2020 届安康中学高三第三次模拟考试卷
文科数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中,
只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 , ,则集合 不可能是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【 详 解 】 因 为 , 所 以 , 对 于 A , ; 对 于 B ,
;对于 C, A;对于 D,易
知 ,因此选 C.
2.已知 是虚数单位,则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
{ | 0}A y y= ≥ A B B∩ = B
{ | 0}y y x x= ≥, 1{ | }2
x
y y x R, = ∈
{ }lg 0y y x x= , ∅
A B B= B A⊆ { | 0}y y x x A,= ≥ =
{ }1| | 02
x
y y x y y
= ∈ = >
R, ⊄ A { }lg 0y y x x= = R, ⊄
∅ ⊄ A
i 1 2
2
i
i
−
+
i 4
5 i− 4 3
5 5 i− i−【解析】
【分析】
直接利用复数之间的代数运算即可.
【详解】 .
故选:D
【点睛】本题主要考查了复数的代数运算,属于基础题.
3.过点 且垂直于直线 的直线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设出垂直于直线 的直线方程 ,把 带入 解
出 即可.
【详解】设垂直于直线 的直线方程为 ,
又直线过点 ,解得 ,
故所求直线的方程为 .
故选:D
【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的设法,属于基础题.
4.下列函数 中,满足“对任意的 ,当 时,总有 ”的
是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
1 2 (1 2 )(2 ) 5
2 (2 )(2 ) 5
i i i i ii i i
− − − −= = = −+ + −
(2,3)A 2 7 0x y+ − =
2 5 0x y− + = 2 7 0x y+ − = 2 3 0x y− + =
2 4 0x y− + =
2 7 0x y+ − = 2 0x y m− + = (2,3)A 2 0x y m− + =
m
2 5 0x y+ − = 2 0x y m− + =
(2,3), 2 2 3 0A m∴ − × + = 4m =
2 4 0x y− + =
( )f x 1 2, ( ,0)x x ∈ −∞ 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x>
2( ) ( 1)f x x= + ( ) ln( 1)f x x= − 1( )f x x
=
( ) xf x e=【分析】
根据题目所给条件,说明函数 f(x)在(﹣∞,0)上应为减函数,其中选项 A 是二次函数,
C 是反比例函数,D 是指数函数,图象情况易于判断,B 是对数型的,从定义域上就可以排
除.
【详解】函数满足“对任意的 x1,x2∈(﹣∞,0),当 x1<x2 时,总有 f(x1)>f(x2)”,说
明函数在(﹣∞,1)上为减函数.
f(x)=(x+1)2 是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为 x=﹣1,所以函数
在(﹣∞,﹣1)单调递减,在(﹣1,+∞)单调递增,不满足题意.
函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为(1,+∞),所以函数在(﹣∞,0)无意义.
对于函数 f(x)= ,设 x1<x2<0,则 f(x1)﹣f(x2)= ,因为 x1,x2∈
(﹣∞,0),且 x1<x20,x2﹣x1>0,则 ,所以 f(x1)>f(x2),故函数 f(x)=
在(﹣∞,0)上为减函数.函数 f(x)=ex 在(﹣∞,+∞)上为增函数.
故选 C.
【点睛】本题考查了函数的单调性,解决此题的关键,是能根据题目条件断定函数为(﹣∞,
0)上的减函数.判断函数单调性的方法有:根据函数模型判断,由单调性得到结论,根据函
数的图像得到单调性.
5.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 2 B. C. 9 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根 据 等 差 数 列 前 项 和 公 式 化 简 , 再 利 用 等 差 数 列 性 质 :
即可计算出 .
的
1
x
2 1
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
−− =
2 1
1 2
x x
x x
− > 0 1
x
{ }na n nS 5 35a a= 9
5
S
S
=
25
9
9
25
n 9
5
S
S
m n p qm n p q a a a a+ = + ⇒ + = + 9
5
S
S【详解】 ,又 .
故选:C
【点睛】本题主要考查了等差数列的前 项和以及等差数列的性质,属于基础题.
6.将函数 的图象向右平移 个单位,得到函数 的图象,则 的
表达式可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先计算出函数 的图象向右平移 个单位的函数,再根据 化简即
可.
【详解】∵将函数 的图象向右平移 个单位得
,
.
故选:B
【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换,属于基础题.
