数学试题
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数 的实部与虚部之和为零，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数 的实部与虚部之和为零，得 ，求解即可得答案．
【详解】由复数 的实部与虚部之和为零，
得 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2. 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘法运算化简 ，再利用纯虚数的定义求解即可．
【详解】 是纯虚数，
，即 ，故选 C．
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚
部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，
通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题
出错，造成不必要的失分.
3.下列式子错误的是（ ）
2 ( )bi b R− ∈ b
2
3
2
3
− 2−
2 ( )bi b R− ∈ 2 0b− =
2 ( )bi b R− ∈
2 0b− = 2b =
i ( )( )1 1mi i+ + m =
1− 0 1 0 1
( )( )1 i 1 im+ +
( )( ) ( ) ( )1 i 1 i 1 1 im m m+ + = − + +
1 0
1 0
m
m
− =∴ + ≠ 1m =A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，依次计算选项函数的导数，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于 A， ，正确；
对于 B， ，错误；
对于 C， ，正确；
对于 D， ，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
4.设 ，若 在 处的导数 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求出原函数的导函数，由 列式求解 的值．
【详解】由 ，得 ．
由 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．
5.若复数 z 满足 z（i-1）=2i（i 为虚数单位），则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
(sin ) cosx x′ = (cos ) sinx x′ = 2(2ln )x x
′ =
( )x xe e− −′ = −
(sin ) cosx x′ =
(cos ) sinx x′ = −
2(2 )lnx x
′ =
( )x xe e− −′ = −
( ) ln(2 1)f x x= − ( )f x 0x 0( ) 1f x′ = 0x
1
2
e + 3
2
3
4
0( ) 1f x′ = 0x
( ) ln(2 1)f x x= − ( 2 1
2)f x x
= −
′
0
0
2( ) 12 1f x x
′ = =− 0
3
2x =
z
1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− −【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【详解】z（i-1）=2i（i 为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），
∴-2z=2（i-1），解得 z=1-i．则 =1+i．
故选 A．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
6.复数 ，则
A. B. 4 C. 5 D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再求模即可．
【详解】解：z （﹣3+4i）＝3﹣4i，
∴|z| 5，
故选 C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7.设函数 在定义域内可导， 的图像如图所示，则导函数 的图像可能
为( )
A. B.
z
4 3iz i
+= (z = )
5
( )
2
4 34 3 i ii
i i
++= = = −
2 23 ( 4)= + − =
( )f x ( )y f x= ( )y f x′=C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.
【详解】由函数 的图象可知，当 时， 单调递减，所以 时，
，符合条件的只有 D 选项，故选 D.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.
8.已知函数 ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求函数的导数，即可得到结论．
【详解】 ，
，
令 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用导数求出 的值是解决本题的关键．
( )f x (0, )x∈ +∞ ( )f x (0, )x∈ +∞
( ) 0f x′ <
π( ) ( )sin cos6f x f x x′= + π( )6f
2− 1−
( ) ( )sin cos6f x f x x
π= ′ +
( ) ( )cos sin6f x f x x
π∴ ′ = ′ −
6x
π=
3 1( ) ( )cos sin ( )6 6 6 6 2 6 2f f f
π π π π π′ = ′ − = ′ −
1( ) ( 3 2)6 3 2
f
π′ = = − +
−
( ) ( 3 2)sin cosf x x x= − + +
1 3( ) ( 3 2)sin cos ( 3 2) 16 6 6 2 2f
π π π= − + + = − + × + = −
( )6f
π′9.设 是定义在［－1，1］上的可导函数， ，且 ，则不等式
的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由导函数可得原函数，再根据函数单调性与奇偶性化简不等式，解得结果.
【详解】因为 ，所以 ，因此
为 上的奇函数和增函数， ，
则 ，故选 D．
【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然
后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值
应在外层函数的定义域内.
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
10.已知 为虚数单位，则复数 _______.
【答案】 ．
【解析】
【分析】
直接利用虚数单位 的运算性质得答案.
【详解】 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位 的性质，是基础题．
11.设 ，其中 为虚数单位.若 ，则 在复平面上对应点的坐
标为_______.
( )f x ( )0 0f = ( ) 22f x x′ = +
( ) ( )1 2 0f a f a+ − >
[ ]0,1 [ )1,1− ( ]1,1− [ )0,1
( ) 22f x x′ = + ( ) ( )3
2 , 0 03
xf x x m f= + + =又 ( ) 3
2 3
xf x x= + ，
[ ]1 1− ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 1 2 2 1f a f a f a f a f a+ − > ⇒ > − − = −
1 1
1 1 2 1 0 1
2 1
a
a a
a a
− ≤ ≤
− ≤ − ≤ ⇒ ≤ −
，
，
( ( )) ( ( ))f g x f h x>
f ( )g x ( )h x
i 2021i =
i
i
2021 4 505( )i i i i= =
i
i
1 26 2 , 6 18z i z i= − − = − i 1 2z z z= + z【答案】 ．
【解析】
分析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】 ，
则 在复平面上对应点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
12.已知函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，那么 ， 的
大小关系为_______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
【详解】当 ， 时，平均变化率 ，
当 ， 时，平均变化率 ，
，
故答案为： .
