陕西省2020届高三文科数学第三次联考试题（解析版）

陕西省 2020 届高三年级第三次联考 文科数学 一、选择题 1.全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据对数函数的性质以及二次函数的图像与性质求出集合 、 ，再利用集合的交、补 运算即可求解. 【详解】 ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数函数的性质以及二次函数的图像与性质，属于基 础题. 2.已知复数 （ 为虚数单位），则在复平面内 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，求得复数 ，再结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，根据复数的除法运算，可得复数 ， 则在复平面内 所对应的点为 ，在第一象限. 故选：A. U = R ( ){ }ln 1A x y x= = − { }2 4 8B y y x x= = + + ( )UA B =  ( )1,2 ( ]1,2 [ )1,2 [ ]1,2 A B { } ( ){ }22 4 8 2 4 2B y y x x y y x= = + + = = + + ≥ { }2U B y y= ( ) ( )1,2UA B∩ = 5 1 iz i += − i z 2 3z i= + 5 (5 )(1 ) 4 6 2 31 (1 )(1 ) 2 i i i iz ii i i + + + += = = = +− − + z ( )2,3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，以及复数的除法运算，其中解答中熟练应用复数 的除法运算，求得复数的代数形式是解答的关键，着重考查了计算能力. 3.已知向量 ， ，且 ，则 （ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量共线的坐标表示可得 ，进而求出 ，再利用向量的线性坐标运算以及向量 模的坐标求法即可求法. 【详解】由题得 ． ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示、向量模的坐标表示，属于基础题. 4.从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽 得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ，问题求的是 ， 首先考虑分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 有多少种可能，再求出 的可能性有多少种，然后求出 . 【详解】设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ， 分别写有数字 1，2，3，4， 5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，共有 种情况， 当 时，可能的情况如下表： 个数 ( )2, 1a = − ( )6,b x= //a b  a b− =  2 5 5 2 6 0x + = x 2 6 0x + = 3x∴ = − ( )4,2a b∴ − = −  ( )2 24 2 2 5a b∴ − = − + =  1 10 3 10 3 5 2 5 x y ( )P x y≤ x y≤ ( )P x y≤ x y 5 5 25× = x y≤ x y1 1，2，3，4，5 5 2 2，3，4，5 4 3 3，4，5 3 4 4，5 2 5 5 1 ，故本题选 C. 【点睛】本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题. 5.命题“存在 ， 的否定是（ ） A. 不存 ， B. 存在 ， C. 对任意的 ， D. 对任意的 ， 【答案】D 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项. 【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有 D 选项符合. 故选 D. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题. 6.设函数 ，则 （　　） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 在 5 4 3 2 1 3( ) 25 5P x y + + + +≤ = = Rx∈ 2 1 0x x+ + ≤ Rx∈ 2 1 0x x+ + > Rx∈ 2 2 0x x+ + ≥ Rx∈ 2 1 0x x+ + ≤ Rx∈ 2 1 0x x+ + > ( ) ( )2 1 , 0 4 , 0x log x xf x x  − P 1 2 90F PF∠ = ° 2c = 2 1 3PF FS =△ 2y x= ± 2y x= ± 3 3y x= ± 3y x= ± 2 2 1 2 1 2 16 1 32 PF PF PF PF  + = = ( )2 1 2 4PF PF− = 1a = 2 2 2b c a= − b 2 2 1 2 1 2 16 1 32 PF PF PF PF  + = = ( )2 1 2 4PF PF− = 1 2 2 2PF PF a− = = 1a = 2 22 1 3b = − = 3y x= ± x y 2 4 0 1 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  + + ≥  + − ≤ 3z x y= + 3y x z= − +【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示： 目标函数 ，可化为直线 ， 当 经过点 时，直线在 轴上的截距最大． 此时目标函数取得最大值， 又由 ，解得 ， ，即 ， 所以目标函数的最大值为 ． 故答案为：5 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，解题的关键是作出可行 域、理解目标函数的几何意义，属于基础题. 14.