2020 年高三第二次教学质量检测
理科数学
一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.定义 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据题中的新定义,找出属于 不属于 的元素.即可确定出 .
【详解】解:集合 .
故选 C
【点睛】此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的
关键.
2.已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为 ，所以复数 的虚部为 ，故选 B.
3.函数 一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 根据零点存在性定理得解.
【
的
{ | , }A B x x A x B− = ∈ ∉ {1,2,3,4,5}, {2,3,6}M N= = M N− =
M N {1,4,5} {6}
M N M N−
{1,2,3,4,5}, {2,3,6}M N= =
{1,4,5}M N− =
i 5
1 2
i
i−
1− 1 i− i
( )
( )( )
( )5 1 2 5 1 25 21 2 1 2 1 2 5
i i i ii ii i i
+ += = = − +− − +
5
1 2
i
i− 1
( ) ( ) 2ln 1f x x x
= + −
( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4
(1) (2) 0,f f
(1) (2) 0,f f <
( ) ( ) 2ln 1f x x x
= + − ( )1,2
P F
P F
12c 22c 12a 22a
1 1 2 2a c a c+ = + 1 1 2 2a c a c− = − 1 2
1 2
c c
a a
<
2 1 1 1a c a c<
1 2 1 2,a a c c> >
1 2 1 2,a a c c> > 1 1 2 2a c a c+ > +因为 ，所以 ，所以 B 项正确；
由 ，可得 ，可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 D 项不正确；
由 ，可得 ，所以 C 项不正确.
综上可得 是正确的.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和简单
的几何性质，合理运算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.
5.在 中，若 且 ，则 面积的最大值为（ ）
A. 6 B. C. 10 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设条件，求得 ，利用三角形的面积公式，求得 ，再
利用余弦定理，求得 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】在 中，设 所对的边分别为 ，
由 ， ，可得 ， ①
所以 ，
由余弦定理，可得 ， ②
由①②联立，可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
1 1 2 2,a c PF a c PF− = − = 1 1 2 2a c a c− = −
1 1 2 2a c a c− = − 1 2 2 1a c a c+ = + ( ) ( )2 2
1 2 2 1a c a c+ = +
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 12 2a c a c a c a c− + = − + 2 2
1 1 2 2 2 12 2b a c b a c+ = +
1 2b b> 2 1 1 2a c a c>
2 1 1 2a c a c> 1 2
1 2
c c
a a
>
1 1 2 2a c a c− = −
ABC 5AB AC⋅ = 4AB AC− = ABC
15
2
cos 5, 4bc A a= = 2 21 252S b c= −
2 2 26b c+ =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
5AB AC⋅ = 4AB AC− = cos 5, 4bc A a= =
2 2 2
2 2
1 1 1 25 1sin 1 cos 1 252 2 2 2S bc A bc A bc b cb c
= = − = − = −
2 2 2 cos 16b c bc A+ − =
2 2 26b c+ =
2 2
132
b cbc
+≤ = 13b c= =所以 ，
即 的面积的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，余弦定理和三角形的面积公式，以及基
本不等式的综合应用，着重考查了推理与运算能力，试题综合性强，属于中档试题.
6.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 39 B. 45 C. 50 D. .55
【答案】C
【解析】
【分析】
对已知等式变形得数列数列 是等差数列，从而求得 ，得出结论．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴数列 是等差数列，公差为 1，首项为 ，∴
， ． ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前 项和定义．解题关键
是已知变形得出数列 是等差数列．
7.函数 ， 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2 2 21 125 13 25=62 2S b c= − ≤ −
ABC∆ 6
{ }na n nS 1 0a = 1 2 1 1n n na a a+ = + + + 5 4a S+ =
{ 1}na + na
1 2 1 1n n na a a+ = + + + 2
1 1 ( 1 1)n na a+ + = + + 1 1 1 1n na a+ + = + +
1 1 1 1n na a+ + − + = { 1}na + 1 1 1a + =
1na n+ = 2 1na n= − 1 2 3 4 50, 3, 8, 15, 24a a a a a= = = = = 4 0 3 8 15 26S = + + + =
5 5 24 26 50a S+ = + =
n
{ 1}na +
( ) 2cos x xf x x
+= [ ) ( ],0 0,x π π∈ − 【解析】
【分析】
根据定义域排除 ， ，排除 ，得到答案.
