2020 年高三第二次教学质量检测
文科数学
一､选择题
1.定义 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中的新定义,找出属于 不属于 的元素.即可确定出 .
【详解】解:集合 .
故选 C
【点睛】此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的
关键.
2.已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为 ，所以复数 的虚部为 ，故选 B.
3.函数 的一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 根据零点存在性定理得解.
{ | , }A B x x A x B− = ∈ ∉ {1,2,3,4,5}, {2,3,6}M N= = M N− =
M N {1,4,5} {6}
M N M N−
{1,2,3,4,5}, {2,3,6}M N= =
{1,4,5}M N− =
i 5
1 2
i
i−
1− 1 i− i
( )
( )( )
( )5 1 2 5 1 25 21 2 1 2 1 2 5
i i i ii ii i i
+ += = = − +− − +
5
1 2
i
i− 1
( ) ( ) 2ln 1f x x x
= + −
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
(1) (2) 0,f f
(1) (2) 0,f f <
( ) ( ) 2ln 1f x x x
= + − ( )1,2
[ )0,50 [ )50,100 [ )100,150 [ )150,200
[ )200,250 [ )250,300 22
22 4 4
22 3
22 12 29
22 7
97 59> 51 48> 36 29> 68 45> 22
4 4
100 3 143 225 145 22 3因为 月 日的 AQI 为 ，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项 C 正确；
AQI 在 的数据有 个： ， ， ， ， ， ，即达到空气质量优的天数有
天，所以选项 D 错.
故选：D.
【点睛】本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.
5.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得 ，利用 求得结果.
【详解】由题意可知： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
6.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 39 B. 45 C. 50 D. .55
【答案】C
【解析】
【分析】
对已知等式变形得数列数列 是等差数列，从而求得 ，得出结论．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴数列 是等差数列，公差为 1，首项为 ，∴
12 29 225
[ )0,50 6 36 47 49 48 29 45 6
a b 2a = | | 1b = 2b a+ = a b
2
2
2
3
2
8
2
4
1
2a b⋅ = cos , a ba b
a b
⋅< >=
2 2 22 3 2 4b a b a b a a b+ = + ⋅ + = + ⋅ = 1
2a b⋅ =
1 2cos , 42 2
a ba b
a b
⋅∴ < >= = =
D
{ }na n nS 1 0a = 1 2 1 1n n na a a+ = + + + 5 4a S+ =
{ 1}na + na
1 2 1 1n n na a a+ = + + + 2
1 1 ( 1 1)n na a+ + = + + 1 1 1 1n na a+ + = + +
1 1 1 1n na a+ + − + = { 1}na + 1 1 1a + =， ． ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前 项和定义．解题关键
是已知变形得出数列 是等差数列．
7.已知圆 和 关于直线 对称，若圆 的方程是 ，则圆 的方程
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以通过圆 的方程得出圆 的圆心，然后通过圆 和 关于直线 对称得
出圆 的圆心坐标，最后得出圆 的方程．
【详解】由圆 的方程是 ，得圆心坐标为 ，半径为 ，
设点 关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ．
所以圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程是 ，故选 D．
【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆关于直线的对称圆方程，圆与对称圆的圆
心关于直线对称，半径相同，由此即可通过计算出对称圆的圆心来推断出对称圆方程．
8.已知函数 图象如图所示，则该函数可能是（ ）的
1na n+ = 2 1na n= − 1 2 3 4 50, 3, 8, 15, 24a a a a a= = = = = 4 0 3 8 15 26S = + + + =
5 5 24 26 50a S+ = + =
n
{ 1}na +
1C 2C y x= −
1C ( )2 25 4x y+ + = 2C
( )2 25 2x y+ + = ( )22 5 4x y+ + =
( )2 25 2x y− + = ( )22 5 4x y+ − =
1C 1C 1C 2C y x= −
2C 2C
1C ( )2 25 4x y+ + = ( )5 0，− 2
( )5 0，− y x= − ( )0 0x y，
0
0
0 0
15
5
2 2
y
x
y x
= + − = −
0
0
0
5
x
y
=
=
2C ( )0 5， 2C ( )22 5 4x y+ − =
( )y f x=A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象关于原点对称知函数为奇函数，A、C 中函数为偶函数排除，B、D 选项中函数为奇函数，
再根据函数的单调性确定可能的函数.
