咸阳市 2020 年高考模拟检测（二）
数学（理科）试题
注意事项：
1.本试卷共 4 页满分 150 分，时间 120 分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、
准考证号；
3.第Ⅰ卷选择题必须使用 2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨
水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接用补集，交集的概念运算即可.
【详解】 ， ， ，则 .
故选：A.
【点睛】本题考查交集，补集的运算，是基础题.
2.已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
U = R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= > − ( )∩ =UC A B
( ]1,0− ( )1,1− ( )1,− +∞ [ )0,1
{ }| 0A x x= > { }| 1B x x= > − { }| 0UC A x x= ≤ ( ) ( ]1,0UC A B = −
4
1z i
= + i z
2i 2− 2i−【详解】由题意得: ，
的虚部为 .
故选：C.
【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.
3.已知向量 , ,向量 在向量 上的投影等于（ ）
A. B. 9 C. −3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出 以及 的值,即可求出向量 在向量 上的投影.
【详解】解:由题意知, ,
则
故选:D.
【点睛】本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量 在
另一个向量 的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量
积的运算可知, .
4.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角
形的数，如 1，3，6，10，15，，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛
积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1 个球，下
一层 3 个球，再下一层 6 个球，）若一“落一形”三角锥垛有 10 层，则该堆第 10 层球的个数
为（ ）.
4 4(1 ) 4(1 ) 2 21 (1 )(1 ) 2
i iz ii i i
− −= = = = −+ + −
∴ z 2−
( )1,3a = ( )3,2b = a b
9 10
10
9 13
13
b a b⋅ a b
2 23 2 13b = + = 1 3 3 2 9a b⋅ = × + × =
9 13cos , 13
a ba a b
b
⋅= =
a
b cos ,a a b
cos , a ba a b
b
⋅=
A. 66 B. 55 C. 45 D. 38
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形数的特征可得通项公式 ,代入 可得选项.
【详解】设数列 为数列 ，
则
所以 即 ，
所以该堆第 10 层球的个数为 ，
故选：B.
【点睛】本题考查以数学文化为背景 等差数列的通项的求法，找出数列的项之间的关系是
解决本题的关键，属于基础题.
5.已知一组数据的茎叶图如图所示．下列说法错误的是（ ）
A. 该组数据的极差为 12 B. 该组数据的中位数为 21
C. 该组数据的平均数为 21 D. 该组数据的方差为 11
【答案】D
【解析】
【分析】
通过茎叶图计算出极差、中位数、平均数和方差，由此确定正确选项.
【详解】根据茎叶图可知，数据为 ，所以：
极差 ，A 选项正确.
的
为
2
2n
n na
+= 10n =
1,3,6,10,15… { }na
1 2 1 3 2 11 2 3 n na a a a a a a n−= − = − = − =， ， ， ， ，
( )+11+2+3+ + 2n
n na n= = ，
2
2n
n na
+=
2
10
10 10 =552a
+=
14,18,20,20,21,22,23,25,26
26 14 12− =中位数为 ，B 选项正确.
平均数为 ，C 选项正确.
方差为
，D 选项错误.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据茎叶图计算极差、中位数、平均数和方差，属于基础题.
6.已知 ，则下列不等式不成立的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式
不成立的选项.
【详解】依题意 ，由于 为定义域上的减函数，故 ，故 A 选
项不等式成立.由于 为定义域上的增函数，故 ，则 ，所以 B
选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于 ，故 ，所以 C 选项不等式成立.
综上所述，本小题选 B.
【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.
7.已知 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 ， ，则
“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
21
14 18 20 20 21 22 23 25 26 219
+ + + + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 14 21 18 21 20 21 2 21 21 22 21 23 21 25 21 26 219
− + − + − × + − + − + − + − + −
[ ]1 10649 9 2 0 1 4 16 25 119 9
= + + + + + + + = ≠
0 1a b< < <
1 1( ) ( )2 2
a b> ln lna b> 1 1
a b
>
1 1
ln lna b
>
0 1a b< < < 1
2
x
y =
1 1( ) ( )2 2
a b>
lny x= ln ln 0a b< < 1 1
ln lna b
>
0 1a b< < < 1 1
a b
>
a β⊂ bα β =
//a α / /a b【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断 与 的关系即可得到答案.
