渭南市 2020 年高三教学质量检测（Ⅱ）
理科数学试题
注意事项：
1.本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2.答卷前务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上：
3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内.
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则集合 的子集个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
因为 ，所以 ，故其子集的个数是 ，应选
答案 C．
2.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可得 ： ，且： ，
据此有： .
本题选择 D 选项.
3.已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测的数据
算得的线性回归方程可能是( )
A. B.
{0,2,4}A = 2{ | 3 0}B x x x= − ≥ A B
{ }0,2,4 , { | 0 3}A B x x= = ≤ ≤ {0,2}A B∩ = 22 4=
4 3z i= + z
z
=
1 1− 4 3
5 5 i+ 4 3
5 5 i−
2 24 3 5z = + = 4 3z i= −
4 3 4 3
5 5 5
z i iz
−= = −
x y 3x = 3.5y =
0.4 2.3y x= + 2 2.4y x= −C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 与 正相关，排除选项 C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心 ，
故排除选项 B；故选 A．
考点：线性回归直线.
4.已知在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为 ，先求出 ，即得 的值.
【详解】设等差数列的公差为 ，
由题得 ， ，
两式相减得 .
所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基
础题.
5.已知函数 ，则（ ）
A. 的最大值为 2 B. 的最小正周期为
C. 的图像关于 对称 D. 为奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简 后可得 的最值、最小正周期、对称轴方程和奇偶性.
2 9.5y x= − + 0.3 4.4y x= − +
{ }na 1 4 7 48a a a+ + = 2 5 8 40a a a+ + = 3 6 9a a a+ + =
d 3 8d = − 3 6 9a a a+ +
d
1 4 7 48a a a+ + = 2 5 8 40a a a+ + =
3 8d = −
3 6 9 1 4 7 6 48 6 48 16 32a a a a a a d d+ + = + + + = + = − =
( ) sin cos2 2
x xf x = +
( )f x ( )f x π
( )f x 5
2x
π= ( )f x
( )f x ( )f x详解】 ，
，当且仅当 时取最大值，故 A 错.
的最小正周期为 ，故 B 错.
因为
，故 为函数图像的对称轴，故 C
正确.
，故 不是奇函数，故 D 错.
综上，选 C.
【点睛】对于形如 的函数，我们可将其化简为
，其中 ， ，再根据复合函
数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．
6.2020 年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除
夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”
的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导
功课.今欲随机安排甲、乙 2 位志愿者为 1 位小学生辅导功课共 4 次，每位志愿者至少辅导 1
次，每次由 1 位志愿者辅导，则甲恰好辅导 2 次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意一共有 种选择，甲恰好辅导 2 次有 种选择，得到概率.
【详解】根据题意：一共有 种选择，甲恰好辅导 2 次有 种选择.
【 ( ) 2sin 2 4
xf x
π = +
( )max 2f x = 4 ,2x k k Z
ππ= + ∈
( )f x 4π
( ) 5 35 2sin 2sin2 2 4 4 2
x xf x
π π ππ − = − + = −
( )32sin 2sin4 2 2 4
x x f x
π ππ = − − = − =
5
2x
π=
( )0 1 0f = ≠ ( )f x
( ) sin cosf x a x b xω ω= +
( ) ( )2 2 sinf x a b xω ϕ= + + 2 2
cos a
a b
ϕ =
+ 2 2
sin b
a b
ϕ =
+
1
3
2
7
3
7
4
7
42 2 14− = 2
4 6C =
42 2 14− = 2
4 6C =故 .
故选： .
【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7.在等比数列 中， 是关于 的方程 的两个实根，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算 ，代入，计算式子，即可．
【详解】 是关于 x 的方程 的两实根，所以 ，由
得 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
.故选 B
【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．
8.函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定函数在定义域内的单调性，计算 时的函数值可排除三个选项．
【详解】 时，函数为减函数，排除 B， 时，函数也是减函数，排除 D，又
6 3
14 7p = =
C
{ }na 4 8,a a x 2 10 4 0x x+ + = 2 6 10a a a =
8 8− 4 8 8−或
6a
4 8,a a 2 10 4 0x x+ + = 2
4 8 2 10 64a a a a a= = =
4 8 4 80, 10 0a a a a> + = − < 4 80, 0a a< < 2
6 4 0a a q= < 6 2a = −
2 6 10 8a a a = −
( )1 ln 1y xx
= − +
1x =
0x > 1 0x− < < 1x =时， ，排除 C，只有 A 可满足．
故选：A.
