山东省日照市2020届高三数学二模试题（解析版）

2020 年高三校际联合考试 数学试题 2020.05 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对数函数和反比例函数的性质，求得集合 ， ，结合集 合的交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由题意，集合 ， 集合 ， 所以 . 故选：B. { }2| log , 1A y y x x= = > 1| , 2xB y y x  = = >   A B = 1 ,2  +∞  10, 2      ( )0, ∞+ ( ) 1,0 ,2  −∞ ∪ +∞  { }| 0A y y= > 1| 0 2B y y = < = > 1 1| , 2 | 0 2B y y y yx x   = = > = <       ,a b  0m n⋅ >  λ= m n λ λ= m n 0m n⋅ >  { }na 1 2 0a a+ > 2 3 0a a+ > 1 3 0a a+ < 1 2 0a a+ < 1 20 a a< < 2 1 3a a a> 1 0a < ( )( )2 1 2 3 0a a a a− − > 1 2 32, 1, 4a a a= = − = − 1 2 0a a+ > 2 3 0a a+ < 1 2 32, 1, 4a a a= = − = − 1 3 0a a+ < 1 2 0a a+ >D 选项， 故 D 错， 下面针对 C 进行研究， 是等差数列，若 ，则 设公差为 ，则 ， 数列各项均为正，由于 ，则 ， 故选 C. 考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是 对知识本质的考查. 6.已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 ，记椭 圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】 设椭圆的长半轴长为 ,双曲线的半实轴长 ，焦距 ，根据椭圆及双曲线的定义可以用 表示出 ,在 中根据余弦定理可得到 的值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ， 则根据椭圆及双曲线的定义 ， ， 设 ， 则在 中由余弦定理得 ， 化简 ，该式变成 ， 故选：C. 2 1 3 2, ,a a d a a d− = − = − 2 2 1 3 2( )( ) 0,a a a a d∴ − − = − ≤ { }na 1 20 a a< < 1 0,a > d 0d > 2 2 2 1 3 1 1 1( ) ( 2 )a a a a d a a d− = + − + 2 2 2 2 1 1 1 12 2 0a a d d a a d d= + + − − = > 2 1 1 3a a a> 1 1 3a a a⇒ > 1F 2F 1 2 3F PF π∠ = 1e 2e 2 2 1 2 1 3 e e + 25 12 1a 2a 2c 1 2,a a 1 2,PF PF 1 2F PF∆ 2 2 1 2 1 3 e e + 1a 2a 1 2 1 1 2 22 , 2PF PF a PF PF a+ = − = 1 1 2 2 1 2,PF a a PF a a∴ = + = − 1 2 1 22 , 3F F c F PF π= ∠ = 1 2PF F∆ ( ) ( ) ( )( )2 22 1 2 1 2 1 2 1 24 2 cos 3c a a a a a a a a π= + + − − + − ∴ 2 2 2 1 23 4a a c+ = 2 2 2 1 31 4e e + =【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义以及椭圆与双曲线的离 心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以 下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义 以及圆锥曲线的定义来求解. 7.已知函数 ，若 恒成立，则实数 m 的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将二次函数化为 ，对 m 分 ， ， 三种情况，分别讨论恒成立的条件，再求并集，可得选项. 【详解】 ， （1） ， 恒成立等价于 或 恒成立， 即 或 （不合题意，舍去）恒成 立； 即 ，解得 ， （2） 恒成立，符合题意； （3） ， 恒成立等价于 （不合题意，舍去）或 恒成 立，等价于 ，解得 . ,a c e ,a c e ( ) ( )2 1f x x m x m= + − − ( )( ) 0f f x  3, 3 2 2 − − +  1, 3 2 2 − − +  [ ]3,1− 3 2 2,1 − +  ( ) ( ) ( )( )2 1 1f x x m x m x m x= + − − = − + 1m > − 1m = − 1m < − ( ) ( ) ( )( )2 1 1f x x m x m x m x= + − − = − + 1m > − ( )( ) 0f f x ≥ ( )f x m≥ ( ) 1f x ≤ − ( ) ( )2 1f x x m x m m= + − − ≥ ( ) ( )2 1 1f x x m x m= + − − ≤ − 0 1m ∆ ≤  > − ( 1, 3 2 2m ∈ − − +  1m = − 1m < − ( )( ) 0f f x ≥ ( )f x m≤ ( ) 1f x ≥ − 0 1m ∆ ≤  < − [ )3, 1m∈ − −综上所述， ， 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数中的不等式恒成立问题，注意运用因式分解，得出讨论的标准， 属于中档题. 