【详解】若 ，根据线面平行的性质定理，可得 ；
若 ，根据线面平行的判定定理，可得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
8. 的展开式中 项的系数为（ ）.
A. 24 B. 18 C. 12 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由 展开式中含 的项为： ，计算可得选项.
【 详 解 】 展 开 式 中 含 的 项 为 ：
，
所以 的展开式中 项的系数为 18，
故选：B.
【点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，关键在于理解二项式展开式的意义，属
于基础题.
9.若 ，且 ，则 的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式和正弦的和角公式将原式化简得 ，再将其两边
//a α //bα
//a α //a b
//a b //a α
3(2 1)( 2)x x− + 2x
3(2 1)( 2)x x− + 2x ( )1 2 2 2
3 32 2 1 2x C x C x⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅
3(2 1)( 2)x x− + 2x
( )1 2 2 2 2 2 2
3 32 2 1 2 24 6 18x C x C x x x x⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = − =
3(2 1)( 2)x x− + 2x
0, 2
πα ∈ 2cos2 sin 4
πα α = + sin 2α
1
8
3
8
1
2
7
8
22(cos sin ) 2
α α− =平方和运用正弦的二倍角公式可得选项.
【 详 解 】 因 为 ， ，
，
， ， ，
， ，
故选：D.
【点睛】本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，
关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.
10.抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐
近线，则 的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得
选项.
【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，双曲线 的右焦点坐标为
,两焦点的连线的方程为 ，
又双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，两直线垂直的条件，属于基础题.
11.将函数 的图象向右平移 个单位长度单位后得函数
2cos2 sin 4
πα α = + ( )2 2 22 cos sin (sin cos )2
α α α α∴ − = +
0, sin cos 02
πα α α ∈ ∴ + > ，
22(cos sin ) 2
α α∴ − = 2cos sin 4
α α∴ − = 2 2 1cos 2sin cos sin 8
α α α α∴ − + =
11 sin 2 8
α∴ − = 7sin 2 8
α∴ =
2 2 ( 0)x py p= >
2 2
116 9
x y− =
p
40
3
5
2
20
3
8 7
3
2 2 ( 0)x py p= > 0, 2
p
2 2
116 9
x y− =
(5,0) ( 5)10
py x= − −
3
4y x=± 3 110 4
p− × = − 40
3p =
( )cos 2 2 2y x
π πϕ ϕ = + − <
( )( )y f f x=
6 7 9 10
( )f x
5x ≤ ( ) ( )( )2' 2 3 1 3f x x x x x= − − = + −
( ), 1−∞ − ( )1,3− ( )3,5
( )5,+∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 0, 2 0, 0 0, 1 0, 4 0, 5 0f f f f f f− − > <
( ) 0f t = ( ) ( ) ( )1 2 33, 2 , 0,1 , 4,5t t t∈ − − ∈ ∈
( ) ( )1,2,3if x t i= =【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分类讨论的数学思想，函数的零点问题等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为________.
【答案】6
【解析】
【分析】
先作出不等式组所表示的可行域，再运用目标函数的几何意义得出最值.
【详解】由不等式组作出可行域如下图所示，由 ，得 ，由图示可知直线
过点 C 时， 取得最大值，
由 得 ，所以 的最大值为 ，
故答案为：6.
x y
2 0
3 3 0
3 0
x y
x y
x
− ≥
+ − ≥
− ≤
2z x y= −
2z x y= − 2y x z= −
2y x z= − 2z x y= −
3 3 0
3 0
x y
x
+ − =
− =
( )3,0C 2z x y= − 2 2 3 0 6z x y= − = × − =【点睛】本题考查不等式组所表示的可行域和线性目标函数的最值求解，正确理解目标函数
的几何意义是解决本题的关键，属于基础题.
14.已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则
________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知可得， 是函数 的一个周期，所以 ，再由 ， 可求得
，可得答案.
【 详 解 】 由 已 知 可 得 ， ， 则 有
，则 是函数 的一个周期，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档
题.
15.在 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，
，则 的面积为________.
