山东省2020届高三数学高考模拟试题（解析版）

山东省 2020 年高三高考模拟数学试题 一、单项选择题： 1.已知集合 ， ，若 ，则由实数 的所有可能的取值组成的 集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分 为空集和 不为空集两种情况讨论，分别求出 的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合 ， ， ， 若 为空集，则方程 无解，解得 ； 若 不为空集，则 ；由 解得 ，所以 或 ，解得 或 ， 综上，由实数 的所有可能的取值组成的集合为 . 故选 D 【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题 型. 2.若 （其中 是虚数单位），则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 分析：变形 ，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标即可得结论. 详解：由 ， { 1,2}A = − { | 1}B x ax= = B A⊆ a 11, 2     11, 2  −   10,1, 2     11,0, 2  −   B B a { 1,2}A = − { | 1}B x ax= = B A⊆ B 1ax = 0a = B 0a ≠ 1ax = 1x a = 1 1a = − 1 2a = 1a = − 1 2a = a 11,0, 2  −   1iz i= − + i z 1iz i= − + z i 1 iz = − +得 ， 复数 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 位于第四象限，故选 D. 点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在 考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 3.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于 轴对称，排除 ；根据 时， ，排除 ，从而得到正确选项. 【 详 解 】 定 义 域 为 ， 且 为偶函数，关于 轴对称，排除 ； 当 时， ， ，可知 ，排除 . 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排 ( )( ) 2 1 i i1 i 1 ii iz − + −− += = = +− 1z i= − ∴ z ( )1, 1− ( )( ) 2 2 lnx xf x x−= + y D ( )0,1x∈ ( ) 0f x < ,A C ( )f x { }0x x ≠ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ln 2 2 lnx x x xf x x x f x− −− = + − = + = ( )f x∴ y D ( )0,1x∈ 2 2 0x x−+ > ln 0x < ( ) 0f x < ,A C B除. 4.《九章算术 衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八 十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙 持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计 钱,要按个人带钱多少的比例 交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A. 甲付的税钱最多 B. 乙、丙两人付的税钱超过甲 C. 乙应出的税钱约为 D. 丙付的税钱最少 【答案】B 【解析】 【分析】 通过阅读可以知道 说法的正确性,通过计算可以知道 说法的正确性. 【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的 不超过甲。可知 错误:乙应出的税钱为 .可知 正确. 故选:B 【点睛】本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题. 5.若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令 ，则把条件和目标都转化为关于 的式子，根据诱导公式和二倍角公式，进行 化简，得到答案. 【详解】解：令 ，则 由 ，可得 ⋅ 560 350 180 100 32 ,A D ,B C ,A D 35 1 100 2 < B 350100 32560 350 180 × ≈+ + C ( ) 2sin 75 3 α° + = ( )cos 30 2α° − = 4 9 4 9 − 5 9 5 9 − 75 α θ° + = θ 75 α θ° + = 75α θ °= − ( ) 2sin 75 3 α° + = 2sin 3 θ =故选 D． 【点睛】本题主要考查换元法、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于简单题． 6.甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读 了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅 读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学 生是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】 分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果. 【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意； 若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意； 若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意； 故选 B 【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型. 7.