8.已知函数 ，若方程 的解为 ， （ ），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求解 在区间 上的对称轴可得 ，结合三角函数的对称性可 知 ， 再 代 入 ， 再 结 合 与 求解即可. 【详解】函数 的对称轴满足： （ ）， 即 （ ），令 可得函数在区间 上 一条对称轴为 ， 结合三角函数的对称性可知 ，则： ， 由题意： ，且 , ，由同角三角函数基本关系可知： 的 3, 3 2 2m  ∈ − − +  ( ) sin 2 6f x x π = −   ( ) 3 5f x = 1x 2x 1 20 x x π≤ ≤  ( )1 2sin x x− = 3 5- 4 5 − 2 3 − 3 3 − ( ) sin 2 6f x x π = −   ( )0,π 3x π= 1 2 2 3x x π+ = ( )2 21 2sin cos 6x x x π − −=    2 7 3 12x π π< < 2 3sin 2 6 5x π − =   ( ) sin 2 6f x x π = −   2 6 2x k π ππ− = + k ∈Z 2 3 kx ππ= + k ∈Z 0k = ( )0,π 3x π= 1 2 2 3x x π+ = 1 2 2 3x xπ= − ( )1 2 2 2 2 2sin sin 2 sin 2 cos 23 3 6x x x x x π ππ     − = − = + = −           2 3sin 2 6 5x π − =   1 20 x x π< < < 1 2 7 12 3 12x x π π π< < < < 222 6x π π π< − ( )f x当 时， ， ， 单调递增， 且 在 连续，故 在 单调递增， 故选项 B 正确； 当 时， ， ， 令 得， ， 当 时， ， ， 令 得， , 因此， 在 内有 20 个极值点，故选项 C 错误； 当 时， ，则 ， 当 时， ， 设 ， ， 令 ， ， 单调递增， ， ， 在 单调递增， 又由洛必达法则知： 当 时， ，故答案 D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数 研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题. 3(0, )4x π∈ ( ) sinxf x e x= (sin) ) 0c( osx xf x e x+′ = > ( )f x ( )f x 3( , )4 4 π π− ( )f x 3( , )4 4 π π− [0,10 )x π∈ ( ) sinxf x e x= (sin c )s( ) oxf x e x x+′ = ( ) 0f x′ = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k π π= − + = ( 10 ,0)x π∈ − ( ) sinxf x e x−= (co( s) sin )x xf x e x−= −′ ( ) 0f x′ = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)4x k k π π= + = − − − − − − − − − − ( )f x ( 10 ,10 )π π− 0x = ( ) 0 0f x ax= ≥ = a R∈ (0, ]4x π∈ sin( ) xe xf x ax a x ≥ ⇔ ≤ sin( ) xe xg x x = 2 ( sin cos sin )( ) xe x x x x xg x x + −′∴ = ( ) sin cos sinh x x x x x x= + − (0, ]4x π∈ ( ) sin (cos sin ) 0h x x x x x′∴ = + − > ( )h x ( ) (0) 0h x h∴ > = ( ) 0g x′∴ > ( )g x (0, ]4 π 0x → 0 sin (sin cos )( ) 11 x x x e x e x xg x x = += → = 1a∴ ≤12.若实数 x，y 满足 则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 构造函数 ，得出函数 都是单调递增函数，结合图象， 逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，实数 满足 ，可化为 ， 设 ， 由初等函数的性质，可得 都是单调递增函数， 画出函数 的图象，如图所示， 根据图象可知，当 时， ；当 时， ， 当 时， ，所以 成立； 当 时， ，所以 B 不正确； 当 时， 可能成立，所以 C 正确； 当 时，此时 ，所以 可能成立，所以是正确的. 故选：ACD. 5 4 5 4y xx y− = − x y= 1 x y< < 0 1x y< < < 0y x< < ( ) 4 5 , ( ) 5 4x xf x x g x x= + = + ( ), ( )f x g x ,x y 5 4 5 4y xx y− = − 4 5 5 4x yx y+ = + ( ) 4 5 , ( ) 5 4x xf x x g x x= + = + ( ), ( )f x g x ( ), ( )f x g x 0x = ( ) ( )0 0 1f g= = 1x = ( ) ( )1 1 9f g= = x y= ( ) ( )f x g y= 5 4 5 4y xx y− = − 1 x y< < ( ) ( )f x g y< 0 1x y< < < ( ) ( )f x g y= 0y x< < ( ) ( )f x g x≤ ( ) ( )f x g y=【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，其中解答中结合指数函数的性质，画出两 个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能 力. 