R ( )f x 3( ) 2f x f x = − + ( 2) 3f − = (2020)f =
3 ( )f x (2020) (1)f f= ( 2) 3f − =
( )1 3f =
3 ( )2f x f x + = −
3 3 3( 3) + + ( )2 2 2f x f x f x f x + = = − + = 3 ( )f x
(2020) (673 3 1) (1)f f f= × + =
( 2) 3f − = ( ) ( )1 2 3f f= − =
(2020) 3f =
ABC A B C a b c 1a = 2b =
2sin sin cos sinA B C C= ABC【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件和正弦定理可得 ，又由余弦定理可得 ，可求得 c，得出
是直角三角形，可求得其面积.
【详解】由已知条件 和正弦定理得 ，又根据余弦定理得
， ，
又 ， 是直角三角形， ，
故答案为： .
【点睛】本题考查运用正弦定理和余弦定理进行三角形的边角互转，关键在于正确选择和运
用相应的公式，属于中档题.
16.已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球 的表面上，若球 的表面积为 ，则该
三棱柱的体积为________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过球的内接体,说明几何体的中心是球的球心,由球的表面积求出球的半径,设出三棱柱的底
面边长,通过解直角三角形求得棱长,然后由棱柱的体积公式可得答案.
【详解】如图,因为直三棱柱 的所有棱长都相等,6 个顶点都在球 O 的球面上,所
以三棱柱为正三棱柱,且其中心为球的球心,
设球心为 O,再设球的半径为 r,由球 O 的表面积为 ,得 ，
设三棱柱的底面边长为 a,则上底面所在圆的半径为 ,且球心 O 到上底面中心 H 的距离
,
1
2
2cosab c c= 2 2 23a b c+ =
ABC∆
2sin sin cos sinA B C C= 2cosab c c=
2 2 2
2
2
a b cab cab
+ −× = 2 2 23a b c∴ + =
1, 2 1a b c= = ∴ = ， ABC∆∴ 1 1 11 12 2 2ABCS a c∴ = × × = × × =
1
2
O O 56π
36 2
1 1 1ABC A B C−
56π 24 56 14r rπ π= ∴ =，
3
3 a
2
aOH =,即 , .则三棱柱的底面积为
.
.
故答案为: .
【点睛】本题考查球的内接正棱柱与球的关系,关键在于求得球心的位置和球的半径,考查计算
能力,属于中档题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.已知等差数列 满足 ， ，其前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式 及 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列的通项公式和性质求出首项、公差,即可得到通项公式,
(2) ,求得通项,利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出.
【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得： ， ，
22
2 3
2 3
ar a
∴ = +
7
12r a= 2 6a∴ =
23 (2 ) 34 6 6S = × =
1 1 1
6 3 2 366 2ABC A B CV −∴ = × =
36 2
{ }na 2 3a = 4 7 20a a+ = n nS
{ }na na nS
2
n
n n
ab = { }nb n nT
2 1na n= − 2
nS n= 2 33 2n n
nT
+= −
2
n
n n
ab =
{ }na d 1
1
3
2 9 20
a d
a d
+ =
+ = 1 1a = 2d =∴ ， ，
∴ ， ，
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，①
①式两边同时乘 ，得 ，②
所以①-②可得， ，
，即 ，
所以 .
【点睛】本题考查等差数列的通项和前 n 项和公式的求解，以及运用“错位相减法”求数列
的和，属于中档题.
18.已知四棱锥 中，底面 为直角梯形， 平面 ，且 ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， .根据平面几何知识和线面垂直的判定可
证得 平面 ，再证得 ，可证明平面 平面 .
（2）由线面角的定义可得 为 与平面 所成的角，再以点 为坐标原点，分
( )1+2 1 2 1na n n= − = − ( ) 21+2 1
2n
n nS n
−= =
2 1na n= − 2
nS n=
2
n
n n
ab = ( )2 1 12 12 2
n
n n
nb n
− = = − ⋅
1 2 3 2 3
1 3 5 2 1+ + + + 2 2 2 2n n n
nT b b b b
−= = + + +…+
1
2 2 3 4 1
1 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2n n
nT +
−= + + +…
2 3 1
1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + + − …
2 3 1
1 1 1 1 1 1 2 122 2 2 2 2 2 2n n n
nT +
− = + + + − − … 1
1 1 1 2 12 12 2 2 2n n n
nT +
− = − − −
2 33 2n n
nT
+= −
P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD //AB CD
2 2CD AB AD= = AD CD⊥
PBC ⊥ PBD
PB ABCD 45° B PC D− −
1
2
CD E AE BE BD
AE ⊥ PBD //BC AE PBC ⊥ PBD
PBD∠ PB ABCD D别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面
和平面 的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角 的余弦值.
