陕西省榆林市2020届高三数学（文）第三次模拟试题（解析版）

榆林市 2020 届高考模拟第三次测试 数学（文科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试 时间 120 分钟. 注意事项： 1.答题前，请将试题和答题纸上密封线内的项目填写清楚. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔填涂在答题纸上. 3.非选择题用黑色墨水签字笔答在答题纸上每题对应的答题区域内，在试题上作答 无效. 4.做选考题时，考生按照题目要求作答. 5.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.） 1.设集合 ，若 且 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可． 【详解】因为集合 ，而 且 ， 且 ，解得 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，对描述法表示集合的理解，属于基础题． 2.下面关于复数 （其中 为虚数单位）的结论正确的是（ ） A. 对应的点在第一象限 B. C. 的虚部为 D. { }| 3 1A x x m= − < 1 A∈ 2 A∉ m 2 5m< < 2 5m≤ < 2 5< ≤m 2 5m≤ ≤ { | 3 1 }A x x m= − < 1 A∈ 2 A∉ 3 1 1 m∴ × − < 3 2 1 m× − ≥ 2 5< ≤m 1z i= − + i 1 z 1z z< + z i 0z z+ > F A B ABF∠ 5 1 2 c a −= 2 22 (3 5)c a= − ABF∠【详解】∵ ，∴ ． 在椭圆中， ， ， ， ， ， ， ∴ ，所以 等于 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，以及利用余弦定理解三角形，意在考查 学生的数学运算能力，属于基础题． 10.若函数 的图象关于 成中心对称，则 函数 在 上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角恒等变换化简函数 的解析式，由对称性可求出 ，再利用正弦型函数的性质， 即可求得函数 在 上的最小值． 【 详 解 】 ∵ 函 数 的 图 象 关 于 对称， ， ，即 ， ∵ ， ， ，在 上， ，故当 时， 函数 取得最小值为 ． 故选： ． 5 1 2 c a −= 2 22 (3 5)c a= − 2 2 2b c a+ = FA a c= + FB a= 2 2AB a b= + 2 2 2 2( ) 2FA a c a c ac∴ = + = + + 2 2 2 2 2 22 3FB AB a b a c+ = + = − 2 2 2 cos 02 FB ABA FA FBBF AB + ⋅ −∠ = = ABF∠ 90° ( ) 3sin(2 ) cos(2 )(0 )f x x xθ θ θ π= + + + < < ,02 π     ( )f x ,4 6 π π −   2− 3− 1− 1 2 − ( )f x θ ( )f x ,4 6 π π −   ( ) 3sin(2 ) cos(2 ) 2sin 2 6f x x x x πθ θ θ = + + + = + +   ,02 π     2 2 6 k π πθ π∴ × + + = k Z∈ 7 6k πθ π= − 0 θ π< < 5 6 πθ\ = 5( ) 2sin 2 2sin 26 6f x x x π π = + + = −   ,4 6 π π −   2 ,2 3x π π ∈ −   2 3x π= ( )f x 3− B【点睛】本题主要考查利用辅助角公式进行三角恒等变换，正弦型函数的性质应用，属于基 础题． 11.已知三棱锥 中， ， ， ， .有以 下结论：①三棱锥 的表面积为 ；②三棱锥 的内切球的半径 ； ③点 到平面 的距离为 ；其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】 ①取 的中点 ，连接 、 ，分别求出四个面的面积，即可求得表面积； ②采用分割法，将三棱锥 分割成以四个面为底面，内切球的球心为顶点，半径为高 的四个三棱锥，根据等积法 ，即可求得内切球的半径； ③利用面面垂直的判定定理可证平面 平面 ，于是点 到平面 的距离即为 点 到 的距离，再利用三角形的等面积法即可得解． 【详解】如图所示： 取 的中点 ，连接 、 ，则 ， ， ， ， ， ， 由题意可计算得出 ， ，以及各线段长度如图， ∴三棱锥 的表面积为 ，即①正确； ∵由题可得， 平面 ，∴由等体积法可得， ， P ABC− 2PA PB= = 7CA CB= = 2 3AB = 3PC = P ABC− 5 3 P ABC− 3 5r = P ABC 3 2 AB D PD CD P ABC− 1 3V Sr= ABC ⊥ PCD P ABC P CD AB D PD CD AB CD⊥ AB PD⊥ 2PA PB= = 7CA CB= = 2 3AB = 3PC = , ,CP PA CP PB PD AB⊥ ⊥ ⊥ CD AB⊥ P ABC− 3 3 3 2 3 5 3+ + + = ⊥CP ABP 1 13 3 5 33 3p ABCV r− = × × = ×∴ ，即②正确； ， ， 、 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ， 点 到平面 的距离即为点 到 的距离， 由三角形等面积法可知，在 中，点 到 的距离为 ，即③正确． 