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、
单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，
最后剩下的一个即为正确选项．
9.已知 中，角 的对边为 ，且 ， ， 的面积为 3，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形面积公式可求 b,再根据余弦定理可求 c.
【详解】因为 ,所以 ，
由 ，可得 ，
根据余弦定理，
，
所以 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.
10.棱长为 的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把正四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对
角线长，就是球的直径，即可得到答案．
【详解】如图，将正四面体补成正方体，设正方体的棱长为 ，
1 ln 2 0y = − >
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5a = 4cos 5C = ABC∆
c =
11 2 3 13 14
4cos 5C = 3sin 5C =
in1
2 sS ab C= 2b =
2 2 2 42 cos 29 20 135c a b ab C= + − = − × =
13c =
2 2
12π 32
3
π 8π 4π
a则 .
所以正方体的棱长是 2，正方体的对角线长为 .
棱长都为 的四面体的四个顶点在同一球面上，则正方体的八个顶点也在同一球面上，正
方体的对角线 就是球的直径．
则球的半径
球的表面积为 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的计算，解题的关键是求出几何体外接球的
半径，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.已知函数 满足 和 ，且在 时， ，
则关于 的方程 在 上解的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，函数 为偶函数，且是周期为 2 的周期函数，即求函数 的图象与函
数 的图象在 ， 上的交点个数，数形结合可得结论．
【详解】由题意可得，函数 为偶函数，且是周期为 2 的周期函数．
方程 在 ， 上解的个数，
2 2 2(2 2) , 2a a a+ = ∴ =
4+4+4=2 3
2 2
2 3
3R =
∴ 4 3=12π π×
( )f x ( ) ( )f x f x= − ( ) ( )+2f x f x= [ ]0,1x∈ ( ) 1f x x= −
x ( ) 1
3
xf x =
[ ]0,4
( )f x ( )y f x=
1( )3
xy = [0 4]
( )f x
1( ) ( )3
xf x = [0x∈ 4]即函数 的图象与函数 的图象在 ， 上的交点个数，
再根据当 ， 时， ，
设 .
因为 ，
数形结合可得，函数 的图象与函数 的图象在 ， 内存在两个交点，
画出函数 在 ， 上的图象，如图，
故函数 的图象与函数 的图象在 ， 上的交点个数为 5.
（在 内有 2 个，在 有 1 个，在 有 2 个）
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，考查函数零点与方程的根的关系，
体现了转化以及数形结合的数学思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12.已知 P 为双曲线 上一点， 为双曲线 C 的左、右焦点，
若 ，且直线 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
( )y f x= 1( )3
xy = [0 4]
[0x∈ 1] ( ) 1f x x= −
1 , (0)1 1( ) ( ) ( ) ( )3 3 0x xxg x gf x = − − ∴− ==
1
21 1 1 1 3 3 2 3( ) 1 ( ) 02 2 3 2 3 6g
−= − − = − = <
( )y f x= 1( )3
xy = [0 1)
( )f x [0 4]
( )y f x= 1( )3
xy = [0 4]
[0,1] [1,2] (2,4]
2 2
2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2F F，
1 1 2PF F F= 2PF
4
3y x= ± 3
4y x=± 3
5y x= ±
5
3y x= ±【解析】
【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得 ，又直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的
圆相切，可得 ，对 在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即
可求得 ，联立 ，即可求得 ，问题得解．
详解】依据题意作出图象，如下：
则 ， ，
又直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，
所以 ,
所以
由双曲线定义可得： ，所以 ，
所以
整理得： ，即：
将 代入 ，整理得： ，
所以 C 的渐近线方程为
故选 A
【
1 1 2 2PF F F c= =
2MF b= 2OF M∠
2b a c= + 2 2 2c a b= + 4
3
b
a
=
1 1 2 2PF F F c= = OM a=
2OM PF⊥
2 2
2MF c a b= − =
2 1 2PF PF a− = 2 2 2PF c a= +
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2 2cos 2 2 2 2
c a c cbOF M c c a c
+ + −∠ = = × × +
2b a c= + 2b a c− =
2c b a= − 2 2 2c a b= + 4
3
b
a
=
4
3
by x xa
= ± = ±【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，
考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.在某项测量中，测量结果 ，若在 内取值的概率为 0.4，则 在 内
取值的概率为______.
