陕西省安康中学2020届高三文科数学第三次模拟试题(解析版)
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陕西省安康中学2020届高三文科数学第三次模拟试题(解析版)

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资料简介
2020 届安康中学高三第三次模拟考试卷 文科数学 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 , ,则集合 不可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【 详 解 】 因 为 , 所 以 , 对 于 A , ; 对 于 B , ;对于 C, A;对于 D,易 知 ,因此选 C. 2.已知 是虚数单位,则 等于( ) A. B. C. D. 【答案】D { | 0}A y y= ≥ A B B∩ = B { | 0}y y x x= ≥, 1{ | }2 x y y x R, = ∈   { }lg 0y y x x= , ∅ A B B= B A⊆ { | 0}y y x x A,= ≥ = { }1| | 02 x y y x y y    = ∈ = >      R, ⊄ A { }lg 0y y x x= = R, ⊄ ∅ ⊄ A i 1 2 2 i i − + i 4 5 i− 4 3 5 5 i− i−【解析】 【分析】 直接利用复数之间的代数运算即可. 【详解】 . 故选:D 【点睛】本题主要考查了复数的代数运算,属于基础题. 3.过点 且垂直于直线 的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出垂直于直线 的直线方程 ,把 带入 解 出 即可. 【详解】设垂直于直线 的直线方程为 , 又直线过点 ,解得 , 故所求直线的方程为 . 故选:D 【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的设法,属于基础题. 4.下列函数 中,满足“对任意的 ,当 时,总有 ”的 是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 1 2 (1 2 )(2 ) 5 2 (2 )(2 ) 5 i i i i ii i i − − − −= = = −+ + − (2,3)A 2 7 0x y+ − = 2 5 0x y− + = 2 7 0x y+ − = 2 3 0x y− + = 2 4 0x y− + = 2 7 0x y+ − = 2 0x y m− + = (2,3)A 2 0x y m− + = m 2 5 0x y+ − = 2 0x y m− + = (2,3), 2 2 3 0A m∴ − × + = 4m = 2 4 0x y− + = ( )f x 1 2, ( ,0)x x ∈ −∞ 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x> 2( ) ( 1)f x x= + ( ) ln( 1)f x x= − 1( )f x x = ( ) xf x e=【分析】 根据题目所给条件,说明函数 f(x)在(﹣∞,0)上应为减函数,其中选项 A 是二次函数, C 是反比例函数,D 是指数函数,图象情况易于判断,B 是对数型的,从定义域上就可以排 除. 【详解】函数满足“对任意的 x1,x2∈(﹣∞,0),当 x1<x2 时,总有 f(x1)>f(x2)”,说 明函数在(﹣∞,1)上为减函数. f(x)=(x+1)2 是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为 x=﹣1,所以函数 在(﹣∞,﹣1)单调递减,在(﹣1,+∞)单调递增,不满足题意. 函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为(1,+∞),所以函数在(﹣∞,0)无意义. 对于函数 f(x)= ,设 x1<x2<0,则 f(x1)﹣f(x2)= ,因为 x1,x2∈ (﹣∞,0),且 x1<x20,x2﹣x1>0,则 ,所以 f(x1)>f(x2),故函数 f(x)= 在(﹣∞,0)上为减函数.函数 f(x)=ex 在(﹣∞,+∞)上为增函数. 故选 C. 【点睛】本题考查了函数的单调性,解决此题的关键,是能根据题目条件断定函数为(﹣∞, 0)上的减函数.判断函数单调性的方法有:根据函数模型判断,由单调性得到结论,根据函 数的图像得到单调性. 5.设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( ) A. 2 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 等 差 数 列 前 项 和 公 式 化 简 , 再 利 用 等 差 数 列 性 质 : 即可计算出 . 的 1 x 2 1 1 2 1 2 1 1 x x x x x x −− = 2 1 1 2 x x x x − > 0 1 x { }na n nS 5 35a a= 9 5 S S = 25 9 9 25 n 9 5 S S m n p qm n p q a a a a+ = + ⇒ + = + 9 5 S S【详解】 ,又 . 故选:C 【点睛】本题主要考查了等差数列的前 项和以及等差数列的性质,属于基础题. 6.将函数 的图象向右平移 个单位,得到函数 的图象,则 的 表达式可以是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先计算出函数 的图象向右平移 个单位的函数,再根据 化简即 可. 