7.设 是 0,1,2,3,4,5 中任意两个不同的数,那么复数 恰好是纯虚数的概率为
( )
A. B. C. D.
【答案】A
5 35a a=
( )
( )
( )
( )
1 9
1 99 5
1 55 1 5 3
9
9 9 22 95 5 5 2
2
a a
a aS a
a aS a a a
+
+ ×= = = =+ + ×
n
cos2y x=
4
π
( ) siny f x x= ⋅ ( )f x
( ) 2cosf x x= − ( ) 2cosf x x=
2( ) sin22f x x= 2( ) (sin 2 cos2 )2f x x x= +
cos2y x=
4
π
( ) siny f x x= ⋅
cos2y x=
4
π
cos2 4y x
π = −
cos 2 sin 2 2sin cos ( ) sin2x x x x f x x
π = − = = = ⋅
( ) 2cosf x x∴ =
,x y x yi+
1
6
1
3
1
5
1
30【解析】
【分析】
根据纯虚数的概念,若复数 恰好是纯虚数,即实部是 0.
【详解】有题意知本题是一个古典概型,
实验发生包含的事件是从 6 个数字中任取 2 个数字,共有 种结果,
满足条件的事件是复数 恰好是纯虚数,即实部是 0,这样虚部有 5 中结果,
∴复数 恰好是纯虚数的概率为 .
故选:A
【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型,属于基础题.
8.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,
则该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图可知道该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上,
两底面相对接的图形.
【详解】由题意可得三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,
然后把截面放在平面上,两底面相对接的图形,
圆锥的底面半径为 1,母线长为 2,
该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的 2 倍的和,
圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,高为 ,
.
故选:A
x yi+
6 5 30× =
x yi+
x yi+ 5 1
30 6
=
2( 3)π + 2 3π + 3π + 2 3π +
3
1 12 2 2 3 2 1 2 2( 3 )2 2S S S π π= + = × × × + × × × = +截面 圆锥侧【点睛】本题主要考查了根据三视图还原几何体,组合体的表面积,解决此类问题的关键是
还原几何体,属于中等题.
9..阅读如图的程序框图. 若输入 , 则输出 的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:第一圈,n=6,n=13,否 k=1;
第二圈,n=13,n=27,否 k=2;
第三圈,n=27,n=55,否 k=3;
第四圈,n=55,n=110,是,输出 k=3;故选 B.
考点:本题主要考查程序框图.
点评:简单题,解的思路明确,主要看对程序框图的理解,注意逐次循环看结果.
10.在 所在的平面内有一点 ,如果 ,那么 的面积与
的面积之比是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先化简 可以得出 ,所以点 P 在 AC 上,再根据三角形
6n = k
2 3 4 5
ABC P 2PA PC AB PB+ = − PBC
ABC
3
4
1
2
1
3
2
3
2PA PC AB PB+ = − 3 0PA PC+ = 面积公式即可得出 .
【详解】 ,
,
∴点 在边 上,且 ,如下图
设 的 边上的高为 , .
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题.
11.已知四面体 的外接球的球心 在 上,且 平面 ,若
四面体 的体积为 ,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意 为 的中点, 为直角三角形,所以 为球的直径,再根据四面体
的体积为 ,即可求出球的半径,利用球的体积公式即可求出球的体积.
【详解】由题意, 为 的中点, 为直角三角形,如下图
PBC
ABC
S
S
△
△
2PA PC AB PB AB BP AP+ = − = + =
2 3 0PA PC AP PA PC∴ + − = + =
P AC | | 33| | | |, | | 4
PCPA PC AC
= ∴ =
ABC AC h
1 | | | | 32
1 | | 4| |2
PBC
ABC
PC hS PC
S ACAC h
⋅
∴ = = =
⋅
△
△
P ABC− O AB PO ⊥ ,2 3ABC AC AB=
P ABC− 3
2
3π 2π 2 2π 4 3π
O AB ABC AB
P ABC− 3
2
O AB ABC设 ,由于 .
又 平面 为球心, ,
,
.
故选:D
【点睛】本题主要考查了三棱锥和球的体积公式,属于中等题.
12.已知定义在 上奇函数 满足①对任意 ,都有 成立;②当
时, ,则 在 上根的个数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出函数 及 的图像即可.
【详解】由①知函数 的最小正周期是 3,由②得 ,
画出函数 及 的图像即得.
