咸阳市 2020 年高考模拟检测（三）
数学（理科）试题
注意事项：
1.本试卷共 4 页满分 150 分时间 120 分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号并认真核准条形码上的姓名、准
考证号；
3.第 I 卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂，第 II 卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨
水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束，监考员将试题卷答题卡一并收回
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由韦恩图可以看出，阴影部分是 中去掉 那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得出
阴影部分为 ，代入进行求解，即可求出结果.
【详解】集合 ， ，
又图中阴影部分所表示为 ，
又
∴ .
故选：C．
【点睛】本题根据图形中阴影部分，求阴影部分所表示的集合，着重考查了 图表达集合
{ }1,2,3,4,5A = { }0 4B x x= < <
{ }1 2 3 4，，， { }1 2 3，， { }4, 5 { }1, 4
A B
UA C B∩
{ }1,2,3,4,5A = { }0 4B x x= < <
UA C B∩
{ }4 0U xB xC ≥= ≤或
{ }4,5UA C B =
Venn的关系及运算，考查了数形结合的思想，属于基础题．
2.已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 31 B. 15 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本元的思想，将已知条件转化为 的形式，由此求得 ，进而求得 .
【 详 解 】 由 于 数 列 是 等 比 数 列 ， 故 ， 由 于 ， 故 解 得 ， 所 以
.
故选 B.
【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查等比数列前 项和公式，属
于基础题.
3.2020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白
衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调 三名护士支援武汉第一
医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在
第二医院工作，则医生甲和护士 被选为第一医院工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，利用列举法，将所有情况列举出来，再利用古典概型求概率.
【详解】解：根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有 9 种情况，如下：
甲 ，甲 ，甲 ，乙 ，乙 ，乙 ，丙 ，丙 ，丙 ，
而医生甲和护士 被选为第一医院工作有 1 种情况，
所以概率为： .
{ }na n nS 34 2a a= 1 1a = 4S =
1,a q q 4S
3 2
1 12a q a q= 1 1a = 2q =
( )4
1
4
1
151
a q
S q
−
= =−
n
, ,A B C
A
1
12
1
6
1
5
1
9
A B C A B C A B C
A
1
9P =故选：D.
【点睛】本题考查实际问题中古典概型求概率，理解题目是关键.
4.已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量垂直与数量积的关系以及 ，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，即 ;
又 ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了向量垂直与数量积 关系、夹角公式，属于基础题．
5.设复数 z 满足 ，z 在复平面内对应的点为 ，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数模长的公式，建立方程即可得到结果．
【 详 解 】 设 ， 则 由 得 ， 即
， 则 .
故选：D.
的
,a b 2= a b ( )a b b− ⊥ a b
6
π
4
π
3
π
2
π
2= a b
( )a b b− ⊥ ( ) 0a b b− ⋅ =
2 2
0 cos , 0a b b a b a b b⋅ − = ⇔ ⋅ < > − =
2= a b
2 2
2 cos , 0b a b b< > − = 2cos , 2a b< >=
[ ], 0,a b π< >∈ , 4a b
π< >=
1 i 1z − + = ( ),P x y
( )2 21 1x y+ + = ( )2 21 1x y− + =
( )22 1 1x y+ − = ( ) ( )2 21 1 1x y− + + =
z x yi= + 1 i 1z − + = ( ) ( )1 1 1x y i− + + =
( ) ( )2 21 1 1x y− + + = ( ) ( )2 21 1 1x y− + + =【点睛】本题主要考查复数的几何意义和模长公式，属于基础题．
6.“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义求出 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若方程表示双曲线，则 ，所以 ，
即“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的定义求出 的范围是解决
本题的关键，属基础题．
7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体.
它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟
合）在一起的方形伞（方盖），其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，
当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（ ）
A. a，b B. a，c C. a，d D. b，d
【答案】A
【解析】
【分析】
相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根
2 2
π πα− < <
2 2
12 cos
x y
α− =
α
cos 0α > 2 2 ,2 2k k k Z
π ππ α π− + < < + ∈
2 2
π πα− < <
2 2
12 cos
x y
α− =
α据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，即可判断答案.
【详解】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形
伞（方盖）． 所以其正视图和侧视图是一个圆；
若俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，则俯视图是有 2 条对角线
且为实线的正方形.