【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率 ，属于基础题．
13.已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是_______.
【答案】
【
(0, 20)−
1 2 6 2 6 18 20z z z i i i= + = − − + − = −
z (0, 20)−
(0, 20)−
siny x= π[0, ]6
π π[ , ]3 2 1k 2k 1k 2k
1 2k k>
[0x∈ ]6
π
1
sin sin0 36
6
k
π
π π
−
= =
[ 3x
π∈ ]2
π
2
sin sin 3(2 3)2 3
2 3
k
π π
π π π
− −= =
−
1 2k k>
1 2k k>
( ) ( )y f x x f x
x x
+ −=
2( ) xf x ae x= − a
2(0, )e【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为 和 在 上有 2 个交点，根据函数的单调性求出
的范围，从而求出 的范围即可．
【详解】 ，
若函数 有两个极值点，
则 和 在 上有 2 个交点，
，
时，即 ， 递增，
时， ， 递减，
故 （1） ，
而 恒成立，所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档
题．
14.函数 的图象在点 处切线方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在 x＝1 处的导数，再求出 f（1），利用直线方程的点斜式得答
案．
【详解】由 ，得 ，
则 ，又 ，所以切线方程为 ，
y a= 2( ) x
xg x e
= R
( )g x a
( ) 2xf x ae x′ = −
2( ) xf x ae x= −
y a= 2( ) x
xg x e
= R
2 2( ) x
xg x e
−′ =
( ,1)x∈ −∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x
( )maxg x g= 2
e
=
2 0x
x
e
> 20 a e
< <
2(0, )e
2( ) lnf x x x= + (1, (1))f
3 2 0x y− − =
2( ) lnf x x x= + ' 1( ) 2f x xx
= +
'(1) 3f = (1) 1f = 1 3( 1)y x− = −即 .
故答案为：
【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，是基础题．
15.若函数 在 处取得极小值，则 __________．
【答案】
【解析】
求导函数可得 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，函数在 处取得极小值，符合题意；
当 时， ，函数在 处取得极大值，不符合
题意，不符合题意，所以 .
三．解答题：本大题共 5 小题，共 40 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
16.已知复数 为虚数单位）．
（1）若 ，求 ；
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若 ，即可求 ；
（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求 的取值范围．
【详解】（1） ，
若 ，则 ，得 ，此时 ；
（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，
则 且 ，
3 2 0x y− − =
3 2 0x y− − =
( ) ( )2f x x x a= − 2x = a =
2
2 2( ) 3 4f x x ax a′ = − + 2(2) 12 8 0f a a= − + =′ 2a = 6a =
2a = 2( ) 3 8 4 ( 2)(3 2)f x x x x x= = −′ − + − 2x =
6a = 2( ) 3 24 36 3( 2)( 6)f x x x x x= − = − −′ + 2x =
2a =
(1 2
az i ii
= ++
z R∈ z
z a
1
2z = 50 2a< <
z R∈ z
a
(1 2 ) 2 5 2
1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 5
a a i a ai a az i i i ii i i
− − −= + = + = + = ++ − +
z R∈ 5 2 05
a− = 5
2a = 1
2z =
z
05
a > 5 2 05
a− >得 ，即 ，
即 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用，对复数进行化简是解决本
题的关键．
17.求下列函数的导数：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
(1)求积的导数， .
(2)求商 导数， ，由复合函数的导数得
.
【详解】(1)
(2)
.
【点睛】本题考查导数的运算，考查积和商的导数、复合函数的导数，按照基本导数公式和
导数运算法则进行计算即可.
的
0
5
2
a
a
> -1
【解析】
【分析】
（1）由题可得
( ) 2lnf x a x bx= − ( )( )2, 2P f 3 2ln 2 2y x= − + + ,a b
2
1
a
b
=
=
2x = 6 2ln 2 2 4 2ln 2y = − + + = − +
( )2 4 2ln 2f = − + ( )2 2 3af bxx
′ = − = − ,a b
P 3 2ln 2 2y x= − + + ( )2 3 2 2ln2 2 2ln2 4f∴ = − ⋅ + + = −
( )2 ln2 4 2ln2 4f a b∴ = − = −
P 3− ( )' 2af x bxx
= −
( )' 2 4 32
af b∴ = − = −
ln 2 4 2ln 2 4 2
14 32
a b a
a bb
− = − =∴ ⇒ =− = −
2( ) 1xf x e x= − −
( )( ) f xg x x
= (0, )x∈ +∞ ( )g x
( )21( ) 3 2 2 02f x x x k+ − − ≤ k
( )g x ( )0,1 ( )1,+∞
2 1( )
xe xg x x
− −=求导得 ，
令 ，由 的单调性得 的单调性．
（2）不等式 有解，则
设 ，求 的最小值，从而求 的取值范围．
【详解】（1）因为 .