若 ， ， 满足 ， ， .则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】 利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【 ( ) ( )cos 30 2 cos 30 2 75θα° ° °−− − =   ( ) ( )2cos 180 2 cos2 1 2sinθ θ θ°= − = − = − − 2 2 51 2 3 9    = − − × = −      a b c 2 3a = 2log 5b = 3 2c = c a b< < b c a< < a b c< < c b a< ∴ 2b >  3 2c = 0 13 2 3< < ∴ 0 1c< < ∴ c a b< < ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1 2F F、 2 2 2x y b+ = 1 23MF MF= 2 3 M 1 2F F 1 2F F H 2OMF MH MH M M M M M 1 2F F 1 2F F H 1 23MF MF= M所以根据双曲线性质可知， ，即 ， ， 因为圆 的半径为 ， 是圆 的半径，所以 ， 因为 ， ， ， ， 所以 ，三角形 是直角三角形， 因为 ，所以 ， ，即 点纵坐标为 ， 将 点纵坐标带入圆的方程中可得 ，解得 ， ， 将 点坐标带入双曲线中可得 ， 化简得 ， ， ， ，故选 D． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与 双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是 难题． 二、多项选择题 9.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表： 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比 95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86% 则下列判断中正确的是（） A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C. 该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项． 1 2 2MF MF a- = 2 23 2MF MF a- = 2MF a= 2 2 2x y b+ = b OM 2 2 2x y b+ = OM b= OM b= 2MF a= 2OF c= 2 2 2+ =a b c 2 90OMFÐ =  2OMF 2MH OF^ 2 2OF MH OM MF´ = ´ ab cMH = M ab c M 2 2 2 2 2a b cx b+ = 2b cx = ( )2 ,b ab c cM M 4 2 2 2 2 1b a a c c- = 4 4 2 2b a a c- = ( ) 22 2 4 2 2c a a a c- - = 2 23c a= 3c ae = =【详解】根据表中数据知，该公司 2018 年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损 的，A 正确； 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B 错误； 该公司 2018 年度净利润空调类电器销售所占比为 95.80%，是主要利润来源，C 正确； 所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确． 故选 ACD． 【点睛】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题，考查了读表与分析能力，是基础题． 10.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 不是周期函数 B. 奇函数 C. 的图象关于直线 对称 D. 在 处取得最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】 作出函数 的图象，结合函数周期性，奇偶性对称性以及最值等性质分别进行判断即可． 【详解】作出函数 的图象如图： 则由图象知函数 不是周期函数，故 正确； 不是奇函数，故 错误， 若 ， ， ， 此时 ， 若 ， ， ，此时 ， 综上恒有 ，即图象关于直线 对称，故 正确， sin , 4( ) cos , 4 x x f x x x π π  ≤=   > ( )f x ( )f x ( )f x 4x π= ( )f x 5 2x π= ( )f x ( )f x ( )f x A B 0x > 2( ) cos( ) cos cos sin sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π+ = + = − = − 2( ) sin( ) sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π− = − = − = − ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − 0x 2( ) sin( ) sin cos cos sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π+ = + = + = + 2( ) cos( ) cos cos sin sin (cos sin )4 4 4 4 2f x x x x x x π π π π− = − = + = + ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − ( ) ( )4 4f x f x π π+ = − 4x π= C在 处 不是最大值，故 错误， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性、奇偶性对称性 以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键． 11.