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的识别，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
8.若数列 为等差数列， 为等比数列，且满足： ， ，函数
满足 且 ， ，则 （ ）
A. e B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据等差数列和等比数列的定义，可得 ， ，即可求出
；又 ，所以函数 的最小正周期为 4，由此根据题意
即可求出 ，进而求出结果.
【详解】因为数列 为等差数列，且 ，所以 ；
又 为等比数列，且 ，所以 ，所以 ；
又 ，所以 ，
所以函数 的最小正周期为 4，
又 ，
所以 ，即 .
故选：A.
{ }na { }nb 20201 27a a+ = 1 2020 2bb ⋅ =
( )f x ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) xf x e= [ ]0, 2x ∈ 1010 1011
1010 10111
a af b b
+ = +
2e 1e− 9e
1010 1011 27a a+ = 1010 1011 2b b =
1010 1011
1010 1011
91
a a
b b
+ =+ ( ) ( )2f x f x+ = − ( )f x
( )9f
{ }na 20201 27a a+ = 1010 1011 27a a+ =
{ }nb 1 2020 2bb ⋅ = 1010 1011 2b b = 1010 1011
1010 1011
27 91 3
a a
b b
+ = =+
( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + =
( )f x
( ) xf x e= [ ]0, 2x ∈
( ) ( ) ( )9 2 4 1 1f f f e= × + = = 1010 1011
1010 10111
a af eb b
+ = + 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础
题.
9.函数 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性可知该函数为偶函数，可以排除选项 A、B，再根据 ，即可
得到结果.
【详解】令 ，
则 ，所以函数 是偶函数，
故排除选项 A、B；
又 ，由图象可知选项 D 正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了函数的图象与函数的性质，考查了学生分析和推理的能力．属于基
础题.
10.已知 x，y 满足不等式组 ，且目标函数 的最大值为 180，则实数
m 的值为（ ）
2 1 sin2 1
x
xy x
−= ⋅+
( )0 0f =
( ) ( )2 1 sin2 1
x
xy f x x x R
−= = ⋅ ∈+ ，
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1sin sin =2 1 1 2
x x
x xf x x x f x
−
−
− −− = ⋅ − = − ⋅ − + +
( )f x
( ) 0
02 10 sin 0 02 1f
−= ⋅ =+
0
0
y
y x
x y m
≥
≤
+ − ≤
3 2z x y= −A. 60 B. 70 C. 80 D. 90
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，目标函数 的最大值为 180，通过直线平移,找到取
得最大值的交点，利用数形结合即可得出结论.
【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图:
由 可得： ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 ，
经过点 时，直线 的截距最小，
此时 最大， ，
解得 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，
属于中档题.
11.已知抛物线 ，点 P，Q 是抛物线上任意两点，M 是 PQ 的中点，且 ，
3 2z x y= −
3 2z x y= − 3 1
2 2y x z= −
3 1
2 2y x z= −
3 1
2 2y x z= −
( ,0)A m 3 1
2 2y x z= −
z max 3 180z m= =
60m =
2: 8C y x= 10PQ =则 M 到 y 轴距离的最小值为（ ）
A. 9 B. 8 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，梯形中位线及不等式 即可求解.
【详解】设 ， ,抛物线焦点为 ,
由 可知 ，
，当且仅当 三点共线时等号成立，
，
PQ 的中点 M 到 y 轴距离的值为: ，
即最小值为 3,此时 三点共线.
故选：D
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，梯形中位线，不等式的应用，属于中档题.
12.已知函数 （a 为常数）有两个不同极值点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由导数与极值的关系知可转化为方程 在 R 上有两个不等根，结合函数的性质可求.