【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数 为奇函数.
A 选项， ，且定义域 ，
∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误.
B 选项， ，且定义域为 ，
∴该函数为奇函数.易知当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，符合题意，B 正确.
C 选项， ，且定义域为 ，
∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误.
D 选项， ，且定义域 ，
为
sin xy x
= cos xy x
= cos xy x
=
sin xy x
=
( )y f x=
( ) ( ) ( )sin sinx xf x f xx x
−− = = =−
( ) ( ),0 0,−∞ +∞
( ) ( ) ( )cos cosx xf x f xx x
−− = = − = −−
( ) ( ),0 0,−∞ +∞
π0 2x< < ( ) 0f x >
π 3π
2 2x< < ( ) 0f x <
3π 2π2 x< < ( ) 0f x >
( ) ( ) ( )cos cosx xf x f xx x
−− = = =− ( ) ( ),0 0,−∞ +∞
( ) ( ) ( )sin sinx xf x f xx x
−
− = = − = −−
( ) ( ),0 0,−∞ +∞∴该函数为奇函数.易知当 时， ；当 时， ，不符合题意，D 错
误.
故选：B.
【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中
档题.
9.2019 年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020 年初开始蔓延.党中央､国务院面对“突发灾难”
果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫
情防控与救治病人之中.为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”
活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导.春节期间随机安排甲､乙两位志愿者为一位
初中生辅导功课共 3 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每一次只有 1 位志愿者辅导，到甲恰好
辅导两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法列出所有基本事件，然后计数可得概率．
【详解】由题意辅导三次的所有基本事件为：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，甲乙乙，乙甲乙，
乙乙甲共 6 个，其中甲恰好辅导两次的有甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲共 3 个，∴所求概率为
．
故选：D．
【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，即用列举法写出所有基本事件，然后分别
计数后计算概率．
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°；
③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD．
其中正确的个数为( )个
0x > ( ) 0f x ≥ 0x < ( ) 0f x ≤
2
3
1
3
3
4
1
2
3 1
6 2P = =A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】还原正方体,以正方形 为底面有
对①,因为 ∥ ,且 有 ,故①正确.
对②,因为 ∥ ,所以②错误.
对③,由图可得显然正确.
对④, ,故④错误.
故选 B
【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析
夹角.
11.我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，
一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数.由图可知，这位渔民
共捕鱼（ ）条.
NACF
AB CM CM EF⊥ AB EF⊥
AB CM
MN CD⊥A. 39 B. 64 C. 11 D. 224
【答案】B
【解析】
【分析】
根据满五进一来记录捕鱼条数的规律，这相当于五进制数，化为十进制即可．
【 详 解 】 由 题 意 所 记 录 的 数 相 当 于 五 进 制 数 ， ∴ 这 位 渔 民 共 捕 鱼 条 数 为
．
故选：B．
【点睛】本题考查进制数之间的认识与转化，读懂题意是解题关键．
12.已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的
导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
引入新函数 ，求导后确定 的单调性，由单调性解不等式．
【详解】设 ，则 ，∵ 且 ，∴
，∴ 在 上单调递减，
不等式 可化为 ，即
，∴ ，∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数 ，然后利用
已知条件确定单调性后求解不等式．
二､填空题
13.某校高一（1）班有学生 36 人，高一（2）班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从两
22 5 2 5 4 64× + × + =
( )0, ∞+ ( )f x ( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( )f x′ ( )f x
( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > − m
( )0,2020 ( )2020,+∞ ( )2022,+∞
( )2020,2022
( )( ) f xg x x
= ( )g x
( )( ) f xg x x
= 2
( ) ( )( ) xf x f xg x x
′ −′ = ( ) ( ) 0xf x f x′ − < 0x >
( ) 0g x′ < ( )g x (0, )+∞
( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > − ( 2020) (2)
2020 2
f m f
m
− >−
( 2020) (2)g m g− > 0 2020 2m< − < 2020 2022m< <
( )( ) f xg x x
=个班抽出 13 人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是__________.
【答案】7
【解析】
根据分层抽样的定义得到
故答案为 7.
