陕西省安康中学2020届高三文科数学第三次模拟试题（解析版）

2020 届安康中学高三第三次模拟考试卷 文科数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 ， ，则集合 不可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 对 于 A ， ; 对 于 B ， ;对于 C， A；对于 D，易 知 ，因此选 C． 2.已知 是虚数单位，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D { | 0}A y y= ≥ A B B∩ = B { | 0}y y x x= ≥， 1{ | }2 x y y x R， = ∈   { }lg 0y y x x= ， ∅ A B B= B A⊆ { | 0}y y x x A，= ≥ = { }1| | 02 x y y x y y    = ∈ = >      R， ⊄ A { }lg 0y y x x= = R， ⊄ ∅ ⊄ A i 1 2 2 i i − + i 4 5 i− 4 3 5 5 i− i−【解析】 【分析】 直接利用复数之间的代数运算即可. 【详解】 . 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的代数运算，属于基础题. 3.过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出垂直于直线 的直线方程 ，把 带入 解 出 即可. 【详解】设垂直于直线 的直线方程为 ， 又直线过点 ，解得 ， 故所求直线的方程为 . 故选:D 【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的设法，属于基础题. 4.下列函数 中，满足“对任意的 ，当 时，总有 ”的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 1 2 (1 2 )(2 ) 5 2 (2 )(2 ) 5 i i i i ii i i − − − −= = = −+ + − (2,3)A 2 7 0x y+ − = 2 5 0x y− + = 2 7 0x y+ − = 2 3 0x y− + = 2 4 0x y− + = 2 7 0x y+ − = 2 0x y m− + = (2,3)A 2 0x y m− + = m 2 5 0x y+ − = 2 0x y m− + = (2,3), 2 2 3 0A m∴ − × + = 4m = 2 4 0x y− + = ( )f x 1 2, ( ,0)x x ∈ −∞ 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x> 2( ) ( 1)f x x= + ( ) ln( 1)f x x= − 1( )f x x = ( ) xf x e=【分析】 根据题目所给条件，说明函数 f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项 A 是二次函数， C 是反比例函数，D 是指数函数，图象情况易于判断，B 是对数型的，从定义域上就可以排 除． 【详解】函数满足“对任意的 x1，x2∈（﹣∞，0），当 x1＜x2 时，总有 f（x1）＞f（x2）”，说 明函数在（﹣∞，1）上为减函数． f（x）=（x+1）2 是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x=﹣1，所以函数 在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意． 函数 f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义． 对于函数 f（x）= ，设 x1＜x2＜0，则 f（x1）﹣f（x2）= ，因为 x1，x2∈ （﹣∞，0），且 x1＜x20，x2﹣x1＞0，则 ，所以 f（x1）＞f（x2），故函数 f（x）= 在（﹣∞，0）上为减函数．函数 f（x）=ex 在（﹣∞，+∞）上为增函数． 故选 C． 【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞， 0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函 数的图像得到单调性. 5.设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 等 差 数 列 前 项 和 公 式 化 简 ， 再 利 用 等 差 数 列 性 质 ： 即可计算出 . 的 1 x 2 1 1 2 1 2 1 1 x x x x x x −− = 2 1 1 2 x x x x − > 0 1 x { }na n nS 5 35a a= 9 5 S S = 25 9 9 25 n 9 5 S S m n p qm n p q a a a a+ = + ⇒ + = + 9 5 S S【详解】 ，又 . 故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的前 项和以及等差数列的性质，属于基础题. 6.将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 的 表达式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先计算出函数 的图象向右平移 个单位的函数，再根据 化简即 可. 【详解】∵将函数 的图象向右平移 个单位得 ， . 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换，属于基础题. 