【详解】 函数有两个不同极值点，
有 2 个不等的实数根,
即 有 2 个不等的实数根，
令 ，则 在 R 上单调递增且 ，
当 时 单调递减，当 时， 单调递增，
| | | | | |PQ PF QF≤ +
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y F
2: 8C y x= 4p =
1 2| | | | | |PQ PF QF x x p≤ + = + + , ,P F Q
∴ 1 2 10 4 6x x+ ≥ − =
∴ 1 2 32
x x+ ≥
, ,P F Q
( ) x xf x e e ax−= − +
[ )1, + ∞ [ )2, + ∞ ( )2, + ∞ ( )1, + ∞
( ) 0f x′ =
( ) 0x xf x e e a−′∴ = − − + =
x xa e e−= +
( ) x xg x e e−= + ( ) x xg x e e′ −= − (0) 0g′ =
0 x < ( ) 0, ( )g x g x′ < 0 x > ( ) 0, ( )′ >g x g x所以函数有极小值也是最小值 ，
又当 时， ， ， ，
所以 即可，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ，结合正切的差角公式即可求得 的值．
【详解】因为 ，且
所以
所以
【点睛】本题考查了正切的差角公式的简单应用，属于基础题．
14.已知在三棱锥 中，AB，AC，AD 两两垂直，且 ，
则三棱锥 外接球 体积为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
的
(0) 2g =
x → −∞ ( )g x → +∞ x → +∞ ( )g x → +∞
2a >
1 1tan ,tan( )3 2
α α β= + = tan β =
1
7
( )β α β α= + − tan β
( )β α β α= + − 1 1tan ,tan( )3 2
α α β= + =
[ ]tan tan ( )β α β α= + −
tan( ) tan
1 tan( ) tan
α β α
α β α
+ −= + + ×
1 1
12 3
1 1 71 2 3
−
= =
+ ×
1tan 7
β =
A BCD− ,1 , 2 23AB AC AD= = =
A BCD−
4 3π利用三棱锥侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体
对角线就是球的直径，即可求解.
【详解】因为三棱锥侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，补成长方体，如图，
该长方体的三边分别为 ，
所以球的直径为 ,
即 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 ,
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一
个球,关键点要注意长方体的对角线就是球的直径，属于中档题.
15.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其
中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有
两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的
体积恒为 ．
【答案】
【解析】
面积是边长的平方，类比体积是边长的立方．
1, 3,2 2
2 22 1 ( 3) (2 2) 2 3R = + + =
3R =
A BCD− 34 ( 3) 4 33V π π= × =
4 3π
2
4
a
3
8
a16.给出以下四个命题：
①数列 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数.
②在面积为 S 的 的边 AB 上任取一点 P，则 的面积大于 的概率为 .
③将多项式 分解因式得 ，则 .
④若那么由 ，那么由 以及 x 轴所围成的图形一定在 x
轴下方.
其中正确命题的序号为_____________（把所有正确命题的序号都填上）
【答案】②③
【解析】
【分析】
举例说明①④错误；由几何概型求概率说明②正确；由二项式系数的性质求得 说明③正确.
【详解】常数列也是等差数列，但常数列的通项公式为常数函数，不是 n 的一次函数，故①
错误;
根据几何概型可知， 的面积大于 的概率为 ，故②正确;
由二项展开式的通项公式可得, 中 的系数为 ，
的系数为 ，则 ，故③正确；
以及 轴所围成的图形可能一部分在 x 轴下方, 一部分在 x 轴上方. 如 由
以及 x 轴所围成的图形如图:
故④错误.
{ }na
ABC PBC
S
4
3
4
6 5
6 5 1 0a x a x a x a+ + + + ( )( )52 2x x− + 5 8a =
( ) 0b
a
f x dx >∫ ( ), ,y f x x a x b= = =
5a
PBC
S
4
34
4
ss
s
−
=
( )52x + 4x 1
5 2 10C × =
5x 0
5 1C = 5 10 2 8a = − =
( ) 0 ( ), ,b
a
f x dx y f x x a x b> = = =∫
x 3
0
( 1) 0x dx− >∫
( ), ,y f x x a x b= = =故答案为：②③
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等差数列的通项公式、几何概型、二项式系
数的性质及定积分的求法，属于中档题.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.设 a，b，c 分别为锐角 内角 A，B，C 的对边，且满足
.
（I）求角 B 的大小；
（II）求 面积的最大值.
【答案】（I） （II）
【解析】
【分析】
(I)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合 B 为锐角，可求 B 的值；
（II）由余弦定理，基本不等式可求得 ，根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】（I）由 ，
可得 ，
则 ，
即 ，
所以有 ，
又因 B 为锐角，则 .