【答案】0.8
【解析】
【分析】
根据变量符合正态分布和 在 内的概率为 0.4，由正态分布的对称性可知 在 内的
取值概率也为 0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率．
【详解】 服从正态分布 ， 在 内的概率为 0.4，
由正态分布的对称性可知 在 内的取值概率也为 0.4，
故答案为：0.8
【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的基本性质，考查互
斥事件的概率公式．
14.已知 , ,且 ,则 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
试题分析： ，所以当 时，取最大值 1；
当 时，取最小值 .因此 的取值范围为 .
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值
范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即 ， 表示线段，那么
的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.
15.已知平面向量 ， 满足 ， ，则 在 方向上的投影为______.
( )21,Nξ σ ( )0,1 ξ ( )0,2
ξ (0,1) ξ (1,2)
ξ 2(1, )N σ ξ (0,1)
ξ (1,2)
(0 2) (0 1) (1 2) 0.4 0.4 0.8P P Pξ ξ ξ∴ < < = < < + < < = + =
0x ≥ 0y≥ 1x y+ = 2 2x y+
1[ ,1]2
2 2 2 2 2(1 ) 2 2 1, [0,1]x y x x x x x+ = + − = − + ∈ 0 1x = 或
1
2x = 1
2
2 2x y+ 1[ ,1]2
0, 0x y≥ ≥ 1x y+ = 2 2x y+
a b 1a = ( )2 5a a b⋅ − = b a【答案】
【解析】
【分析】
设 的夹角为 ，化简已知得 ，即得解.
【详解】设 的夹角为 ，
由题得
所以 .
所以 在 方向上的投影为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，考查向量 在 方向上的投影，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平.
16.若 ，则 的值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】
令 得，1= ；再令 ，化简即得解
【详解】令 得，1= ；
令 中 得，
，
所以 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求系数和，意在考查学生对
这些知识的理解掌握水平.
三、解答题:共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为
2−
,a b α | | cos 2b α = −
,a b α
2
2 5, 1 2 | | cos 5,a a b b α− = ∴ − =
| | cos 2b α = −
b a 2−
2−
b a
( ) ( )2020 2 2020
0 1 2 20201 2x b b x b x b x x R− = + + + + ∈ 20201 2
2 20202 2 2
bb b+ + +
1−
0x = 0b 1
2x =
0x = 0b
( ) ( )2020 2 2020
0 1 2 20201 2x b b x b x b x x R− = + + + + ∈
1
2x =
2020
20201 2
2 2020
11 2 12 2 2 2
bb b − × = + + + +
20201 2
2 2020 12 2 2
bb b+ + + = −
1−必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题，考生根据要求作答
(一)必考题:共 60 分
17.已知函数
（1）求函数 的最小正周期；
（2）当 时，求 的值域.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
分析】
（1）先化简得到 ，即得函数的最小正周期；
（2）逐步求出 的范围，再利用三角函数的图象求出函数的值域.
【详解】（1）由题得 ，
所以函数 的最小正周期为 ；
（2）由题得 ，
所以 ，所以 .
所以函数的值域为 .
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平.
18.如图，在直四棱柱 中，底面 是矩形， 与 交于点 E.
.
【
( ) 22sin cos 2 3 cos 3f x x x x= + −
( )f x
5,3 12x
π π ∈ −
( )f x
π [ 3,2]−
( ) 2sin(2 )3f x x
π= +
2 + 3x
π
( ) 2sin 2 3(2cos 1) sin 2 3 cos2 2sin(2 )3f x x x x x x
π= + − = + = +
( )f x 2 =2
π π
5 2 5 7, 2 , 2 +3 12 3 6 3 3 6x x x
π π π ππ π π− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤
3 sin(2 + ) 12 3x
π− ≤ ≤ 3 2sin(2 + ) 23x
π− ≤ ≤
[ 3,2]−
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD 1A D 1AD
1 2 4AA AB AD= = =（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（ 1 ） 证 明 ， ， 推 出 平 面 ， 得 到 ， 证 明
，即可证明 平面 ；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线 与平面 所成
角的正弦值．
【详解】（1）证明：∵四棱柱 是直四棱柱，
∴ 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 ， ，
∴ 平面 ，因为平面 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ 是正方形，∴ ，
又 ，∴ 平面 .