7.设 是 0，1，2，3，4，5 中任意两个不同的数，那么复数 恰好是纯虚数的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 5 35a a= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 9 1 99 5 1 55 1 5 3 9 9 9 22 95 5 5 2 2 a a a aS a a aS a a a + + ×= = = =+ + × n cos2y x= 4 π ( ) siny f x x= ⋅ ( )f x ( ) 2cosf x x= − ( ) 2cosf x x= 2( ) sin22f x x= 2( ) (sin 2 cos2 )2f x x x= + cos2y x= 4 π ( ) siny f x x= ⋅ cos2y x= 4 π cos2 4y x π = −   cos 2 sin 2 2sin cos ( ) sin2x x x x f x x π = − = = = ⋅   ( ) 2cosf x x∴ = ,x y x yi+ 1 6 1 3 1 5 1 30【解析】 【分析】 根据纯虚数的概念，若复数 恰好是纯虚数，即实部是 0. 【详解】有题意知本题是一个古典概型， 实验发生包含的事件是从 6 个数字中任取 2 个数字，共有 种结果， 满足条件的事件是复数 恰好是纯虚数，即实部是 0，这样虚部有 5 中结果， ∴复数 恰好是纯虚数的概率为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型，属于基础题. 8.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆， 则该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图可知道该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上， 两底面相对接的图形. 【详解】由题意可得三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分， 然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形， 圆锥的底面半径为 1，母线长为 2， 该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的 2 倍的和， 圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，高为 ， . 故选：A x yi+ 6 5 30× = x yi+ x yi+ 5 1 30 6 = 2( 3)π + 2 3π + 3π + 2 3π + 3 1 12 2 2 3 2 1 2 2( 3 )2 2S S S π π= + = × × × + × × × = +截面 圆锥侧【点睛】本题主要考查了根据三视图还原几何体，组合体的表面积，解决此类问题的关键是 还原几何体，属于中等题. 9.．阅读如图的程序框图. 若输入 , 则输出 的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：第一圈，n=6,n=13,否 k=1； 第二圈，n=13,n=27,否 k=2； 第三圈，n=27,n=55,否 k=3； 第四圈，n=55,n=110,是，输出 k=3；故选 B． 考点：本题主要考查程序框图． 点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果． 10.在 所在的平面内有一点 ，如果 ，那么 的面积与 的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先化简 可以得出 ，所以点 P 在 AC 上，再根据三角形 6n = k 2 3 4 5 ABC P 2PA PC AB PB+ = −    PBC ABC 3 4 1 2 1 3 2 3 2PA PC AB PB+ = −    3 0PA PC+ = 面积公式即可得出 . 【详解】 ， ， ∴点 在边 上，且 ，如下图 设 的 边上的高为 ， . 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题. 11.已知四面体 的外接球的球心 在 上，且 平面 ，若 四面体 的体积为 ，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意 为 的中点， 为直角三角形，所以 为球的直径，再根据四面体 的体积为 ，即可求出球的半径，利用球的体积公式即可求出球的体积. 【详解】由题意， 为 的中点， 为直角三角形，如下图 PBC ABC S S △ △ 2PA PC AB PB AB BP AP+ = − = + =        2 3 0PA PC AP PA PC∴ + − = + =     P AC | | 33| | | |, | | 4 PCPA PC AC = ∴ = ABC AC h 1 | | | | 32 1 | | 4| |2 PBC ABC PC hS PC S ACAC h ⋅ ∴ = = = ⋅ △ △ P ABC− O AB PO ⊥ ,2 3ABC AC AB= P ABC− 3 2 3π 2π 2 2π 4 3π O AB ABC AB P ABC− 3 2 O AB ABC设 ，由于 . 又 平面 为球心， ， ， . 故选：D 【点睛】本题主要考查了三棱锥和球的体积公式，属于中等题. 12.