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的 2000 名顾客的 消费金额（单位：元），并从中随机抽取了 100 名顾客的消费金额按 ， ， ， ， 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 ， ， 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过 150 元的顾客数量约为______. 【答案】600 【解析】 3z x y= + 3y x z= − + 3y x z= − + A y 1 0 2 2 0 x y x y + + =  + − = 3x = 4y = − ( )3, 4A − 3 3 4 5z = × − = [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] a b c【分析】 先根据频率分布直方图求出 的值，然后利用等差数列的性质求出 ，进而得到消费金额 超过 150 元的频率，用其估计总体即可． 【详解】 ， 又由频率分布直方图可得 ， ，故消费金额超过 150 元 频率为 ，故该商店这一个月来消 费金额超过 150 元的顾客数量约为 ，故答案为 600. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中的基本运算及等差数列的基本性质，是一道基础 题． 15.甲船在岛 的正南 处， ，甲船以每小时 的速度向正北方向航行，同时乙 船自 出发以每小时 的速度向北偏东 的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是 _____ . 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可 求解出最值. 【详解】假设经过 小时两船相距最近，甲、乙分别行至 ， ， 如图所示，可知 ， ， ， ． 当 小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为 ． 的 , ,a b c b , , , 2 +a b c b a c∴ ∴ = 1 [1 (0.002 0.006) 50] 0.01250a b c+ + = − + × = =0.004b∴ ( 0.002) 50 0.3b + × = 2000 0.3 600× = B A 6AB km= 4km B 3km 60° km 9 39 13 x C D 6 4BC x= − 3BD x= 120CBD∠ = ° ( ) ( )22 2 2 2 212 cos 6 4 9 2 6 4 3 13 30 362CD BC BD BC BD CBD x x x x x x= + − × × ∠ = − + + − × = − + 15 13x = 9 39 km13【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将 待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值. 16.已知正方体 的棱长为 为 的中点，若 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体所得截面的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据线面垂直的条件先确定平面 ，再根据截面形状求周长即可得解. 【详解】在正方体 中， ， ， 面 ， ， 取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， 易知 ， 由 面 可得 ， 面 ， ， 面 ，取 的中点 ，由 可知点 在面 上， 平面 截正方体所得截面为 ， 由正方体棱长为 2 易得截面周长为 . 故答案为： . 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 M， 1CC AM ⊥ α B∈ α α 3 2 2 5+ α 1 1 1 1ABCD A B C D− BD AC⊥ BD CM⊥ ∴ BD ⊥ ACM ∴ BD AM⊥ 1BB N 1 1A B E MN AN BE BE AN⊥ MN ⊥ 1 1ABB A MN BE⊥ ∴ BE⊥ AMN ∴ BE AM⊥ ∴ AM ⊥ BDE 1 1A D F / /EF BD F BDE ∴ α BDFE 2 2 5 2 5 3 2 2 5+ + + = + 3 2 2 5+【点睛】本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题. 三、解答题 （一）必考题 17.如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，点 、 分别为 、 中点． （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）取 中点 ，连接 ， ，利用中位线证出四边形 是平行四边形，再利用 线面平行的判定定理即可证出. （2）根据题意可得 平面 ，再利用线面垂直的判定定理证出 平面 ，从 而可得点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，由 ，根据三棱 P ABCD− ABCD AD ⊥ PAB 1AD AP PB= = = 90APB∠ = ° E F BC AP //EF PCD D PEF− 1 12 PD G GF GC GFEC / /BC PAD BP ⊥ PAD E PAD B PAD D PEF B PDFV V− −=锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ． 在 中，有 ， 分别为 、 中点， ，且 在矩形 中， 为 中点， ， ， 四边形 是平行四边形， ． 而 平面 ， 平面 ， 平面 ． （2） 平面 ． 平面 平面 ， 平面 ， ， ， ， ， 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离． 