高三数学试题
本试卷共 4 页，共 22 小题满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写
在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得 和 的值，可得 的值．
【详解】解：由于角 的终边经过点 ，
则 ，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
α ( 4,3)P − sin cosα α+ =
7
5
− 1
5
− 1
5
7
5
sinα cosα sin cosα α+
α ( 4,3)P −
2 24, 3, | | 3 4 5x y r OP= − = = = + =
3 4sin ,cos , sin cos5 5 5
1y x
r r
α α α α∴ = = = = − ∴ + = −
{ } { }11,2,3,4 , | 2 ,xA B y y x A−= = = ∈ A B =
{1,2} {2,4} {1,2,4} ∅先化简集合 ，再根据交集的定义即可求出.
【详解】解：集合
则 .
故选：C.
【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题.
3.设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 在复平面内对应的点为 ，可得 ，然后代入 ，即可得答案.
【详解】解：∵ 在复平面内对应的点为 ，
∴ ，又 ，
.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基
础题.
4.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数函数和指数函数的性质求解.
B
{ } { } { }11,2,3,4 , | 2 , 1,2,4,8xA B y y x A−= = = ∈ =
{1,2,4}A B∩ =
z | 3 4 | 2z i− + = z ( , )x y
2 2( 3) ( 4) 4x y− + + = 2 2( 3) ( 4) 4x y+ + − =
2 2( 3) ( 4) 2x y− + + = 2 2( 3) ( 4) 2x y+ + − =
z ( ),x y z x yi= + | 3 4 | 2z i− + =
z ( , )x y
z x yi= + | 3 4 | 2z i− + =
( )| 3 4 | 2x y i∴ − + + =
2 2( 3) ( 4) 4x y∴ − + + =
0.10.3α = 1
3
1log 5b =
5log 26c = a b c
a b c> > c a b> > b a c> > c b a> >【详解】解： ，
，
，
∴ .
故选：D.
【点睛】本题考查对数式和指数式的大小比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函
数和指数函数的性质的合理运用.
5.已知正方形 的边长为 （ ）
A. 3 B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.
【详解】解：因为正方形 的边长为 3， ，
则
.
故选：A.
【点睛】本题考查向量的数量积的求解，关键是要将向量转化为知道模和夹角的向量来表示，
是基础题.
6.函数 的图象大致是（ ）
A. B.
0.1 00 0.3 0.3 1, 0 1a< < = ∴ <
c b a> >
ABCD 3, 2 ,DE EC AE BD= ⋅ =
3− 6−
ABCD 2DE EC=
2( ) ( ) ( )3AE BD AD DE AD AB AD AB AD AB ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ −
2 2 2 21 2 23 3 33 3 3AD AD AB AB= − ⋅ − = − × =
2 lnx xy x
=C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数排除 ,当 时,利用导数得 在 上递减,在 上递增,根据
单调性分析 不正确,故只能选 .
【详解】令 ,则 ,
所以函数 为偶函数,其图像关于 轴对称,故 不正确,
当 时, , ,
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上递减,在 上递增,
结合图像分析, 不正确.
故选:D
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利
用单调性判断函数的图象,属于中档题.
7.已知 ， ， ， 为平面 内的四点，其中 ， ， 三点共线，点 在直线 外，
且满足 .其中 ，则 的最小值为（ ）
A. 21 B. 25 C. 27 D. 34
【答案】B
【解析】
【分析】
B 0x > ( )f x 1(0, )e
1( , )e
+∞
,A C D
2 ln | |( ) | |
x xf x x
=
2( ) ln | |( ) ( )| |
x xf x f xx
− −− = =−
( )f x y B
0x >
2 ln( ) lnx xf x x xx
= = ( ) 1 lnf x x′ = +
( ) 0f x′ > 1x e
> ( ) 0f x′ < 10 x e
< <
( )f x 1(0, )e
1( , )e
+∞
,A C
O A B C a A B C O AB
1 2OA OB OCx y
= + 0, 0x y> > 8x y+根据题意，易得 ，则 ，根据基本不等式的应用运算，易
得 的最小值.
【详解】解：根据题意， ， ， 三点共线，点 在直线 外， ．
设 ， ，
则 ，
，消去 得 ，
（当且仅当 时等式成立）.
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和基本不等式的应用，综合考查，但难度较低，
属基础题.
