铜川市 2020 年高三年级高考模拟试题
文科数学
注意事项：
1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用 2B 铅笔将答案涂在答题
卡上.第Ⅱ卷为非选择题，用 0.5mm 加黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束
后，只收答题纸.
2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚.
3.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项）
1.设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为 ，所以 ，因为集合 ， ，
所以 .故选 D.
2.已知复数 z 满足 zi=2+i，i 是虚数单位，则|z|=( )
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
由题意得 ，所以 ．选 D．
3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S6：S3=1：2，则 S9：S3=（ ）
A. 1：2 B. 2：3 C. 3：4 D. 1：3
【答案】C
【解析】
{ }|1 2A x x= < < { }|B x x a= < A B A= a
{ }| 2a a ≤ { }| 1a a ≤ { }| 1a a ≥
{ }| 2a a ≥
A B A∩ = A B⊆ { }|1 2A x x= < < { }|B x x a= <
2a ≥
2 3 5
2 i 1 2iiz
+= = − | z | 5=【分析】
本题考查的知识点是性质，即若{an}等比数列，则 Sm，S2m-m，S3m-2m，…也成等比数列，则由
S6：S3=1：2，则 S6-S3：S3=-1：2，则 S9-S6：S6-S3=-1：2，由此不难求出 S9：S3 的值．
【详解】解：∵{an} 等比数列
则 S3，S6-S3，S9-S6 也成等比数列
由 S6：S3=1：2
令 S3=x，则 S6= x, ,
则 S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2
则 S9-S6= x
则 S9=
则 S9：S3= ：x=3：4
故选 C．
【点睛】本题主要考察等差数列与等比数列的重要性质，
若{an}等差数列，则 Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也成等差数列；
若{an}等比数列，则 Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也成等比数列（其中 Sm 不为零）；
4.已知 ，“函数 有零点”是“函数 在 上是减函数”的
（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分
也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，由函数 有零点可得， ，而由函数 在
上为减函数可得 ，因此 必要不充分条件，故选 B．
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.
5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别
得到以下四个结论：
①y 与 x 负相关且 =2.347x﹣6.423；
为
是
1
2 6 3
1
2S S x− = −
1
4
3
4 x
3
4 x
m∈R 2 1xy m= + − logmy x= (0, )+∞②y 与 x 负相关且 =﹣3.476x+5.648；
③y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493；
④y 与 x 正相关且 =﹣4.326x﹣4.578．
其中一定不正确的结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意得，当回归系数 时， 与 正相关；当回归系数 时， 与 负
相关，所以只有①④是正确的，故选 A.
考点：回归系数的意义.
6.已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. ， ，且 ，则
B. 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
分析】
根据线面垂直的判定定理判断 是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项 是否正
确；根据直线与平面位置关系，来判断 是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，
则另一条也垂直这个平面，来判断 是否正确.
【详解】对于选项 ，若 时， 与 不一定垂直，
所以 错误；
对于选项 ，若三点不在平面的同侧，则 与 相交，
所以 错误；
对于选项 ， ，有可能 ，
【
ˆ 0b > y x ˆ 0b < y x
l m n α β
l m⊥ l n⊥ ,m n α⊂ l α⊥
α β / /α β
m α⊥ m n⊥ / /n α
//m n n α⊥ m α⊥
A B
C
D
A //m n l α
A
B α β
B
C ,m m nα⊥ ⊥ n ⊂ α所以 错误；
对于选项 ，根据平行线中的一条垂直于一个平面，
另一条也垂直于这个平面，所以 正确.
故选:D.
【点睛】本题考查命题 真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题.
7.在区间 上随机取一个数 ，则直线 与圆 有两个不同公共点的概
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
圆 的 圆 心 为 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ， 要 使 直 线
与圆 相交，则 ，解得 在区间 上
随 机 取 一 个 数 ， 使 直 线 与 圆 有 公 共 点 的 概 率 为
，故选 D.
8.已知 其中 ， ， .则 的单调
递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平面向量的数量积运算和三角恒等变换，得到 的解析式，再利用余弦函数的性质求
的
C
D
D
[ 1,1]− k ( 2)y k x= − 2 2 1x y+ =
2
9
3
6
1
3
3
3
2 2 1x y+ = ( )0,0 ( )2y k x= −
2
2
1
k
k +
( )2y k x= − 2 2 1x y+ =
2
2 1
1
k
k
<
+
3 3 ,3 3k− < < ∴ [ ]1,1−
k ( )2y k x= + 2 2 1x y+ =
( )
3 3
3 3 3
1 1 3P
− −
= =− −
( )f x a b= ⋅ ( )2cos , 3sin 2a x x= − ( )cos ,1b x= x∈R ( )f x
( ),12 3k k Zk
π ππ π + + ∈
( ),12 3k k Zk
π ππ π − + ∈
( ),6 3k k k Z
π ππ π − + ∈
( ),6 3k Zk k
π ππ π + + ∈
( )f x解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
令 ，
解得 ，
所以 的单调递减区间是 .