【详解】∵将函数 的图象向右平移 个单位得 , . 故选:B 【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换,属于基础题. 7.设 是 0,1,2,3,4,5 中任意两个不同的数,那么复数 恰好是纯虚数的概率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 5 35a a= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 9 1 99 5 1 55 1 5 3 9 9 9 22 95 5 5 2 2 a a a aS a a aS a a a + + ×= = = =+ + × n cos2y x= 4 π ( ) siny f x x= ⋅ ( )f x ( ) 2cosf x x= − ( ) 2cosf x x= 2( ) sin22f x x= 2( ) (sin 2 cos2 )2f x x x= + cos2y x= 4 π ( ) siny f x x= ⋅ cos2y x= 4 π cos2 4y x π = −   cos 2 sin 2 2sin cos ( ) sin2x x x x f x x π = − = = = ⋅   ( ) 2cosf x x∴ = ,x y x yi+ 1 6 1 3 1 5 1 30【解析】 【分析】 根据纯虚数的概念,若复数 恰好是纯虚数,即实部是 0. 【详解】有题意知本题是一个古典概型, 实验发生包含的事件是从 6 个数字中任取 2 个数字,共有 种结果, 满足条件的事件是复数 恰好是纯虚数,即实部是 0,这样虚部有 5 中结果, ∴复数 恰好是纯虚数的概率为 . 故选:A 【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型,属于基础题. 8.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆, 则该几何体的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何体的三视图可知道该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上, 两底面相对接的图形. 【详解】由题意可得三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分, 然后把截面放在平面上,两底面相对接的图形, 圆锥的底面半径为 1,母线长为 2, 该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的 2 倍的和, 圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形,高为 , . 故选:A x yi+ 6 5 30× = x yi+ x yi+ 5 1 30 6 = 2( 3)π + 2 3π + 3π + 2 3π + 3 1 12 2 2 3 2 1 2 2( 3 )2 2S S S π π= + = × × × + × × × = +截面 圆锥侧【点睛】本题主要考查了根据三视图还原几何体,组合体的表面积,解决此类问题的关键是 还原几何体,属于中等题. 9..阅读如图的程序框图. 若输入 , 则输出 的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析:第一圈,n=6,n=13,否 k=1; 第二圈,n=13,n=27,否 k=2; 第三圈,n=27,n=55,否 k=3; 第四圈,n=55,n=110,是,输出 k=3;故选 B. 考点:本题主要考查程序框图. 点评:简单题,解的思路明确,主要看对程序框图的理解,注意逐次循环看结果. 10.在 所在的平面内有一点 ,如果 ,那么 的面积与 的面积之比是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先化简 可以得出 ,所以点 P 在 AC 上,再根据三角形 6n = k 2 3 4 5 ABC P 2PA PC AB PB+ = −    PBC ABC 3 4 1 2 1 3 2 3 2PA PC AB PB+ = −    3 0PA PC+ = 面积公式即可得出 . 【详解】 , , ∴点 在边 上,且 ,如下图 设 的 边上的高为 , . 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题. 11.已知四面体 的外接球的球心 在 上,且 平面 ,若 四面体 的体积为 ,则该球的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意 为 的中点, 为直角三角形,所以 为球的直径,再根据四面体 的体积为 ,即可求出球的半径,利用球的体积公式即可求出球的体积. 【详解】由题意, 为 的中点, 为直角三角形,如下图 PBC ABC S S △ △ 2PA PC AB PB AB BP AP+ = − = + =        2 3 0PA PC AP PA PC∴ + − = + =     P AC | | 33| | | |, | | 4 PCPA PC AC = ∴ = ABC AC h 1 | | | | 32 1 | | 4| |2 PBC ABC PC hS PC S ACAC h ⋅ ∴ = = = ⋅ △ △ P ABC− O AB PO ⊥ ,2 3ABC AC AB= P ABC− 3 2 3π 2π 2 2π 4 3π O AB ABC AB P ABC− 3 2 O AB ABC设 ,由于 . 又 平面 为球心, , , . 故选:D 【点睛】本题主要考查了三棱锥和球的体积公式,属于中等题. 