【详解】根据定义域排除 ， ，排除 .
故选：A.
【点睛】本题考查了图像的识别，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键.
8.2019 年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020 年初开始蔓延.党中央､国务院面对“突发灾难”
果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫
情防控与救治病人之中.为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”
活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导.春节期间随机安排甲､乙两位志愿者为一位
初中生辅导功课共 3 次，每位志愿者至少辅导 1 次，每一次只有 1 位志愿者辅导，到甲恰好
辅导两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法列出所有基本事件，然后计数可得概率．
【详解】由题意辅导三次的所有基本事件为：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，甲乙乙，乙甲乙，
乙乙甲共 6 个，其中甲恰好辅导两次的有甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲共 3 个，∴所求概率为
．
故选：D．
【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，即用列举法写出所有基本事件，然后分别
计数后计算概率．
9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60°；
③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD．
其中正确的个数为( )个
C D、 ( ) 2 1 0f ππ π −= > B
C D、 ( ) 2 1 0f ππ π −= > B
2
3
1
3
3
4
1
2
3 1
6 2P = =A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角 一般方法逐个选项判断即可.
【详解】还原正方体,以正方形 为底面有
对①,因为 ∥ ,且 有 ,故①正确.
对②,因为 ∥ ,所以②错误.
对③,由图可得显然正确.
对④, ,故④错误.
故选 B
【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析
夹角.
10.如图， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线
交于 两点．若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
的
NACF
AB CM CM EF⊥ AB EF⊥
AB CM
MN CD⊥
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 2F C
,A B 1 1: : 3: 4:5AB BF AF =A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，利用双曲线的定义求出 和 的值，再利用勾股定
理求 ，由 得到双曲线的渐近线方程.
详解】设 ，
由双曲线的定义得： ，解得： ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会
用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
11.我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，
一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数.由图可知，这位渔民
共捕鱼（ ）条.
A. 39 B. 64 C. 11 D. 224
【
2 3y x= ± 2 2y x= ± 3y x= ±
2y x= ±
1 1 23, 4, 5,AB BF AF AF x= = = = 3x = a
c by xa
= ±
1 1 23, 4, 5,AB BF AF AF x= = = =
3 4 5x x+ − = − 3x =
2 2
1 2| | 4 6 4 13F F = + = 13c⇒ =
2 5 2 1a x a= − = ⇒ = 2 3b =
2 3by x xa
= ± = ±【答案】B
【解析】
【分析】
根据满五进一来记录捕鱼条数的规律，这相当于五进制数，化为十进制即可．
【 详 解 】 由 题 意 所 记 录 的 数 相 当 于 五 进 制 数 ， ∴ 这 位 渔 民 共 捕 鱼 条 数 为
．
故选：B．
【点睛】本题考查进制数之间的认识与转化，读懂题意是解题关键．
12.已知函数 在区间 内存在极值点，且 恰好有唯一整数解，
则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求导，由 得 可求出 的范围，再考查 与零的大小比较，在
时，结合题意得出 ，以及当 时， ，解出实
数 的范围可得出答案．
【详解】 ，则 ，
由于函数 在区间 上存在极值点，令 ，得 ，
所以， ，解得 ，
由于 ，且不等式 恰有一整数解．
①当 时，即当 时， ，
当 时， ；当 时， ．
22 5 2 5 4 64× + × + =
( ) 1xf x e ax= − − ( 1,1)− ( ) 0f x <
2
2
1,e2
e
e
−
2 2
2
1 1,1 1,2 2
e eee
− −∪ −
( )1,e e− ( )2
2
1 1, 1,2
e e e ee e
− − −
( ) 0f x′ = ( )ln 1,1x a= ∈ − a ln a
( )ln 1,0a∈ − ( )
( )
1 0
2 0
f
f
− 此时，函数 在 处取得最小值，则 ，不合乎题意；
②当 时，即当 时，当 时， ；当 时，
．
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
由题意可得 ，解得 ，此时， ；
③当 时，即当 时，当 时， ；当 时，
．
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
由题意可得 ，解得 ，此时， ．
因此，实数 的取值范围是 ，故选 D．
【点睛】本题考查函数的极值以及函数的零点问题，难点在于不等式整数解的问题，充分利
用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求
解，考查运算能力与分析问题的能力，属于难题．
二､填空题：
13.若变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.