所以 .
设 ，则 ，即 在 上单调递增，所以
所以，当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递增.
（2）因为 ， .
所以 .
设 ，则 .
由于 上单调递增，且 .
所以当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增.
所以 .综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导函数解不等式
（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解
（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目．
20.已知函数 f（x）＝lnx ．
在
( )
2 2
( 1) 1( ) ( )( ) ( 0)
xx e xxf x f xg x xx x
′
′
− − −−= = >
( ) 1xt x e x= − − ( ) 1xt x e x= − − ( )g x
( )21( ) 3 2 2 02f x x x k+ − − ≤ 2
min
1 12
xk e x x ≥ + − −
21( ) 12
xh x e x x= + − − ( )h x k
2( ) 1( )
xf x e xg x x x
− −= =
( )
2 2
( 1) 1( ) ( )( ) ( 0)
xx e xxf x f xg x xx x
′
′
− − −−= = >
( ) 1xt x e x= − − ( ) 1 0xt x e′ = − > ( )t x (0, )+∞ ( ) (0) 0t x t> =
(0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
x R∃ ∈ ( )21( ) 3 2 2 02f x x x k+ − − ≤
2
min
1 12
xk e x x ≥ + − −
21( ) 12
xh x e x x= + − − ( ) 1xh x e x′ = + −
( )h x′ R (0) 0h′ =
( , 0)x ∈ −∞ ( ) 0h x′ < ( )h x
(0, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x
min( ) (0) 0h x h= = k [0, )+∞
( )1
2
a x
x
−− +（1）若 a＝4，求函数 f（x）的单调区间；
（2）若函数 f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数 a 的取值范围；
（3）若 x1、x2∈R+，且 x1≤x2，求证：（lnx1﹣lnx2）（x1+2x2）≤3（x1﹣x2）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
【解析】
【分析】
(1)将 a=4 代入 f(x)求出 f(x)的导函数,然后根据导函数的符号,得到函数的单调区间;
(2)根据条件将问题转化为 在 , 上恒成立问题,然后根据函数的单调性求出
的范围;
(3)根据条件将问题转化为 成立问题,令 ,即 成立,
再利用函数的单调性证明即可.
【详解】解:(1) 的定义域是 , ,
所以 时, ,
由 ,解得 或 ,
由 ,解得 ,
故 在 和 , 上单调递增,在 , 上单调递减.
(2)由(1)得 ,
若函数 在区间 , 递增,则有 在 , 上恒成立,
即 在 , 上恒成立成立,所以只需 ,
因为函数 在 时取得最小值 9,所以 ,
所以 a 的取值范围为 .
(3)当 时,不等式显然成立,
3a ≤
43 4a xx
+ + (0 1] a
1 1 2
2 1 2
3( )
2
x x xln x x x
−
+
1
2
(0,1)xt x
= ∈ 3( 1) 02
tlnt t
−− +
( )f x (0, )+∞
2
2 2
1 3 (4 3 ) 4( ) ( 2) ( 2)
a x a xf x x x x x
+ − +′ = − =+ +
4a =
2
2
8 4( ) ( 2)
x xf x x x
− +′ = +
( ) 0f x′ > 0 4 2 3x< < − 4 2 3x > +
( ) 0f x′ < 4 2 3 4 2 3x− < < +
( )f x (0,4 2 3)− (4 2 3+ )+∞ (4 2 3− 4 2 3)+
2
2
(4 3 ) 4( ) ( 2)
x a xf x x x
+ − +′ = +
( )f x (0 1] 2 (4 3 ) 4 0x a x+ − + (0 1]
43 4a xx
+ + (0 1]
min
43 4a xx
+ +
4 4y xx
= + + 1x =
min
43 4 9a xx
+ + =
]( ,3−∞
1 2x x=当 时,因为 , ,所以要原不等式成立,
只需 成立即可,
令 ,则 ,
由(2)可知函数 在 , 递增,所以 ,
所以 成立,
所以(lnx1﹣lnx2)(x1+2x2)≤3(x1﹣x2).
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题和不等式的证明,考查了转化
思想和分类讨论思想,属难题.
1 2x x≠ 1x 2x R+∈
1
1 1 2 2
12 1 2
2
3( 1)3( )
2 2
x
x x x xln xx x x
x
−− =+ +
1
2
(0,1)xt x
= ∈ 3( 1) 02
tlnt t
−− +
( )f x (0 1] ( ) (1) 0f x f≤ =
3( 1) 02
tlnt t
−− +
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