设 A，B 是抛物线 上的两点， 是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，直线 AB 过定点 C. 若 ， 到直线 AB 的距离不大于 1 D. 若直线 AB 过抛物线的焦点 F，且 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】 设直线 方程为 ，将直线 方程代入抛物线方程 ，利用韦达定理，结合 直线垂直的条件，逐一分析判断得解. 【详解】B.设直线 方程为 ， ， ， ， ， 将直线 方程代入抛物线方程 ，得 ， 则 ， ， ， ， ． 于是直线 方程为 ，该直线过定点 ．故 不正确； ( )f x 5 2x π= 5 5( ) ( ) cos 02 2f x f π π= = = D C 2y x= O OA OB⊥ 2OA OB ≥ OA OB⊥ (1,0) OA OB⊥ O 1 3AF = | | 1BF = AB y kx b= + AB 2y x= AB y kx b= + 1(A x 1)y 2(B x 2 )y AB 2y x= 2 0x kx b− − = 1 2x x k+ = 1 2x x b= − OA OB⊥ 1OA OBk k b∴ = − = − 1b = AB 1y kx= + (0,1) BC. 到直线 的距离 ，即 正确； A. ． 正确； D.由题得 ,所以 ，不妨取 . 所以 ，所以直线 AB 的方程为 ，所以 . 由题得 = . 所以 .所以 D 正确. 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学 生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义. 12.如图，矩形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折成 ，连结 ， 为 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 翻折过程中， 的长是定值 O AB 2 1 1 1 d k = +  C 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2| || | ( )( ) ( )( ) (1 )(1 )OA OB x y x y x x x x x x= + + = + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 4 ( )x x x x x x x x= + + + = + + = + + | | | | 2OA OB∴   1 1 1 1 1,4 3 12y y+ = ∴ = 2 1 1 3= =12 6x x∴ ±， 3 6x = 1 1 312 4 33 6 k − = = − 3 1 3 4y x= − + 1 4b = 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1| | ( ) 2 24 4 2 2 2AB y y y y k x x b k b= + + + = + + = + + + = + + 1 1 1 4+ + =3 2 2 3 4 1| | 13 3BF = − = ABCD M BC ABM AM 1AB M 1B D N 1B D CN AB⊥ CNC. 若 ，则 D. 若 ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面 积是 【答案】BD 【解析】 【分析】 对于选项 A，取 中点 ，取 中点 ，连结 ， ，通过假设 ，推出 平面 ，得到 ，则 ，即可判断； 对于选项 B，在判断 A 的图基础上，连结 交 于点 ，连结 ，易得 ， 由余弦定理，求得 为定值即可； 对于选项 C，取 中点 ， ， ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项 D，易知当平面 与平面 垂直时，三棱锥 的体积最大，说明 此时 中点 为外接球球心即可. 【详解】如图 1，取 中点 ，取 中点 ，连结 交 于点 ，连结 ， ， , 则易知 ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， 对于选项 A，易得 ，则 、 、 、 四点共面，由题可知 ，若 ， 可得 平面 ，故 ，则 ，不可能，故 A 错误； AB BM= 1AM B D⊥ 1AB BM= = 1B AMD− 1B AMD− 4π AD E 1AB K KN BK CN AB⊥ AB ⊥ BCNK AB BK⊥ 2 2AK AB BK AB= + > EC MD F NF 1NEC MAB∠ = ∠ CN AM O 1B O DO 1AB M AMD 1B AMD− AD E AD E 1AB K EC MD F NF KN BK 1//NE AB 1//NF B M //EF AM //KN AD 1 1 2NE AB= EC AM= 1MAB MAB∠ = ∠ 1AB AB= //KN BC K N C B AB BC⊥ CN AB⊥ AB ⊥ BCNK AB BK⊥ 2 2AK AB BK AB= + >对于选项 B，易得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 整理得 ， 故 为定值，故 B 正确； 如图 2，取 中点 ，取 中点 ，连结 ， ， ， ，， 对于选项 C，由 得 ，若 ，易得 平面 ，故有 ，从而 ，显然不可能，故 C 错误； 对于选项 D，由题易知当平面 与平面 垂直时，三棱锥 B1﹣AMD 的体积最大，此 时 平面 ，则 ，由 ，易求得 ， ， 故 ，因此 ， 为三棱锥 的外接球球心，此外接球半径为 ，表面积为 ，故 D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象 能力，属于较难题. 三、填空题： 13.已知两个单位向量 的夹角为 ， ，则 ______． 