12.已知定义在 上奇函数 满足①对任意 ,都有 成立;②当 时, ,则 在 上根的个数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意画出函数 及 的图像即可. 【详解】由①知函数 的最小正周期是 3,由②得 , 画出函数 及 的图像即得. 2AB R= 2 3 , 3 ,AC AB AC R BC R= ∴ = = PO ⊥ ,ABC O OP OA OB R∴ = = = 3 31 1 3 33 , 33 2 6 2P ABCV R R R R R− = × × ⋅ ⋅ = = ∴ = 34 4 33V Rπ π= ⋅ =球 R ( )f x x ( 3) ( )f x f x+ = 30, 2x  ∈   3 3( ) 22 2f x x= − − 1( ) | |f x x = [ 4,4]− ( )f x 1( ) | |f x x = ( )f x 32 0 4( ) 3 33 2 4 2 x x f x x x   ≤ ≤   =    − < ≤    ( )f x 1( ) | |f x x =故选:B 【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题,解决此类问题关键是画出两个函数的图像, 属于中等题. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计资料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,且线性回归方程为 y=a+bx,其中已知 b=1.23,请估 计使用年限为 20 年时,维修费用约为_________ 【答案】24.68 【解析】 【分析】 根据所给的数据求出这组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,把样本中 心点代入求出 a 的值,写出线性回归方程,代入 x 的值,预报出结果. 【详解】∵由表格可知 , 5, ∴这组数据的样本中心点是(4,5), 根据样本中心点在线性回归直线上, ∴5=a+1.23×4, ∴a=0.08, ∴这组数据对应的线性回归方程是 y=1.23x+0.08, 2 3 4 5 6 45x + + + += = 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 5y + + + += =∵x=20, ∴y=123×20+0.08=24.68 故答案为 24.68 【点睛】本题考查线性回归方程的求解及应用,考查样本中心点的计算,考查了计算能力, 属于基础题. 14.设 满足约束条件 ,若目标函数 的最大值是 12, 则 的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据约束条件画出平面区域,找出 取到最大值时 的关系,再把 代入 ,得到关于 的二次函数,即可求出最值. 【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 过直线 与直线 的交点 时, 目标函数 取得最大 12, 即 ,即 , ,x y 3 6 0 2 0 0, 0 x y x y x y − − ≤  − + ≥  ≥ ≥ ( 0, 0)z ax by a b= + > > 2 2 9 4 a b+ 1 2 z ax by= + ,a b a 2 2 9 4 a b+ b 0, 0( )ax by z a b+ = > > 2 0x y− + = 3 6 0x y− − = (4,6) 0, 0( )ax by z a b+ = > > 4 6 12a b+ = 2 3 6a b+ =则 , 故答案为: . 【点睛】本题给出了二元一次不等式组,求目标函数的最大值,主要考查了二元一次不等式 组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于中等题. 15.已知数列 的前项和为 ,且 ,则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先化简 可得数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,再利用等比数列的 前 项和公式求出 【详解】∵数列 满足 , ,解得 , 当 时, , ∴数列 的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为 2. 则 , 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前 项和公式,属于基础题. 16.已知双曲线 的左右焦点是 ,设 是双曲线右支上一点, 在 上的投影的大小恰好为 的模,且它们的夹角为 ,则双曲线的离心率 是 ___________. 【答案】 22 2 2 21 3 1 1 13 ( 1)9 4 9 2 4 2 2 2 a b bb b + = − + = − + ≥   1 2 { }na nS ( )* 1 11, 2n n na a a n N+= ⋅ = ∈ 2020S = 10103 2 3⋅ − 1 2n n na a+ ⋅ = { }na n 2020S { }na ( )* 1 11, 2n n na a a n+= ⋅ = ∈N 2 1 2a a∴ ⋅ = 2 2a = 2n ≥ 1 2 1 2 1 2 22 n n n n n n n n a a a a a a + + + + + = ⇒ = { }na ( ) ( ) ( )10101010 2020 1 3 2019 2 4 2020 2 2 12 1S 2 1 2 1a a a a a a −−= + + + + + + + = +− −  10103 2 3= ⋅ − 10103 2 3⋅ − n 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F P 1 2F F 1F P 1F P 6 π e 3 1+【解析】 【分析】 根据 在 上的投影的大小恰好为 的模,得出 ,再利用直角三角形,双 曲线的定义即可求出离心率 . 