故选：C
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角函数的化简与性质的应用，还考查了运算求
解的能力，属于中档题.
9.函数 的图像的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分 x＞0 与 x＜0 两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．
( )2cos , 3sin 2a x x= − ( )cos ,1b x= x∈R
( ) 22cos 3sin 2 cos2 3sin 2 1 2cos 2 13
πf x a b x x x x x = ⋅ = − = − + = + +
2 2 23k x k
ππ π π≤ + ≤ +
6 3k x k
π ππ π- £ £ +
( )f x ( ),6 3k k k Z
π ππ π − + ∈
(0 1)
xxay ax
= < = = − >
( )0,x∈ +∞ ( ),0x∈ −∞
2 4y x=
2
2
2 1yx b
− = 3
2
3 2 3
2 4y x= (1,0) y bx=
2
3
21
b
b
=
+ 3b =
2 2 3b =
P ABC− PA ⊥ ABC AC BC⊥ 1AC BC= = 3PA =
PB AC BC⊥ 1AC BC= = 2AB =
2 2 5PB PA AB= + = 5
2R = 24 5S Rπ π= =
log , 0( ) 2 , 3 0
a x xf x x x
>= + − ≤ ≤ 0a > 1a ≠ ( )f x
y aA. B. C. D.
【答案】D
【解析】
关 于 轴 对 称 函 数 为 ， 时 ， 与
的图象有且仅有一个交点，函数 的图象上有且仅有两个点关于
轴对称， 符合题意，当 时，要使 与 的图象
有且仅有一个交点，则 ，综上所述， 的取值范围是, ，故
选 D.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质及数学的转化与划归思想. 属于难题. 转化
与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，
尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速
度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我
们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，
将函数对称问题转化为函数交点问题是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.如图所示，在梯形 ABCD 中， ， ， ， ，点 E 为 AB 的
中点，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
(0,1) (1,3) (0,1) (3, )+∞
(0,1) (1,3)∪
logay x= y ( )logay x= − 0 1a< < ( )logay x= −
y 2 , 3 0x x= + − ≤ ≤ ( )f x y
0 1a< < 1a > ( )logay x= − y 2 , 3 0x x= + − ≤ ≤
log 3 1, 1 3a a> ∴ < < a ( ) ( )0,1 1,3
2A
π∠ = 2AB = 2BC = 3
2AD =
CE BD⋅ =
2−根据题意以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，建立平面直角坐标系，求得 的坐标，
然后利用数量积定义求解.
【详解】以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，建立如图所示平面直角坐标系：
则 ，
，
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14.曲线 上一动点 处的切线斜率的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据曲线 ，求导得到 ，再利用基本不等式求得导数
的最小值，即得到曲线斜率的最小值.
【详解】因为曲线
所以
，当且仅当 ，即 时，取等
号.
,CE BD
( ) ( )2 32,0 , 0, , 0,0 , , 22 2C E B D
2 32, , , 22 2CE BD
= − =
3 1 2CE BD⋅ = − + = −
2−
( ) ( )3 1 0f x x xx
= − > ( )( )0 0,P x f x
2 3
( ) ( )3 1 0f x x xx
= − > ( ) 2
2
13f x x x
+′ =
( ) ( )3 1 0f x x xx
= − >
( ) 2
2
13f x x x
+′ =
( ) 2 2
0 0 02 2
0 0
1 13 2 3 2 3k f x x xx x
+ ⋅′= = ≥ = 2
0 2
0
13x x
= 2
0
3
3x =所以在点 处的切线斜率的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属
于中档题.
15.已知两圆 和 相交于 ， 两个不同的点，且直线
与直线 垂直，则实数 __________．
【答案】3
【解析】
由题意直线 与连心线平行，即 ， ．
16.从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精,然后填满水,再倒出 1 升混合溶液后又用水填
满,以此继续下去,则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10%.
【答案】4
【解析】
设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为 1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比 a1=,设操
作 n 次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为 an,则 an+1=an·,
∴an=a1qn-1=()n,∴()n< ,得 n≥4.
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关
量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列
问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤）
17.在 中， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
( )( )0 0,P x f x 2 3
2 3
2 2 10x y+ = ( ) ( )2 21 20x y a− + − = A B AB
3 1 0x y− + = a =
AB 0 31 0
a − =− 3a =
ABC 5, 3,sin 2sinBC AC C A= = =
AB
sin 2 4A
π − 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接利用正弦定理可求 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得 ，再利用同角三角函数
的关系求出 ，由二倍角公式求出 ， ，根据两角差的正弦公式可求
的值．
【详解】（Ⅰ）在 中，根据正弦定理， ，
于是
（Ⅱ）在 中，根据余弦定理，得
于是 ，
从而
．
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解
三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角
（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）
证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
18.去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属 25 家商业连锁店进行了考核评估.