【答案】 【解析】 1NEC MAB∠ = ∠ NEC 2 2 2 cosCN CE NE NE CE NEC= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 2 2 2124 2 2 AB AB ABCN AM AM BC ABAM = + − ⋅ ⋅ = + CN AD E AM O 1B E OE 1B O DO AB BM= 1B O AM⊥ 1AM B D⊥ AM ⊥ 1B OD AM OD⊥ AD MD= 1AB M AMD 1B O ⊥ AMD 1B O OE⊥ 1AB BM= = 1 2 2BO = 2DM = 2 2 2 2 1 1 2 2 12 2B E OB OE    = + = + =          1EB EA ED EM= = = E 1B AMD− 1 4π a b ， 30 (1 ) , 0c ma m b b c= + − ⋅ =    m = 4 2 3+【分析】 直接把 代入 化简即得 m 的值. 【 详 解 】 ， 所以 ， 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 14.已知曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离 心率为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】 求得双曲线的渐近线方程，结合 ， ， 的关系，再由离心率公式，计算可得所求值． 【详解】双曲线 的渐近线方程为 ， 由题意可得 ，即 ， 即有双曲线的 ． 故答案为：2 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想 和运算能力，属于基础题． 15.若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】 . 【解析】 【分析】 作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即 (1 )c ma m b= + −   0b c⋅ =  2 2 3[ (1 ) ] (1 )( ) | || | cos30 (1 ) | | 1 02b c b ma m b ma b m b m a b m b m m°⋅ = ⋅ + − = ⋅ + − = + − = + − =           4 2 3m = + 4 2 3+ 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > ( 2, 6) a b c 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > by xa = ± 2 6b a = 3b a= 2 21 1 3 2c be a a = = + = + = 8π可得出结果. 【详解】作出圆柱与其外接球 轴截面如下： 设圆柱的底面圆半径为 ，则 ，所以轴截面的面积为 ，解得 ， 因此，该圆柱的外接球的半径 ， 所以球的表面积为 . 故答案为 【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 16.已知函数 ，若 ，则不等式 的解集为__________，若存在 实数 ，使函数 有两个零点，则 的取值范围是__________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 将 a=1 代入原函数，可得 的解析式，可得不等式 的解集； 分 a 的情况进行讨论，可得 有两个零点时候，a 的取值范围. 【详解】解：由题意得： ，当 a=1 时， ， 可得：（1）当 时， ，可得 ；（2）当 时， ，可得 ，综合可得 的解集为 ； 的 r 2BC r= ( )22 4ABCDS r= =正方形 1r = 2 22 2 22 2 BDR += = = ( )2 4 2 8S π π= = 8π ( ) 2 2 , , x x af x x x a  ≤=  > 1a = ( ) 2f x ≤ b ( ) ( )g x f x b= − a ( , 2]−∞ ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞ ( )f x ( ) 2f x ≤ ( ) ( )g x f x b= − ( ) 2 2 , , x x af x x x a  ≤=  > ( ) 2 2 , 1 , 1 x xf x x x  ≤=  > 1x ≤ ( ) 2f x ≤ 1x ≤ 1x > ( ) 2f x ≤ 2x ≤ ( ) 2f x ≤ ( , 2]−∞由 ， 只有一个零点时， ，可得 ，当 时，此时 ， 只有一个零点，当 时，有两个零 点，同理，当 时，此时 ， 只有一个零点，当 时，有两个零点， 故可得 的取值范围是 【点睛】本题主要考查分段函数与函数的性质，综合性强，注意分类讨论思想的运用. 四、解答题： 17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 的面积为 ， . （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得 ，根据同角三角 函数基本关系式即可求得 ； （2）由同角三角函数基本关系式可求 的值，根据三角形面积公式求得 的值，代入所 给等式，即可求解 的值. 【详解】（1）在 中， 由三角形面积公式得， ， 由余弦定理得， ， ， ( ) 2 2 , , x x af x x x a  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − 22x x= 2 =4x x= 或 2a = ( ) 2 2 , 2 , 2 x xf x x x  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − 2a < 4a = ( ) 2 2 , 4 , 4 x xf x x x  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − 4a > a ( ,2) (4, )−∞ ∪ +∞ ABC A B C a b c ABC S ( )2 2 23 16 3c S b a+= - tan B 42S = 10a = b 3 4 6 2b = 3sin cos4B B= tan B sin B c b ABC 1 sin2S ac B= 2 2 2 cos 2 c a bB ac + −=  ( )2 2 23 16 3c S b a+= −， 整理可得 ， 又 ， ，故 ， . （2）由（1）得 ， , ， ， ， ， 解得 ， ， . 【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属 于基础题. 18.