8.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行
平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积
总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底
面半径都为 .高都为 的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上
底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意
距离 处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明 圆= 圆环总成立.据此，
椭圆的短半轴长为 2，长半轴长为 4 的椭球的体积是（ ）
1 2 1x y
+ = 1 28 ( 8 )x y x y x y
+ = + ⋅ +
8x y+
A B C O AB 1 2OA OB OCx y
= +
BA BCλ= ( )0, 1λ λ≠ ≠
( ) ( )1OA OB BA OB BC OB OC OB OC OBλ λ λ λ= + = + = + − = + −
11
2
x
y
λ
λ
− =∴
=
λ 1 2 1x y
+ =
1 2 2 8 2 88 ( 8 ) 1 16 17 2 25x y x yx y x y x y y x y x
∴ + = + ⋅ + = + + + ≥ + ⋅ =
55, 2x y= =
b ( )a a b>
β β β
d S SA. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 圆= 圆环总成立，求出椭球的体积 ，代入 与 的值得答案.
【详解】解：∵ 圆= 圆环总成立，
∴半椭球的体积为： ，
∴椭球的体积 ，
∵椭球体短轴长为 2，长半轴长为 4，
∴该椭球体的体积 .
故选：C.
【点睛】本题考查祖暅原理的应用，考查圆柱与圆锥的体积，是基础题.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中有
多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车
在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（ ）
A. 消耗 1 升汽油乙车最多可行驶 5 千米.
B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.
C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油.
16
3
π 32
3
π 64
3
π 128
3
π
S S 24V b a3
π= b a
S S
2 2 21 2b a b a b a3 3
π π π− =
24V b a3
π=
24 642 43 3V
ππ= × × =D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的
不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同
燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转
化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.
【详解】解：对于 A，由图象可知当速度大于 40km/h 时，乙车的燃油效率大于 5km/L，
∴当速度大于 40km/h 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km，故 A 错误；
对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，
甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；
对于 C，由图象可知当速度为 80km/h 时，甲车的燃油效率为 10km/L，即甲车行驶 10km 时，
耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km，燃油为 8 升，故 C 错误；
对于 D，由图象可知当速度小于 80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故 D 正确.
故选：ABC.
【点睛】本题考查学生对图表的认知和解读能力，也能体现学生对函数图象数据的处理能力
和培养数学应用意识，考查学生将图形语言转化为数学语言的能力，是中档题.
10.设 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点
，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下
列结论正确的是（ ）
A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为
C. 离心率为 D. 离心率为
【答案】AC
【解析】
【分析】
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
P 2 1 2PF F F= 2F 1PF
4 3 0x y± = 3 4 0± =x y
5
3
5
4设 ，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于 a，b，c 的方程，再
由隐含条件即可得到 a 与 b 的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．
【详解】解：设 ，
由 ，可得 ，
由 到直线 的距离等于双曲线的实轴长 ，
设 的中点 ，
由等腰三角形 的性质可得， ，
即有 ，
，即 ，
可得 ，
即有 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，即 ；
离心率 ．
故选：AC．
【点睛】本题考查双曲线 定义、方程和性质，考查等腰三角形的性质，以及勾股定理的运
用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11.已知函数 的图象的一条对称轴为 ，则下列结论中正
确的是（ ）
A. 是最小正周期为 的奇函数
B. 是 图像的一个对称中心
C. 在 上单调递增
D. 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平
的
2 1 2 2PF F F c= =
2 1 2 2PF F F c= =
1 2 2PF PF a− = 1 2 2PF c a= +
2F 1PF 2a
1PF M
1 2PF F 2 1F M PF⊥
2 2 2 2
1 2 (2 ) (2 ) 4 4PF c a c a b= − = − =
2 2 4c a b∴ + = 2c a b+ =
2 2 2 2(2 )c a b b a= + = −
3 4b a=
4
3
by x xa
= ± = ± 4 3 0x y± =
2 16 51 1 9 3
c be a a
= = + = + =
1( ) ( sin cos )cos 2f x a x x x= + −
6x
π=
( )f x π
7 ,012
π − ( )f x
( )f x ,3 3
π π −
2sin 2y x= 1
2移 个单位长度，即可得到函数 的图象.
【答案】BD
【解析】
【分析】
化简函数 ，将 代入得函数最值，可求得 ，进而可得 ，
通 过 计 算 ， 可 判 断 A ； 通 过 计 算 ， 可 判 断 B ； 当 时 ，
，可得 在 上的单调性，可判断 C；通过振幅变换和平移
变换，可判断 D.