2AB R= 2 3 , 3 ,AC AB AC R BC R= ∴ = =
PO ⊥ ,ABC O OP OA OB R∴ = = =
3 31 1 3 33 , 33 2 6 2P ABCV R R R R R− = × × ⋅ ⋅ = = ∴ =
34 4 33V Rπ π= ⋅ =球
R ( )f x x ( 3) ( )f x f x+ = 30, 2x ∈
3 3( ) 22 2f x x= − − 1( ) | |f x x
= [ 4,4]−
( )f x 1( ) | |f x x
=
( )f x
32 0 4( )
3 33 2 4 2
x x
f x
x x
≤ ≤ = − < ≤
( )f x 1( ) | |f x x
=故选:B
【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题,解决此类问题关键是画出两个函数的图像,
属于中等题.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,且线性回归方程为 y=a+bx,其中已知 b=1.23,请估
计使用年限为 20 年时,维修费用约为_________
【答案】24.68
【解析】
【分析】
根据所给的数据求出这组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,把样本中
心点代入求出 a 的值,写出线性回归方程,代入 x 的值,预报出结果.
【详解】∵由表格可知 ,
5,
∴这组数据的样本中心点是(4,5),
根据样本中心点在线性回归直线上,
∴5=a+1.23×4,
∴a=0.08,
∴这组数据对应的线性回归方程是 y=1.23x+0.08,
2 3 4 5 6 45x
+ + + += =
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
5y
+ + + += =∵x=20,
∴y=123×20+0.08=24.68
故答案为 24.68
【点睛】本题考查线性回归方程的求解及应用,考查样本中心点的计算,考查了计算能力,
属于基础题.
14.设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值是 12,
则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据约束条件画出平面区域,找出 取到最大值时 的关系,再把 代入
,得到关于 的二次函数,即可求出最值.
【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线 过直线 与直线 的交点 时,
目标函数 取得最大 12,
即 ,即 ,
,x y
3 6 0
2 0
0, 0
x y
x y
x y
− − ≤
− + ≥
≥ ≥
( 0, 0)z ax by a b= + > >
2 2
9 4
a b+
1
2
z ax by= + ,a b a
2 2
9 4
a b+ b
0, 0( )ax by z a b+ = > > 2 0x y− + = 3 6 0x y− − = (4,6)
0, 0( )ax by z a b+ = > >
4 6 12a b+ = 2 3 6a b+ =则 ,
故答案为: .
【点睛】本题给出了二元一次不等式组,求目标函数的最大值,主要考查了二元一次不等式
组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中等题.
15.已知数列 的前项和为 ,且 ,则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先化简 可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,再利用等比数列的
前 项和公式求出
【详解】∵数列 满足 ,
,解得 ,
当 时, ,
∴数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为 2.
则
,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了等比数列的前 项和公式,属于基础题.
16.已知双曲线 的左右焦点是 ,设 是双曲线右支上一点,
在 上的投影的大小恰好为 的模,且它们的夹角为 ,则双曲线的离心率 是
___________.
【答案】
22 2 2
21 3 1 1 13 ( 1)9 4 9 2 4 2 2 2
a b bb b + = − + = − + ≥
1
2
{ }na nS ( )*
1 11, 2n
n na a a n N+= ⋅ = ∈ 2020S =
10103 2 3⋅ −
1 2n
n na a+ ⋅ = { }na
n 2020S
{ }na ( )*
1 11, 2n
n na a a n+= ⋅ = ∈N
2 1 2a a∴ ⋅ = 2 2a =
2n ≥ 1 2
1
2 1
2 22
n
n n n
n
n n n
a a a
a a a
+ +
+
+ +
= ⇒ =
{ }na
( ) ( ) ( )10101010
2020 1 3 2019 2 4 2020
2 2 12 1S 2 1 2 1a a a a a a
−−= + + + + + + + = +− −
10103 2 3= ⋅ −
10103 2 3⋅ −
n
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F P 1 2F F
1F P
1F P
6
π e
3 1+【解析】
【分析】
根据 在 上的投影的大小恰好为 的模,得出 ,再利用直角三角形,双
曲线的定义即可求出离心率 .
【详解】 在 上的投影的大小恰好为 的模,
又因为它们的夹角为 ,
∴在 中, ,
根据双曲线的定义 ,
所以
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法,属于基础题.
三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17.设函数 .直线 与函数 图象相
邻两交点的距离为 .
(1)求 的值;
(2)在 中,角 所对的边分别是 、 、 .若点 是函数 图
象的一个对称中心,且 ,求 外接圆的面积.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)化简 ,因为 的最大值为
,函数 的最小正周期为 ,利用 ,得 .