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线 的斜率为 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程，根据弦长可知直线 经过圆的圆心，进而由两点坐标求得直线 的斜率. 【详解】圆 ，化为标准方程可得 ， 所以圆心坐标为 ，半径为 ， 直线 被圆截得的弦长为 ，即弦长为直径，所以直线 经过圆心， 又因为直线 过点 ， 所以由两点间斜率公式可知 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，两点间斜率公式的应用，属于基础题. 14.某学校在 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师各至少一 名，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）. 【答案】 【解析】 【分析】 从 9 名教师中选取 5 人，总的方法为 ，选择全都是女教师的情况为 ，相减即为男、女教 师各至少一名的选取种数. 【详解】在 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，总的方法为 ， ( 1,2)− l 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = 2 l 1 2 − l 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( )1,1 1r = l 2 l l ( 1,2)− 2 1 1 1 1 2k −= = −− − 1 2 − 120 5 9C 5 6C 5 9C选择全都是女教师的情况为 ， 所以男、女教师各至少一名的选取种数为 种， 故答案为： . 【点睛】本题考查了组合数的实际引用，由总数减去不符合要求的即为所求，属于基础题. 15.设函数 ，点 （ ）， 为坐标原点，设向量 ，若向 量 ，且 是 与 的夹角，记 为数列 的前 n 项和， 则 _________， __________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据向量线性运算，化简 ，即可由斜率定义及所给函数解析式求得 的值；根据斜率， 表示出 ，结合等比数列求和公式即可得解. 【详解】向量 ， 由向量的线性运算可知 ， 所以 ， 函数 ，点 （ ）， 所以 ，即 . 为坐标原点，向量 ， 是 与 的夹角， 根据斜率定义可知， ; 为数列 的前 n 项和， 5 6C ( ) ( )5 5 9 6 9! 6! 5! 9 5 ! 5! 6 5 !C C− = −− − 9 8 7 6 6 1204 3 2 1 × × ×= − =× × × 120 ( ) 2x xf x = ( ), ( )nA n f n n∈ +N 0A ( )1,0i = 0 1 2 11n n na A A A A A A−= + +     n θ na i nS { }tan n θ 3tanθ = nS = 1 8 11 2n − na 3tanθ nS 0 1 2 11n n na A A A A A A−= + +     0n na A A=  3 0 3a A A=  ( ) 2x xf x = ( ), ( )nA n f n n∈ +N ( )3 3, (3)A f 3 33, 8A      0A ( )1,0i = n θ na i 0 33 3 0 18tan 3 0 8A Akθ − = = =− nS { }tan n θ则 由等比数列求和公式可得 ， 故答案为： ； . 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，直线的斜率公式应用，等比数列求和公式的应用， 综合性强，属于中档题. 16.已知正方体棱长为 2，以正方体的一个顶点为球心，以 为半径作球面，则该球面被正 方体表面所截得的所有的弧长和为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，画出几何关系图形，结合图形即可知球面被正方体表面所截得 3 段相等的弧长， 且每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形，即可求得三段弧长的和. 【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得 3 段相等的弧长， 每个弧的端点与球心连接形成一个等边三角形， 1 2 3tan tan tan tann nS θ θ θ θ= + + +⋅⋅⋅ 2 3 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3n n S n n = + + +⋅⋅⋅ 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2n nS = + + +⋅⋅⋅ 1 112 2 111 21 2 n n nS   −     = = − − 1 8 11 2n − 2 2 2 2π所以 ， 则所有弧长和为 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查了正方体与球的截面问题，关键是理解截面与球的关系，弧与球心的位置 关系，属于中档题. 四、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列 满足 ， ，设 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的定义，可得 是等差数列，进而求出通项公式； （2）由已知求出 的通项公式，根据通项公式的特征分组求和，转化为求等差数列和等比 数列的前 项和. 