将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方
图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为 A,B,C,D 四个等级，等级评定
标准如下表所示.
评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
评定等级 D C B A
2 5 2
10
AB cos A
sin A sin 2A cos2A
sin 2 4A
π −
sin sin
AB BC
C A
=
sin 2 2 5sin
BCAB C BCA
= = =
ABC∆
2 2 2
cos 2
AB AC BCA AB AC
+ −= ⋅
2 5sin 1 cos 5A A= − =
2 24 3sin 2 2sin cos ,cos2 cos sin5 5A A A A A A= = = − =
2sin 2 sin 2 cos cos2 sin4 4 4 10A A A
π π π − = − = （1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
（2）从评估分数不小于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求至少选一家 A 等级的概
率.
【答案】（1）众数是 ，平均数是 ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为 0.5 求
解中位数即可；
（2）列出所有可能 事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算公式求
解概率值即可.
【详解】（1）最高小矩形的底边中点为 75，估计得分的众数为 75 分．
直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为 0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积
为
1-0.28-0.16-0.08=0.48.
所以 ，
故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为 75.4.
（2） 等级的频数为 ，记这两家分别为 等级的频数为 ，
记这四家分别为 ，从这 6 家连锁店中任选 2 家，共有
，共有 15 种选法.
其中至少选 1 家 等级的选法有
的
75 75.4 3
5
65 0.28 75 0.48+85 0.16 95 0.08 75.4x = × + × × + × =
A 25 0.08 2× = , ;a b B 25 0.16 4× =
, , ,c d e f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e a f b c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , ,b d b e b f c d c e c f d e d f e f
A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e a f b c共 9 种，则 ，
故至少选一家 等级的概率为 .
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考
查学生的转化能力和计算求解能力.
19.如图， 为边长为 的正三角形， ，且 平面 ，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的高.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
试题分析：（1）取 边的中点 ， 的中点为 ，四边形 为平行四边形，由
平面 可知， 平面 ，可证．（2）由
和等体积法可求角．
试题解析：(1)如下图所示：取 边的中点 ， 的中点为 ，连接 ， ， ，
由题意可知， 是 的中位线
所以 且 ，即四边形 为平行四边形，
所以
由 平面 可知， 平面 ，又 面 ，
故平面 平面
（2）过 做 ，垂足为 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，且
所以
( ) ( ) ( ), , , , ,b d b e b f 9 3
15 5P = =
A 3
5
ABC∆ 2 / /AE CD AE ⊥ ,2 2.ABC AE CD= =
BDE ⊥ BCD
D BCE−
3h =
BD F BC G AEFG AG ⊥
BCD EF ⊥ BCD D BCEV − =三棱锥 B ACDEV四棱锥 − − E ABCV −三棱锥
BD F BC G AG FG EF
FG ΔBCD
FG AE FG AE= AEFG
AG EF
AG ⊥ BCD EF ⊥ BCD EF ⊂ BDE
BDE ⊥ BCD
B BK AC⊥ K AE ⊥ ABC
BK ⊥ ACDE 3BK 2 32
= × =
B ACDEV − =四棱锥
1 1 1 23 2
× +（ ） 2 3 3× × =
所以
因为 ， ，所以 ，又
所以
设所求的高为 ，则由等体积法得
所以
【点睛】
面面垂直普通一般通过证明线面垂直来证明，
求点到面的距离，常用的方法有①等面积、等体积法②距离转化，常用平行转化和相似转
化．本题是利用了等体积法求点到面的距离．
20.已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 平行于 ，且与椭圆 交于 两个不同的点.若 为钝角，求直线 在
轴上的截距 的取位范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）根据题意得 解方程即可得椭圆方程；
（2）由直线 平行于 ，得直线 的斜率 ， 为钝角等价于
，直线 与椭圆 联立，利用韦达定理即可求范围.
试题解析：
E ABCV三棱锥 − = 1 1 23 2
× × × 33 1 3
× =
D BCEV − =三棱锥 B ACDEV四棱锥 − − E ABCV三棱锥 − = 3 2 33 3 3
− =
AB AC 2= = AE 1= BE CE 5= = BC 2=
ECB
1S 22
= × ×
5 1 2− =
h 1 2 h3
× × 2 3
3
=
h 3=
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 3
2
( )2,1M C
C
l OM C ,A B AOB∠ l y
m
2 2
18 2
x y+ = ( ) ( )2,0 0, 2− ∪
2 2
2 2
3 ,2
4 1 1,
a b
a
a b
− =
+ =
l OM l 1
2OMk k= = AOB∠
1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = +
2 2m− < <
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
AOB∠ 0OA OB⋅
微信/支付宝扫码支付