故选： ． 【点睛】本题考主要查棱锥的表面积与体积的计算、点到平面的距离的计算等问题，意在考 查学生的数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题． 12.抛物线 的焦点 是双曲线 的一个焦点， 为 抛物线上一点，直线 与双曲线有且只有一个交点，若 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由直线 与双曲线有且只有一个交点可知，直线 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双 曲线共焦点， ，所以利用抛物线的定义，可求出 A 点坐标，从而求出直线 的斜 率，从而求出双曲线渐近线的斜率 ，进而求出双曲线的离心率. 【详解】解： ，直线 与双曲线有且只有一个交点，所以直线 与双曲 线的渐近线平行. ，F 为抛物线的焦点，所以 ，代入 ，则 ， 即 ， ， 所 以 ， 所 以 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 . 故选：C. 3 5r = AB CD⊥ AB PD⊥ CD PD ⊂ PCD AB∴ ⊥ PCD AB Ì ABC ABC ⊥ PCD P ABC P CD Rt PCD P CD 3 2 D 2 8y x= F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( )( ), 0A m n n > AF | | 8AF = 2 3 5 AF AF | | 8AF = AF 3b a = ( )( ), 0A m n n > AF AF | | 8AF = 6m = 2 8n m= 4 3n = ( )6,4 3A 4 3 0 36 2AFk −= =− 3b a = 2 21 2be a = + =【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的 转化，属于中档题. 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每道试题考生都必须 作答.第 22 题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题纸中相应的 横线上.） 13.若实数 、 满足 ，则目标函数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 分析】 画出约束条件的可行域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可求解． 【详解】 作出图象，如图所示阴影区域为可行域： 作直线 的平行线， 因为 ，越往上移， 越大，越往下移， 越小， 当目标函数经过可行域的 时，目标函数 取得最大值 2， 目标函数经过 时，目标函数取得最小值 ． 所以目标函数 的取值范围为 ． 【 x y 2 1 2 x y x y + ≥  ≤  ≤ 2z x y= − + [ 1 2]− ， 2 0x y− + = 2y x z= + z z (0,2)A 2z x y= − + (1,1)B 1− 2z x y= − + [ 1 2]− ，故答案为： ． 【点睛】 本题考查简单线性规划问题的解法应用，准确画出可行域是解题的关键，属于基础题． 14.若曲线 与曲线 在公共点处有相同 切线，则实数 的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设出公共点坐标 ，然后利用“函数值相等、切点处的导数相等”，列出关于 ， 的方程 组求解即可． 【详解】依题可得 ， ，设两曲线的公共点为 ，则 ， 解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线，根据切点处的导数值 相等，函数值相等列出方程组是解题关键．属于基础题． 15.已知数列 的前 项之和为 ，对任意的 ，都有 .若 ， ，则 ______；数列 中最大的项为______. 【答案】 (1). (2). 64 【解析】 【分析】 利用 与 的关系 ，可得数列 是以 8 为首项， 为公比的等比 数列，再利用等比数列中奇偶项的特征，以及 的单调性，即可求出． 【详解】 ， 时， ， 的 [ ]1,2− 2y x= xy ae= a 2e e ( , )x y x a 1y x ′ = ( ) xf x ae′ = ( , )x y 1 2 x x ae x x ae  =  = 2ea e = 2e e { }na n nS *n∈N 3 16n nS a= + 1 2n nb a a a=  *n∈N 5a = { }nb 1 2 na nS 1 1 1 2n n n S na S S n− ==  − ≥ { }na 1 2 − na 3 16n nS a= + 2n∴  1 13 16n nS a− −= +两式相减化简可得， ，而 时， ，所以 ， ∴数列 是以 8 为首项， 为公比的等比数列， ， ， ， ， ， 因为 ，而 时， ， 所以 最大，最大值为 64． 