【详解】方法一：（1）因为 且 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列. 所以 . （2）由（1）及题设得， ， 所以数列 的前 项和   1 1 1 1 60 2 2 2 2 3180 B D B C CD π π× ×= = = =  2 23 2 23 π π× = 2 2π { }na 1 2a = ( ) ( )1 1 2 1n nna n a n n+ − + = + n n ab n = { }nb 2 nb nc n= − { }nc n 2nb n= 1 24 4 3 2 3 n n n+ +− − { }nb { }nc n n n ab n = ( ) ( )1 1 2 1n nna n a n n+ − + = + 1 1 21 n n n n a ab b n n + + − = − =+ 1 1 2b a= = { }nb ( )2 2 1 2nb n n= + − = 22 4n n nc n n= − = − { }nc n ( ) ( ) ( )1 24 1 4 2 4n nS n= − + − + ⋅⋅⋅ + − ( ) ( )1 24 4 4 1 2n n= + + ⋅⋅⋅ + − + + ⋅⋅⋅ +. 方法二：（1）因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 即 ， 又因为 ， 所以 是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列. 所以 . （2）略，同方法一. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，注意辅助数列的应用，属于中档题. 18.在① ，② ，③ ，这三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_________， ， . （1）求角 B； （2）求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）选① ，直接利用余弦定理即可求解，选② ，利用 正弦定理可得 求解即可，选③ ，利用辅助角公式化简求解即可； （2）由正弦定理求出 ，直接利用三角形面积公式求解. 【详解】若选择① ， ( )14 4 4 1 4 2 n n n+− ×= −− 1 24 4 3 2 3 n n n+ += − − n n ab n = n na nb= ( ) ( )1 1 2 1n nna n a n n+ − + = + ( ) ( ) ( )11 1 2 1n nn n b n nb n n++ − + = + 1 2n nb b+ - = 1 1 2b a= = { }nb ( )2 2 1 2nb n n= + − = 2 2 2b ac a c+ = + 3 cos sina B b A= 3sin cos 2B B+ = ABC 4A π= 2b = ABC 3 π 3 3 6 + 2 2 2b ac a c+ = + 3 cos sina B b A= tan B 3sin cos 2B B+ = a 2 2 2b ac a c+ = +（1）由余弦定理 因为 ，所以 （2）由正弦定理 得 ， 因为 ，所以 所以 ， 所以 . 若选择② （1）由正弦定理得 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ； （2）同上 若选择③ （1）由和角公式得 ，所以 . 因为 ，所以 , 所以 ，所以 ； （2）同上. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，考查了推 理运算能力，属于中档题. 19.如图所示的四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， ，M，N 分别是 ， 的中点. 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = (0, )B π∈ 3B π= sin sin a b A B = 2 sinsin 2 34 sin 33 2 b Aa B π = = = ,4 3A B π π= = 5 4 3 12C π π ππ= − − = 5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C π π π π π π π + = = + = + =   1 1 2 3 6 2 3 3sin 22 2 3 4 6ABCS ab C + += = × × × = 3 cos sina B b A= 3sin cos sin sinA B B A= sin 0A ≠ 3 cos sin ,tan 3B B B= = (0, )B π∈ 3B π= 3sin cos 2B B+ = 2sin 26B π + =   sin 16B π + =   (0, )B π∈ 7,6 6 6B π π π + ∈   6 2B π π+ = 3B π= P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2PA AD= = AB PC（1）求证： 平面 ； （2）若直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）取 中点 E，连接 ， ，利用平行四边形可证 ，由 知 ， 可证 ，故可证 ； （2）根据 即为直线 与平面 所成的角，可求出 ，分别以 ， ， 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可. 【详解】（1）证明：取 中点 E，连接 ， ， 因为 M，N，E 分别为 ， ， 的中点， ， ， 所以 是平行四边形，故 ， 因为 ，所以 又因为 ， ， ，所以平面 . 