（II）由（I）可知 ，且有 ，
由余弦定理可得： ，
ABC
( )3sin cot cot 2sin , 4A A B C b+ = =
ABC
3B
π= 4 3
3sin 2B =
16 ac
( )3sin cot cot 2sinA A B C+ =
cos cos3sin 2sinsin sin
A BA CA B
+ =
sin cos cos sin3sin 2sinsin sin
B A B AA CA B
+ =
( )sin3sin 2sinsin sin
A BA CA B
+× =
3sin 2B =
3B
π=
3B
π= 4b =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −则 ，当且仅当 时等号成立，
即 .
.
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积
公式在解三角形中的应用，属于中档题.
18.已知椭圆 C： ， 分别是其左、右焦点，过 的直线 l 与椭圆
C 交于 A，B 两点，且椭圆 C 的离心率为 ， 的内切圆面积为 ， .
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若 时，求直线 l 的方程
【答案】（I） （II） 或
【解析】
【分析】
(I) 由离心率可得 a，c 的关系,再由内切圆的面积求出内切圆的半径,进而求出三角形 的
面积，由题意可得 a 的值，再由 a,b,c 之间的关系求出 b 的值，进而求出椭圆的方程;
(II) 设直线 AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的表达式，再由题
意可得参数的值，进而求出直线 l 的方程
【详解】（I）由题可得， ，
的内切圆面积为 ， ，易得 的周长为 8，即 .
而 ，解得 ， ， ，
则椭圆 C 的方程为： .
（II）设 ，由（I）可得 ，
当直线 l 的斜率不存在时 ，不符合题意，
2 216 2a c ac ac ac ac= + − ≥ − = 4a c= =
16 ac
1 1 3sin 16 4 32 2 2ABCS ac B= ≤ × × =
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1 2F F、 1F
1
2 2AF B π
2
4AF BS =
24
7AB =
2 2
14 3
x y+ = 1 0x y− + = 1 0x y+ + =
2AF B
1
2
ce a
= =
2AF B π
2
4AF BS =
2AF B 4 8a =
2 2 2a b c= + 2a = 3b = 1c =
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )1 1,0F −
3AB =当直线 l 的斜率存在时，可设 l： ，
联立直线 l 与椭圆 C 可得： ，
， ，
，
解得 ，
所以直线 l 的方程为 或 .
【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆综合，及弦长公式的应用，属于中档题.
19.2020 年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生
在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女
生的人数之比为 11∶13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表示对线上教育
不满意.
（1）完成 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
满意 不满意 总计
男生
女生
合计 120
（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中抽
取 3 名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为 ，求出 的分布列及期望值.
参考公式：附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828
( )1y k x= +
( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
2
1 2 2
8
4 3
kx x
k
−+ =
+
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
−= +
( ) ( )2
22
1 2 1 2 2
12 1 241 4 4 3 7
k
AB k x x x x k
+
= + ⋅ + − = =+
1k = ±
1 0x y− + = 1 0x y+ + =
2 2×
ξ ξ
2
2 ( )
( )( )( )
n ad bcK a b a d c d
−= + + +
( )2P K k>
k【答案】（1）见解析，有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.（2）见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据男生与女生的人数之比为 11∶13，以及总人数 120，可求出男，女生总人数，即可
完成 列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出 的观测值，对照临界值表，即可判
断是否有把握；
（2）根据（1）可知，男生抽 3 人，女生抽 5 人，于是，离散型随机变量 的可能取值为
，并且 服从超几何分布，即可利用公式 ，求出各
概率，得到分布列，求出期望．
【详解】（1）因为男生人数为： ，所以女生人数为 ，
于是可完成 列联表，如下：
满意 不满意 总计
男生 30 25 55
女生 50 15 65
合计 80 40 120
根据列联表中的数据，得到 的观测值
，
所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.
（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知 的可能取值为 ，并且 服从
9
8
2 2× 2K
ξ
0,1,2,3 ξ ( ) ( )3
3 5
3
8
0,1,2,3
k kC CP k kC
ξ
−
= = =
11120 5511 13
× =+ 120 55 65− =
2 2×
2K
2120 (30 15 25 50) 960 6.713 6.63555 65 80 40 143k
× × − ×= = ≈ >× × ×
ξ 0,1,2,3 ξ超几何分布， ，即
,
.
可得分布列为
0 1 2 3
可得 .
【点睛】本题主要考查独立性检验基本思想的初步运用，以及超几何分布的应用，意在考查
学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．
20.如图，在三棱锥 中， 是边长为 2 正三角形， 是等腰直角三角形，
.