已知在四棱锥 中， ， ， 是 的中点， 是等边三角形，平面 平面 . （1）求证： 平面 ； ∴ ( )2 2 23 16S c a b= + − ( )2 2 23 3sin cos8 4 c a b B Bac + − = = ( )0,B π∈ ∴ sin 0B > cos 0B > ∴ sin 3tan cos 4 BB B = = 3tan 4B =  ( )0,B π∈ ∴ 3sin 5B =  42S = 10a = ∴ 1 1 3sin 10 3 422 2 5S ac B c c= = × ⋅ = = 14c =  ( )2 2 23 16 3c S b a+= - ∴ 2 2 2 216 1614 10 42 6 23 3c a Sb + − = + − × == P ABCD− / /AD BC 1 2AB BC CD AD= = = G PB PAD∆ PAD ⊥ ABCD CD ⊥ GAC（2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 分析】 （1）取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 .证明 ， ，即可证 平面 ；（2）取 的中点为 ，以 为空间 坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系 .设 ，利用向量法求二面角 的余弦值. 【详解】（1）证明：取 的中点为 ，连结 ， ， ，设 交 于 ，连结 . 因为 ， ， 四边形 与四边形 均为菱形， ， ， ， 因为 为等边三角形， 为 中点， ， 因为平面 平面 ，且平面 平面 . 平面 且 ， 平面 因为 平面 ， ， 因为 H， 分别为 ， 的中点， ， 【 P AG C− − 15 5 − AD O OP OC OB OB AC H GH AC CD⊥ GH CD⊥ CD ⊥ GAC BC E O , ,OE OD OP   x y z O xyz− 4=AD P AG C− − AD O OP OC OB OB AC H GH / /AD BC 1 2AB BC CD AD= = = ABCO OBCD OB AC∴ ⊥ / /OB CD CD AC⊥ PAD△ O AD PO AD∴ ⊥ PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= PO ⊂ PAD PO AD⊥ PO∴ ⊥ ABCD CD ⊂ ABCD PO CD∴ ⊥ G OB PB / /GH PO∴. 又因为 ， 平面 ， 平面 . （2）取 的中点为 ，以 为空间坐标原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的一法向量 . 由 .令 ，则 . 由（1）可知，平面 的一个法向量 ， 二面角 的平面角的余弦值为 . 【点睛】本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和计算能力. 19.已知数列 的前 项和为 ，且 （ ），数列 满足 ， （ ）． （Ⅰ）求数列 通项公式； （Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，证明： ． GH CD∴ ⊥ GH AC H= ,AC GH Ì GAC CD\ ^ GAC BC E O , ,OE OD OP   x y z O xyz− 4=AD ( )0,0,2 3P ( )0, 2,0A − ( )3,1,0C ( )0,2,0D 3 1, , 32 2G  −    (0,2,2 3)AP = 3 3( , , 3)2 2AG = PAG ( ), ,n x y z → = 0 0 n AP n AG  ⋅ =  ⋅ =   2 2 3 0 3 3 3 02 2 y z x y z  + =⇒  + + = 3y z x z  = −⇒  = 1z = (1, 3,1)n = − AGC ( 3,1,0)CD = − 15cos , 5 n CDn CD n CD ⋅= = −   ∴ P AG C− − 15 5 − { }na n nS 12n nS a a= − *n N∈ { }nb 1 6b = 1 4n n n b S a = + + *n N∈ { }na 1 nb       n nT 1 2nT ＜【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由 与 的关系式得到 时， ，由等比数列的定义，可得 为等比数 列，由 求得 ，写出 通项公式即可； （2）由 ，代入 ， ，得到 ，从而得到 的通项，应用裂项相消法 求得 ，即可证明 . 【详解】（Ⅰ） （ ），① 当 时， ，② ① ②得 ， 即 ， ， ， ， 又 ， ， 数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， （ ）， ， ， . 12n na −= nS na 2n ≥ 12n na a −= { }na 1 1 1 1 4b a a = + + 1a { }na 1 4n n n b S a = + + nS na nb 1 nb       nT 1 2nT ＜  12n nS a a= − *n N∈ ∴ 2n ≥ 1 1 12n nS a a− −= − − 12 2n n na a a −= − 12n na a −= 2n ≥  1 4n n n b S a = + + ∴ 1 1 1 1 4b a a = + + 1 6b = ∴ 1 1a = ∴ { }na ∴ 12n na -= 12 2 1n n nS a a= − = − ∴ 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 14 2 1 42 2 n n n n n n n n b S a − − − − + ⋅ += + + = − + + = *n N∈ ∴ ( )( ) 1 1 2 1 1 11 1 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n n n nn n nb − − − − −− = = = −+ ⋅ + + ++ + ∴ 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2n n n nT −= − + − + + − = −+ + + + + + + ＜ ∴ 1 2nT ＜【点睛】本题考查了 和 的关系、等比数列的通项公式以及裂项相消法求和的应用，考查 了转化能力和计算能力，属于中档题. 