2,a∈ + ∞ 2 0a − > ( ) 0h a′ > ( )h a ( )2,+ ∞ ( ) ( )min 1 1 12 ln2 1 ln2 02 4 4h a h= = + + − = − > ( ) 2 1 1ln 1 0h a a a a = + + − > ( ) 1g a < 2: 3C x y= F 1 l C A B、 y P 5AF BF+ = l 2AP PB=  AB 1: 4l y x= + 9 2 l ( ) ( )1 1 2 2, , ,y x b A x y B x y= + , 1 2 3 2AF BF y y+ = + + 1 2x x+ 1 2y y+ b（2）由 ，得 ，结合（1）中的 关系，即可求出结论. 【详解】 设直线 方程为 ， 联立 由 得 ， . 由抛物线的定义知 所以 ，满足 ，符合题意， 所以直线 方程为 . 由（1）得 . 由 得 ， 解得 ，满足 ，符合题意， 所以 . 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系在解题的中应用，不 要遗漏两交点存在满足的条件，考查计算求解能力，属于基础题. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时 请写清楚. 22.在直角坐标系 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数），以 O 为极点，x 轴的 非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C 的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 的长. 【答案】（1） ；（2）2 【解析】 【分析】 2AP PB=  1 22x x− = 1 2,x x ( )1 l ( ) ( )1 1 2 2, , ,y x b A x y B x y= + , 2 23 3 3 0x y x x b y x b  = ⇒ − − = = + > 0∆ 3 4b > − 1 2 1 2 1 23, 2 2 3x x y y x x b b+ = + = + + = + 1 2 3 32 3 52 2AF BF y y b+ = + + = + + = 1 4b = > 0∆ l 1 4y x= + ( )2 1 2 1 23, 3x x x x b+ = = − 2AP PB=  1 22x x− = 1 26, 3, 6x x b= = − = > 0∆ 2 1 21 1 | | 9 2AB x x= + − = xOy 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ 2 sin 3 33 πρ θ + =   : 3OM πθ = PQ 2cosρ θ=（1）首先利用 对圆 C 的参数方程 （φ 为参数）进行消参数运 算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐标方程．（2）设 ，联立直线与圆的极坐标方程，解得 ；设 ，联立直线与直线的 极坐标方程，解得 ，可得 ． 【详解】 （1）圆 C 的普通方程为 ，又 ， 所以圆 C 的极坐标方程为 . （2）设 ，则由 解得 ， ，得 ； 设 ，则由 解得 ， ，得 ； 所以 【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程 的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23.设函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为实数集 ，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】 （1）分 、 、 三种情况解不等式 ，综合可得 出原不等式的解集； 2 2 1cos sinϕ ϕ+ = 1{x cos y sin ϕ ϕ = + = 1 1P ρ θ（ ， ） 1 1 ρ θ， 2 2Q ρ θ（ ， ） 2 2 ρ θ， PQ ( )2 21 1x y− + = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2cosρ θ= ( )1 1,ρ θΡ 2 { 3 cosρ θ πθ = = 1 1ρ = 1 3 πθ = 1, 3P π     ( )2 2Q ,ρ θ 2 sin 3 33{ 3 πρ θ πθ  + =   = 2 3ρ = 2 3 πθ = 3, 3Q π     Q 2Ρ = ( ) 1f x x= − ( ) ( )3 3 6f x f x+ + − ≥ ( ) ( )1 4f x f x ax b− − + > + R +a b ( ] [ ), 3 3,−∞ − +∞ ( ), 5−∞ − 2x −≤ 2 2x− < < 2x ≥ ( ) ( )3 3 6f x f x+ + − ≥（2）化简函数 的解析式，利用数形结合转化求解即可． 【详解】（1） . 当 时，由 ，得 ，解得 ，此时 ； 当 时，由 ，得 ，不合乎题意； 当 时，由 ，得 ，解得 ，此时 . 综上所述，不等式 的解集为 ； （2） ， 作出函数 的图象如图所示： 由 的解集为实数集 ，可得 ， ，即 . 因此， 的取值范围为 . 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解以及含绝对值不等式恒成立问题的求解，考查数形 结合以及转化思想的应用，是中档题． ( ) ( )1 4y f x f x= − − + ( ) ( )3 3 2 2 2 2f x f x x x x x+ + − = + + − + = + + − 2x −≤ ( ) ( )3 3 6f x f x+ + − ≥ 2 6x− ≥ 3x ≤ − 3x ≤ − 2 2x− < < ( ) ( )3 3 6f x f x+ + − ≥ 4 6≥ 2x ≥ ( ) ( )3 3 6f x f x+ + − ≥ 2 6x ≥ 3x ≥ 3x ≥ ( ) ( )3 3 6f x f x+ + − ≥ ( ] [ ), 3 3,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( ) 5, 3 1 4 2 3 2 1, 3 2 5, 2 x f x f x x x x x x < − − − + = − − + = − − − ≤ ≤ − > ( ) ( )1 4y f x f x= − − + ( ) ( )1 4f x f x ax b− − + > + R 0a = 5b < − 5a b+ < − +a b ( ), 5−∞ −