1 2F F FP
1F P
1 2PF PF⊥
e
1 2F F FP
1F P
1 2PF PF∴ ⊥
1 2,6 6PF F
π π∴∠ =
1 2PF FRt△ 1 2 1 22 , 3 ,F F c PF c PF c= ∴ = =
1 2 3 2 , 3 1cPF PF c c a a
− = − = ∴ = +
3 1e = +
3 1+
2( ) sin 2cos 1( 0)6 2f x x x
π ωω ω = − − + > 3y = ( )y f x=
π
ω
ABC 、 、A B C a b c ,02
B
( )y f x=
3b = ABC
2 3π
2( ) sin 2cos 16 2 3sin 3xf x x x
π ωω πω = − − + = − ( )f x
3 ( )f x π 2π πω = 2ω =(2)根据点 是函数 图象的一个对称中心求出角 的值,再利用正弦定理求
出外接圆的半径,根据圆的面积公式即可求出圆的面积.
【详解】(1)
,
因为 的最大值为 ,依题意,函数 的最小正周期为 ,
由 ,得 .
(2)因为 ,依题意 ,
,
,
由正弦定理 ,
外接圆的面积为 .
【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、三角函数的降幂公式、三角函数的图像与性质
和正弦定理等知识,属于中等题.
18.为了增强学生的环境意识,某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞
赛的成绩(得分均为整数,满分 100 分)整理,制成下表:
成绩
频数 2 3 14 15 14 4
(1)作出被抽查学生成绩的频率分布直方图;
,02
B
( )y f x= B
1 cos( ) sin cos cos sin 2 16 6 2
xf x x x
π π ωω ω += ⋅ − ⋅ − ⋅ +
3 3 1 3sin cos 3 sin cos2 2 2 2x x x xω ω ω ω = − = −
3sin 3x
πω = −
( )f x 3 ( )f x π
2π πω = 2ω =
( ) 3sin 2 3f x x
π = − 3sin 03B
π − =
sin 03B
π − =
20 , , 0,3 3 3 3 3B B B B
π π π ππ π< < − < − < ∴ − = =
32 , 2 , 3sin 3
2
b R R RB
= = ∴ =
ABC 2 3Rπ π=
[40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)(2)若从成绩在 中选一名学生,从成绩在 中选出 2 名学生,共 3 名学生召开
座谈会,求 组中学生 和 组中学生 同时被选中的概率?
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)计算出各组的频率即可.
(2)记 中的学生为 ; 中的学生为 ,找出基本事件,
, 同时被抽得的事件即可。
【详解】(1)各组频率分别为 0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08,
所以,图中各组的纵坐标分别为 0.004,0.006,0.028,0.03,0.024,0.008.
(2)记 中的学生为 ; 中的学生为 ,
由题意可得,基本事件为
,
共 12 个,
满足 同时被选中的事件为 共 3 个,
∴学生 和 同时被选中的概率为 .
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图,以及古典概型,需要熟悉掌握古典概型的求法,
属于基础题.
19.如图, 是边长为 4 正方形, 平面 , , .
(1)求证: 平面 ;
(2)设点 是线段 上一个动点,试确定点 的位置,使得 平面 ,并
的
[40,50) [90,100)
[40,50) 1A [90,100) 1B
1
4
[40,50) 1 2,A A [90,100) 1 2 3 4, , ,B B B B
1A 1B
[40,50) 1 2,A A [90,100) 1 2 3 4, , ,B B B B
1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 1 2 2 1 3 2 1 4, , , , , , , ,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B
2 2 3 2 2 4 2 3 4, ,A B B A B B A B B
1 1A B 1 1 2 1 1 3 1 1 4, ,A B B A B B A B B
1A 1B 3 1
12 4P = =
DE ⊥ ABCD AF DE∥ 4DE AF=
AC ⊥ BDE
M BD M AM BEF证明你的结论.
【答案】(1)证明过程见详解;(2)当 是线段 的一个四等分点,即 时,
平面 . 证明过程见详解.
【解析】
【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理,即可证明结论成立;
(2)先判断 是线段 的一个四等分点,即 时, 平面 .
再由线面平行的判定定理即可证明结论成立.
【详解】(1)证明:因为 平面 ,
所以 .
因为 是正方形,
所以 ,因为 ,
从而 平面 .
(2)当 是线段 的一个四等分点,即 时, 平面 .