而 ， ， PD G GF GC PAD△ G F PD AP / /GF AD∴ 1 2GF AD= ABCD E BC //CE AD∴ 1 2CE AD= //GF EC∴ GF EC= ∴ GFEC / /GC EF∴ GC ⊂ PCD EF ⊄ PCD / /EF∴ PCD AD ⊥ PAB ∴ PAD ⊥ PAB / /BC PAD 1AD AP PB= = = 90APB∠ = ° 2AB∴ = AP PB⊥  PAD  PAB PA= BP∴ ⊥ PAD / /BC PAD ∴ E PAD B PAD 1 1 1 112 2 2 4PDFS PF AD= × × = × × =  1 1 1 113 3 4 12D PEF B PDF PDFV V S BP− −∴ = = ⋅ = × × =△三棱锥 的体积为 ． 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式，考查了学生的逻辑推理能力， 需熟记锥体的体积公式，属于基础题. 18.已知数列 满足 ， ， . （1）证明：数列 为等比数列； （2）求数列 的前 项和. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的定义可以证明； （2）由（1）可求 的通项公式，结合 可得 ，结合通项公式公式特点选择分组 求和法进行求和. 【详解】证明：（1）∵ ，∴ . 又∵ ，∴ . 又∵ ， ∴数列 是首项为 2，公比为 4 的等比数列. 解：（2）由（1）求解知， ， ∴ ， ∴ . 【点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公 式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. ∴ D PEF− 1 12 { }na 1 1a = 1 4 3 1n na a n+ = + − n nb a n= + { }nb { }na n ( ) 22 1 14 13 2 2 n n n− − − nb n nb a n= + na n nb a n= + 1 1 1n nb a n+ += + + 1 4 3 1n na a n+ = + − ( )1 1 4 3 1 11 nn n n n n a n nb a n b a n a n + + + − + ++ += =+ + ( )4 4n n a n a n += =+ 1 1 1 1 1 2b a= + = + = { }nb 12 4n nb −= × 12 4n n na b n n−= − = × − ( ) ( )2 1 1 2 2 1 4 12(1 4 4 4 ) (1 2 3 ) 1 4 2 n n n n n nS a a a n− − += + +…+ = + + + + − + + + + = −−  ( ) 22 1 14 13 2 2 n n n= − − −19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宜传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的 影响.该公司对近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 x（万元）和年销 售量 y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. x（万元） 2 4 5 3 6 y（单位：t） 2.5 4 4.5 3 6 （1）根据表中数据建立年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程. （2）已知这种产品的年利润 （万元）与 x，y 的关系为 根据（1）中 的结果回答下列问题： ①当年宣传费为 10 万元时，预测该产品的年销售量及年利润； ②估计该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值. 附：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 . 参考数据： . 【答案】（1） ；（2）①约为 22.5 万元，②0.35. 【解析】 【分析】 （1）由已知求得 与 的值，则线性回归方程可求； （2）①在（1）中求得的线性回归方程中，取 求得 值，进一步得到年利润 的预报 值； ②写出年利润与年宣传费的比值的函数式，利用基本不等式求最值． z 20.05 1.85z y x= − − ˆ ˆy bx a= + 1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑  ( )( ) ( ) 1 2 1 , n i i i n i i x x y y x x = = − − = − ∑ ∑ ˆa y bx= −  5 1 88.5,i i i x y = =∑ 5 2 1 90i i x = =∑ ˆ 0.85 0.6y x= + b a 10x = y z【详解】（1） . 设 y 关于 x 的线性回归方程为 ， 则 , 故 y 关于 x 的线性回归方程为 . （2）①由（1）知，当 时， ，则该产品的年销售量约为 , ，则该产品的年利润约为 22.5 万元. ② ， . , 当且仅当 ,即 时取等号， ， 该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值为 0.35. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题． 20.已知函数 ， . . （1）求函数 的极值点； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）极大值点 ，无极小值点.