陕西省2020届高三文科数学下学期第三次模拟试题（解析版）

陕西省 2020 届高三文科数学下学期第三次模拟试题（解析 版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 x＞0，则 2x＞1 的否命题是（ ） A. 若 x＞0，则 2x≤1 B. 若 x≤0，则 2x＞1 C. 若 x≤0，则 2x≤1 D. 若 2x＞1，则 x＞0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据四种命题之间的关系，直接写出否命题即可. 【详解】命题“若 x＞0，则 2x＞1”的否命题是：“若 x≤0，则 2x≤1”， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了四种命题之间的关系，是基本知识的考查． 2.已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 ，根据交集的定义，即可求解. 【详解】因为 ， ， 所以 ，所以 中元素的个数为 3. 故选:B. 【点睛】本题考查集合的基本运算，化简是解题的关键，属于基础题. 3.执行如图所示的程序框图，若输出的 为 4，则输入的 应为( ) 2 1| 4A x y x  = = −  { | 2 3, }B x x x= − ≤ < ∈Z A B ,A B 2 1| { | 2}4A x y x xx  = = = ≠ ± −  { | 2 3, } { 2, 1,0,1,2}B x x x= − ≤ < ∈ = − −Z { 1,0,1}A B∩ = − A B S x A. －2 B. 16 C. －2 或 8 D. －2 或 16 【答案】D 【解析】 试题分析：程序框图执行的是函数 的求值，所以当 时可得到 或 考点：程序框图及分段函数求值 4.已知向量 ， ，且 ，则实数 的值为 A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量共线的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为 ， ，且 ， 所以， 解得 ，故选 C. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行， 利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答. ( ) ( )2 2 1{log 1 x xS x x − ≤= > 4S = 2x = − 16 ( )3,2a = − ( )1,b λ= − / /a b  λ 1 3 2 3 ( )3,2a = − ( )1,b λ= − / /a b 3 2 1 0λ− − ×− = ， 2 3 λ = 1 2 2 1 0x y x y− = 1 2 1 2 0x x y y+ =5.已知 ， ，则 对应的点 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】 由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点 的轨迹. 【详解】 的几何意义为复数 对应的点 到点 和点 的距离 之和为 ，即 ，另一方面，由三角不等式得 . 当且仅当点 在线段 上时，等号成立. 因此，点 的轨迹为线段. 故选 D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题 的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6.设不等式组 ，表示的平面区域为 ，若直线 上存在 内的点，则实 数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 z C∈ 2z i z i+ + − = z Z Z 2z i z i+ + − = z Z ( )0, 1A − ( )0,1B 2 ZA ZB AB+ = ZA ZB AB+ ≥ Z AB Z 1 { 0 4 x x y x y ≥ − ≤ + ≤ M 2y kx= − M k [ ]1,3 ( ] [ ),1 3,−∞ ∪ +∞ [ ]2,5 ( ] [ ),2 5,−∞ ∪ +∞作出不等式组 表示的可行域图，如图，因为函数 的图象是过点 ，且斜率为 的直线 ，由图知，当直线 过点 时， 取最大值 ， 当直线 过点 时， 取最小值 ，故实数 的取值范围是 ,故选 C. 7.若某几何体的三视图如下所示，其中正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形，则该几何体的 体积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 1 { 0 4 x x y x y ≥ − ≤ + ≤ 2y kx= − ( )0, 2A − k l l ( )1,3B k 3 2 51 0 + =− l ( )2,2C k 2 2 22 0 + =− k [ ]2,5 8 3 2 3 3 2 5 2利用三视图，以正方体为载体还原几何体的直观图为四棱锥（如图），利用分割法，将四棱锥 分解成棱柱的体积减去两个小棱锥计算体积. 