（2）解：建立如图所示的坐标系， 与 交于点 ， ，
AE ⊥ ECD
1AC EAC
6
9
1AA CD⊥ CD AD⊥ CD ⊥ 1 1AA D D CD AE⊥
AE ED⊥ AE ⊥ ECD
1AC EAC
1 1 1 1ABCD A B C D−
1AA ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD 1AA CD⊥
CD AD⊥ 1AA AD A=
CD ⊥ 1 1AA D D 1 1AA D D CD AE⊥
1AA AD⊥ 1AA AD=
1 1AA D D AE ED⊥
CD ED D= AE ⊥ ECD
1A D 1AD E 1 2 4AA AD AB= = =则 ，
∴ ，
∴ ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
不妨取 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查
推理能力与计算能力，属于中档题．
19.已知 中， ， ， ，点 在 上，且 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）若 ，过点 的直线与 交于 两点，与直线 交于点 ，记 ，
， 的斜率分别为 ，求证： 为定值.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）结合题意，证明到 ，发现轨迹是椭圆，结合椭圆性质，即可．（2）设出直
( ) ( ) ( ) ( )10,0,0 , 0,0,4 , 2,4,0 , 0,4,0A A C D
( )0,2,2E
( ) ( ) ( )1 2,4, 4 , 2,4,0 , 0,2,2AC AC AE= − = =
EAC ( ), ,n x y z= · 0
· 0
n AC
n AE
=
=
2 4 0
2 2 0
x y
y z
+ =
+ =
( )2,1, 1n = − −
1AC EAC 4 4 4 4 6= 96 36 6 6
n AC
n AC
− + −= =
ABC∆ ( 1,0)B − (1,0)C 4AB = P AB BAC PCA∠ = ∠
P E
3(1, )2Q C E ,M N 4x = K QM
QN QK 1 2 3, ,k k k 1 3
2 3
k k
k k
−
−
2 2
1( 2)4 3
x y x+ = ≠ ±
4PB PC+ =线 MN 的方程，代入椭圆方程，设出 M，N 坐标，利用坐标，计算 ，代入
，即可．
【详解】（1）如图三角形 中， ，所以 ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴为 4 的椭圆（不包含实轴的端点），
所以点 的轨迹 的方程为 .
注：答轨迹为椭圆，但方程错，给 3 分；不答轨迹，直接写出正确方程，得 4 分（ 未
写出，这次不另外扣分）.
（2）如图，设 ， ，可设直线 方程为 ，则 ，
由 可得 ，
， ，
， ，
，
， ，
1 2 3, ,k k k
1 2
2 3
k k
k k
−
−
ACP BAC PCA∠ = ∠ PA PC=
4PB PC PB PA AB+ = + = =
P B C
P E ( )2 2
1 24 3
x y x+ = ≠ ±
2x ≠ ±
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN ( )1y k x= − ( )4,3K k
( )
2 2
1,4 3
1 ,
x y
y k x
+ =
= −
( ) ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
−= +
( )
( )
1 1
1
1 1 1
3 31 32 2
1 1 2 1
y k x
k kx x x
− − −
= = = −− − − ( )2
2
3
2 1k k x
= − −
3
33 12
4 1 2
k
k k
−
= = −−
( )1 3
1
1 3
2 2 1k k x
− = − − ( )2 3
2
1 3
2 2 1k k x
− = − −因为
，
所以 为定值.
【点睛】本道题考查了椭圆的性质和直线与椭圆位置关系，难度较大．
20.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或
开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 1000
名患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单
位:天）
人数
（1）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否
超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列
联表补充完整，并根据列联表判断是否有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 天
潜伏期
天
总计
50 岁以上（含 50 岁）
50 岁以下 55
总计 200
（3）以这 1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生
( ) ( ) ( )
( )1 2
1 3 2 3
1 2 1 2 1 2
23 1 1 31 12 1 1 2 1
x xk k k k x x x x x x
+ − − + − = − + = − ⋅ − − − + +
2
2
2 2
2 2
8 23 4 31 04 12 82 14 3 4 3
k
k
k k
k k
−+= − ⋅ =− − ++ +
1 3
2 3
1k k
k k
− = −−
[0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
85 205 310 250 130 15 5
x
95%
6≤ 6>
100的概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了
名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
，其中 .