【详解】 在 上的投影的大小恰好为 的模, 又因为它们的夹角为 , ∴在 中, , 根据双曲线的定义 , 所以 故答案为: . 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 个大题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.设函数 .直线 与函数 图象相 邻两交点的距离为 . (1)求 的值; (2)在 中,角 所对的边分别是 、 、 .若点 是函数 图 象的一个对称中心,且 ,求 外接圆的面积. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 (1)化简 ,因为 的最大值为 ,函数 的最小正周期为 ,利用 ,得 . 1 2F F FP 1F P 1 2PF PF⊥ e 1 2F F FP 1F P 1 2PF PF∴ ⊥ 1 2,6 6PF F π π∴∠ = 1 2PF FRt△ 1 2 1 22 , 3 ,F F c PF c PF c= ∴ = = 1 2 3 2 , 3 1cPF PF c c a a − = − = ∴ = + 3 1e = + 3 1+ 2( ) sin 2cos 1( 0)6 2f x x x π ωω ω = − − + >   3y = ( )y f x= π ω ABC 、 、A B C a b c ,02 B     ( )y f x= 3b = ABC 2 3π 2( ) sin 2cos 16 2 3sin 3xf x x x π ωω πω = − − + = −    ( )f x 3 ( )f x π 2π πω = 2ω =(2)根据点 是函数 图象的一个对称中心求出角 的值,再利用正弦定理求 出外接圆的半径,根据圆的面积公式即可求出圆的面积. 【详解】(1) , 因为 的最大值为 ,依题意,函数 的最小正周期为 , 由 ,得 . (2)因为 ,依题意 , , , 由正弦定理 , 外接圆的面积为 . 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、三角函数的降幂公式、三角函数的图像与性质 和正弦定理等知识,属于中等题. 18.为了增强学生的环境意识,某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞 赛的成绩(得分均为整数,满分 100 分)整理,制成下表: 成绩 频数 2 3 14 15 14 4 (1)作出被抽查学生成绩的频率分布直方图; ,02 B     ( )y f x= B 1 cos( ) sin cos cos sin 2 16 6 2 xf x x x π π ωω ω += ⋅ − ⋅ − ⋅ + 3 3 1 3sin cos 3 sin cos2 2 2 2x x x xω ω ω ω = − = −    3sin 3x πω = −   ( )f x 3 ( )f x π 2π πω = 2ω = ( ) 3sin 2 3f x x π = −   3sin 03B π − =   sin 03B π − =   20 , , 0,3 3 3 3 3B B B B π π π ππ π< < − < − < ∴ − = = 32 , 2 , 3sin 3 2 b R R RB = = ∴ = ABC 2 3Rπ π= [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)(2)若从成绩在 中选一名学生,从成绩在 中选出 2 名学生,共 3 名学生召开 座谈会,求 组中学生 和 组中学生 同时被选中的概率? 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)计算出各组的频率即可. (2)记 中的学生为 ; 中的学生为 ,找出基本事件, , 同时被抽得的事件即可。 【详解】(1)各组频率分别为 0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08, 所以,图中各组的纵坐标分别为 0.004,0.006,0.028,0.03,0.024,0.008. (2)记 中的学生为 ; 中的学生为 , 由题意可得,基本事件为 , 共 12 个, 满足 同时被选中的事件为 共 3 个, ∴学生 和 同时被选中的概率为 . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图,以及古典概型,需要熟悉掌握古典概型的求法, 属于基础题. 19.如图, 是边长为 4 正方形, 平面 , , . (1)求证: 平面 ; (2)设点 是线段 上一个动点,试确定点 的位置,使得 平面 ,并 的 [40,50) [90,100) [40,50) 1A [90,100) 1B 1 4 [40,50) 1 2,A A [90,100) 1 2 3 4, , ,B B B B 1A 1B [40,50) 1 2,A A [90,100) 1 2 3 4, , ,B B B B 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 1 2 2 1 3 2 1 4, , , , , , , ,A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B A B B 2 2 3 2 2 4 2 3 4, ,A B B A B B A B B 1 1A B 1 1 2 1 1 3 1 1 4, ,A B B A B B A B B 1A 1B 3 1 12 4P = = DE ⊥ ABCD AF DE∥ 4DE AF= AC ⊥ BDE M BD M AM  BEF证明你的结论. 