20.某销售公司在当地 、 两家超市各有一个销售点，每日从同一家食品厂一次性购进一种 食品，每件 200 元，统一零售价每件 300 元，两家超市之间调配食品不计费用，若进货不足 食品厂以每件 250 元补货，若销售有剩余食品厂以每件 150 回收.现需决策每日购进食品数量， 为此搜集并整理了 、 两家超市往年同期各 50 天的该食品销售记录，得到如下数据： 销售件数 8 9 10 11 频数 20 40 20 20 以这些数据的频数代替两家超市的食品销售件数的概率，记 表示这两家超市每日共销售食 品件数， 表示销售公司每日共需购进食品的件数. （1）求 的分布列； （2）以销售食品利润的期望为决策依据，在 与 之中选其一，应选哪个？ 【答案】(1)见解析；(2) . 【解析】 【分析】 （1）由已知一家超市销售食品件数 8,9,10,11，得 取值为 16,17,18,19,20,21，22，求出 相应的概率即可； （2）分别列出 n=19，n=20 的分布列，求出相应的期望，比较即可. 【详解】（1）由已知一家超市销售食品件数 8,9,10,11 的概率分别为 . 取值为 16,17,18,19,20,21,22. ， ； ； ； ； 所以 分布列为 的 na nS A B A B X n X 19n = 20n = 19n = X 1 2 1 1 5 5 5 5 ，，， X ( ) 1 1 116 5 5 25P X = = × = ( ) 1 2 417 25 5 25P X = = × × = ( ) 2 2 1 1 618 25 5 5 5 25P X = = × + × × = ( ) 1 2 1 1 619 2 25 5 5 5 25P X = = × × + × × = ( ) 1 1 2 1 520 25 5 5 5 25P X = = × + × × = ( ) 1 1 221 25 5 25P X = = × × = ( ) 1 1 122 5 5 25P X = = × = X 16 17 18 19 20 21 22 （2） 当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为 1450 1600 1750 1900 1950 2000 2050 当 时，记 为 销售该食品利润，则 的分布列为 1400 1550 1700 1850 2000 2050 2100 因为 ，故应选 . 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，运用统计的知识解决实际问题，属于 基础题. 21.已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 截直线 所得的线段的长 度为 . （Ⅰ）求椭圆 方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 上的点， 是坐标原点，若 的 X P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 2 25 1 25 19n = 1Y A B， 1Y 1Y P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 2 25 1 25 ( )1 1 4 6 6 5 2 11450 1600 1750 1900 1950 2000 205025 25 25 25 25 25 25E Y = × + × + × + × + × + × + × 1822= 20n = 2Y ,A B 2Y 2Y P 1 25 4 25 6 25 6 25 5 25 2 25 1 25 ( )2 1 4 6 6 5 2 11400 1550 1700 1850 2000 2050 210025 25 25 25 25 25 25E Y = × + × + × + × + × + × + × 1804= ( ) ( )1 2E Y E Y> 19n = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 C 1y = 2 2 C l C ,A B D C O，判定四边形 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是， 请说明理由. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据椭圆 截直线 所得的线段的长度为 ，可得椭圆过点 ，结合离心 率即可求得椭圆方程； （Ⅱ）分类讨论：当直线 的斜率不存在时，四边形 的面积为 ； 当直线 的斜率 存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由 得 ，代入曲线 C，整理出 k，m 的等量关系式，再根据 写出面积的表达式整理即可得到定值． 【详解】(Ⅰ)由 解得 得椭圆 的方程为 . （Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 ， 此时四边形 的面积为 ． 当直线 的斜率存在时，设直线 方程是 ，联立椭圆方程 ， OA OB OD+ =   OADB 2 2 14 2 x y+ = C 1y = 2 2 ( )21， l OADB 6 l ,OA OB OD+ =   2 2 4 2,1 2 1 2D D km mx yk k −= =+ + OADBS AB d= 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 c a a b a b c  =   + =  = +  2, 2a b c= = = C 2 2 14 2 x y+ = l AB 1x = − 1x = OADB 6 l l y kx m= + 2 2 14 2 y kx m x y = + + = ( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m⇒ + + + − = ( )2 28 4 2 0k m∆ = + − > 2 1 2 1 22 2 4 2 4,1 2 1 2 km mx x x xk k − −+ = =+ +点 到直线 的距离是 由 得 因为点 在曲线 上，所以有 整理得 由题意四边形 为平行四边形，所以四边形 的面积为 由 得 , 故四边形 的面积是定值，其定值为 ． 