14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏
北 的方向上，行驶 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则
此山的高度 ________ m.
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可知在 中, ,由此可得 ,由
正 弦 定 理 可 得 , 解 之 得 , 又 因 为 , 所 以
,应填 .
考点：正弦定理及运用．
15.已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线
平行，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】
求出导函数，利用 可求得 ．
42 7.13 78
x x= ⇒ =
A
30 B 75 30
CD =
100 6
100 6
( ) 3 2 xf x x me= − ( )y f x= ( )( )0, 0f
4 2 0x y+ − = m =
(0) 4f ′ = − m【 详 解 】 由 已 知 ， ∵ 曲 线 在 处 的 切 线 与 直 线
平行，∴ ， ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基
础．
16.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第 3
层每边有 3 个点，…，依此类推，则该六边形点阵的第 6 层共有______个点.如果一个六边形
点阵共有 169 个点，则它共有______层.
【答案】 (1). 30 个 (2). 8 层
【解析】
【分析】
观察图形，归纳出每层点数之间的递推关系，从而得出每层点数所成数列的通项公式．
【详解】记第 层点数为 ，则 ， ， ， 时， ，∴数
列 从第 2 项开始成等差数列， ，即 ，
∴ ，由 得 （ 舍去）．即题中六
边形点阵有 8 层．
故答案为：30；8．
【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是寻找规律，本题可以看作是数列模型 应用，即以
每层点数作为一个数列的项，形成一个数列，然后归纳出数列项的规律，利用数列知识得出
结论．
三､解答题
17.如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 ， 的中点，点 在 棱
上，且 ， ， .
的
2( ) 3 2 xf x x me′ = − ( )y f x= ( )( )0, 0f
4 2 0x y+ − = (0) 2 4f m′ = − = − 2m =
n na 1 1a = 2 6a = 3 12a = 2n ≥ 1 6n na a+ = +
{ }na 6( 1)na n= − 1, 1
6( 1), 2n
na n n
== − ≥
6 6 (6 1) 30a = × − = ( 1)[6 6( 1)]1 1692
n n− + −+ = 8n = 7n = −
1 1 1ABC A B C− D E BC AB F 1CC
AB AC= 1 3AA = 2BC CF= =（1）求证： 平面 ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接 交 于点 ，由重心性质可得 ，由相似可得
，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取 上一点 使 ，利
用平行进行等体积代换 ，最后根据锥体体积公式求体积
试题解析：解：（1）(法一)连接 交 于点 ，连接
由 分别是棱 中点，故点 为 的重心
在 中，有
，又 平面
平面
（法二）取 的中点 ，连接
1C E ADF
2AB = 1A FDE−
3
12
CE AD P
1
2
3
CP CF
CE CC
= =
1/ /PF EC 1AA H 12AH HA=
1 1 1 1A DEF F A DE H A DE D A HEV V V V− − − −= = =
CE AD P PF
,D E ,BC AB P ABC∆
∴ 1CC E∆
1
2
3
CP CF
CE CC
= =
∴ 1/ /PF EC 1EC ⊄ ADF
∴ 1 / /C E ADF
BD G 1,EG C G由 是棱 的中点， 为 的中点，
为 的中位线，即 平面
又 为棱 的中点， 为 的中点
由 ，由 ，且 为直三棱柱
，进而得
，即 平面
又 平面 平面
又 平面 平面
(2)取 上一点 使
∵ 且直三棱柱
∴ ，∵ 为中点
∴ , , 平面
∴
而 ,
点 到平面 的距离等于
∴
∴三棱锥 的体积为
E AB G BD
∴ EG ABC∆ / /EG ADF
D BC G BD
2
3
CD
CG
= 1 3, 2AA CF= = 1 1 1ABC A B C−
∴
1
2
3
CF
CC
=
1
CD CF
CG CC
=
∴ 1/ /DF C G 1 / /C G ADF
1C G EG G∩ = ∴ 1 / /EGC ADF
1C E ⊆ 1EGC ∴ 1 / /C E ADF
1AA H 12AH HA=
12CF FC= 1 1 1ABC A B C−
/ /HF AC ,D E
/ /DE AC / /DE HF / /HF 1A DE
1 1 1 1A DEF F A DE H A DE D A HEV V V V− − − −= = =
1
1 11 12 2EHAS∆ = × × =
D 1 1AA B B 3
2
1 1
1 1 3 3
3 2 2 12D A HE A DEFV V− −= × × = =
1A DEF− 3
1218.已知函数 ，若 的图象上相邻两条对称轴的
距离为 ，图象过点 .