【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 处取得最大值，
其最大值为： .
( )y f x= 0x = ( ) ( )0 0f x f≥ =
1 ln 0a− < < 1 1ae
< < lnx a< ( ) 0f x′ < lnx a>
( ) 0f x′ >
( )y f x= ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞
( )
( )
2
1
2 2 1 0
1 1 0
f e a
f e a
−
−
− = + − ≥ − = + −
( ) 0f x′ >
( )y f x= ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞
( )
( )
22 2 1 0
1 1 0
f e a
f e a
= − − ≥ = − − − m
( )2020,2022
( )
( ) , (0, )f xh x xx
= ∈ +∞
( 2020) (2)h m h− >
( )
( ) , (0, )f xh x xx
= ∈ +∞ ( ) ( )
2( ) xf x f xh x x
′ −=
( ) ( ) 0xf x f x′ − < ( ) 0h x′ < ( )h x (0, )+∞
( ) ( ) ( )2 2020 2020 2f m m f− > −
2020 0m − > 2020m > ( ) ( )2020 2
2020 2
f m f
m
− >−
( 2020) (2)h m h− > 2020 2m − < 2022m <
m ( )2020,2022
( )2020,2022
( )2n n N+∈
19 10n−×到一般情况，根据 位回文数的特征，利用分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，可得 4 位回文数的特点为中间两位是相同的，千位和个位数相同但不能为
0，
第一步，选千位和个位数字，共有 9 种选法；
第二步，选中间两位数字，共有 10 种选法；
由分步计数原理可得，4 位回文数共有 个.
在 位回文数中，
第一步，先选左边的第一个数字，共有 9 种选法；
第二步，分步选左边的第 个数字，共有 种选法，
由分步计数原理可得，在 位回文数中，共有 个.
故答案为：90； .
【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，以及新定义数字问题的理解和运用，其中解
答中正确理解题意，根据回文数的特征，结合分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了
分析问题和解答问题的能力.
三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.直三棱柱 中， ， ， 分别是 、 的中点，
， 为棱 上的点．
（1）证明： ；
（2）是否存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，
说明点 的位置，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见详解；（2） 为 的中点，理由见详解.
2n
9 10=90×
( )2n n N+∈
2,3,4, ,n 110 10 10 10=10n−× × × ×
2n 19 10n−×
19 10n−×
1 1 1C CΑΒ − Α Β 1 C 1ΑΑ = ΑΒ = Α = Ε F 1CC CΒ
1 1
ΑΕ ⊥ Α Β D 1 1
Α Β
DF ⊥ ΑΕ
D D FΕ CΑΒ 14
14
D
D 1 1A B【解析】
试题分析：对于问题（1）可以先证明 两两垂直，然后再建立空间直角坐标系用
向量法进行证明；对于问题（2）可在（1）中建立的坐标系下，分别求出平面 与平面
的法向量，再根据二面角的余弦公式，即可确定是否存在一点 ，使得平面 与平面
所成锐二面角的余弦值为 .
试题解析：（1）证明：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 面 ，
又因 面 ，
所以 ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有
设 且 ，即 ，则
，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
（2）结论：存在一点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
理由如下：
由题可知面 的法向量
为
1, ,AB AC AA
DEF ABC
D DEF ABC
14
14
1 1 1 1, / /AE A B A B AB⊥ AE AB⊥
1 1,AA AB AA AE A⊥ ∩ = AB ⊥ 1 1A ACC
AC ⊂ 1 1A ACC
AB AC⊥
A A xyz−
1 1
1 1 1(0,0,0), (0,1, ), ( , ,0), (0,0,1), (1,0,1)2 2 2A E F A B
(0,1)λ ∈ ( , , 1) (1,0,0)x y z λ− =
( ,0,1)D λ
1 1 02 2DF AE⋅ = − = DF AE⊥
D DEF ABC 14
14
ABC设面 的法向量为 ，则
因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，则
因为平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍），所以当 为 中点时满足要求
考点：1、线线垂直，线面垂直；2、二面角.