【详解】解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， .
∵ ，∴ .
又∵ ， ，∴四边形 为正方形，则 .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
∵ ，∴ 平面 .
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∴ 平面 .又 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）∵ 平面 ，∴ 为 与平面 所成的角，
即 ，则 .
设 ，则 ， ，
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
∵ 平面 ，∴平面 的一个法向量 .
设平面 的法向量 ，∵ ， ，
则 ，取 ，则 .
设二面角 的平面角为 ，∴ .
由图可知二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查的知识点是空间中的面面垂直关系,运用空间向量求解二面角大小.考查空间
DA DC DP x y z
PDC PBC D PC B− −
CD E AE BE BD
2CD AB= AB DE=
AB AD= AD DC⊥ ABED AE BD⊥
PD ⊥ ABCD AE ⊂ ABCD PD AE⊥
PD BD D∩ = AE ⊥ PBD
AB EC= //AB EC ABCE //BC AE
BC ⊥ PBD BC ⊂ PBC
PBC ⊥ PBD
PD ⊥ ABCD PBD∠ PB ABCD
45PBD∠ = ° PD BD=
1AD = 1AB = 2CD = 2PD BD= =
D DA DC DP x y z
(0,0,0)D (1,0,0)A (0,0, 2)P (1,1,0)B (0,2,0)C
DA ⊥ PDC PDC (1,0,0)DA =
PBC ( , , )m x y z= (1,1, 2)PB = −uuur
( 1,1,0)BC = −
2 0
0
PB m x y z
BC m x y
⋅ = + − = ⋅ = − + =
1x = (1,1, 2)m =
D PC B− − θ | | 1 1cos 2| | | | 2 1 1
m DA
m DA
θ ⋅= = =
⋅ + +
uuurr
uuurr
D PC B− − D PC B− − 1
2想象、推理论证、计算能力，属于中档题.
19.已知某校 6 个学生的数学和物理成绩如下表：
学生的编号 1 2 3 4 5 6
数学 89 87 79 81 78 90
物理 79 75 77 73 72 74
（1）若在本次考试中，规定数学在 80 分以上（包括 80 分）且物理在 75 分以上（包括 75 分）
的学生为理科小能手.从这 6 个学生中抽出 2 个学生，设 表示理科小能手的人数，求 的
分布列和数学期望；
（2）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在
上述表格是正确的前提下，用 表示数学成绩，用 表示物理成绩，求 与 的回归方程.
参考数据和公式： ，其中 ， .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意得 1 号学生、2 号学生为理科小能手,从而得到 X 的可能取值为 0，1，2，分别求
出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望；
（2）利用最小二乘法分别求出 ， ，由此能求出 y 与 x 的回归直线方程．
【详解】（1）由题意得 1 号学生、2 号学生为理科小能手.
的可能取值为：0,1,2
P（X＝0） ，
P（X＝1） ，
i
ix
iy
X X
x y y x
ˆˆ ˆy bx a= + 1 1
22 2
1 1
( )( )
ˆ
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
= =
− − − ⋅
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆa y bx= −
1 291
5 5y x= +
ˆb ˆa
X
2
4
2
6
2
5
C
C
= =
1 1
2 4
2
6
8
15
C C
C
= =P（X＝2） ，
的分布列为
0 1 2
（2） ，
xiyi＝37828， xi2＝42476，
∴ （ 6 ）÷（ ）
，
75﹣ ×84＝ ，
回归方程为
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查回归直线方程的求法，
是中档题，解题时要认真审题，注意最小二乘法的合理运用．
20.已知椭圆 过点 ，且其离心率为 ，过坐标原点 作两条互
相垂直的射线与椭圆 分别相交于 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请
说明理由.