故答案为： ；64． 【点睛】本题主要考查 与 的关系应用，用定义判断等比数列，等比数列通项公式的应用， 意在考查学生的数学运算能力，转化能力和逻辑推理能力，属于中档题． 16.定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， .有 以下 个结论：① 是函数 的一个周期；② ；③函数 为奇函 数；④函数 在 上递增.则这 个结论中正确的是______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 由 可知， ，因此 4 是函数 的一个周 期，结合函数是偶函数，又可得 关于点 对称，于是作出函数的大致图象，根据 图象可逐一判断每个选项的正误． 【详解】 ， ， 是函数 的一个 周期， 是偶函数， ，∴函数 关于点 对称， 由于当 时， ，于是可作出函数 的图象如下： 12 n na a −= − 1n = 1 8a = 0na ≠ 1 1 2 n n a a − = − { }na 1 2 − 4 5 1 18 2 2a  ∴ = × − =   1 8a = 2 4a = − 3 2a = 4 1a = − * 1 2 ,n nb a a a n N= … ∈ 4n > 1na < 4b 1 2 na nS R ( )y f x= ( ) ( )2f x f x+ = − [ )0,1x∈ 2( ) 1f x x= − 4 2 ( )y f x= ( )1 0f = ( )1y f x= − ( 1)y f x= + ( )1,2 4 ( 2) ( )f x f x+ = − ( 4) ( 2) ( )f x f x f x+ = − + = ( )y f x= ( )y f x= (1,0) ( 2) ( )f x f x+ = − ( 4) ( 2) ( )f x f x f x∴ + = − + = 4∴ ( )y f x= ( )y f x= ( 2) ( ) ( )f x f x f x∴ + = − = − − ( )y f x= (1,0) [0,1)x∈ 2( ) 1f x x= − ( )f x函数 的图象如下： 函数 的图象如下： 由图可知，①错误，②③④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性、对称性、周期性的应用，函数的平移变换应用，熟 练掌握函数性质的概念是解题的关键，意在考查学生的转化能力，数形结合能力和逻辑推理 能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤，第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考 生根据要求作答.） 17. 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 . （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 . 【答案】（1） （2） ( )1f x − ( )1f x+ ABC A B C a b c 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C+ = + A 6b c+ = ABC 2 3 a 2 3A π= 2 7a =【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理，将所给的条件角化边，利用余弦定理即可求出 ； （2）利用面积公式 求出 ，然后再用余弦定理 即可 求出 的值． 【详解】（1） ． 由正弦定理得 ，即 ， ∴ ， ． （2）∵ ， 因为 ，所以 ，即 ． 【点睛】本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，意在考查学生 的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题． 18.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量 增加量 （百千克）与某种液体肥料每亩使用量 （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示. （1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请计算相关系数 并加以说明（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求 关于 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为 千克时，西红柿亩产量的增加 量约为多少？ 的 A 1 sin2S bc A= bc 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − a 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C+ = + 2 2( )b c a bc+ = + 2 2 2b c a bc+ − = − 1cos 2A = − ( ) 20, , 3A A ππ∈ ∴ = 1 3si 2 34n2S bc A bc= = = 8bc∴ = 6b c+ = ( )22 2 2 2 cos 36 8a b c bc A b c bc= + − = + − = − 2 28a∴ = 2 7a = y x y x r 0.75r > y x 12附：相关系数公式 ，回归方 程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， . 