【详解】解：
，
当 时， 取到最值，即
解得 ，
．
A： ，故 不是奇函数，故 A 错误；
B： ，则 是 图像的一个对称中心，
故 B 正确；
C：当 时， ，又 在 上先增后减，则
在 上先增后减，故 C 错误；
12
π
( )f x
( )f x
6x
π= 3a = ( ) sin 2 6f x x
π +
=
( )0f 7
12f
π − 3 3x
π π− ≤ ≤
522 6 6x
π π π− ≤ + ≤ ( )f x ,3 3
π π −
21 1( ) ( sin cos )cos sin cos cos2 2f x a x x x a x x x= + − = + −
( )21 1 cos2 1sin 2 sin 22 2 2 2
1a x ax x ϕ+= + − += +
6x
π= ( )f x
2
2 1sin cos cos 2 2
1
6 6 6
aa
π π π+ ± +− =
3a =
( ) 1 cos2 1sin 2 sin 22 2 2 6
3 xf x x x
π+ = + − = +
( )0 sin 06f
π = ≠ ( )f x
( )7 7sin sin2 66 01f
π π π π − = − + = − =
7 ,012
π − ( )f x
3 3x
π π− ≤ ≤ 522 6 6x
π π π− ≤ + ≤ siny x= 5,2 6
π π −
( ) sin 2 6f x x
π +
= ,3 3
π π − D. 将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ，然后把所得函数图象再向左平移
个单位长度，得 ，故 D 正确.
故答案为：BD.
【点睛】本题考查三角恒等变形，考查三角函数的图像和性质，是中档题.
12.如图，点 是正方体 中的侧面 上的一个动点，则下列结论正
确的是（ ）
A. 点 存在无数个位置满足
B. 若正方体的棱长为 1，三棱锥 的体积最大值为
C. 在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成 角是
D. 点 存在无数个位置满足到直线 和直线 的距离相等.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
通过证明 面 ，可得当点 上时，有 ，可判断 A；由已知
，当点 与点 重合时，点 到面 的距离最大，计算 可判
断 B；C. 连接 ，因为 ，则 为异面直线 与 所成的角，利用
余弦定理算出 的距离，可判断 C；连接 ，过 作 交 于 ，得到
，则点 在以 为焦点，以 为准线的抛物线上，可判断 D.
【详解】解：A.连接 ，
的
2sin 2y x= 1
2
12
π 1 2sin 2 sin 22 12 6y x x
π π = × + = +
M 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1ADD A
M 1CM AD⊥
1B C MD− 1
3
1AD M 1B M CD 30°
M AD 1 1C D
1AD ⊥ 1A DC 1M A D∈ 1CM AD⊥
1 1B C MD C DBMV V− −= M 1A M 1C BD 1BA C DV −
1A M 1 1/ /CD A B 1 1A B M∠ 1B M CD
1A M 1MD M MN AD⊥ AD N
1MD MN= M 1D AD
1 1 1, , ,AD A D DC AC由正方体的性质可得 ，
则 面
当点 上时，有 ，
故点 存在无数个位置满足 ，
故 A 正确；
B.由已知 ，
当点 与点 重合时，点 到面 的距离最大，
则三棱锥 的体积最大值为 ，
故 B 正确；
C. 连接 ，因为
则 为异面直线 与 所成的角
设正方体棱长为 1， ，则 ，
1 1 1 1, ,AD A D AD DC A D DC D⊥ ⊥ =
1AD ⊥ 1A DC
1M A D∈ 1CM AD⊥
M 1CM AD⊥
1 1B C MD C DBMV V− −=
M 1A M 1C BD
1B C MD−
1
3 1 1 11 4 1 1 13 2 3A C BDV − = − × × × × × =
1A M 1 1/ /CD A B
1 1A B M∠ 1B M CD
1A M x= 2 2
1 1B M x= +点 到线 的距离为 ，
，
解得 ，
所以在线段 上不存在点 ，使异面直线 与 所成的角是 ，
故 C 错误；
D. 连接 ，过 作 交 于 ，
由 面 ， 面 ，得 ，
则 为点 到直线 的距离， 为点 到直线 的距离，
由已知 ，
则点 在以 为焦点，以 为准线的抛物线上，故这样的点 有无数个，
故 D 正确.
故选：ABD.
1A 1AD 1 1 1
1
1 2
22
A A A D
AD
⋅ = = 2 12 x∴ ≤ ≤
2 2
1 1 2
1 1 3cos cos 20
2 1
3x xA B M
x
°+ + −∠ = = =
+
3 2 ,13 2x
= ∉
1AD M 1B M CD 30°
1MD M MN AD⊥ AD N
1 1C D ⊥ 1 1ADD A 1MD ⊂ 1 1ADD A 1 1 1MD D C⊥
1MD M 1 1C D MN M AD
1MD MN=
M 1D AD M【点睛】本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查空间中的轨迹问题，考查几何体体积的
计算，异面直线所成角的计算，是中档题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分.
13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五
种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数 ，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有
5 种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．
【详解】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，
现从五种不同属性的物质中任取两种，
基本事件总数 ，
取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：
水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共 5 种，
1
2
2
5 10n C= =
2
5 10n C= =则取出的两种物质恰是相克关系的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
14.已知点 ， ， ， 均在球 的球面上， ， ，若三棱锥
体积的最大值是 ，则球 的表面积为__________
【答案】
【解析】
【分析】
设 的外接圆的半径为 ，可得 为直角三角形，可求出 ，由已知得 到
平面 的最大距离 ，设球 的半径为 ，则 ，由此能求出 ，从而
能求出球 的表面积.