【答案】(1)证明过程见详解;(2)当 是线段 的一个四等分点,即 时, 平面 . 证明过程见详解. 【解析】 【分析】 (1)根据线面垂直的判定定理,即可证明结论成立; (2)先判断 是线段 的一个四等分点,即 时, 平面 . 再由线面平行的判定定理即可证明结论成立. 【详解】(1)证明:因为 平面 , 所以 . 因为 是正方形, 所以 ,因为 , 从而 平面 . (2)当 是线段 的一个四等分点,即 时, 平面 . 取 上的四等分点 ,使 ,连结 ,则 ,且 , 因为 ,且 ,所以 ,且 , 故四边形 是平行四边形. 所以 , 因为 平面 , 平面 , 所以 平面 . 【点睛】本题主要考查线面垂直与线面平行的判定,熟记判定定理即可,属于常考题型. 20.设椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,离心率为 , 在 轴负半轴上有一点 ,且 M BD 4BM BD= AM  BEF M BD 4BM BD= AM  BEF DE ⊥ ABCD DE AC⊥ ABCD AC BD⊥ DE BD D∩ = AC ⊥ BDE M BD 4BM BD= AM  BEF BE N 4BN BE= ,MN NF DE MN 4DE MN= AF DE∥ 4DE AF= AF MN AF MN= AMNF AM FN AM ⊄ BEF FN ⊂ BEF AM  BEF 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b + = > > 1 2F F、 A 1 2 x B 2 12 .BF BF= (1)若过 三点的圆 恰好与直线 相切,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 C 交于 两点,在 轴 上是否存在点 ,使得以 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 的取 值范围;如果不存在,说明理由. 【答案】(1) ;(2)存在满足题意的点 且 的取值范围是 . 【解析】 分析】 (1)根据 ,得 ,所以|F1F2|=a,利用 ,可得 F1 为 BF2 的中点,从 而可得△ABF2 的外接圆圆心为 ,半径 r=|F1A|=a,根据过 A、B、F2 三点的圆与直 线 相切,利用点到直线的距离公式,即可确定椭圆方程; (2)由(1)知 F2(1,0),设 l 的方程为:y=k(x﹣1)与椭圆方程联立,利用韦达定理, 结合菱形对角线垂直,所以 ,可得 m,k 之间的关系,从而可得结论. 【详解】(1)由题意 ,得 ,所以|F1F2|=a,∵|AF1|=|AF2|=a, , ∴F1 为 BF2 的中点,∴|AF1|=|AF2|=|F1F2|=a,∴△ABF2 的外接圆圆心为 ,半径 r =|F1A|=a, 又过 A、B、F2 三点的圆与直线 相切,所以 , 【 2A B F、 、 3 3 0x y− − = 2F k l M N、 x ( ,0)P m ,PM PN m 2 2 14 3 x y+ = P m 10, 4      1 2 c a = 1 2c a= 2 12 .BF BF=  1 ,02 aF  −   3 3 0x y− − = ( ) 0PM PN MN+ ⋅ =   1 2 c a = 1 2c a= 2 12 .BF BF=  1 ,02 aF  −   3 3 0x y− − = 1 32 2 a a − − =∴a=2,∴c=1,b2=a2﹣c2=3.∴所求椭圆方程为 ; (2)由(1)知 F2(1,0),设 l 的方程为:y=k(x﹣1), 将直线方程与椭圆方程联立 ,整理得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0; 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 ; 假设存在点 P(m,0),使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形,由于菱形对角线垂直, 所以 , 又 又 MN 的方向向量是(1,k),故 k(y1+y2)+x1+x2﹣2m=0,则 k2(x1+x2﹣2)+x1+x2﹣2m= 0, 即 ,由已知条件知 k≠0 且 k∈R, ∴ ,∴ ,故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理 的运用,确定椭圆方程,正确运用韦达定理是关键,属于中档题. 21.已知函数 . (1)若函数 在其定义域内为增函数,求实数 的取值范围; (2)设 ,若 存在两个零点 且 ,证明: 函数 在 处的切线不可能平行于 轴. 