18.已知函数 ，若 的图象上相邻两条对称轴的
距离为 ，图象过点 .
（1）求 的表达式和 的递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2
倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.若函数 在区间 上有且只
有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 的递增区间为 ， .
（2）
【解析】
【分析】
DEF
0{
0
n EF
n DF
⋅ =
⋅ =
1 1 1 02 2 2{ 1 1( ) 02 2
x y z
x y zλ
− + + =
− + − =
3
2(1 ){ 1 2
2(1 )
x z
y z
λ
λ
λ
= −
+= −
2(1 )z λ= −
DEF ABC 14
14
14cos , 14
m nm n m n
⋅〈 〉 = = 2 2
2(1 ) 14
149 (1 2) 4(1 )
λ
λ
− =
+ + + −
1
2
λ = 7
4
λ = D 1 1A B
( ) ( )cos2 3sin 2 0f x x x tω ω ω= + + > ( )f x
π
4
( )0,0
( )f x ( )f x
( )f x π
8
( )y g x= ( ) ( )F x g x k= + π0, 2
k
( ) π2sin 4 16f x x = + −
( )f x π π π π,2 6 2 12
k k − + k Z∈
[ 3 1, 3 1] { 1}− + + −（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为 ，可
得周期，从而得 ，再代入坐标 得 ；
（2）由三角函数图象变换得 ，题意转化为 的图象与直线 在 上
只有一个公共点，结合函数图象易得结论．
【详解】（1） ，
的最小正周期为 ，∴ .
∵ 的图象过点 ，∴ ，∴ ，
即 .
令 ， ， ， ，
故 的递增区间为 ， .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得
的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来
的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.
∵ ，∴ ，∴ ，故
在区间 上的值域为 .
若函数 在区间 上有且只有一个零点，
即函数 的图象和直线 只有一个公共点，
如图，
π
4
ω (0,0) t
( )g x ( )y g x= y k= − [0, ]2
π
( ) πcos2 3sin 2 2sin 2 6f x x x t x tω ω ω = + + = + +
( )f x 2π π
2 2ω = 2ω =
( )f x ( )0,0 π2sin 06 t+ = 1t = −
( ) π2sin 4 16f x x = + −
π π π2 π 4 2 π2 6 2k x k− ≤ + ≤ + k ∈Z 1 π 1 ππ π2 6 2 12k x k− ≤ ≤ + k ∈Z
( )f x π π π π,2 6 2 12
k k − + k Z∈
( )f x π
8
π π π2sin 4 1 2sin 4 12 6 3y x x = − + − = − −
( ) π2sin 2 13g x x = − −
π0, 2x ∈
π π 2π2 ,3 3 3x − ∈ −
π 3sin 2 ,13 2x
− ∈ −
( ) π2sin 2 13g x x = − −
π0, 2
3 1,1 − −
( ) ( )F x g x k= + π0, 2
( ) π2sin 2 13g x x = − − y k= −根据图象可知， 或 ，即 .
故实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个
数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与
直线交点个数，利用数形结合思想求解．
19.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具
有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间 内，其频率
分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数；
（2）从初赛得分在区间 的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取 人参加学校
座谈交流，那么从得分在区间 与 各抽取多少人?