【详解】解：设 的外接圆的半径为 ，
∵ ， ，
则 ，
为直角三角形，且
，
∵三棱锥 体积的最大值是 ， ， ， ， 均在球 的球面上，
∴ 到平面 的最大距离 ，
设球 的半径为 ，则 ，
5 1
10 2P = =
1
2
A B C D O 1AB BC= = 2AC =
D ABC− 1
3 O
81
16
π
ABC r ABC
2
2r = D
ABC h O R ( )22 2R r h R= + − R
O
ABC r
1AB BC= = 2AC =
2 2 2AB BC AC+ =
ABC∴
2
2r =
1 11 12 2ABCS∴ = × × =
D ABC− 1
3 A B C D O
D ABC
133 3 21
2
ABC
Vh S
×
= = =
O R ( )22 2R r h R= + −即
解得 ，
∴球 的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的
培养和球的性质的合理运用.
15.动圆 与圆 外切，并与直线 相切，则动圆圆心 的轨迹方程为
__________，过点 作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心 的轨迹相交于 ， 两点，
则直线 的斜率为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由已知可得 点到直线 的距离等于到点 的距离，即动圆圆心 的轨迹是以
为焦点，以 为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线 的方程，与抛物线方
程联立，求出 的坐标，利用斜率公式，即可求得直线 的斜率．
【详解】解：如图，
( )
2
22 2 22R R
= + −
9
8R =
O
294 8
81
16S
ππ = =
81
16
π
E 2 1( 1) 4M x y− + = 1
2x = − E
(1,2)P E A B
AB
2 4y x= 1−
E 1x = − ( )1,0M E M
1x = − ,PA PB
,A B AB由题意可知， ，则 ，
∴ 点到直线 的距离等于到点 的距离，
∴动圆圆心 的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线，
则其轨迹方程为 ；
点 坐标为 ，设 ，
由已知设 ： ，即： ，
代入抛物线的方程得： ，即 ，
则 ，故 ，
设 ，即 ，
代入抛物线的方程得： ，即 ，
则： ，故 ，
，
直线 AB 的斜率 ，
∴直线 AB 的斜率为−1．
故答案为： ；−1．
【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确
运用韦达定理是关键，是中档题．
16.设 是定义在 上且周期为 6 的周期函数，若函数 的图象关于点 对称，
函数 在区间 （其中 ）上的零点的个数的最小值为 ，则
__________
【答案】 ， ，或 （ 表示不超过 的最大整数）
【解析】
【分析】
1| | | | 2NE ME= − 1| | | |2NE ME+ =
E 1x = − ( )1,0M
E M 1x = −
2 4y x=
P ( )1,2 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
PA ( 2) 1m y x− = − 2 1x my m= - +
2 4 8 4y my m= − + 2 4 8 4 0y my m− + − =
1 2 4y m+ = 1 4 2y m= −
: ( 2) 1PB m y x− − = − 2 1x my m= − + +
2 4 8 4y my m= − + + 2 4 8 4 0y my m+ − − =
2 2 4y m+ = − 2 4 2y m= − −
( ) ( )1 2 1 2 1 22 1 2 1 4 8x x my m my m m y y m m− = − + − − + + = + − = −
2 1
2 1
8 18ABk y y m
x x m
− −= = = −−
2 4y x=
( )f x R ( 1)= −y f x (1,0)
( )y f x= [ , ]n n− *n N∈ na na =
2 1k − ( )*3( 1) 3 ,k n k k− < ∈N 1 2 3
n + [ ]x x由图象平移可知， 为定义在 上的奇函数，可得 ，又 为周期为 6 的周期
函数，可得 ，分别求得 时， 的
值，归纳即可得到所求通项 ．
【详解】将 的图象向左平移 1 个单位，得到 的图象，因为函数
的图象关于点 对称，即有 的图象关于原点对称，即 为
定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 可 得 ， 又 为 周 期 为 6 的 周 期 函 数 ， 可 得
．
可令 ，则 ，即 ，可得 ，
当 时， 在 上，有 ；
当 时， 在 上，有 ；
当 时， 在 上，有 ；
当 时， 在 上，有
， ，…，
可得
即 ， 或 （ 表示不超过 的最大整数）
故答案为： ， 或 （ 表示不超过 的最大整数）
【点睛】本题主要考查函数的性质，周期性，奇偶性的应用，函数的零点的求法，归纳法和
赋值法的应用，意在考查学生的分类讨论意识，数学运算能力，逻辑推理能力和数学抽象能
力，属于较难题．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，__________，求△
的周长 和面积 .