【答案】(1) ，可用线性回归模型拟合 与 的关系；(2) ，预 测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 9.9 百千克． 【解析】 【分析】 （1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数 ，由 可得可用线性回归模型 拟合 与 的关系； （2）求出 与 的值，得到线性回归方程，取 求得 值得答案． 【详解】（1）因为 ， ． ， ， ． ． ∴可用线性回归模型拟合 与 的关系； ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 22 2 1 1 1 1 n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x y nxy r x x y y x nx y ny = = = = = = − − − = = − − − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y bx a= +   ( )( ) ( ) 1 1 1 2 22 1 1 1 ˆ n n i i i i i n n i i i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ a y bx= −  7 2 0.7510r = > y x ˆ 0.7 1.5y x= + r 0.75r > y X ˆb ˆa 12x = y 2 4 5 6 8 55x + + + += = 3 4 5 6 7 55y + + + += = ( )( )5 1 ( 3) ( 2) ( 1) ( 1) 0 0 1 1 3 2 14i i ix x y y = − − = − × − + − × − + × + × + × =∑ ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ( 3) ( 1) 0 1 3 20 i ix x = − = − + − + + + =∑ ( )5 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 1) 0 1 2 10i i y y = − = − + − + + + =∑ ( )( ) ( ) ( ) 5 1 5 52 2 1 1 14 7 2 0.751020 10 i i i i i i i x x y y r x x y y = = = − − = = = > ×− − ∑ ∑ ∑ y x（2） ， ． ∴ ． 当 时， ． ∴预测液体肥料每亩使用量为 12 千克时，西红柿亩产量的增加量约为 9.9 百千克． 【点睛】本题主要考查线性相关系数的计算和它的数值大小对相关程度的影响的理解，线性 回归方程的求法以及利用方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 19.如图，在几何体中，四边形 为菱形， ， ， 与 相交于 点 ，四边形 为直角梯形， ， ， ，平面 平面 . （1）证明：平面 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 分析】 （ 1 ） 连 接 ， ， 由 已 知 可 得 ， 即 可 得 平 面 ， 于 是 ．求解三角形证明 ，由线面垂直的判定可得 平面 ，从而得到 平面 平面 ； （2）由 ，得 平面 ，然后利用等体积法即可求解出三棱锥 的 体积． 【详解】（1）连接 ， ， ∵四边形 为菱形， ， 【 ( )( ) ( ) 5 1 5 2 1 14ˆ 0.720 i i i i ix x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑ ˆˆ 5 0.7 5 1.5a y bx= − = − × = ˆ 0.7 1.5y x= + 12x = ˆ 0.7 12 1.5 9.9y = × + = ABCD 2AB = 120ABC∠ = ° AC BD O BDEF //DE BF BD DE⊥ 3 3DE BF= = BDEF ⊥ ABCD AEF ⊥ AFC E ADF− 3 OE OF AC BD⊥ AC ⊥ BDEF AC EF⊥ EF OF⊥ EF ⊥ AFC AEF ⊥ AFC / /DE BF //BF ADE E AFD− OE OF ABCD AC BD∴ ⊥又∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ，则 ． ∵四边形 为直角梯形， ， ， ， ， ， ， ，则 ，得 ， 、 平面 ，且 ， 平面 ，又 平面 ，∴平面 平面 ． （2） ， 平面 ， ． 【点睛】 本题主要考查面面垂直的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直 的定义等知识的应用，以及利用等积法计算三棱锥的体积，意在考查学生的转化能力，直观 想象能力，逻辑推理能力，属于中档题． 