已知定义在 上奇函数 满足①对任意 ，都有 成立；②当 时， ，则 在 上根的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意画出函数 及 的图像即可. 【详解】由①知函数 的最小正周期是 3，由②得 ， 画出函数 及 的图像即得. 2AB R= 2 3 , 3 ,AC AB AC R BC R= ∴ = = PO ⊥ ,ABC O OP OA OB R∴ = = = 3 31 1 3 33 , 33 2 6 2P ABCV R R R R R− = × × ⋅ ⋅ = = ∴ = 34 4 33V Rπ π= ⋅ =球 R ( )f x x ( 3) ( )f x f x+ = 30, 2x  ∈   3 3( ) 22 2f x x= − − 1( ) | |f x x = [ 4,4]− ( )f x 1( ) | |f x x = ( )f x 32 0 4( ) 3 33 2 4 2 x x f x x x   ≤ ≤   =    − < ≤    ( )f x 1( ) | |f x x =故选：B 【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，解决此类问题关键是画出两个函数的图像, 属于中等题. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为 y＝a+bx，其中已知 b＝1.23，请估 计使用年限为 20 年时，维修费用约为_________ 【答案】24.68 【解析】 【分析】 根据所给的数据求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中 心点代入求出 a 的值，写出线性回归方程，代入 x 的值，预报出结果． 【详解】∵由表格可知 ， 5， ∴这组数据的样本中心点是（4，5）， 根据样本中心点在线性回归直线上， ∴5＝a+1.23×4， ∴a＝0.08， ∴这组数据对应的线性回归方程是 y＝1.23x+0.08， 2 3 4 5 6 45x + + + += = 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 5y + + + += =∵x＝20， ∴y＝123×20+0.08＝24.68 故答案为 24.68 【点睛】本题考查线性回归方程的求解及应用，考查样本中心点的计算，考查了计算能力， 属于基础题． 14.设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值是 12， 则 的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据约束条件画出平面区域，找出 取到最大值时 的关系，再把 代入 ，得到关于 的二次函数，即可求出最值. 【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 当直线 过直线 与直线 的交点 时， 目标函数 取得最大 12， 即 ，即 ， ,x y 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y − − ≤  − + ≥  ≥ ≥ ( 0, 0)z ax by a b= + > > 2 2 9 4 a b+ 1 2 z ax by= + ,a b a 2 2 9 4 a b+ b 0, 0( )ax by z a b+ = > > 2 0x y− + = 3 6 0x y− − = (4,6) 0, 0( )ax by z a b+ = > > 4 6 12a b+ = 2 3 6a b+ =则 ， 故答案为: . 【点睛】本题给出了二元一次不等式组，求目标函数的最大值，主要考查了二元一次不等式 组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中等题. 15.已知数列 的前项和为 ，且 ，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先化简 可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再利用等比数列的 前 项和公式求出 【详解】∵数列 满足 ， ，解得 ， 当 时， ， ∴数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为 2. 则 ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前 项和公式，属于基础题. 16.已知双曲线 的左右焦点是 ，设 是双曲线右支上一点， 在 上的投影的大小恰好为 的模，且它们的夹角为 ，则双曲线的离心率 是 ___________. 【答案】 22 2 2 21 3 1 1 13 ( 1)9 4 9 2 4 2 2 2 a b bb b + = − + = − + ≥   1 2 { }na nS ( )* 1 11, 2n n na a a n N+= ⋅ = ∈ 2020S = 10103 2 3⋅ − 1 2n n na a+ ⋅ = { }na n 2020S { }na ( )* 1 11, 2n n na a a n+= ⋅ = ∈N 2 1 2a a∴ ⋅ = 2 2a = 2n ≥ 1 2 1 2 1 2 22 n n n n n n n n a a a a a a + + + + + = ⇒ = { }na ( ) ( ) ( )10101010 2020 1 3 2019 2 4 2020 2 2 12 1S 2 1 2 1a a a a a a −−= + + + + + + + = +− −  10103 2 3= ⋅ − 10103 2 3⋅ − n 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F P 1 2F F 1F P 1F P 6 π e 3 1+【解析】 【分析】 根据 在 上的投影的大小恰好为 的模，得出 ，再利用直角三角形，双 曲线的定义即可求出离心率 . 