【答案】（1）5.4 天；（2）列联表见解析，没有 的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）最
有可能是 8 人.
【解析】
【分析】
（1）根据统计数据计算平均数即可；
（2）根据题意补充完整列联表，计算 ，对照临界值得出结论；
（3）根据题意知随机变量 ，计算概率 ，列不等式组并结合题意求出
的值．
【详解】解：（1）根据统计数据，计算平均数为：
天.
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：
潜伏期 天 潜伏期 天 总计
50 岁以上（含 50 岁） 65 35 100
50 岁以下 55 45 100
总计 120 80 200
20
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
95%
2K
2~ (20, )5X B ( )P X k= k
1 1 85 3 205 5 310 7 250 9 130 11 15 13 5 5.41000x = × × + × + × + × + × + × + × =（ ）
6< 6≥则 ，
经查表，得 ，所以没有 的把握认为潜伏期与年龄有关.
（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 ，
设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 ，则 ，
， ， ， ，…， ，
由
得 ，
化简得 ，解得 ,
又 ,所以 ,即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人.
【点睛】本题考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值，考查
分析问题、解决问题的能力，处理数据能力.
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，如果方程 有两个不等实根 ，求实数 t 的取值范围，并证明
.
【答案】（1）当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；当
时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2） ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出 ，对 分类讨论，分别求出 的解，即可得出结论；
2
2 (65 45 55 35) 200 25
120 80 100 100 12K
× − × ×= =× × × 2.083≈
2 2.083 3.841K ≈ < 95%
400 2
1000 5
=
X 2~ (20, )5X B
20
20
2 3( ) 5 5
k k
kP X k C
− = = 0k = 1 2 20
( ) ( 1)
( ) ( 1)
P X k P X k
P X k P X k
= ≥ = +
= ≥ = −
20 1 19
1
20 20
20 1 21
1
20 20
2 3 2 3
5 5 5 5
2 3 2 3
5 5 5 5
k k k k
k k
k k k k
k k
C C
C C
− + −
+
− − −
−
≥
≥
3( 1) 2(20 )
2(21 ) 3
k k
k k
+ ≥ −
− ≥
37 42
5 5k≤ ≤
k ∈N 8k =
( ) ( 0)x
axf x ae
= ≠
( )f x
1a = ( )f x t= 1,x 2x
1 2 2x x+ >
0a > ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞ 0a <
( )f x (1, )+∞ ( ,1)−∞ 10, e
( )f x′ a ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′>
( )( )1 2
1 2
1 2 1
21
x x
x x
x x e
e
−
−
− +
>− 1 2x x> 1 2m x x= − 0,m > 1me >
( 2) 2 0mm e m− + + > ( ) ( 2) 2( 0)xg x x e x x= − + + >
0, ( ) 0x g x> >
( )f x (1 )( ) x
a xf x e
−′ =
1 0x
x
e
− > 1x < 1 0x
x
e
− < 1x >
0a > ( )f x ( ,1)−∞
(1, )+∞
0a < ( )f x (1, )+∞
( ,1)−∞
1a = ( ) x
xf x e
= max
1( ) (1)f x f e
= =
0x < ( ) 0f x < 0x > ( ) 0f x >
∴ 10 t e
< < y t= ( )y f x=
∴ 10, e
( )f x t= 1,x 2x
1
1
x
x te
∴ =
2
2
x
x te
= 1
1
xx te∴ = 2
2
xx te=
( )1 2
1 2
x xx x t e e∴ − = − 1 2
2x
x xt e e
−= −
1 2 2x x+ > ( )1 2 2x xt e e+ >
( )( )1 2
1 2
1 2 2
x x
x x
x x e e
e e
− +
>− 1 2x x>令 ，则 ，
则要证 ，即证 .
令 ，则 .
令 ，则 ，
在 上单调递增， .
， 在 上单调递增，
，即 成立，
即 成立. .