（2） 【解析】 分析】 (1)对函数对 分情况求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值；（2）由条件可 得 恒 成 立 ， 则 当 时 ， 恒 成 立 ， 令 【 2 3 4 5 6 4,5x + + + += = 2.5 3 4 4.5 6 45y + + + += = y bx a= +   2 88.5 5 4 4 0.85,90 5 4b − × ×= =− ×  4 0.85 4 0.6a = − × =  0.85 0.6y x= + 10x =  0.85 10 0.6 9.1y = × + = 9.1t 9.1 0.05 100 1.85 2.25z = − × − = 20.85 0.6 0.05 1.85z x x= + − − 20.05 0.85 1.25x x= − + − 1.250.05 0.85z xx x  ∴ = − + +   1.25 1.250.05 2 0.05x xx x + ≥ ⋅ 0.5= 1.250.05x x = 5x = 1.250.05 0.85 0.5 0.85 0.35z xx x  ∴ = − + + ≤ − + =   ∴ ( ) lnf x x ax= − 2( )g x x= a R∈ ( )f x ( ) ( )f x g x≤ a 1 a 1a ≥ − a 2ln 0( 0)x x ax x− − ≤ > 0x > lnxa xx ≥ −，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】（1） 的定义域为 ， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增，无极值点， 当 时，解 得 ，解 得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数 有极大值点 ，无极小值点. （2）由条件可得 恒成立， 则当 时， 恒成立， 令 ，则 ， 令 ， 则当 时， ，所以 在 上为减函数. 又 ，所以在 上， ；在 上， . 所以 在 上为增函数；在 上为减函数. 所以 ，所以 . 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为 函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数， 使得一个函数恒大于或小于另一个函数. 21.已知椭圆 的离心率 ， 是椭圆 上一点． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 的斜率为 ，且直线 交椭圆 于 、 两点，点 关于原点的对称点为 ， 点 是椭圆 上一点，判断直线 与 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出 此定值，如果不是，请说明理由． ( ) ln ( 0)xh x x xx = − > ( ) lnf x x ax= − ( )0,+∞ ( ) 1f x ax ′ = − 0a ≤ ( ) 1 0f x ax −′ = > ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( ) 1 0f x ax −′ = > 10 x a < < ( ) 1 0f x ax −′ = < 1x a > ( )f x 10, a      1 ,a  +∞   ( )f x 1 a 2ln 0( 0)x x ax x− − ≤ > 0x > lnxa xx ≥ − ( ) ln ( 0)xh x x xx = − > ( ) 2 2 1 lnx xh x x ′ − −= ( ) 21 ln ( 0)k x x x x= − − > 0x > ( ) 12 0k x x x ′ = − − < ( )k x ( )0,+∞ ( )1 0k = ( )0,1 ( ) 0h x′ > ( )1,+∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )max 1 1h x h= = − 1a ≥ − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2e = ( )0, 2 C C l 1 2 l C P Q P E ( )2,1A − C AE AQ【答案】（1） （2）是定值，0 【解析】 【分析】 （1）根据题意可知 ，解方程组即可求出 、 ，即可求解. （2）设直线 的方程为 ，代入椭圆 ，设点 、 ， 可得点 ，利用韦达定理以及两点求斜率化简即可求解. 【详解】（1）由题意知 ， 又离心率 ，所以 ， 于是有 ， 解得 ， ． 所以椭圆 的方程为 ； （2）由于直线 的斜率为 ．可设直线 的方程为 ， 代入椭圆 ，可得 ． 由于直线 交椭圆 于 、 两点， 所以 ， 整理解得 ． 2 2 18 2 x y+ = 2 2 2 2 2 3 3 b a c a b c  =   =  = + a b l 1 2y x t= + 2 2: 4 8C x y+ = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( )1 1,E x y− − 2b = 3 2e = 2 3 3a c= 2 2 2 2 2 3 3 b a c a b c  =   =  = + 2 2a = 2b = C 2 2 18 2 x y+ = l 1 2 l 1 2y x t= + 2 2: 4 8C x y+ = 2 22 2 4 0x tx t+ + − = l C P Q ( )2 24 4 2 4 0t t∆ = − − > 2 2t− < − + a【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用分段讨论去绝对值解不等式即可； （2）去绝对值得 ，对于 恒成立，设 ，只需 即可得解. 【详解】（1） 可化为 ， ∴ 或 或 ， 分别解得 或 或无解. 所以不等式的解集为 . （2）由题意： ， . 设 ，要想 ， 成立，只需 ， ∵ ，∴ 在 上单调递增，∴ ， ∴ ，∴ 取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础 题. 的 [ 1,3]− ( 7),−∞ 2 5a x x< − + [1,2]x∈ 2( ) 5g x x x= − + max( )a g x< ( ) 6f x ≤ 2 | 2 | | 1| 6x x− + + ≤ 2 3 3 6 x x >  − ≤ 1 2 5 6 x x − ≤ ≤  − ≤ 1 3 3 6 x x < − − + ≤ 2 3x< ≤ 1 2x− ≤ ≤ [ 1,3]− 2 2( ) 5f x x a a x x> − + ⇔ < − + [1,2]x∈ 2( ) 5g x x x= − + [1,2]x∃ ∈ 2( )f x x a> − + max( )a g x< 21 19( ) 2 4g x x = − +   ( )g x [1,2] max( ) (2) 7g x g= = 7a < a ( 7),−∞