【详解】 在 上的投影的大小恰好为 的模， 又因为它们的夹角为 ， ∴在 中， ， 根据双曲线的定义 ， 所以 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，属于基础题. 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.设函数 .直线 与函数 图象相 邻两交点的距离为 . （1）求 的值； （2）在 中，角 所对的边分别是 、 、 .若点 是函数 图 象的一个对称中心，且 ，求 外接圆的面积. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）化简 ，因为 的最大值为 ，函数 的最小正周期为 ，利用 ，得 . 1 2F F FP 1F P 1 2PF PF⊥ e 1 2F F FP 1F P 1 2PF PF∴ ⊥ 1 2,6 6PF F π π∴∠ = 1 2PF FRt△ 1 2 1 22 , 3 ,F F c PF c PF c= ∴ = = 1 2 3 2 , 3 1cPF PF c c a a − = − = ∴ = + 3 1e = + 3 1+ 2( ) sin 2cos 1( 0)6 2f x x x π ωω ω = − − + >   3y = ( )y f x= π ω ABC 、 、A B C a b c ,02 B     ( )y f x= 3b = ABC 2 3π 2( ) sin 2cos 16 2 3sin 3xf x x x π ωω πω = − − + = −    ( )f x 3 ( )f x π 2π πω = 2ω =（2）根据点 是函数 图象的一个对称中心求出角 的值，再利用正弦定理求 出外接圆的半径，根据圆的面积公式即可求出圆的面积. 【详解】（1） ， 因为 的最大值为 ，依题意，函数 的最小正周期为 ， 由 ，得 . （2）因为 ，依题意 ， ， ， 由正弦定理 ， 外接圆的面积为 . 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、三角函数的降幂公式、三角函数的图像与性质 和正弦定理等知识，属于中等题. 18.为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞 赛的成绩（得分均为整数，满分 100 分）整理，制成下表： 成绩 频数 2 3 14 15 14 4 （1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图； ,02 B     ( )y f x= B 1 cos( ) sin cos cos sin 2 16 6 2 xf x x x π π ωω ω += ⋅ − ⋅ − ⋅ + 3 3 1 3sin cos 3 sin cos2 2 2 2x x x xω ω ω ω = − = −    3sin 3x πω = −   ( )f x 3 ( )f x π 2π πω = 2ω = ( ) 3sin 2 3f x x π = −   3sin 03B π − =   sin 03B π − =   20 , , 0,3 3 3 3 3B B B B π π π ππ π< < − < − < ∴ − = = 32 , 2 , 3sin 3 2 b R R RB = = ∴ = ABC 2 3Rπ π= [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)（2）若从成绩在 中选一名学生，从成绩在 中选出 2 名学生，共 3 名学生召开 座谈会，求 组中学生 和 组中学生 同时被选中的概率？ 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）计算出各组的频率即可. （2）记 中的学生为 ； 中的学生为 ，找出基本事件， ， 同时被抽得的事件即可。 【详解】（1）各组频率分别为 0.04，0.06，0.28，0.30，0.24，0.08， 所以，图中各组的纵坐标分别为 0.004，0.006，0.028，0.03，0.024，0.008. （2）记 中的学生为 ； 中的学生为 ， 由题意可得，基本事件为 ， 共 12 个， 满足 同时被选中的事件为 共 3 个， ∴学生 和 同时被选中的概率为 . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型，需要熟悉掌握古典概型的求法， 属于基础题. 19.如图, 是边长为 4 正方形， 平面 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）设点 是线段 上一个动点，试确定点 的位置，使得 平面 ，并 的 [40,50) [90,100) [40,50) 1A [90,100) 1B 1 4 [40,50) 1 2,A A [90,100) 1 2 3 4, , ,B B B B 1A 1B [40,50) 1 2,A A [90,100) 1 2 3 4, , ,B B B B 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 1 2 2 1 3 2 1 4, , , , , , , ,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B 2 2 3 2 2 4 2 3 4, ,A B B A B B A B B 1 1A B 1 1 2 1 1 3 1 1 4, ,A B B A B B A B B 1A 1B 3 1 12 4P = = DE ⊥ ABCD AF DE∥ 4DE AF= AC ⊥ BDE M BD M AM  BEF证明你的结论． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）当 是线段 的一个四等分点，即 时， 平面 ． 证明过程见详解. 【解析】 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）先判断 是线段 的一个四等分点，即 时， 平面 ． 再由线面平行的判定定理即可证明结论成立. 【详解】（1）证明：因为 平面 ， 所以 . 因为 是正方形， 所以 ，因为 , 从而 平面 . （2）当 是线段 的一个四等分点，即 时， 平面 ． 取 上的四等分点 ，使 ，连结 ，则 ，且 , 因为 ，且 ，所以 ，且 ， 故四边形 是平行四边形． 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 【点睛】本题主要考查线面垂直与线面平行的判定，熟记判定定理即可，属于常考题型. 20.设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，离心率为 ， 在 轴负半轴上有一点 ，且 M BD 4BM BD= AM  BEF M BD 4BM BD= AM  BEF DE ⊥ ABCD DE AC⊥ ABCD AC BD⊥ DE BD D∩ = AC ⊥ BDE M BD 4BM BD= AM  BEF BE N 4BN BE= ,MN NF DE MN 4DE MN= AF DE∥ 4DE AF= AF MN AF MN= AMNF AM FN AM ⊄ BEF FN ⊂ BEF AM  BEF 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b + = > > 1 2F F、 A 1 2 x B 2 12 .BF BF= （1）若过 三点的圆 恰好与直线 相切，求椭圆 C 的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 C 交于 两点，在 轴 上是否存在点 ，使得以 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 的取 值范围；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） ；（2）存在满足题意的点 且 的取值范围是 ． 【解析】 分析】 （1）根据 ，得 ，所以|F1F2|＝a，利用 ，可得 F1 为 BF2 的中点，从 而可得△ABF2 的外接圆圆心为 ，半径 r＝|F1A|＝a，根据过 A、B、F2 三点的圆与直 线 相切，利用点到直线的距离公式，即可确定椭圆方程； （2）由（1）知 F2（1，0），设 l 的方程为：y＝k（x﹣1）与椭圆方程联立，利用韦达定理， 结合菱形对角线垂直，所以 ，可得 m，k 之间的关系，从而可得结论． 【详解】（1）由题意 ，得 ，所以|F1F2|＝a，∵|AF1|＝|AF2|＝a， ， ∴F1 为 BF2 的中点，∴|AF1|＝|AF2|＝|F1F2|＝a，∴△ABF2 的外接圆圆心为 ，半径 r ＝|F1A|＝a， 又过 A、B、F2 三点的圆与直线 相切，所以 ， 【 2A B F、 、 3 3 0x y− − = 2F k l M N、 x ( ,0)P m ,PM PN m 2 2 14 3 x y+ = P m 10, 4      1 2 c a = 1 2c a= 2 12 .BF BF=  1 ,02 aF  −   3 3 0x y− − = ( ) 0PM PN MN+ ⋅ =   1 2 c a = 1 2c a= 2 12 .BF BF=  1 ,02 aF  −   3 3 0x y− − = 1 32 2 a a − − =∴a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴所求椭圆方程为 ； （2）由（1）知 F2（1，0），设 l 的方程为：y＝k（x﹣1）， 将直线方程与椭圆方程联立 ，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0； 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 ； 假设存在点 P（m，0），使得以 PM，PN 为邻边的平行四边形是菱形，由于菱形对角线垂直， 所以 ， 又 又 MN 的方向向量是（1，k），故 k（y1+y2）+x1+x2﹣2m＝0，则 k2（x1+x2﹣2）+x1+x2﹣2m＝ 0， 即 ，由已知条件知 k≠0 且 k∈R， ∴ ，∴ ，故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理 的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键，属于中档题． 21.已知函数 . （1）若函数 在其定义域内为增函数，求实数 的取值范围； （2）设 ，若 存在两个零点 且 ，证明： 函数 在 处的切线不可能平行于 轴. 