（3）从（2）抽取的 7 人中，选出 3 人参加全市座谈交流，设 表示得分在区间
3 1 3 1k− − ≤ − < − 1k− = [ 3 1, 3 1] { 1}k ∈ − + + −
k [ 3 1, 3 1] { 1}− + + −
( ]30,150
( ]110,150 7
( ]110,130 ( ]130,150
X ( ]130,150中参加全市座谈交流的人数，求 的分布列及数学期望 ．
【答案】（1）20；（2）5，2；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在
该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；（Ⅱ）由频率分布直方图求矩形
的面积，转化求解抽取人数即可；（Ⅲ）先求出 的可能值，求出概率，得到分布列，然后
求解期望即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知 之间的频率为:
，
∴获得参赛资格的人数为
（Ⅱ）在区间 与 ， ，在区间 的参赛者中，
利用分层抽样的方法随机抽取 7 人
分在区间 与 各抽取 5 人，2 人．结果是 5，2.
（Ⅲ） 的可能取值为 0，1，2，则
故 的分布列为：
0 1 2
∴
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
X E X（ ）
X
[90,110)
1 20 (0.0025 0.005 0.0075 2 0.0125) 0.3− × + + × + = 0.3 (0.0125 0.0050) 20 0.65+ + × =
800 0.65 520× =
( ]110130， ( ]130150， 0.0125:0.0050 5: 2= ( ]110150，
( ]110130， ( ]130150，
X
( ) 3 0
5 2
3
7
20 7
C CP X C
= = =
( ) 2 1
5 2
3
7
41 7
C CP X C
= = =
( ) 1 2
5 2
3
7
12 7
C CP X C
= = =
X
X
P 2
7
4
7
1
7
( ) 2 4 1 60 1 2 .7 7 7 7E X = × + × + × =第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概
率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随
机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或
某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
20.已知点 在椭圆 ： 上，且点 到 的左、右焦点
的距离之和为 .
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求
的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.
（2）设出 的坐标，求得 中点的坐标，由 的斜率得到 ，利用
点差法求得 的斜率，设出直线 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利
用平面向量的坐标运算，化简求得 的取值范围.
【详解】（1）由条件知 ， ，所以 ， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设点 、 的坐标为 ， ，则 中点 在线段
上，且 ，
∴ ，又 ， ，两式相减得
2 3 3,3 3M
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > M C
2 2
C
O C AB OM O M OA OB⋅
2
2 12
x y+ = 4 5,3 3
−
,A B AB OM ( )1 2 1 22x x y y+ = +
AB AB
OA OB⋅
2 2
4 1 13 3a b
+ = 2 2 2a = 2a = 1b =
C
2
2 12
x y+ =
A B ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1 2 1 2,2 2
x x y y+ +
OM 1
2OMk =
( )1 2 1 22x x y y+ = + 2
21
1 12
x y+ =
2
22
2 12
x y+ =，
易知 ， ，所以 ，即 .
设 方程为 ，代入 并整理得 .
由 解得 ，又由 ，∴ .
由韦达定理得 ， ，
故
.
而 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，
考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.
21.已知函数 .
（Ⅰ） 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导得到 ，得到单调区间.
（Ⅱ） ，求导根据单调性得到 ，讨论 和
两种情况，分别计算函数的最值得到答案.
( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2 02
x x x x y y y y
− + + − + =
1 2 0x x− ≠ 1 2 0y y+ ≠ ( )1 2 1 2
1 2 1 2
12
y y x x
x x y y
− += − = −− + 1ABk = −
AB y x m= − + 2
2 12
x y+ = 2 23 4 2 2 0x mx m− + − =
( )28 3 0m∆ = − > 2 3m < 1 2 2 20,2 3 3
x x m+ = ∈ 0 3m< <
1 2
4
3
mx x+ = ( )2
1 2
2 1
3
m
x x
−
=
( )( )1 2 1 2 1 2 1 2OA OB x x y y x x x m x m⋅ = + = + − + − +
( ) ( )2 2
2 2
1 2 1 2
4 1 42 3 3
m mx x m x x m m
−
= − + + = − + 2 4
3m= −
0 3m< < OA OB⋅ 4 5,3 3
−
( ) xf x e mx= −
2m = ( )f x
0x > ( ) ( ) 22 2 0x f x mx− + + > m
( )ln 2,+∞ ( ,ln 2)−∞ 1 ,2
+∞
( ) 2xf x e′ = −
( ) ( )2 2 2xg x x e mx= − + + 1
2m > − 1 1
2 2m− < < 1
2m ≥【详解】（Ⅰ）当 时， ，则 ，
当 时， 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（Ⅱ）设 ，
而 ，令 ，则 .