（1）求 的表达式和 的递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2
倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.若函数 在区间 上有且只
有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 的递增区间为 ， .
（2）
【解析】
【分析】
（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为 ，可
得周期，从而得 ，再代入坐标 得 ；
（2）由三角函数图象变换得 ，题意转化为 的图象与直线 在 上
只有一个公共点，结合函数图象易得结论．
【详解】（1） ，
的最小正周期为 ，∴ .
∵ 的图象过点 ，∴ ，∴ ，
( ) ( )cos2 3sin 2 0f x x x tω ω ω= + + > ( )f x
π
4
( )0,0
( )f x ( )f x
( )f x π
8
( )y g x= ( ) ( )F x g x k= + π0, 2
k
( ) π2sin 4 16f x x = + −
( )f x π π π π,2 6 2 12
k k − + k Z∈
[ 3 1, 3 1] { 1}− + + −
π
4
ω (0,0) t
( )g x ( )y g x= y k= − [0, ]2
π
( ) πcos2 3sin 2 2sin 2 6f x x x t x tω ω ω = + + = + +
( )f x 2π π
2 2ω = 2ω =
( )f x ( )0,0 π2sin 06 t+ = 1t = −即 .
令 ， ， ， ，
故 的递增区间为 ， .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得
的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来
的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.
∵ ，∴ ，∴ ，故
在区间 上的值域为 .
若函数 在区间 上有且只有一个零点，
即函数 的图象和直线 只有一个公共点，
如图，
根据图象可知， 或 ，即 .
( ) π2sin 4 16f x x = + −
π π π2 π 4 2 π2 6 2k x k− ≤ + ≤ + k ∈Z 1 π 1 ππ π2 6 2 12k x k− ≤ ≤ + k ∈Z
( )f x π π π π,2 6 2 12
k k − + k Z∈
( )f x π
8
π π π2sin 4 1 2sin 4 12 6 3y x x = − + − = − −
( ) π2sin 2 13g x x = − −
π0, 2x ∈
π π 2π2 ,3 3 3x − ∈ −
π 3sin 2 ,13 2x
− ∈ −
( ) π2sin 2 13g x x = − −
π0, 2
3 1,1 − −
( ) ( )F x g x k= + π0, 2
( ) π2sin 2 13g x x = − − y k= −
3 1 3 1k− − ≤ − < − 1k− = [ 3 1, 3 1] { 1}k ∈ − + + −故实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个
数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与
直线交点个数，利用数形结合思想求解．
19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、
共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取 人对共享产品是否对日常生活有
益进行了问卷调查，并对参与调查的 人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下
表所示：
男 女 总计
认为共享产品对生活有益
认为共享产品对生活无益
总计
（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度
与性别有关系？
（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取 人，再从 人中随
机抽取 人赠送超市购物券作为答谢，求恰有 人是女性的概率.
参与公式：
临界值表：
【答案】(1) 可以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关
系(2)
k [ 3 1, 3 1] { 1}− + + −
1000
1000
400 300 700
100 200 300
500 500 1000
0.1%
6 6
2 1
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
0( )P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0.1%
8
15P=【解析】
试题分析：（1）根据题中数据，利用参考公式计算 的观测值 ，对应查表下结论即可；
（2）从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取 4 人，记为 ，从认为共享产品
增多对生活无益的男性中抽取 2 人，记为 ，写出所有的基本事件，即可得到恰有 1 人是女
性的概率.
试题解析：
（1）依题意，在本次的实验中， 的观测值
，
故可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；
（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取 4 人，记为 ，从
认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取 2 人，记为 ，
从以上 6 人中随机抽取 2 人，所有的情况为：
，
共 15 种，其中满足条件的为
共 8 种情况，故所求概率
．
20.已知点 在椭圆 ： 上，且点 到 的左、右焦点
的距离之和为 .