取 上的四等分点 ,使 ,连结 ,则 ,且 ,
因为 ,且 ,所以 ,且 ,
故四边形 是平行四边形.
所以 ,
因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
【点睛】本题主要考查线面垂直与线面平行的判定,熟记判定定理即可,属于常考题型.
20.设椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,离心率为
, 在 轴负半轴上有一点 ,且
M BD 4BM BD=
AM BEF
M BD 4BM BD= AM BEF
DE ⊥ ABCD
DE AC⊥
ABCD
AC BD⊥ DE BD D∩ =
AC ⊥ BDE
M BD 4BM BD= AM BEF
BE N 4BN BE= ,MN NF DE MN 4DE MN=
AF DE∥ 4DE AF= AF MN AF MN=
AMNF
AM FN
AM ⊄ BEF FN ⊂ BEF
AM BEF
2 2
2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2F F、 A
1
2
x B 2 12 .BF BF= (1)若过 三点的圆 恰好与直线 相切,求椭圆 C 的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 C 交于 两点,在 轴
上是否存在点 ,使得以 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 的取
值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)存在满足题意的点 且 的取值范围是 .
【解析】
分析】
(1)根据 ,得 ,所以|F1F2|=a,利用 ,可得 F1 为 BF2 的中点,从
而可得△ABF2 的外接圆圆心为 ,半径 r=|F1A|=a,根据过 A、B、F2 三点的圆与直
线 相切,利用点到直线的距离公式,即可确定椭圆方程;
(2)由(1)知 F2(1,0),设 l 的方程为:y=k(x﹣1)与椭圆方程联立,利用韦达定理,
结合菱形对角线垂直,所以 ,可得 m,k 之间的关系,从而可得结论.
【详解】(1)由题意 ,得 ,所以|F1F2|=a,∵|AF1|=|AF2|=a, ,
∴F1 为 BF2 的中点,∴|AF1|=|AF2|=|F1F2|=a,∴△ABF2 的外接圆圆心为 ,半径 r
=|F1A|=a,
又过 A、B、F2 三点的圆与直线 相切,所以 ,
【
2A B F、 、 3 3 0x y− − =
2F k l M N、 x
( ,0)P m ,PM PN m
2 2
14 3
x y+ = P m 10, 4
1
2
c
a
= 1
2c a= 2 12 .BF BF=
1 ,02
aF −
3 3 0x y− − =
( ) 0PM PN MN+ ⋅ =
1
2
c
a
= 1
2c a= 2 12 .BF BF=
1 ,02
aF −
3 3 0x y− − =
1 32
2
a
a
− −
=∴a=2,∴c=1,b2=a2﹣c2=3.∴所求椭圆方程为 ;
(2)由(1)知 F2(1,0),设 l 的方程为:y=k(x﹣1),
将直线方程与椭圆方程联立 ,整理得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0;
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ;
假设存在点 P(m,0),使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,由于菱形对角线垂直,
所以 ,
又
又 MN 的方向向量是(1,k),故 k(y1+y2)+x1+x2﹣2m=0,则 k2(x1+x2﹣2)+x1+x2﹣2m=
0,
即 ,由已知条件知 k≠0 且 k∈R,
∴ ,∴ ,故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 .
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理
的运用,确定椭圆方程,正确运用韦达定理是关键,属于中档题.
21.已知函数 .
(1)若函数 在其定义域内为增函数,求实数 的取值范围;
(2)设 ,若 存在两个零点 且 ,证明:
函数 在 处的切线不可能平行于 轴.
【答案】(1) ;(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1 将 在其定义域内为增函数,转化成 对 恒成立.
2 2
14 3
x y+ =
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= − + =
( )2
1 2 1 2 1 22
8 , 23 4
kx x y y k x xk
+ = + = + −+
( ) 0PM PN MN+ ⋅ =
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , 2 ,PM PN x m y x m y x x m y y+ = − + − = + − +
2 2
2
2 2
8 82 2 03 4 3 4
k kk mk k
− + − = + +
2
2
2
1
33 4 4
m k
k
k
= =+ +
10 4m< < 10, 4
2( ) 2ln(2 )f x x x= +
( ) ( )g x f x ax= + a
2( ) 2 ( ) 3 ( )h x f x x kx k R= − − ∈ ( )h x ,m n 02x m n= +
( )h x ( )( )0 0,x h x x
[ 2 2, )− +∞
( ) ( )g x f x ax= + ( )' 0g x ≥ ( )0,x∈ +∞(2)对于存在性问题,首先假设存在,即 在 处的切线可能平行于 轴再利
用导数研究 在 上的单调性,最后出现矛盾,说明假设不成立.