于是当 x>0 时， 为增函数，又由 ，知 .
（1）若 ，则 ， .
此时 在区间 上有唯一零点，设为 ，则 时， .
故 在区间 上为减函数， ，因此， 不符合要求.
（2）若 ，则 时， ，
此时 在区间 上为增函数.
故 时， ，因此 符合要求，
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能
力.
22.在平面直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为 （ 为参数，
）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的
极坐标方程是 .
（1）若直线 与圆 有公共点，试求实数 的取值范围；
（2）当 时，过点 且与直线 平行的直线 交圆 于 两点，求
的值.
2m = ( ) 2xf x e x= − ( ) 2xf x e′ = −
ln 2x > ( ) 0 ln 2f x x′ > ， ( )2 4 2 0g m= + > 1
2m > −
1 1
2 2m− < < ( )0 1 2 0g m′ = − + < ( ) 22 2 0g e m′ = + >
( )g x′ ( )0,2 0x 00 x x< < ( ) 0g x′ <
( )g x [ ]00, x ( ) ( )0 0 0g x g< = 1 1
2 2m− < <
1
2m ≥ 0x > ( ) ( )0 1 2 0g x g m′ ′> = − + ≥
( )g x [0, )+∞
0x > ( ) ( )0 0g x g> = 1
2m ≥
m 1 ,2
+∞
xOy C
1 cos ,
sin
x r
y r
θ
θ
= +
=
θ
0r > O x l
sin 13
πρ θ − =
l C r
2r = ( )2,0D l l′ C ,A B 1 1
DA DB
−【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普
通方程, 直线 与圆 有公共点，则圆心到直线的距离 ,即可求出范围;(2)将直线的参数
方程代入曲线方程,根据 t 的几何意义求值即可.
试题解析:
（1）由 ，
得 ，
即 ，
故直线 的直角坐标方程为 .
由
得
所以圆 的普通方程为 .
若直线 与圆 有公共点，则圆心 到直线 的距离 ，即
，
故实数 的取值范围为 .
（2）因为直线 的倾斜角为 ，且过点 ，
3 2 ,2
+ +∞
1
3
l C d r≤
sin 13
πρ θ − =
sin cos cos sin 13 3
π πρ θ θ − =
1 3 12 2y x− =
l 3 2 0x y− + =
1 ,
,
x rcos
y rsin
ϕ
ϕ
= +
=
1 ,
,
x rcos
y rsin
ϕ
ϕ
− =
=
C ( )2 2 21x y r− + =
l C ( )1,0 l 3 1 1 0 2
3 1
d r
× − × +
= ≤
+
3 2
2r
+≥
r 3 2 ,2
+ +∞
l′
3
π ( )2,0D所以直线 的参数方程为 （ 为参数），①
圆 的方程为 ，②
联立①②，得 ，
设 两点对应的参数分别为 ，
则 ， ，
故 .
23.已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）已知函数 ，若对于任意 ，都存在 ，使
得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） .（2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号后，分类解不等式即可得；
（2）求出 和 的最小值，题意题意转化为 的最小值不小于 的最小值，解
之可得 的范围．
【详解】（1）依题意，得 ，
l′
2 ,2
3
2
tx
y t
= +
=
t
C ( )2 21 4x y− + =
2 3 0t t+ − =
,A B 1 2,t t
1 2 1t t+ = − 1 2 3t t = −
1 2
1 2
1 1 1
3
DB DA t t
DA DB DA DB t t
− +− = = =⋅
( ) 2 1 1f x x x= + + −
( ) 3f x ≤
( ) 2 2019 2 2020g x x a x= − − + − 1x R∈ 2x R∈
( ) ( )1 2f x g x= a
{ }1 1x x− ≤ ≤ 1 5,2 2
−
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
a
( )
13 , 2
12, 12
3 , 1
x x
f x x x
x x
− ≤ −
= + − <
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