20.已知函数 . （1）当 时，求 的最小值； （2）若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 可 知 ， 当 ， 时 ， ， 时 ， BDEF ⊥ ABCD BDEF ∩ ABCD BD= AC ⊥ BDEF AC EF⊥ BDEF / /DE BF BD DE⊥ 3 3DE BF= = 1OA OB= = 10OE∴ = 2OF = 2 2EF = 2 2 2OE OF EF+= EF OF⊥ AC OF ⊂ AFC AC OF O∩ = EF∴ ⊥ AFC EF ⊂ AEF AEF ⊥ AFC //DE BF / /BF∴ ADE ABD 1 1 1 2 3 3 33 3 2E AFD F ADE B ADE E ABDV V V V S DE− − − −∴ = = = = ⋅ = × × × × = ( ) x axf x e = 0a < ( )f x 0x ∈R ( )0 1 3f x e < − a a e ( )1, 0,3  −∞ − +∞   (1 )( ) x a xf x e −′ = 0a < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > (0,1)x∈，即可得出单调性，求出最值； （2）对 分类讨论：若 ，则 ，容易判断出结论；若 ，可得 ；若 ，由（1）可知，函数 的最小值为 ，只 要 ，解得 范围即可得出． 【详解】（1） ，由 ，可得 时， ； 时， ∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 时，函数 取得极小值即最小值 ． （2）对 分类讨论： 若 ，则 ，不存在 ，使得 成立； 若 ，则 ，满足题意； 若 ，由（1）可知，函数 的最小值为 ，∴ ，解得 ． 综上可得，实数 的取值范围是 ． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，以及不等式存在性问题的 解法应用，意在考查学生的分类讨论意识，转化能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于 中档题． 21.已知椭圆 的离心率 ．直线 与曲线 交于不同的 两点 ， ，以线段 为直径作圆 ，圆心为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若圆 与 轴相交于不同的两点 ，求 的面积的最大值． ( ) 0f x′ < a 0a = ( ) 0f x = 0a > 1 1 1 11 3a f a ee −  − = − < − < −   0a < ( )f x ( )1 af e = 1 3 a e e < − a (1 )( ) x a xf x e −′ = 0a < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (1, )+∞ (0,1) 1x∴ = ( )f x ( )1 af e = a 0a = ( ) 0f x = 0x R∈ ( )0 1 3f x e < − 0a > 1 1 1 11 3a f a ee −  − = − < − < −   0a < ( )f x ( )1 af e = 1 3 a e e < − 1 3a < − a ( )1, 0,3  −∞ − +∞   ( )2 2 2: 1 33 x yE aa + = > 1 2e = ( 0)x t t= > E M N MN C C E C y ,A B ABC∆【答案】（1） ；（2） . 【解析】 试题分析：（1）根据椭圆的离心率得 ，所以椭圆方程为 ；（2）把直线和 椭圆方程联立，表示出圆的半径 ，由弦长公式表示出 ，再由 基 本 不 等 式 得 的 面 积 ． 试题解析：（1）∵椭圆 的离心率 ，∴ ，解得 ． ∴椭圆 E 的方程为 ． （2）依题意，圆心为 （0＜t＜2）． 由 得 ． ∴圆 C 的半径为 ． ∵圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，且圆心 C 到 y 轴的距离 d=t， ∴ ，即 ． ∴弦长 ． ∴△ABC 的面积 ． 2 2 14 3 x y+ = 3 7 7 2a = 2 2 14 3 x y+ = 212 3 2 tr −= 212 7AB t= − C∆ΑΒ ( )2 2 2 2 7 12 71 1 1 3 712 7 7 12 72 2 72 7 2 7 t t S t t t t + − = ⋅ − = × × − ≤ × = ( )2 2 2: 1 33 x yE aa + = > 1 2e = 2 3 1 2 a a − = 2a = 2 2 14 3 x y+ = ( ),0C t 2 2{ 14 3 x t x y = + = 2 2 12 3 4 ty −= 212 3 2 tr −= 212 30 2 tt −< < 2 210 7t< < 2 2 2 2 212 32 2 12 74 tAB r d t t −= − = − = − ( )2 2 2 2 7 12 71 1 1 3 712 7 7 12 72 2 72 7 2 7 t t S t t t t + − = ⋅ − = × × − ≤ × =当且仅当 ，即 时，等号成立．