因为 ，E 为中点，所以 ， 所以 ， 所以 ；. MN ⊥ PCD PB ABCD 2 5 5 N DM C− − 3 3 PD EN AE //MN AE PA AD= AE PD⊥ AE ⊥ 平面PCD MN PCD⊥ 平面 PBA∠ PB ABCD 4AB = AB AD AP PD EN AE AB PC PD //EN AM 1 2EN AM AB= = AMNE //MN AE PA ABCD⊥ 平面 PA CD⊥ CD AD⊥ AD PA A∩ = CD PAD⊥ 平面 PCD PAD⊥ 平面 PA AD= AE PD⊥ AE ⊥ 平面PCD MN PCD⊥ 平面（2）因为 ，所以 为 在平面 内的射影， 所以 即为直线 与平面 所成 角， 则 ，即 ， 因为 ， ， 分别以 ， ， 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ，则 ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ，则 ， ，即 ， 取平面 的法向量 ， 所以 ， 由图可知，二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题主要考查了线面垂直 判定，面面垂直的判定与性质，线面角，二面角的向量 求法，考查了空间想象力，推理能力，属于中档题. 20.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们 新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近 六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为 x，市场占有率为 y（%），得结果如下表 年月 2019.11 2019.12 2020.1 2020.2 2020.3 2020.4 的 的 PA ABCD⊥ 平面 AB PB ABCD PBA∠ PB ABCD 2 5cos 5PBA∠ = 5sin 5PBA∠ = 2PA AD= = 4AB = AB AD AP ( )0,2,0D ( )2,0,0M ( )2,1,1N ( )2, 2,0DM → = − ( )0,1,1MN → = NDM ( )1 , ,n x y z= 1 1 0 0 n DM n MN  ⋅ = ⋅ =     2 2 0 0 x y y z − =  + = 1x = 1y = 1z = − ( )1 1,1, 1n → = − DMC ( )2 0,0,1n → = 1 2 1 2 1 2 3cos , 3 n nn n n n → → → → → → ⋅= = − N DM C− − N DM C− − 3 3x 1 2 3 4 5 6 y 9 11 14 13 18 19 （1）观察数据，可用线性回归模型拟合 y 与 x 关系，请用相关系数加以说明（精确到 0.001）； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2020 年 6 月份的市场占有率； （3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车投入市场，现有采购成本分别为 1000 元/辆和 800 元/辆的甲、乙两款车型，报废年限不相同.考虑到公司的经济效益，该公司决定先对这两 款单车各 100 辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命统计如下表： 报废年限 车辆数 车型 1 年 2 年 3 年 4 年 总计 甲款 10 40 30 20 100 乙款 15 35 40 10 100 经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入 500 元，不考虑除采购成本之外的其他成本， 假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车 产生利润的期望值为决策依据，如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？ 参考数据： ， ， ， . 的 ( )6 2 1 17.5i i x x = − =∑ ( )6 2 1 76i i y y = − =∑ ( )( )6 1 35i i i x x y y = − − =∑ 1330 36.5≈参考公式，相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最 小二乘估计公式分别为 ， . 【答案】（1）见解析（2） ；2（3）选择乙款车型 【解析】 【分析】 (1)由相关系数公式求得 y 与 x 之间相关系数，由相关系数接近 1 可得 y 与 x 之间具有较强的线 性相关关系，可用线性回归模型进行； (2) 由已知分别求出 与 的值，可得线性回归方程; (3)分别列出甲款单车的利润 x 与乙款单车的利润 y 的分布列，求得期望，比较大小得结论. 【详解】（1）由参考数据可得 ，接近 1， ∴y 与 x 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合： （2）∵ ， ， ， ， ∴y 关于 x 的线性回归方程为 . 2020 年 6 月份代码 ，代入线性回归方程得 ，于是 2020 年 6 月份的市场占有率预 报值为 2 （3）用频率估计概率，甲款单车的利润 X 的分布列为 X -500 0 500 1000 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ˆˆ ˆy a bx= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − ˆ 7 2y x= + ˆb ˆa 35 35 0.959 17.5 76 1330 r = = ≈ × ( )( ) ( ) 1 2 1 35ˆ 217.5 n i i i n i i x x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑ 1 2 3 4 5 6 3.56x + + + + += = 9 11 14 13 18 19 146y + + + + += = ˆˆ 14 2 3.5 7a y bx= − = − × = ˆ 7 2y x= + 8x = ˆ 23y =P 0.1 0.4 0.3 0.2 （元）. 