（I）证明：平面 平面 ABC；
（II）点 E 在 BD 上，若平面 ACE 把三棱锥 分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦值.
【答案】（I）证明见解析；（II）
【解析】
【分析】
（I）取 AC 的中点 O，连接 OD，OB，推导出 ， ，从而 为二面
的
( ) ( )3
3 5
3
8
0,1,2,3
k kC CP k kC
ξ
−
= = =
3 2 1
5 5 3
3 3
8 8
5 15( 0) , ( 1)28 28
C C CP PC C
ξ ξ= = = = = =
1 2 3
5 3 3
3 3
8 8
15 1( 2) , ( 3)56 56
C C CP PC C
ξ ξ= = = = = =
ξ
P 5
28
15
28
15
56
1
56
5 15 15 1 9( ) 0 1 2 328 28 56 56 8E ξ = × + × + × + × =
A BCD− ABC ADC
90 ,ADC AB BD°∠ = =
ADC ⊥
A BCD−
A CE D− −
7
7
OD AC⊥ BO AC⊥ DOB∠角 的平面角，由此即可证明平面 平面 ABC；
（II）以 O 为坐标原点，OA、OB、OD 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法
求面面角即可.
【详解】（I）取 AC 的中点 O，连接 OD，OB，
由题设可知， 是等腰直角三角形，且 ，从而 .
所以 ，
又由于 是正三角形，故 .
所以 为二面角 的平面角.
在 中， .
又 ，而 ，
所以 .
故 ，所以平面 平面 ABC.
（II）由题设及（I）知，OA，OB，OD 两两垂直，
以 O 为坐标原点， OA、OB、OD 分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 .
由题设知，三棱维 的体积为三棱锥 的体积的 .
D AC B− − ADC ⊥
ACD 90ADC∠ = ° AD DC=
OD AC⊥
ABC BO AC⊥
DOB∠ D AC B− −
Rt AOB 2 2 2BO AO AB+ =
AB BD= OD AO=
2 2 2 2 2 2BO DO BO AO AB BD+ = + = =
90DOB∠ = ° ADC ⊥
O xyz−
( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1A B C D−, , ， , , ， , , ， , ,
A BCE− A BCD− 1
2从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，即 E 为 DB 的中点，得
.
故 .
设 是平面 ACE 的法向量，则 ，即 ，
令 ，得 ，故 .
设 是平面 DCE 的法问量，
则 ，即 ,
令 ，得 ， ，
故 .
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
21.已知函数
（I）讨论函数 的单调性；
（II）当 时，证明 （其中 e 为自然对数的底数）
【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）证明见解析；
【解析】
1
2
3 10, ,2 2E
( ) ( ) 3 11, 0,1 , 2, 0, 0 , 1, ,2 2CD CA CE
→ → → = = =
( ), ,n x y z
→
= 0
0
n CA
n CE
⋅ =
⋅ =
2 0
3 1 02 2
x
x y z
= + + =
1y = 3z = − ( )0,1, 3n
→
= −
m
→
0
0
m CD
m CE
⋅ =
⋅ =
0
3 1 02 2
x z
x y z
+ = + + =
1x = 3
3y = − 1z = −
31, , 13m
→ = − −
7cos , 7
m nn m
n m
→ →
→ →
→ →
⋅= =
A CE D− − 7
7
( ) ( )21 2 1 2ln2f a a xx x x= + +−
( )f x
0a = ( ) 22 4f x e x− − ( )f x′
ln 2xe x> + ( ) ( )ln 2 0xg x e x x= − − >
( )f x ( )0, + ∞
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 1 2 1 222 1 0ax a x ax xf x ax a xx x x
′ − + + − −= − + + = = >
0a = ( ) ( ) ( ) ( )2 0 , 0 2 0; 2 0xf x x x f x x f xx
′ ′ ′−= > < < ⇒ > > ⇒ <
0a <
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2
0 , 0 2 0; 2 0
a x xaf x x x f x x f xx
′ ′ ′
− − = > < < ⇒ > > ⇒ <
10 2a< < ( )' 0 0 2f x x> ⇒ < < 1x a
> ( ) 1' 0 2f x x a
< ⇒ < <
1
2a = ( ) ( )' 0 ' 0f x f x≥ ⇒ ≥
1
2a > ( ) 1' 0 0f x x a
> ⇒ < < 2x > ( ) 1' 0f x xa
< ⇒ < < 2
0a ≤ ( )f x ( )0,2 ( )2, + ∞
10 2a< < ( )f x ( )0,2 1 ,a
+ ∞
12, a
1
2a = ( )f x ( )0, + ∞
1
2a > ( )f x 10, a
( )2, + ∞ 1 , 2a
0a = ( ) 2 4xf x e x< − − ln 2xe x> +
( ) ( )ln 2 0xg x e x x= − − > ( ) 1' xg x e x
= −设 ，则 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
∴当 时， 取得唯一 极小值，也是最小值.