【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，
构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则
按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的方
程为 y=kx.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）曲线 C 与直线 l 交于 A、B 两点，若 ，求 k 的值.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1） 先 将 曲 线 C 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ， 再 根 据 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式
，即可求出曲线 的极坐标方程；
（2）设出直线 l 的极坐标方程 ，与曲线 的极坐标方程联立，可得
1 2m x x= − 0,m > 1me >
( )1
21
m
m
m e
e
+
>− ( 2) 2 0mm e m− + + >
( ) ( 2) 2( 0)xg x x e x x= − + + > ( ) ( 1) 1xg x x e′ = − +
( ) ( 1) 1xh x x e= − + ( ) 0xh x xe′ = >
( ) ( 1) 1xh x x e∴ = − + (0, )+∞ ( ) (0) 0h x h∴ > =
( ) 0g x′∴ > ( )g x∴ (0, )+∞
( ) (0) 0g x g∴ > = ( 2) 2 0xx e x− + + >
( 2) 2 0mm e m− + + > 1 2 2x x∴ + >
xOy 3 cos 2
3sin
x
y
α
α
= +
=
α
=2 3OA OB+
2 4 cos 1 0ρ ρ θ− + = 3
3
3
3
−
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= C
[ )1 1( , 0,π )θ θ ρ θ= ∈ ∈R C，即可得到 ，根据 的几何意义可知，
，即可求出 ，于是可得 k 的值．
【详解】（1） ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）设直线 的极坐标方程为 ，其中 为直线 的倾斜角，
代入曲线 得 设 所对应的极径分别为 .
，
，
满足 ，
或 的倾斜角为 或 ，
则 或 ．
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程化极坐标方程，以及极坐标方程和 的几何意义的应
用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
23.已知函数 .
（1）解不等式 .
（2）若不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ， ， ．
【解析】
【分析】
（1）求出 的分段函数的形式，问题转化为关于 的不等式组，解出即可；
（2）根据绝对值不等式的性质求出代数式的最小值，得到关于 的不等式，解出即可．
2
14 cos 1 0ρ ρ θ− + = 1 2 1 1 24cos , 1 0ρ ρ θ ρ ρ+ = = > ρ
1 2 1 2 2 3OA OB ρ ρ ρ ρ+ = + = + = 1
θ
2 23 cos 2, 4 1 0
3sin
x x x y
y
α
α
= + ∴ − + + =
=
C 2 4 cos 1 0ρ ρ θ− + =
l [ )1 1( , 0,π )θ θ ρ θ= ∈ ∈R 1
θ l
C 2
14 cos 1 0,ρ ρ θ− + = ,A B 1 2,ρ ρ
2
1 2 1 1 2 14cos , 1 0, 16cos 4 0ρ ρ θ ρ ρ ∆ θ∴ + = = > = − >
1 2 1 2 2 3OA OB+ = + = + = ρ ρ ρ ρ
1
3cos 2
θ∴ = ± ， > 0∆
1
π
6
θ∴ = 5
6
π ，l 6
π 5
6
π
1
3tan 3k θ= = 3
3
−
ρ
( ) 2 1 1f x x x= + − −
( ) 2f x ≤
( )1 1 2 3m f x x x− ≥ + − + − m
2[ 4, ]3
− (−∞ 3] [5− )+∞
( )f x x
m【详解】（1） ，
或 或 ，
解得： 或 或无解，
综上，不等式的解集是 ．
（2） ，
（当 时等号成立）
不等式 有解，
，
， 或 ，
即 或 ，
实数 的取值范围是 ， ， ．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平.
12, 2
1( ) 2 1 1 3 , 12
2, 1
x x
f x x x x x
x x
− − < −
= + − − = −
+ >
∴
1
2
2 2
x
x
< −
− − ≤
1 12
3 2
x
x
−
≤
1
2 2
x
x
>
+ ≤
14 2x− ≤ < − 1 2
2 3x− ≤
2[ 4, ]3
−
( ) | 1| | 2 3| | 2 1| | 2 3| | 2 1 (2 3) | 4f x x x x x x x+ − + − = + + − + − − =
1 3
2 2x−
| 1| ( ) | 1| | 2 3|m f x x x− + − + −
| 1| [ ( ) | 1| | 2 3|]minm f x x x∴ − + − + −
| 1| 4m∴ − 1 4m∴ − − 1 4m −
3m − 5m
∴ m (−∞ 3] [5− )+∞
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