( )f x R (0) 0f = ( )f x
( 6) ( )f x f x+ = n 1,2;n 3,4,5;n 6,7,8;n 9,10,11= = = = na
na
( 1)= −y f x ( )y f x=
( 1)= −y f x (1,0) ( )y f x= ( )y f x=
R (0) 0f = ( )y f x=
( 6) ( )f x f x+ =
3x = − ( 3 6) ( 3)f f− + = − (3) ( 3) (3)f f f= − = − ( 3) (3) 0f f− = =
1,2n = ( )f x [ , ]n n− (0) 0f =
3,4,5n = ( )f x [ , ]n n− (0) 0, (3) ( 3) 0f f f= = − =
n 6,7,8= ( )f x [ , ]n n− (0) 0, (3) ( 3) 0, (6) ( 6) 0f f f f f= = − = = − =
9, 10, 11n = ( )f x [ , ]n n− (0) 0, (3) ( 3) 0,f f f= = − =
(6) ( 6) 0f f= − = (9) ( 9) 0f f= − =
4 6 9 11 2 3 5 10 17 81, 3, 5, 7,a a a a a a a a a a a= == = = = = = = = = …
*
3 3 1 3 2 2 1,k k ka a a k k N+ += = = − ∈
2 1na k= − ( )*3( 1) 3 ,k n k k− < ∈N 1 2 3
n + [ ]x x
2 1k − ( )*3( 1) 3 ,k n k k− < ∈N 1 2 3
n + [ ]x x
ABC A B C a b c 4a =
ABC L S在① ， ，② ， ，③ ，
这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
选择①：根据条件求出 ， ，则可求出 ，再根据正弦定理可求出
，进而可得周长面积；
选择②： ， ， ．由正弦定理可得： ．由余
弦定理可得： ，联立解得： ，进而可得周长面积；
选择③：由余弦定理可得 ，则周长可求，再根据 可得 ，通过面积公式可得面积.
【详解】解：选①
因为 ， ，且 ， ，
所以 ， ，
在△ 中， ，即 ，
所以
，
由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
所以△ 的周长 ，
3cos 5A = 5cos 5C = sin sin sinc C A b B= + 60B °= 2c = 1cos 4A = −
sin A sinC sin sin( )B A C= +
,b c
sin sin sinc C A b B= + 60B °= 4a = 2 2c a b= +
2 2 116 2 4 2b c c= + − × × × ,c b
b cos A sin A
3cos 5A = 5cos 5C = 0 A π< < 0 B π< <
4sin 5A = 2 5sin 5C =
ABC A B C π+ + = ( )B A Cπ= − +
sin sin( ) sin cos cos sinB A C A C + A C= + =
4 5 3 2 5 10 5 2 5
5 5 5 5 25 5
= × + × = =
2 54sin 5 2 54sin
5
a Bb A
×
= = =
sin sinB C= 2 5c b= =
ABC 4 2 5 2 5 4 4 5L a b c= + + = + + = +△ 的面积 .
选②
因为 ，
所以由正弦定理得，
因为 ，所以 .
又因为 .
由余弦定理得
所以 .
解得 .
所以 .
所以△ 的周长 .
△ 的面积 .
选③
因为 ， ，
所以由余弦定理得， .
即
解得 或 （舍去）.
所以△ 的周长 ，
因为 ，
所以 ，
所以△ 的面积 ，
ABC 1 1 2 5sin 4 2 5 82 2 5S ab C= = × × × =
sin sin sinc C A b B= +
2 2c a b= +
4a = 2 2 4b c= −
60B °=
2 2 116 2 4 2b c c= + − × × ×
2 24 16 4c c c− + = −
5c =
21b =
ABC 4 21 5 9 21L a b c= + + = + + = +
ABC 1 1 3sin 4 5 5 32 2 2S ac B= = × × × =
2c = 1cos 4A = −
2 116 4 2 2 4b b= + + × × ×
2 12 0b b+ − =
3b = 4b = −
ABC 4 3 2 9L a b c= + + = + + =
(0, )A π∈
2 15sin 1 cos 4A A= − =
ABC 1 15 3 153 22
1 sin2 4 4S bc A = × × × ==故答案为：
选①△ 的周长 ，面积为 8；
选②△ 的周长 ，面积为 ；
选③△ 的周长 9，面积为 .
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题.
18.已知 为等差数列， ， ， 为等比数列，且 ，
.
（1）求 ， 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）设等差数列 的公差为 ，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得
到 ；设等比数列 的公比为 ，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而
得到 ；
（2）求得 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可
得所求和．
【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，
解得 ，
所以数列 的通项公式 ，即 .