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距 离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和 计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 22.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个极值点 ，当 时，求 的最大值. 【 答 案 】（ 1 ） 当 时 ， 在 上 单 调 递 增 ； 当 时 ， 在 ， 上单调递增；在 上单 调递减； （2） 【解析】 【分析】 ( )1 2 1 2 2 22 1 2 my y k x x m k + = + + = + 2 2 2 2 2 2 4 21 1 2 k mAB k k + −= + + O AB 21 md k = + ,OA OB OD+ =   2 2 4 2,1 2 1 2D D km mx yk k −= =+ + D C 2 2 2 2 4 2 1 2 1 2 14 2 km m k k −      + +   + = 2 21 2 2k m+ = OADB OADB 2 22 2 2 2 22 2 2 4 22 2 4 21 1 2 1 21OADB m m k mk mS AB d k k kk + −+ −= = + × =+ ++ 2 21 2 2k m+ = 6OADBS = OADB 6 2( ) 2ln ( )f x x ax x a R= − + ∈ ( )f x ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< 22a e e ≥ + ( ) ( )2 1f x f x− 4a ≤ ( )f x (0, )+∞ 4a > ( )f x 2 160, 4 a a − −    2 16 ,4 a a + − +∞    2 216 16,4 4 a a a a − − + −    1 2ee − +（1）先对函数 求导，分别讨论 和 ，即可得出结果； （2）先由（1）得到 ， ，对 化简整理，再令 ，得到 ，根据（1）和 求出 的范围，再令 ，用导数的方法求其最大值，即可得出结果. 【详解】（1）由 得 ； 因为 ，所以 ； 因此，当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调 递增； 当 时，由 得 ，解得 或 ；由 得 ； 所以 在 ， 上单调递增；在 上单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减； （2）若 有两个极值点 ， 由（1）可得， 是方程 的两不等实根， 所以 ， ， 因此 2( ) 2lnf x x ax x= − + 4a ≤ 4a > 1 2 2 ax x+ = 1 2 1=x x ( ) ( )2 1f x f x− 2 2t x= 2 1 1( ) ( ) 2lnf x f x t tt − = − + 22a e e ≥ + 2 2t x= 1( ) 2lng t t tt = − + 2( ) 2lnf x x ax x= − + 2( ) 2f x x a x ′ = − + 0x > 22 4x x + ≥ 4a ≤ 2( ) 2 0f x x a x ′ = − + ≥ (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 4a > 2( ) 2 0f x x a x ′ = − + > 22 2 0x ax− + > 2 16 4 a ax + −> 2 160 4 a ax − −< < 2( ) 2 0f x x a x ′ = − + < 2 216 16 4 4 a a a ax − − + −< < ( )f x 2 160, 4 a a − −    2 16 ,4 a a + − +∞    2 216 16,4 4 a a a a − − + −    4a ≤ ( )f x (0, )+∞ 4a > ( )f x 2 160, 4 a a − −    2 16 ,4 a a + − +∞    2 216 16,4 4 a a a a − − + −    ( )f x ( )1 2 1 2,x x x x< 1 2,x x 22 2 0x ax− + = 1 2 2 ax x+ = 1 2 1=x x ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1( 2ln ) ( 2ln )f x f x x ax x x ax x− = − + − − +， 令 ，则 ； 由（1）可知 ， 当 时， ， 所以 ， 令 ， ， 则 在 上恒成立； 所以 在 上单调递减， 故 . 即 的最大值为 . 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性、 极值、最值等，属于常考题型. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 12( )( ) 2ln 2ln 2lnx xx x x x x x x x x xx xx − + + = − + = − += + − 2 2t x= 2 2 22 22 2 1 1 1( ) ( ) 2ln 2lnf x f x t tx xx t − = − + = − + 2 2 16 4 a ax + −= 22a e e ≥ + 2 2 2 42 4 4 616 4 8 1e x eea a e e + + + + −+ −= ≥ = [ )2 2 ,et x ∈= +∞ 1( ) 2lng t t tt = − + [ ),t e∈ +∞ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ( 1)( ) 1 0t t tg t t t t t − + −′ = − − + = − = − < [ ),t e∈ +∞ 1( ) 2lng t t tt = − + [ ),t e∈ +∞ max 1( ) ( ) 2g t g e ee = = − + ( ) ( )2 1f x f x− 1 2ee − +