乙款单车 利润 Y 的分布列为 Y -300 200 700 1200 P 0.15 0.35 0.4 0.1 （元）， 以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择乙款车型. 【点睛】本题主要考查线性相关系数及线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列 与期望，考查计算能力，属于中档题. 21.在平面直角坐标系 中，抛物线 C： （ ）的焦点为 （1）动直线 l 过 F 点且与抛物线 C 交于 M，N 两点，点 M 在 y 轴的左侧，过点 M 作抛物线 C 准线的垂线，垂足为 M1，点 E 在 上，且满足 连接 并延长交 y 轴于点 D， 的面积为 ，求抛物线 C 的方程及 D 点的纵坐标； （2）点 H 为抛物线 C 准线上任一点，过 H 作抛物线 C 的两条切线 , ，切点为 A，B， 证明直线 过定点，并求 面积的最小值. 【答案】（1） ；（0，4）（2）证明见解析，面积最小值为 4 【解析】 【分析】 (1) 由 焦 点 坐 标 ， 可 得 抛 物 线 的 方 程 , 设 ， 由 向 量 共 线 定 理 可 得 ,求得 M 的坐标，代入抛物线方程可得 ，即可求解； 的 ( ) 500 0.1 0 0.4 500 0.3 1000 0.2 300E X = − × + × + × + × = ( ) 300 0.15 200 0.35 700 0.4 1200 0.1 425E Y = − × + × + × + × = xOy 2 2x py= 0p > ( )0,1F MF 1 2ME EF → → = 1M E MED 2 2 HA HB AB HAB 2 4x y= 2 4x y= ( )0,D m 3 2 2MFDS =△ m（2））设点 ， ， ，根据导数的几何意义，求得抛物线在 A, B 处 的切线的方程，由两点确定一直线可得 AB 的方程，进而得到恒过定点 F,再讨论 t=0, ， 写出 即可求最值. 【详解】（1）因为 ，所以抛物线 C： ， 设 ， 因为 ， ， ， 所以 ， ， 又因为 ， ，推出 ， M 在抛物线 C 上， ， 解得 ，故 D（0,4） （2）设点 ， ， . 由 C： ， 即 ，得 ， 所以抛物线 C： 在点 处的切线 的方程为 ， 即 ， 因为 ， ， 因为 在切线 上， 所以 ① 同理 ②； ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ), 1H t − 0t ≠ 1 | | | |2AHBS HF AB= ⋅  ( )0,1F 2 4x y= ( )0,D m 1 2ME EF → → = 2 2MEDS =△ 3 2 2MFDS =△ ( )1 3 212 2Mx m− − = 3 2 1Mx m −= − 1 ~MM E EFD△ △ ( )1 1 1| | 12 2MM DF m= = − 3 2M my −= 2 3 2 341 2 m m   −= ×  −  4m = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ), 1H t − 2 4x y= 21 4y x= 1 2y x′ = 2 4x y= ( )1 1,A x y HA ( ) ( )1 1 12 xy y x x− = − 21 1 1 1 2 2 xy x x y= − + 2 1 1 1 4y x= 1 12 xy x y= − ( ), 1H t − HA 1 11 2 x t y− = − 2 21 2 x t y− = −综合①②得，点 ， 的坐标满足方程 ， 即直线 恒过抛物线焦点 . 当 时，此时 ，可知 ， 当 时，此时直线 的斜率为 ，得 ， 于是 ，而 ， 把直线 代入 C： 中，消去 x 得 ， ， 即 ， 当 时， 最小，且最小值为 4. 【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线的相切的条件，向量共线的坐标 表示和直线恒过定点的求法，三角形的面积的最值求法，考查了方程思想和运算能力，属于 中档题. 22.已知函数 （1）求函数 的单调区间； （2）若 ，对 恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 时，设 .若正实数 ， 满足 ， ， ，证明： . 【答案】（1）详见解析；（2） ；（3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导后，分别在 和 两种情况下根据导函数的正负求得函数的单调区间； ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 x t y− = − AB ( )0,1F 0t = ( )0, 1H − HF AB⊥ 0t ≠ HF 2 t − HF AB⊥ 1 | | | |2HABS HF AB= ×△ ( ) ( )2 2 2| | 0 1 1 4HF t t= − + − − = + 12 ty x= + 2 4x y= ( )2 22 1 0y t y− + + = 2 1 2 2 4AB y y t= + + = + ( ) ( )3 2 2 2 21 14 4 42 2HABS t t t= + + = +△ 0t = HABS△ ( ) 2 lnf x x x ax= + − ( )f x ( ) 22f x x≤ [ )0,x∈ +∞ a 1a = ( ) ( )2 1x f xg x xe x−= − − 1 λ 2 λ 1 2 1λ λ+ = 1x ( )( )2 1 20,x x x∈ +∞ ≠ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2g x x g x g xλ λ λ λ+ < + [ )1,− +∞ 2 2a ≤ 2 2a >（2）通过分离变量得到 ，令 ，利用导数可求得 最 大值，由此得到 ； （3）设 ，以 为变量，令 ，通 过判断导函数的正负可确定 在 上单调递增，得到 ，从而得到 结论. 