设等比数列 的公比为 ，由 ， ，
ABC 4 4 5+
ABC 9 21+ 5 3
ABC 3 15
4
{ }na 2 7 25a a+ = 8 23a = { }nb 1 12a b=
2 5 11b b a=
{ }na { }nb
n n nc a b= ⋅ { )nc n nT
3 1na n= − 12n
nb −= 4 (3 4) 2n
nT n= + − ×
{ }na d
na { }nb q
nb
1(3 1) 2n
nc n −= − ×
{ }na d 1
1
2 7 25
7 23
a d
a d
+ =
+ =
1 2
3
a
d
=
=
{ }na ( )2 1 3na n= + − × 3 1na n= −
{ }nb q 1 12a b= 2 5 11b b a=得 ， ，解得 ，
所以数列 的通项公式 ；
（2）由（1）知 ，
则
，
，
两式相减得
，
所以 .
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减
法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.如图所示，在等腰梯形 中， ∥ ， ，直角梯形 所在的
平面垂直于平面 ，且 ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上，试确定点 的位置，使平面 与平面 所成的二面角的余
弦值为 .
1 1b = 2 5
1 32b q = 2q =
{ }nb 12n
nb −=
1(3 1) 2n
n n nc a b n −= = − ×
1 2 3 1n n nT c c c c c−= + + + + +
0 1 2 2 12 2 5 2 8 2 (3 4) 2 (3 1) 2n nn n− −= × + × + × + + − × + − ×
1 2 3 12 2 2 5 2 8 2 (3 4) 2 (3 1) 2n n
nT n n−= × + × + × + + − × + − ×
( )1 2 12 3 2 2 2 (3 1) 2n n
nT n−− = + + +…+ − − ×
12 2 22 3 (3 1) 21 2
n
nn
−− ×= + × − − ×−
4 (4 3 ) 2nn= − + − ×
4 (3 4) 2n
nT n= + − ×
ABCD AD BC 60ADC °∠ = ADFE
ABCD 90EAD °∠ = 2 2 2AE AD DF CD= = = =
ECD ⊥ ACE
M EF M MCD EAB
3
4【答案】（1）证明见解析；（2）点 为线段 中点
【解析】
【分析】
（1）推导出 平面 ， ， ，从而 平面 ，由此能证
明平面 平面 ；
（2）以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用
向量法能求出点 为线段 中点时，平面 与平面 所成的二面角的余弦值．
【详解】解：（1）因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
在△ 中， ， ， ，
由余弦定理得， ，
所以 ，所以 .
又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）以 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐
标系， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
设 ，则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，得 .
设平面 的一个法向量为 ，
M EF
EA ⊥ ABCD EA CD⊥ CD AC⊥ CD ⊥ ACE
ECD ⊥ ACE
C CA CD x y
M EF MCD EAB
ABCD ⊥ ADFE
ABCD ADFE AD=
EA AD⊥ EA ⊂ ADFE EA ⊥ ABCD
CD ⊂ ABCD EA CD⊥
ADC 1CD = 2AD = 60ADC °∠ =
1 4 2 1 2cos60 3AC °= + − × × =
2 2 2AC CD AD+ = CD AC⊥
CD EA⊥ AE AC A= CD ⊥ ACE
CD ⊂ ECD ECD ⊥ ACE
C CA CD x y
(0,0,0)C ( 3,0,0)A 3 1, ,02 2B
−
(0,1,0)D ( 3,0,2)E (0,1,1)F
3 1, ,02 2AB
= − −
(0,0,2)AE = (0,1,0)CD = ( 3, 1,1)FE = − (0,1,1)CF =
( 3 , , )(0 1)FM FEλ λ λ λ λ= = −
( 3 ,1 ,1 )CM CF FM λ λ λ= + = − +
ABE ( )1 1 1, ,m x y z=
0
0
m AB
m AE
⋅ = ⋅ =
1 1
1
3 1 02 2
2 0
x y
z
− − =
=
1 1x = (1, 3,0)m = −
MCD ( )2 2 2, ,n x y z=由 ，得 ，
令 ，得 ，
因为平面 与平面 所成的二面角的余弦值为 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
所以点 为线段 中点时，平面 与平面 所成的二面角的余弦值为 .
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足二面角的余弦值的点的位置的判断与求法，考
查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力，
是中档题．
20.已知椭圆 经过点 ，离心率
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，若以 ， 为邻边的平行
四边形 的顶点 在椭圆 上，求证：平行四边形 的面积为定值.