【详解】 由三视图可知， 几何体为不规则放置的四棱锥 ，是正方体的一部分，如图， 因为正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形， 所以图中正方体 棱长为 2， 四棱锥 可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体， 所以几何体的体积 ，故选 A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于 难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻 译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要 特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图 问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 8.若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求 ， 根 据 题 意 可 知 在 上 恒 成 立 ， 可 设 ，法一：讨论 的取值，从而判断 是否在 上恒成立： 时，容易求出 ，显然满足 ； 时，得到关于 m 的不等式组，这 样求出 m 的范围，和前面求出的 m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出 m 的范围即 可． 的 P ABCD− P ABCD− 1 1 1 82 2 2 2 2 2 12 3 2 3 × × × − × × × × × = ( ) 3 22 3 6f x x mx x= − + ( )1,+∞ m ( ],1−∞ ( ),1−∞ ( ],2−∞ ( ),2−∞ ( ) 2f' x 6x 6mx 6= − + ( )f' x 0≥ ( )1, ∞+ ( ) 2g x 6x 6mx 6= − +  ( )g x 0≥ ( )1, ∞+ 0≤ 2 m 2− ≤ ≤ ( )g x 0≥ 0>详解】 ； 由已知条件知 时， 恒成立； 设 ，则 在 上恒成立； 法一： 若 ，即 ，满足 在 上恒成立； 若 ，即 ，或 ， 则需： 解得 ； ， 综上得 ， 实数 m 的取值范围是 ； 法二：问题转化为 在 恒成立， 而函数 ， 故 ； 故选 C． 【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式 的 取值情况和二次函数取值的关系． 9.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重 合.已知圆台的较小底面圆的半径为 1，圆锥与圆台的高分别为 和 3，则此组合体的外接 球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【 ( ) 2f' x 6x 6mx 6= − + ( )x 1, ∞∈ + ( )f' x 0≥ ( ) 2g x 6x 6mx 6= − + ( )g x 0≥ ( )1, ∞+ ( )1 ( )236 m 4 0= − ≤ 2 m 2− ≤ ≤ ( )g x 0≥ ( )1, ∞+ ( )2 ( )236 m 4 0= − > m 2< − m 2> ( ) m 12 1 6 6 0g m  ( ) 0g x′ > 1x = ( )g x ( )g x∴ (1) 2g e= + x ( )g x +∞ x +∞ ( )g x +∞ 2k e∴ > + y k= ( )y g x= 2 xek x = + k ( )2,e + +∞ k 2 3 ( 0)( ) ( 2) ( 0) x x xf x f x x  + ≥=  + 2 2 2OA OB AB+ < 2 2 1.4 3 x y+ = 1 5 2 + ∞ M N， MNF∆ 3 2OF MN= 3 21 2 3 b= ⋅ 3b＝ 2 2 1 4a b= + = 2 2 14 3 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y AB x 2 2 2 2 2 22 2 22 , 4 ( 1),OA OB a AB a a OA OB AB+ = = > + > ∴ < = − 2 1 0a a− − > 1 5 2a +> 1 5 2a −< 1 5 2a +> a 1 5( , )2 + +∞ 2 π 2 π ( )1y e x eπ ππ= − + − 2m π≥ − ( )g x ,2x π π ∈   ( ) ( ) maxm g x x f x≥ − ⋅   ( )h x ( ) ( ) cos sinxg x xf x e x x x= − = − ,2x π π ∈   m ( ) ( ) ( ) cos sinxH x g x xf x e x x x= − = − 0, 2x π ∈   0, 4x π ∈   ,4 2x π π ∈  所以曲线 y＝g（x）在点（π，g（π））处的切线方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即 y＝﹣eπx+ （π﹣1）eπ， （2）若对任意푥∈[ ，휋]，不等式 g（x）≤x•f（x）+m 