【详解】(1) ,
由已知,得 对一切 恒成立,
,即 对一切 恒成立,
,
的取值范围为 .
(2) ,
由已知得 .
,即 .
假设结论不成立,即 ,则 .
又 ,
,
.
令 ,则有 .
令 .
.
在 上是增函数,
( )h x ( )( )0 0,x h x x
2( 1)( ) ln 1
tt t t
γ −= − +
( )1,+∞
2 2 1( ) ln(2 ) , ( ) 2 2 ( 0)2g x x x ax g x x a x a xx x
′= + + = + + = + + >
( ) 0g x′ ≥ (0, )x∈ +∞
12 0x ax
∴ + + ≥ 12a x x
≥ − + (0, )x∈ +∞
12 2 2, 2 2x ax
− + ≤ − ∴ ≥ −
a∴ [ 2 2, )− +∞
2 2 2( ) 2 ln(2 ) 3 2ln(2 )h x x x x kx x x kx = + − − = − −
2 2( ) 2ln(2 ) 0, ( ) 2ln(2 ) 0h m m m km h n n n kn− = − − = = − − =
( ) ( )2 22ln n n kn m kmm
∴ = + − + 2ln ( )( ) ( )n n m n m k n mm
= + − + −
( )0 0h x′ = 0 0
0 0
2 22 0, 2x k k xx x
− − = ∴ = −
02x m n= +
0
0
22ln ( )( ) 2 ( )n n m n m x n mm x
∴ = + − + − −
4 4( )( ) ( ) ( )n m n m m n n m n mm n n m
= + − + − − − = − + +
2( )ln n n m
m n m
−∴ = +
(1, )n tm
= ∈ +∞ 2( 1)ln 1
tt t
−= +
2( 1)( ) ln , 11
tt t tt
γ −= − >+
( )2 2
2 2 2 2
1 41 2( 1) 2( 1) ( 1) 1 4 ( 1)( ) 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
t tt t tt t t t t t t t t
γ
+ −+ − − ⋅ + −′∴ = − = − = = >+ + + +
( )tγ∴ (1, )+∞∴当 时, ,即 .
∴当 时, 不可能成立,
∴假设不成立,
在 处的切线不平行于 轴.
【点睛】本题难度比较大,主要考查用导数法研究函数的单调性,体现了转化的思想和分类
讨论的思想,属于难题.
22.在极坐标系中,已知点 到直线 的距离为 3.
(1)求实数 的值;
(2)设 是直线 上的动点, 在线段 上,且满足 ,求点 轨迹方程,
并指出轨迹是什么图形.
【答案】(1) ;(2) ,点 的轨迹是以 为圆
心, 为半径的圆
【解析】
【分析】
(1)把 化成直角坐标方程为 ,再根据点到直线
的距离公式即可算出 .
(2)首先根据由直线 极坐标方程 ,设 ,找出
两点之间的关系,把点 代入直线方程即可.
【详解】(1)以极点为原点,极轴为 轴的正半轴,建立直角坐标系,则点 的直角坐标为
,直线 的直角坐标方程为 ,
由点 到直线 的距离为 .
1t > ( ) (1) 0tγ γ> = 2( 1)ln 01
tt t
−− >+
1t > 2( 1)ln 1
tt t
−= +
( )h x∴ ( )( )0 0,x h x x
( 2,0)A : sin ( 0)4l m m
πρ θ − = >
m
P l Q OP | | | | 1OP OQ⋅ = Q
2
2 2
2 2 1
8 8 16x y
+ + − =
Q 2 2,8 8
−
1
4
: sin ( 0)4l m m
πρ θ − = > 2 0x y m− + =
m
l sin 24
πρ θ − =
( )0 0, , ( , )P Qρ θ ρ θ ,P Q
Q
x A
( 2,0) l 2 0x y m− + =
A l | 2 2 | 1 3, 2
2
md m m
+= = + = ∴ =(2)由(1)得直线 的方程为 ,
设 ,则 ,①
因 点 在直线 上,所以 ,②
将①代入②,得 .
则点 的轨迹方程为 ,
化为直角坐标方程为 ,
则点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆
【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标之间的互化,以及轨迹问题,属于中等题.
23.已知 f(x)=x|x-a|-2
(1)当 a=1 时,解不等式 f(x)