【答案】（1） （2）证明见解析；
为
0
0
n CD
n CM
⋅ = ⋅ =
2
1 2 2
0
3 (1 ) (1 ) 0
y
x y zλ λ λ
= + − + + =
2 1x λ= + (1 0 3 )n λ λ= + − ，，
MCD EAB 3
4
2
| | |1 | 3| cos , | 4| | | | 2 4 2 1
m nm n
m n
λ
λ λ
⋅ +< > = = =
⋅ + +
28 2 1 0λ λ− − =
1
2
λ = 1
4
λ = −
M EF MCD EAB 3
4
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( 2,1) 2
2
C
: ( 0)l y kx t t= + ≠ C A B OA OB
OAPB P C OAPB
2 2
14 2
x y+ =【解析】
【分析】
（1）由题意可得关于 的方程组，求得 的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形
是平行四边形，可得 点坐标，把 点坐标代入椭圆方程，得到 ，利用弦
长公式求得 ，再由点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，代入三角形面积公式
即可证明平行四边形 的面积为定值．
【详解】解：（1）因为椭圆 过点 ，代入椭圆方程，可得 ①，
又因为离心率为 ，所以 ，从而 ②，
联立①②，解得 ， ，
所以椭圆为 ；
（2）把 代入椭圆方程 ，
得 ，
所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 点坐标为 .
又因为点 在椭圆上，
, ,a b c ,a b
x
OAPB P P
2
2 2 1
2
kt
+=
AB O l
OAPB
C ( 2,1) 2 2
2 1 1a b
+ =
2
2
2
2
c
a
= 2 22a b=
2 4a = 2 2b =
2 2
14 2
x y+ =
y kx t= + 2 2
14 2
x y+ =
( ) ( )2 2 22 1 4 2 2 0k x ktx t+ + + − =
( )( ) ( )2 2 2 2 2(4 ) 8 2 1 2 8 2 2 1 0kt k t k t ∆ = − + − = + − >
( )1 1A x y， ( )2 2,B x y ( )2
1 2 1 22 2
2 24 ,2 1 2 1
tktx x x xk k
−
+ = − =+ +
( )1 2 1 2 2
22 2 1
ty y k x x t k
+ = + + = +
OAPB
( )1 2 1 2 2 2
4 2, 2 1 2 1
kt tOP OA OB x x y y k k
= + = + + = − + +
，
P 2 2
4 2,2 1 2 1
kt t
k k
− + +
P所以 ，即 .
因为
.
又点 到直线 的距离 ，
所以平行四边形 的面积
，
即平行四边形 的面积为定值.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中
档题．
21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或
开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区 200 名
患者的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天）
人数 17 41 62 50 26 3 1
（1）求这 200 名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否
超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 200 名患者中抽取 40 人得到如下列联表.请将列联表补
充完整，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
潜伏期 天 潜伏期 天 总计
50 岁以上（含 50 岁） 20
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
4 2 1
2 1 2 1
k t t
k k
+ =
+ +
2
2 2 1
2
kt
+=
( )22 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4AB k x x k x x x x= + − = + + −
( )2 2 2 2
2 2
2 2 1 2 2 1 2 3 1
2 1 2 1
k k t k
k k
+ + − += =+ +
O l 2
| |
1
td
k
=
+
OAPB
2
2 2
2 3 | | 6 2 12 | | 6
2 1 2 1OAPB OAB
t kS S AB d
k k
+= = ⋅ = = =
+ +
OAPB
[0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14]
x
6≤ 6>50 岁以下 9
总计 40
（3）以这 200 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的
概率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调
查了 10 名患者，其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
，其中
【答案】（1） （天）（2）填表见解析；没有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关（3）
最有可能是 4 人
【解析】
【分析】
（1）利用平均值的定义求解即可；
（2）根据题目所给的数据填写 2×2 列联表，根据公式计算 ，对照题目中的表格，得出统
计结论；
（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过 6 天发生的概率，设调查的 10 名患者中潜伏期超过 6
天的人数为 ，由于该地区人数较多，则 近似服从二项分布，即 ，
， … ， 10 ， 由 得 ：
( )2
0P K k≥
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
5.4 95%
2K
X X 2~ 10, 5X B
10
10
2 3( ) 5 5
k k
kP X k C
− = = 0,1,2,k = ( ) ( 1)
( ) ( 1)
P X k P X k
P X k P X k
= = +
= = −
，即这 10 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 4 人．
【详解】解：（1）
（天）.
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：
潜伏期 天 潜伏期 天 总计
50 岁以上（含 50 岁） 15 5 20
50 岁以下 9 11 20
总计 24 16 40
则 ，
经查表，得 ，所以没有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 .
设调查的 10 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 ，由于该地区人数较多，则 近似服从二
项分布，即 ， ， …，10.