【答案】（1） （2）存在；定圆
2
2
2
6
1
15
C
C
= =
X
X
P
2
5
8
15
1
15
2 8 1 2( ) 0 +1 +2 =5 15 15 3E X = × × ×
84, 75x y= =
6
1i=
∑ 6
1i=
∑
ˆb =
6
1
i i
i
x y
=
−∑ xy
6
2 2
1
6i
n
x x
=
−∑
2
37828 6 84 75
42476 6 84
− × ×= − ×
1
5
=
ˆˆa y bx= − = 1
5
291
5
1 291
5 5y x= +
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 31, 2
1
2 O
C M N
C
MN
2 2
14 3
x y+ = 2 2 12
7x y+ =【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的离心率和椭圆经过的点的坐标,代入椭圆方程中,求出 a、b,即可得到椭圆 C 的方
程.
(2)根据条件，分直线 的斜率不存在和直线的斜率不存在两种情况分别求出定圆的方程，,
当直线 的斜率存在时,设直线方程为 ,联立方程组,令 ，,
利用韦达定理,结合 .推出 ,利用直线 与圆相切,求出圆的
半径,得到圆的方程,即可得到结果.
【详解】解：（1）椭圆 经过点 ，∴ ，又∵ ，解之得 ，
.
所以椭圆 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率不存在时，由对称性，设 ， .
∵ ， 在椭圆 上，∴ ，∴ .
∴ 到直线 的距离为 ，所以 .
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
由 得 .
设 ， ，则 ， .
∵ ，∴ ，
∴ .
∴ ，即 .
MN
MN y kx b= + ( ) ( )1 1 2 2, ,M x y N x y，
1 2 1 2 0x x y y+ = ( )2 27 12 1m k= + MN
C 31, 2
2 2
1 9 14a b
+ = 1
2
c
a
= 2 4a =
2 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
MN ( )0 0,M x x ( )0 0,N x x−
M N C
2 2
0 0 14 3
x x+ = 2
0
12
7x =
O MN 0
2 21
7d x= = 2 2 12
7x y+ =
MN MN y kx m= +
2 2
14 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2
8
3 4
kmx x k
+ = − +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +
OM ON⊥ 1 2 1 2 0x x y y+ =
( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 0x x kx m kx m k x x km x x m+ + + = + + + + =
( ) 2 2 2
2 2
2 2
4 12 81 03 4 3 4
m k mk mk k
−+ ⋅ − + =+ +
( )2 27 12 1m k= +∴ 到直线 的距离为 ，
故存 定圆 与直线 总相切.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,圆与椭圆的以及直线的综合应用,考查分类讨论思想、转
化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.
21.已知函数 （ 且 ）.
（1）讨论 的单调性；
（2）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可;
(2) 由 题 意 知 对 任 意 ， 恒 成 立 ，
，又由（1）可知， 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增.所以只需： ，设 ，对其求导可得
函数的单调性，从而可求得实数 的取值范围.
【详解】解：（1）由 .令 得 ，
当 时， 时， ， 单调递减； 时， ，
单调递增.
当 时， 时， ， 单调递减； 时， ，
单调递增.
综上所述， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）由题意知对任意 ，
恒成立， ，
在
O MN 2
| | 12 2 21
7 71
md
k
= = =
+
2 2 12
7x y+ = MN
( ) 1axf x e ax= − − a R∈ 0a ≠
( )f x
1 2, [ 1,1]x x ∈ − ( ) ( ) 2
1 2 3f x f x e− ≤ − a
[ 2,0) (0,2]−
1 2, [ 1,1]x x − ( ) ( ) 2
1 2 3f x f x e− ≤ −
2
max min( ) ( ) 3f x f x e⇔ − ≤ − ( )f x [ 1,0]− [0,1]
2
2
e e 2 0.(1)
e e 2 0.(2)
a
a
a
a−
− − + ≤
+ − + ≤
2( ) 2ah a e a e= − − +
a
( )' ( ) 1ax axf x ae a a e= − = − ' ( ) 0f x = ， 0x =
0a < ( , 0)x ∈ −∞ ' ( ) 0f x < ( )f x (0, )x∈ +∞ ' ( ) 0f x >
( )f x
0a > ( , 0)x ∈ −∞ ' ( ) 0f x < ( )f x (0, )x∈ +∞ ' ( ) 0 f x >
( )f x
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
1 2, [ 1,1]x x −
( ) ( ) 2
1 2 3f x f x e− ≤ − 2
max min( ) ( ) 3f x f x e⇔ − ≤ −又由（1）知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.所以只需：
，
设 .