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求
的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
2K k
, , ,A B C D
,a b
2K
( )21000 400 200 300 100 47.619 10.828700 300 500 500k
× × − ×= ≈ >× × ×
, , ,A B C D
,a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A C A D A a A b B C B D B a B b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , ,C D C a C b D a D b a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , ,A a A b B a B b C a C b D a D b
8
15P =
2 3 3,3 3M
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > M C
2 2
C
O C AB OM O M OA OB⋅
2
2 12
x y+ = 4 5,3 3
− 【分析】
（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.
（2）设出 的坐标，求得 中点的坐标，由 的斜率得到 ，利用
点差法求得 的斜率，设出直线 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利
用平面向量的坐标运算，化简求得 的取值范围.
【详解】（1）由条件知 ， ，所以 ， ，
∴椭圆 方程为 .
（2）设点 、 的坐标为 ， ，则 中点 在线段
上，且 ，
∴ ，又 ， ，两式相减得
，
易知 ， ，所以 ，即 .
设 方程为 ，代入 并整理得 .
由 解得 ，又由 ，∴ .
由韦达定理得 ， ，
故
.
而 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，
考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.
的
,A B AB OM ( )1 2 1 22x x y y+ = +
AB AB
OA OB⋅
2 2
4 1 13 3a b
+ = 2 2 2a = 2a = 1b =
C
2
2 12
x y+ =
A B ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1 2 1 2,2 2
x x y y+ +
OM 1
2OMk =
( )1 2 1 22x x y y+ = + 2
21
1 12
x y+ =
2
22
2 12
x y+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2 02
x x x x y y y y
− + + − + =
1 2 0x x− ≠ 1 2 0y y+ ≠ ( )1 2 1 2
1 2 1 2
12
y y x x
x x y y
− += − = −− + 1ABk = −
AB y x m= − + 2
2 12
x y+ = 2 23 4 2 2 0x mx m− + − =
( )28 3 0m∆ = − > 2 3m < 1 2 2 20,2 3 3
x x m+ = ∈ 0 3m< <
1 2
4
3
mx x+ = ( )2
1 2
2 1
3
m
x x
−
=
( )( )1 2 1 2 1 2 1 2OA OB x x y y x x x m x m⋅ = + = + − + − +
( ) ( )2 2
2 2
1 2 1 2
4 1 42 3 3
m mx x m x x m m
−
= − + + = − + 2 4
3m= −
0 3m< < OA OB⋅ 4 5,3 3
− 21.函数 的图象关于原点对称，函数 分别在点
､ 处有极大值和极小值，且 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） .（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由函数图象关于原点对称得 ，由极值点得方程 的两实根是
， ，从而得 ，由 及 得 的关系，
此关系式连同 代入 可求得 ，得函数解析式；
（2）求出 的最小值，解相应不等式可得 的范围．
【详解】（1） 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，∴ 恒成立，即
． ， ，∴ ，
∵ ， 是 的两个极值点，
∴方程 的两实根是 ， ，则 ，
∵
∴ ，
又 ，∴ ， .
( ) ( )3 2 0f x ax bx cx a= + + > ( )f x
( )( ),A fα α ( )( ),B fβ β 2AB = ( ) ( )f fα β β α− = −
( )f x
[ ]2,1x∈ − ( ) 6f x m m
> − m
( ) 3 3
2f x x x= − 6m < − 0 1m< <
0b = 2( ) 3 0f x ax c′ = + =
α β 0, 3
c
a
α β αβ+ = = 2AB = ( ) ( )f fα β β α− = − ,c a
,α β αβ+ ( ) ( )f fα β β α− = − ,a c
( )( [ 2,1])f x x∈ − m
( )f x ( ) ( )f x f x− = −
3 2 3 2( )ax bx cx ax bx cx− + − = − + + 2 0bx = 0b = ( ) 3f x ax cx= +
( ) 3f x ax cx= + ,α β ( )f x
2( ) 3 0f x ax c′ = + = α β
0
3
c
a
α β
α β
+ = ⋅ =
( ) ( ) ( )2 2 22 ( ) ( ) 4 2AB f fα β α β α β= ⇒ − + − = ⇒ − =
34 23 2
c c aa
− ⋅ = ⇒ = −
( ) ( ) 2 3f f a c cα β β α α α αβ β β α− = − ⇒ + − − = −
( ) ( )22 2 1 3 1a c a cα αβ β α β αβ ⇒ + + + = − ⇒ + − + = −
23 31 1 12 2
ca c c ac a aa
− + = − ⇒ − + = − ⇒ − = −
0a > 1a = ( ) 3 3
2f x x x= −（2）由（1）， ， ，由 得 ，从而极大值
为 ，极小值为 ，又 ，∴当 时，
的最小值是 ，故 ，
所以 或 .