由 ，
得
化简得 ，
又 ，所以 ，即这 10 名患者中潜伏期超过 6 天 人数最有可能是 4 人.的
17 22
5 5k
1 (1 17 3 41 5 62 7 50 9 26 11 3 13 1) 5.4200x = × × + × + × + × + × + × + × =
6 6>
2
2 40 (15 11 9 5) 3.7524 16 20 20K
× × − ×= =× × ×
2 3.75 3.841K = < 95%
80 2
200 5
=
X X
2~ 10, 5X B
10
10
2 3( ) 5 5
k k
kP X k C
− = = 0,1,2,k =
( ) ( 1)
( ) ( 1)
P X k P X k
P X k P X k
= = +
= = −
10 1 9
1
10 10
10 1 11
1
10 10
2 3 2 3 ,5 5 5 5
2 3 2 3 ,5 5 5 5
k k k k
k k
k k k k
k k
C C
C C
− + −
+
− − −
−
17 22
5 5k
k ∈N 4k =【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，以及二项分布，也考查了计算能力，是中档
题．
22.已知函数 ，
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明曲线 分别在点 和点 处的切线为不同的直线；
（3）已知过点 能作曲线 的三条切线，求 ， 所满足的条件.
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减（2）证明见解析；（3）当
时， ；当 时，
【解析】
【分析】
（1）对 求导，根据 的符号判断 的单调性；
（2）先分别求出曲线 分别在点 和点 处的切线方程，然后根据条件
证明两者为不同的直线的方程；
（ 3 ） 先 设 直 线 过 点 与 曲 线 在 点 处 相 切 ， 再 设 直 线
，根据两者联立得到方程 ，要求此方程有三个不
等实根即可．然后构造函数 ，研究该函数有 3 个零点的条件即可.
【详解】解：（1）因为 ，
所以
，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）因为 ，所以 ， .
21( ) ln 2f x x x= + 3( )g x x x= −
( ) ( ) ( )h x f x g x= −
1t ≠ ( )y g x= (1, (1))g ( , ( ))t g t
( , )m n ( )y g x= m n
( )h x (0,1) (1, )+∞ 0m <
3m m n m− < < − 0m > 3m n m m− < < −
( )h x ( )'h x ( )h x
( )y g x= (1, (1))g ( , ( ))t g t
1t ≠
l ( , )m n ( )y g x= ( )3
0 0 0,x x x−
( ):l y n k x m− = − 3 2
0 02 3 0x mx m n− + + =
3( ) 2 3 zx x mx m nϕ = − + +
2 31( ) ln ( 0)2h x x x x x x= + − + >
2 3
21 1 3( ) 3 1 x x xh x x xx x
′ + + −= + − + =
( ) ( ) ( )3 2 21 2 1 (1 ) 3 2 1x x x x x x x
x x
− − − − − + +
= =
0 1x< < ( ) 0h x′ > 1x > ( ) 0h x′ <
( )h x (0,1) (1, )+∞
2( ) 3 1g x x′ = − (1) 2g′ = 2( ) 3 1g t t′ = −又因为 ， .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
曲线 在点 处的切线方程为 .
因为 .所以 .所以两条切线不可能相同.
（3）设直线 过点 与曲线 在点 处相切，
设直线 ，
则
消去 ，得 .
因为过点 能作曲线 的三条切线，
所以关于 的方程 有三个不等实根.
设 ，则 有三个零点.
又 ，
①若 ，则 ，
所以 在 上单调递增， 至多一个零点，
故 不符合题意；
②若 ，则
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 的极大值为 ，极小值为 .
又 有三个零点，所以 ，即 ，
所以 ；
(1) 0g = 3( )g t t t= −
( )y g x= ( )( )1, 1g 2 2y x= −
( )y g x= ( )( ),t g t ( )2 33 1 2y t x t= − −
1t ≠ 32 2t− ≠ −
l ( , )m n ( )y g x= ( )3
0 0 0,x x x−
( ):l y n k x m− = −
( )3
0 0 0
2
03 1
x x n k x m
k x
− − = −
= −
，
，
k 3 2
0 02 3 0x mx m n− + + =
( , )m n ( )y g x=
0x 3 2
0 02 3 0x mx m n− + + =
3 2( ) 2 3x x mx m nϕ = − + + ( )xϕ
( ) 6 ( )x x x mϕ ′ = −
0m = 2( ) 6 0x xϕ ′ =
( )xϕ ( , )−∞ +∞ ( )xϕ
0m =
0m <
( , )x m∈ −∞ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
( ,0)x m∈ ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ
(0, )x∈ +∞ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
( )xϕ 3( )m m m nϕ = − + + (0) m nϕ = +
( )xϕ ( ) 0
(0) 0
mϕ
ϕ
>
+
( , 0)x ∈ −∞ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
(0, )x m∈ ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ
( , )x m∈ +∞ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ
( )xϕ (0) m nϕ = + 3( )m m m nϕ = − + +
( )xϕ ( ) 0
(0) 0
mϕ
ϕ
3 0
0
m m n
m n
− + + <
+ >
3m n m m− < < −
0m < 3m m n m− < < − 0m > 3m n m m− < < −
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