∵ ，∴ 在区间 上单调递增；在区间 上单调递减.
注意到 ，所以，当 不等式（1）成立；当 时不等式（1）不成立.
又 ，∴当 不等式（1）也成立，
所以， 时不等式（1）成立.此时 ，不等式（2）也成立，而当 时，
，由函数 的性质知，不等式（2）不成立.
综上所述，不等式组的解为 .
又∵ ，∴实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查讨论函数的单调性，构造函数证明不等式，关键在于从所证的不等式出发，
构造合适的函数，运用求导运算，分析函数的单调性，得出函数的最值或零点，属于难度题.
（二）选考题：共 10 分，考生从 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所
做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线
.
（1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 ， 的极坐标方程；
（2）若射线( 与 的异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由曲线 ： ( 为参数)化为普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化
( )f x [ 1,0]− [0,1]
2 2 2
2 2 2
(1) (0) e 3 e 1 e 3 e e 2 0.(1)
( 1) (0) e 3 e 1 e 3 e e 2 0.(2)
a a
a a
f f a a
f f a a− −
− ≤ − − − ≤ − − − + ≤ ⇔ ⇔ − − ≤ − + − ≤ − + − + ≤
2( ) 2ah a e a e= − − +
' ( ) 1ah a e= − ( )h a (0, )+∞ ( ,0)−∞
(2) 0h = 0 2a≤ ≤ 2a >
2 2 2 2( 2) 2 2 4 0h e e e e− −− = + − + = + − < 2 0a− ≤ <
2 2a− ≤ ≤ 2 2a− ≤ ≤ 2a < −
2a− > ( )h a
2 2a− ≤ ≤
0a ≠ a [ 2,0) (0,2]−
xOy 1C 1
1 cos: sin
xC y
α
α
= +
=
α
2
2
2 : 12
xC y+ =
O x 1C 2C
( 0)6
πθ ρ= ≥ 1C A 2C B AB
2cosρ θ= ( )2 2 2cos 2sin 2ρ θ θ+ = 2 103 5-
1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α公式，即可求得 ， 的极坐标方程；
（2）分别求得点 对应的的极径 ，根据极经的几何意义，即可求解.
【详解】（1）曲线 ： ( 为参数)可化为普通方程： ，
由 可得曲线 的极坐标方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 .
（2）射线 与曲线 的交点 的极径为 ，
射线 与曲线 的交点 的极径满足 ，解得 ，
所以
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，
以及极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23.已知关于 的不等式 有解，记实数 的最大值为 .
（1）求 的值；
（2）正数 满足 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用绝对值不等式可求得 ，所以 ，解这个不等
式可求得 .（2）由（1）得 ，将此式乘以要证明不等式的左边，化简后
利用基本不等式可求得最小值为 .
试题解析：（1） ,
若不等式 有解，
则满足 ，解得 ，
1C 2C
,A B 21
2
53, 10p r ==
1C 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α ( )2 21 1x y− + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 1C 2cosρ θ=
2
2
2 : 12
xC y+ = ( )2 2 2cos 2sin 2ρ θ θ+ =
( 0)6
πθ ρ= ≥ 1C A 1 2 36cos pr = =
( 0)6
πθ ρ= ≥ 2C B 2 21 26sin pr æ öç ÷ç ÷è ø
+ = 2
2 10
5r =
1 2
2 103 5AB r r= - = -
x 2 3 1x x m− − + ≥ + m M
M
a b c， ， 2a b c M+ + = 1 1 1a b b c
+ ≥+ +
4M =
2 3 5x x− − + ≤ 1 5m + ≤
4M = 2 14
a b c+ + =
1
( ) ( )2 3 2 3 5x x x x− − + ≤ − − + =
2 3 1x x m− − + ≥ +
1 5m + ≤ 6 4m− ≤ ≤∴ .
（2）由（1）知正数 满足 ，
∴
.当且仅当 ， 时，取等号.
4M =
a b c， ， 2 4a b c+ + =
( ) ( )1 1 1 1 1
4 a b b ca b b c a b b c
+ = + + + + + + + +
1 24
b c a b
a b b c
+ + = + + + +
1 2 24
b c a b
a b b c
+ +≥ + ⋅ + +
1= a c= 2a b+ =
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