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1 将 在其定义域内为增函数，转化成 对 恒成立. 2 2 14 3 x y+ = 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = − + = ( )2 1 2 1 2 1 22 8 , 23 4 kx x y y k x xk + = + = + −+ ( ) 0PM PN MN+ ⋅ =   ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , 2 ,PM PN x m y x m y x x m y y+ = − + − = + − +  2 2 2 2 2 8 82 2 03 4 3 4 k kk mk k  − + − = + +  2 2 2 1 33 4 4 m k k k = =+ + 10 4m< < 10, 4      2( ) 2ln(2 )f x x x= + ( ) ( )g x f x ax= + a 2( ) 2 ( ) 3 ( )h x f x x kx k R= − − ∈ ( )h x ,m n 02x m n= + ( )h x ( )( )0 0,x h x x [ 2 2, )− +∞ ( ) ( )g x f x ax= + ( )' 0g x ≥ ( )0,x∈ +∞（2）对于存在性问题，首先假设存在，即 在 处的切线可能平行于 轴再利 用导数研究 在 上的单调性，最后出现矛盾，说明假设不成立. 【详解】（1） ， 由已知，得 对一切 恒成立， ，即 对一切 恒成立， ， 的取值范围为 . （2） ， 由已知得 . ，即 . 假设结论不成立，即 ，则 . 又 ， ， . 令 ，则有 . 令 . . 在 上是增函数， ( )h x ( )( )0 0,x h x x 2( 1)( ) ln 1 tt t t γ −= − + ( )1,+∞ 2 2 1( ) ln(2 ) , ( ) 2 2 ( 0)2g x x x ax g x x a x a xx x ′= + + = + + = + + > ( ) 0g x′ ≥ (0, )x∈ +∞ 12 0x ax ∴ + + ≥ 12a x x  ≥ − +   (0, )x∈ +∞ 12 2 2, 2 2x ax  − + ≤ − ∴ ≥ −   a∴ [ 2 2, )− +∞ 2 2 2( ) 2 ln(2 ) 3 2ln(2 )h x x x x kx x x kx = + − − = − −  2 2( ) 2ln(2 ) 0, ( ) 2ln(2 ) 0h m m m km h n n n kn− = − − = = − − = ( ) ( )2 22ln n n kn m kmm ∴ = + − + 2ln ( )( ) ( )n n m n m k n mm = + − + − ( )0 0h x′ = 0 0 0 0 2 22 0, 2x k k xx x − − = ∴ = − 02x m n= + 0 0 22ln ( )( ) 2 ( )n n m n m x n mm x  ∴ = + − + − −    4 4( )( ) ( ) ( )n m n m m n n m n mm n n m  = + − + − − − = − + +  2( )ln n n m m n m −∴ = + (1, )n tm = ∈ +∞ 2( 1)ln 1 tt t −= + 2( 1)( ) ln , 11 tt t tt γ −= − >+ ( )2 2 2 2 2 2 1 41 2( 1) 2( 1) ( 1) 1 4 ( 1)( ) 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) t tt t tt t t t t t t t t γ + −+ − − ⋅ + −′∴ = − = − = = >+ + + + ( )tγ∴ (1, )+∞∴当 时， ，即 . ∴当 时， 不可能成立， ∴假设不成立， 在 处的切线不平行于 轴. 【点睛】本题难度比较大，主要考查用导数法研究函数的单调性，体现了转化的思想和分类 讨论的思想，属于难题. 22.在极坐标系中，已知点 到直线 的距离为 3. （1）求实数 的值； （2）设 是直线 上的动点， 在线段 上，且满足 ，求点 轨迹方程， 并指出轨迹是什么图形. 【答案】（1） ；（2） ，点 的轨迹是以 为圆 心， 为半径的圆 【解析】 【分析】 （1）把 化成直角坐标方程为 ，再根据点到直线 的距离公式即可算出 . （2）首先根据由直线 极坐标方程 ，设 ，找出 两点之间的关系，把点 代入直线方程即可. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系，则点 的直角坐标为 ，直线 的直角坐标方程为 ， 由点 到直线 的距离为 . 1t > ( ) (1) 0tγ γ> = 2( 1)ln 01 tt t −− >+ 1t > 2( 1)ln 1 tt t −= + ( )h x∴ ( )( )0 0,x h x x ( 2,0)A : sin ( 0)4l m m πρ θ − = >   m P l Q OP | | | | 1OP OQ⋅ = Q 2 2 2 2 2 1 8 8 16x y    + + − =          Q 2 2,8 8  −    1 4 : sin ( 0)4l m m πρ θ − = >   2 0x y m− + = m l sin 24 πρ θ − =   ( )0 0, , ( , )P Qρ θ ρ θ ,P Q Q x A ( 2,0) l 2 0x y m− + = A l | 2 2 | 1 3, 2 2 md m m += = + = ∴ =（2）由（1）得直线 的方程为 ， 设 ，则 ，① 因 点 在直线 上，所以 ，② 将①代入②，得 . 则点 的轨迹方程为 ， 化为直角坐标方程为 ， 则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标之间的互化,以及轨迹问题,属于中等题. 23.已知 f(x)=x|x-a|-2 (1)当 a=1 时，解不等式 f(x)