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的极值的概念，考查不等式恒成立问题．掌握导
数与函数极值（最值）关系是解题基础．不等式恒成立问题常常分离参数后转化为求函数的
最值，然后再解相应不等式得出结论．
22.在平面直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为 （ 为参数，
）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的
极坐标方程是 .
（1）若直线 与圆 有公共点，试求实数 的取值范围；
（2）当 时，过点 且与直线 平行的直线 交圆 于 两点，求
的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普
通方程, 直线 与圆 有公共点，则圆心到直线的距离 ,即可求出范围;(2)将直线的参数
方程代入曲线方程,根据 t 的几何意义求值即可.
试题解析:
（1）由 ，
得 ，
3 3( ) 2f x x x= − 2 3( ) 3 2f x x′ = − ( ) 0f x′ = 2
2x = ±
2 2( )2 2f − = 2 2( )2 2f = − ( 2) 5f − = − [ ]2,1x∈ − ( )f x
5− ( )( )6 165 0m mm m m
+ −− > − ⇒ <
6m < − 0 1m< <
xOy C
1 cos ,
sin
x r
y r
θ
θ
= +
=
θ
0r > O x l
sin 13
πρ θ − =
l C r
2r = ( )2,0D l l′ C ,A B 1 1
DA DB
−
3 2 ,2
+ +∞
1
3
l C d r≤
sin 13
πρ θ − =
sin cos cos sin 13 3
π πρ θ θ − = 即 ，
故直线 的直角坐标方程为 .
由
得
所以圆 的普通方程为 .
若直线 与圆 有公共点，则圆心 到直线 的距离 ，即
，
故实数 的取值范围为 .
（2）因为直线 的倾斜角为 ，且过点 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数），①
圆 的方程为 ，②
联立①②，得 ，
设 两点对应的参数分别为 ，
则 ， ，
故 .
23.已知函数 .
（1）解不等式 ；
1 3 12 2y x− =
l 3 2 0x y− + =
1 ,
,
x rcos
y rsin
ϕ
ϕ
= +
=
1 ,
,
x rcos
y rsin
ϕ
ϕ
− =
=
C ( )2 2 21x y r− + =
l C ( )1,0 l 3 1 1 0 2
3 1
d r
× − × +
= ≤
+
3 2
2r
+≥
r 3 2 ,2
+ +∞
l′
3
π ( )2,0D
l′
2 ,2
3
2
tx
y t
= +
=
t
C ( )2 21 4x y− + =
2 3 0t t+ − =
,A B 1 2,t t
1 2 1t t+ = − 1 2 3t t = −
1 2
1 2
1 1 1
3
DB DA t t
DA DB DA DB t t
− +− = = =⋅
( ) 2 1 1f x x x= + + −
( ) 3f x ≤（2）已知函数 ，若对于任意 ，都存在 ，使
得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号后，分类解不等式即可得；
（2）求出 和 的最小值，题意题意转化为 的最小值不小于 的最小值，解
之可得 的范围．
【详解】（1）依题意，得 ，
由 ，得 或 或 .解得 .
即不等式 的解集为 .
（2）由（1）知， ，
，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查绝对值的性质，根据绝对值的定义去绝对值符号是
解绝对值不等式的常用方法，除去绝对值符号求解外还可利用绝对值三角不等式求含绝对值
的函数的最值．
( ) 2 2019 2 2020g x x a x= − − + − 1x R∈ 2x R∈
( ) ( )1 2f x g x= a
{ }1 1x x− ≤ ≤ 1 5,2 2
−
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
a
( )
13 , 2
12, 12
3 , 1
x x
f x x x
x x
− ≤ −
= + − <
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