【答案】(1) ;(2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1 将 在其定义域内为增函数,转化成 对 恒成立. 2 2 14 3 x y+ = 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = − + = ( )2 1 2 1 2 1 22 8 , 23 4 kx x y y k x xk + = + = + −+ ( ) 0PM PN MN+ ⋅ =   ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , 2 ,PM PN x m y x m y x x m y y+ = − + − = + − +  2 2 2 2 2 8 82 2 03 4 3 4 k kk mk k  − + − = + +  2 2 2 1 33 4 4 m k k k = =+ + 10 4m< < 10, 4      2( ) 2ln(2 )f x x x= + ( ) ( )g x f x ax= + a 2( ) 2 ( ) 3 ( )h x f x x kx k R= − − ∈ ( )h x ,m n 02x m n= + ( )h x ( )( )0 0,x h x x [ 2 2, )− +∞ ( ) ( )g x f x ax= + ( )' 0g x ≥ ( )0,x∈ +∞(2)对于存在性问题,首先假设存在,即 在 处的切线可能平行于 轴再利 用导数研究 在 上的单调性,最后出现矛盾,说明假设不成立. 【详解】(1) , 由已知,得 对一切 恒成立, ,即 对一切 恒成立, , 的取值范围为 . (2) , 由已知得 . ,即 . 假设结论不成立,即 ,则 . 又 , , . 令 ,则有 . 令 . . 在 上是增函数, ( )h x ( )( )0 0,x h x x 2( 1)( ) ln 1 tt t t γ −= − + ( )1,+∞ 2 2 1( ) ln(2 ) , ( ) 2 2 ( 0)2g x x x ax g x x a x a xx x ′= + + = + + = + + > ( ) 0g x′ ≥ (0, )x∈ +∞ 12 0x ax ∴ + + ≥ 12a x x  ≥ − +   (0, )x∈ +∞ 12 2 2, 2 2x ax  − + ≤ − ∴ ≥ −   a∴ [ 2 2, )− +∞ 2 2 2( ) 2 ln(2 ) 3 2ln(2 )h x x x x kx x x kx = + − − = − −  2 2( ) 2ln(2 ) 0, ( ) 2ln(2 ) 0h m m m km h n n n kn− = − − = = − − = ( ) ( )2 22ln n n kn m kmm ∴ = + − + 2ln ( )( ) ( )n n m n m k n mm = + − + − ( )0 0h x′ = 0 0 0 0 2 22 0, 2x k k xx x − − = ∴ = − 02x m n= + 0 0 22ln ( )( ) 2 ( )n n m n m x n mm x  ∴ = + − + − −    4 4( )( ) ( ) ( )n m n m m n n m n mm n n m  = + − + − − − = − + +  2( )ln n n m m n m −∴ = + (1, )n tm = ∈ +∞ 2( 1)ln 1 tt t −= + 2( 1)( ) ln , 11 tt t tt γ −= − >+ ( )2 2 2 2 2 2 1 41 2( 1) 2( 1) ( 1) 1 4 ( 1)( ) 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) t tt t tt t t t t t t t t γ + −+ − − ⋅ + −′∴ = − = − = = >+ + + + ( )tγ∴ (1, )+∞∴当 时, ,即 . ∴当 时, 不可能成立, ∴假设不成立, 在 处的切线不平行于 轴. 【点睛】本题难度比较大,主要考查用导数法研究函数的单调性,体现了转化的思想和分类 讨论的思想,属于难题. 22.在极坐标系中,已知点 到直线 的距离为 3. (1)求实数 的值; (2)设 是直线 上的动点, 在线段 上,且满足 ,求点 轨迹方程, 并指出轨迹是什么图形. 【答案】(1) ;(2) ,点 的轨迹是以 为圆 心, 为半径的圆 【解析】 【分析】 (1)把 化成直角坐标方程为 ,再根据点到直线 的距离公式即可算出 . (2)首先根据由直线 极坐标方程 ,设 ,找出 两点之间的关系,把点 代入直线方程即可. 【详解】(1)以极点为原点,极轴为 轴的正半轴,建立直角坐标系,则点 的直角坐标为 ,直线 的直角坐标方程为 , 由点 到直线 的距离为 . 1t > ( ) (1) 0tγ γ> = 2( 1)ln 01 tt t −− >+ 1t > 2( 1)ln 1 tt t −= + ( )h x∴ ( )( )0 0,x h x x ( 2,0)A : sin ( 0)4l m m πρ θ − = >   m P l Q OP | | | | 1OP OQ⋅ = Q 2 2 2 2 2 1 8 8 16x y    + + − =          Q 2 2,8 8  −    1 4 : sin ( 0)4l m m πρ θ − = >   2 0x y m− + = m l sin 24 πρ θ − =   ( )0 0, , ( , )P Qρ θ ρ θ ,P Q Q x A ( 2,0) l 2 0x y m− + = A l | 2 2 | 1 3, 2 2 md m m += = + = ∴ =(2)由(1)得直线 的方程为 , 设 ,则 ,① 因 点 在直线 上,所以 ,② 将①代入②,得 . 则点 的轨迹方程为 , 化为直角坐标方程为 , 则点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标之间的互化,以及轨迹问题,属于中等题. 23.已知 f(x)=x|x-a|-2 (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)

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