【详解】（1）由题意知： 定义域为 ， ， 令 ，则 ， ①当 时， ，即 恒成立， 函数 的单调递增区间为 ；无单调递减区间； ②当 时，令 ， 解得： ， ，可知 ， 当 和 时， ，即 ； 当 时， ，即 ； 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ； 综上所述：①当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； ②当 时，函数 的单调递增区间为 ， ，单 调递减区间为 . （2） 对 恒成立，即为对任意的 ，都有 ， ln xa xx ≥ − ( ) ( )ln 0xF x x xx = − > ( )F x ( )maxa F x≥ ( )1 2 0,x x< ∈ +∞ 1x ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2F x g x x g x g xλ λ λ λ= + − − ( )F x ( ]20, x ( ) ( )1 2 0F x F x< = ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 21 2 12 x axf x x ax x − +′ = + − = ( ) ( )22 1 0g x x ax x= − + > 2 8a∆ = − 2 2a ≤ ( ) 0g x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ∴ ( )f x ( )0, ∞+ 2 2a > ( ) 0g x = 2 1 8 4 a ax − −= 2 2 8 4 a ax + −= 2 1 0x x> > ∴ ( )10,x x∈ ( )2 ,x +∞ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )1 2,x x x∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x∴ 2 80, 4 a a − −    2 8 ,4 a a + − +∞    2 28 8,4 4 a a a a − − + −    2 2a ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 2 2a > ( )f x 2 80, 4 a a − −    2 8 ,4 a a + − +∞    2 28 8,4 4 a a a a − − + −    ( ) 22f x x≤ ( )0,x∈ +∞ ( )0,x∈ +∞ ln xa xx ≥ −设 ，则 ， 令 ，则 ， ∴ 在 上单调递减，又 ， ∴当 时， ，即 ， 单调递增； 当 ， ，即 ， 单调递减， ∴ ， ∴实数 的取值范围为 . （3）证明：当 时， ， 不妨设 ，以 为变量，令 ， 则 且 ， ，即 ，又 为增函数， ； ， ， 在 上单调递增， ， ， 即 . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调区间的讨论、恒成立问 题的求解、构造函数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式 将问题转化为函数单调性的求解问题，通过求解函数单调性得到函数值的大小关系，进而整 理得到不等式. ( ) ( )ln 0xF x x xx = − > ( ) 2 2 2 1 ln 1 ln1x x xF x x x − − −′ = − = ( ) ( )2ln 01G x x xx− − >= ( ) 1 2 0G x xx ′ = − − < ( )G x ( )0, ∞+ ( )1 0G = ( )0,1x∈ ( ) 0G x > ( ) 0F x′ > ( )F x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0G x < ( ) 0F x′ < ( )F x ( ) ( )max 1 1F x F= = − a [ )1,− +∞ 1a = ( ) ( ) ( )ln ln1 1 1 0x x x x xg x xe x xe x e x x− − −= − − = − − = − − > ( )1 2 0,x x< ∈ +∞ 1x ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 2F x g x x g x g xλ λ λ λ= + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2 1 1 1 2 2F x g x x g x g x x g xλ λ λ λ λ λ λ′ = ′ + − ′ = ′ + − ′ ( )1 2 2 1 2 2 2 2 21x x x x x x xλ λ λ λ λ λ+ − = − + = − + 2x x< 1 2 2 0x x xλ λ∴ + − > 1 2 2x x xλ λ+ > ( ) 1xg x e′ = − ( ) ( )1 2 2 0g x x g xλ λ∴ ′ + − ′ > 1 0λ > ( ) 0F x′∴ > ( )F x∴ ( ]20, x ( ]1 20,x x∈ ( ) ( )1 2 0F x F x∴ < = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2g x x g x g xλ λ λ λ+ < +