的最小值是 成立.
故 成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查分类讨论思想及运算求解能力,推
理论证能力，属于难题.
（二）选考题：共 10 分考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做
的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
22.在直角坐标系 xOy 中曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 过 A，B 两点，且这两点的极坐标分别为
.
（I）求 C 普通方程和 的直角坐标方程；
（II）若 M 为曲线 C 上一动点，求点 M 到直线 l 的最小距离.
【答案】（I） ； （II）
【解析】
【分析】
(I) 由参数方程消参得普通方程，利用转换公式把极坐标对应点化为直角坐标表示即可求解；
(II) 利用点到直线的距离公式，三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质即可求解.
【详解】（I）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），
的
的
( )0' 0g x = ( )0
0
0
1 0 1xe xx
= < <
( )00,x x∈ ( )' 0g x < ( )g x
( )0 ,x x∈ + ∞ ( )' 0g x > ( )g x
0x x= ( )g x
( )g x ( ) 0
00 0 0
0 0
1 1 1ln 2 ln 2 2 0x
xg x e x xx e x
= − − = − − = + − >
( ) 2 4xf x e x< − −
2
3sin
x cos
y
α
α
= =
α
( )2 7, 0 , 2 7, 2A B
π
l
2 2
14 3
x y+ = 2 7 0x y+ − = 14
2
2
3sin
x cos
y
α
α
= =
α消去参数可得： ，
所以曲线 C 的普通方程为 .
因为 A，B 两点的极坐标 转换为直角坐标得： ，
所以直线 l 的直角坐标方程为 .
（II）设点 ，则点 M 到直线 l 的距离为
，
所以点 M 到直线 l 的最小距离为 .
【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离
公式三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质，属于中档题.
23.已知 ， ，且
（I）若 恒成立，求 x 的取值范围；
（II）证明： .
【答案】（I） （II）证明见解析
【解析】
【分析】
(I)配凑均值不等式的形式求 的最小值，再由恒成立转化成关于 x 的不等式，求解即可；
(II) 展开变形利用均值不等式即可证明.
【详解】（I）由 ，得 .
故 .
2 2
14 3
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
( )2 7, 0 , 2 7, 2A B
π
(2 7,0), (0,2 7)A B
2 7 0x y+ − =
( )2cos , 3sinM θ θ
( )2cos 3sin 2 7 7 sin 2 7 7 2 7 14
22 2 2
d
θ θ θ ϕ+ − + − −
= = ≥ =
14
2
0a > 0b > 2a b+ =
11 4 2xa b
+ ≥ −
( )3 31 1 4a ba b
+ + ≥
7 11
4 4x− ≤ ≤
1 4
a b
+
2a b+ = ( )1 12 a b+ =
( )1 4 1 1 4 1 4 1 4 91 4 1 4 22 2 2 2
b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + + ≥ + + ⋅ = 当且仅当 ，即 时，等号成立.
即 的最小值为 .
因为 恒成立，
所以 .
解得： .
（II）
，当且仅当 时等号成立.
【点睛】本题主要考查了均值不等式的应用，恒成立转化为求最值，解不等式，不等式的证
明，属于中档题.
2b a= 2 4,3 3a b= =
1 4
a b
+ 9
2
1 4 2 1xa b
+ ≥ −
9 2 12 x≥ −
7 11
4 4x− ≤ ≤
( )3 31 1 a ba b
+ +
3 3
2 2 b aa b a b
= + + +
( ) 3 3
2 2b aa b aba b
= + + + −
( ) ( )3 3
2 22 2 4b aa b ab a ba b
≥ + + ⋅ − = + = 1a b= =
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