∴△ABC 的面积的最大值为 ． 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆、直线与圆的位置关系. 【方法点睛】本题考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系及圆的弦 长问题，属于中档题.本题第一问解答的关键是把握好椭圆中三个基本量间的关系 ， 结合已知条件即可求得 的值；第二问解答时利用直线与椭圆的方程联立方程组即可得到圆半 径的表达式由直线与圆的位置关系得到 的范围，利用直角三角形求出弦长，表示出 的面积利用基本不等式即可求得最大值. 考生请从以下两题中任选一题作答，并将你所选择的题号进行填涂，如果多做， 则按所做的第一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得 曲线 的极坐标方程为 .若过 ，倾斜角为 ，且 的直线交曲 线 于 、 两点. （1）求 的值； （2）求弦 的中点 的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先利用坐标互化公式，将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程，再写出直线参数方 程的标准形式，将其代入曲线 的方程，根据 的几何意义即可求出； （2）利用一元二次方程根和系数的关系，以及参数方程下的中点坐标公式即可求出． 【详解】（1）曲线 的极坐标方程为 ，其直角坐标方程为 ， 点 ，倾斜角为 ，且 ，则直线的参数方程为 ( 为参数)， 27 12 7t t= − 42 7t = 3 7 7 2 2 2c a b= − a t C∆ΑΒ xOy O x C 8sinρ θ= ( )5, 3P − α 3cos 5 α = − C 1P 2P 1 2PP PP⋅ 1 2PP M 58 4 97,25 25M  −   C C t C 8sinρ θ= 2 2 8x y y+ = (5, 3)P − α 3cos 5 α = − 35 5 43 5 x t y t  = −  = − + t把直线的参数方程代入圆的方程为 ，所以 ． （2）由（1）知： ，所以 ， 代入 得到 ． 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程之间的互化，直线参数方程标准式中 的几 何意义的应用，中点公式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题． 选修 4-5：不等式选讲 23.对 ， 的最小值为 . （1）若三个正数 、 、 满足 ，证明： ； （2）若三个实数 、 、 满足 ，且 恒成立， 求 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）由绝对值不等式的性质可得 ，再由基本不等式和累加法，即可得证； （2）运用柯西不等式，化简变形，由不等式恒成立思想，并结合绝对值不等式的解法可得所 求范围． 【详解】（1）由 ， ， 当且仅当 时取得等号，可得 ， 又 ， ， 同理可得 ， ， 2 86 58 05t t− + = 1 2 1 2 58PP PP t t= = 1 1 86 5t t+ = 1 2 43 2 5M t tt += = 35 5 43 5 x t y t  = −  = − + 4 97,25 25M  −   t a∀ ∈R 1 1a a+ + − M x y z x y z M+ + = 2 2 2 2x y z y z x + + ≥ x y z x y z M+ + = 2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z m− + − + + ≥ m ( ] [ ),0 2,−∞ +∞ 2M = a∀ ∈R | 1| | 1| | 1 1| 2a a a a+ + − + − + = 1 1a−   2x y z+ + = , , 0x y z > 2 2 2 2x xy y xy y + ⋅ = 2 2y z yz +  2 2z x zx + 三式相加可得， ， 当且仅当 时，取得等号， 则 ； （2） 恒成立，等价为 ， 由 ， 当且仅当 可取得等号． 则 ，即 ，解得 或 ， 即 的取值范围是 ． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的性质，基本不等式、柯西不等式的运用，意在考查学 生的转化能力，逻辑推理能力，属于中档题． 2 2 2 2x y z x y zy z x + + + + = 2 3x y z= = = 2 2 2 2x y z y z x + +  2 2 2 1( 2) ( 1) ( ) 3x y z m− + − + +  2 2 21 ( 2) ( 1) ( )3 min x y z m − + − + +  ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 ( 2) ( 1) ( ) ( 2 1 ) ( 1)x y z m x y z m m + + − + − + + − + − + + = −  2 1x y z m− = − = + 21 1 ( 1)3 3 m − | 1| 1m −  2m 0m ≤ m ( ] [ ),0 2,−∞ +∞