恒成立， 即对任意푥∈[ ，휋]，不等式 m≥g（x）﹣x•f（x）恒成立， 只需要 m≥[g（x）﹣x•f（x）]max，x∈[ ，π] 设 h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[ ，π] h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，x∈[ ，π]， 所以（ex﹣x）cosx≤0，（ex+1）sinx≥0， 故 h′（x）≤0， 故 h（x）在[ ，π]上单调递减， 故 h（x）max＝h（ ） ， 所以 m . （3）设 H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excosx﹣xsinx，x∈[0， ]， 当 x∈（0， ]时， 设 φ（x）＝ex﹣x，x∈（0， ]时， 则 φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以 φ（x）在[0， ]上单调递增， 所以 x∈（0， ]时，φ（x）＞φ（0）＝1， 所以 ex＞x＞0， 又 x∈（0， ]时，cosx≥sinx＞0， 所以 excosx＞xsinx， 即 g（x）＞xf（x），即 H（x）＞0， 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π= − 2 π≥ − 2 π 4 π 4 π 4 π 4 π 4 π故函数 H（x） （0， ]上没有零点. 当 x∈（ ， ]时， H′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0， 故 H（x）在（ ， ]上至多有一个零点， 又 H（ ） （e ）＞0，H（ ） 0， 且函数 H（x）在（ ， ]上是连续不断的， 故函数 H（x）在（ ， ]上有且只有一个零点. 当푥∈[0， ]时，方程 g（x）＝x•f（x）的解有一个. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的切线方程，单调性，零点问题，考查了学生分析 问题解决问题的能力，属于中档题. 四、请考生在 22，23 题中任选一题作答，并在答题卡上涂抹题号.如果多做，则按 所做的第一题计分.如果没有涂抹题号，则按照 22 题计分.（本题满分 10 分） 22.在直角坐标系中,曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 .以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的参数方程; (2)若 分别是曲线 上的动点,求 的最大值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 (1)曲线 经过伸缩变换 ,可得曲线 的方程为 , 在 4 π 4 π 2 π 4 π 2 π 4 π 2 2 = 4 4 π π− 2 π 2 π= − ＜ 4 π 2 π 4 π 2 π 2 π 2 2 1C : x y 1+ = ' 2 ' x x y y =  = 2C O x 3C ρ 2sinθ= − 2 3C ,C P,Q 2 3C ,C PQ 2cos sin x y α α =  = cos 1 sin x y β β =  = − + 4 3 3 3 + 2 2 1 : 1C x y+ = ' 2 ' x x y y =  = 2C 2 2 14 x y+ =∴其参数方程为 为参数); 曲线 的极坐标方程为 ,即 , ∴曲线 的直角坐标方程为 ,即 , ∴其参数方程为 为参数). (2)设 ,则 到曲线 的圆心 的距离 , ∵ ,∴当 时, . ∴ . 23.设 a，b 是正实数，求： （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，求 的最大值. 【答案】（1）最小值为 （2）最大值为2 【解析】 【分析】 （1）法一：由题意得 ，再将 ，利用二次函 数求最值的方法即可；法二：利用柯西不等式； （2）法一：利用柯西不等式；法二：利用三角换元的方法，设 ， ，进 而即可得到结论. 【详解】（1）法一：由 得， ， 2cos (sin x y α αα =  = 3C 2sinρ θ= − 2 2 sinρ ρ θ= − 3C 2 2 2x y y+ = − ( )22 1 1x y+ + = cos (1 sin x y β ββ =  = − + ( )2cos ,sinP α α P 3C ( )0, 1− ( ) 2 22 2 1 164cos sin 1 3sin 2sin 5 3 sin 3 3d α α α α α = + + = − + + = − − +   [ ]sin 1,1α ∈ − 1sin 3 α = max 4 3 3d = maxmax 4 3 4 3 313 3PQ d r += + = + = 2 1a b+ = 2 2a b+ 2 24 1a b+ = 3 2a b+ 1 5 10 2b< < 2 2 2 2 2(1 2 ) 5 4 1a b b b b b+ = − + = − + cosa θ= 1 sin2b θ= 1 2 0 0 a b b = − >  > 10 2b<