宁夏六盘山高级中学2020届高三数学（文）第三次模拟考试试题（解析版）

宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第三次模拟考试 文科数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第 I 卷（选择题) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 后可得 . 【 详 解 】 因 为 集 合 ， 则 ，选 C 【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如 表示函数的定义 域，而 表示函数的值域， 表示函数的图像. 2.若复数 满足 (i 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 { }| 1,A x x x R= ≤ ∈ { }2| ,B y y x x R= = ∈ A B = { }| 1 1x x− ≤ ≤ { }| 0x x ≥ { }| 0 1x x≤ ≤ ∅ B A B { }| 1, { | 1 1}A x x x R x x= ≤ ∈ = − ≤ ≤ { }2| , { | 0}B y y x x R y y= = ∈ = ≥ A B = { }| 0 1x x≤ ≤ ( ){ }| ,x y f x x D= ∈ ( ){ }| ,y y f x x D= ∈ ( ) ( ){ }, | ,x y y f x x D= ∈ z ( ) 21 1z i i+ = − z【答案】D 【解析】 【分析】 由复数模的概念可得 ，进而可得 ，运算后即可得解. 【详解】由题意 ， 所以 ， 所以复数 在复平面内对应的点为 ，在第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数模的概念、复数的运算与复数的几何意义，考查了运算求解能力， 属于基础题. 3.若将函数 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据平移规则，得到平移后的解析式，根据正弦函数的图像和性质即可得出对称中心. 【详解】将函数 图像向左平移 个单位长度后，得到 ， 令 ，解得 ，当 时 ，所以平移后图像 一个对称中心可以为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换，求正弦函数对称中心，属于基础题. 4.若双曲线 的渐近线为 ，则其实轴长为（ ） 的 的 ( )1 2z i+ = 2 1 iz = + ( ) ( )221 1 1 1 2z i i+ = − = + = ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 iz ii i i −= = = −+ + − z ( )1, 1− ( ) sin 2f x x= 6 π ( ,0)3 π ( ,0)6 π ( ,0)12 π ( ,0)2 π ( ) sin 2f x x= 6 π ( ) sin 2 3f x x π = +   ( )2 3x k k Z π π+ = ∈ ( ) 6 2 kx k Z π π= − + ∈ 1k = 3x π= ( ,0)3 π 2 2 2 1( 0)x y aa − = > 1 4y x= ±A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得双曲线的渐近线为 ，建立关于 的方程，求解即可. 【详解】因为 的渐近线方程为 ， 所以 ， ， 所以双曲线的实轴长为 8. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5.已知圆 ： （ ），直线 ： ，则“ ”是“ 上恰有不同的 两点到 的距离为 ”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据圆心到直线距离 d，比较 d 与 r 的关系即可判断． 【详解】圆 ： （ ） 圆心坐标为 则圆心到直线距离为 所以当 时恰有两个不同的点到 的距离为 当 上恰有不同的两点到 的距离为 时，满足 所以“ ”是“ 上恰有不同的两点到 的距离为 ”的充分不必要条件 所以选 A 1 2 1 4 1y xa = ± a 2 2 2 1( 0)x y aa − = > 1 4y x= ± 1 1 4a = 4a = C 2 2 2x y r+ = 0r > l 1x = 1 12 r< ≤ C l 1 2 C 2 2 2x y r+ = 0r > ( )0,0 1d = 1 12 r< ≤ l 1 2 C l 1 2 1 3 2 2r< < 1 12 r< ≤ C l 1 2【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题． 6.若球 的半径为 ，且球心 到平面 的距离为 ，则平面 截球 所得截面圆的面积 为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】作出对应的截面图， ∵球的半径 R=4,由球心距 d= 故截面圆半径 故截面圆面积 S=πr2=13π 故选 C. 7.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项. 【详解】解：由于 ， 可得： ， 又 ， O 4 O α 3 α O π 10π 13π 52π 3 24 3 13r = − = 0.52a = 2sin 5 πb = 2 2log sin 5 =c π a b c a c b> > a b c> > c b a> > c a b> > ( )2sin 0,15 πb = ∈ 2 2log sin 05c π= < 0.5 12a = >， 故选：B. 【点睛】本题考查指对数以及三角函数值比较大小，三角函数式的取值范围的判断，对数式 的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是利用中间量法. 8.甲在微信群中发布 5 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数 元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用隔板法得到共计有 种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数 ，由此能求出 乙获得“最佳手气”的概率． 【详解】如下图，利用隔板法， 得到共计有 种领法， 乙领 2 元获得“最佳手气”的情况有 2 种， 乙领 3 元获得“最佳手气”的情况有 1 种， 乙获得“最佳手气”的情况总数 ， 乙获得“最佳手气”的概率 ． 故选 A． 【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，是基础题． 9.执行如图所示的程序框图，输出的结果为 　　 a b c∴ > > 1 2 1 3 1 4 1 6 2 4 6n C= = 3m = 2 4 6n C= = 3m = ∴ 3 1 6 2 mp n = = = ( )A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 已 知 中 的 程 序 语 句 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解． 【 详 解 】 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 的值， 由于 ． 故选 C． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题． 10.奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，且 ，则 ＝（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 20192 1− 20192 2− 20202 2− 20202 1− 2 3 20192 2 2 2S = + + +…+ 2 3 20192 2 2 2S = + + +…+ ( )2019 2 3 2019 20202 1 2 2 2 2 2 2 21 2S − = + + +…+ = = −− f x（ ） 1f x +（ ） ( 1) 1f ﹣ ＝﹣ 2018 2019f f+（ ） （ ）根据题意和函数的奇偶性，得到函数 是周期为 4 的周期函数，进而利用函数的周期性， 求得 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数， 则 ， 即 ，则 ， 即 是周期为 4 的周期函数， ， ， 则 ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本 题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11.若 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由 得 . 故选 D. 12.已知实数 ， ，函数 在 上单调递增，则实数 的 取值范围是（ ） A. B. C. D. ( )f x ( )2018 , (2019)f f f x（ ） 1f x +（ ） 1 1 1f x f x f x（ ）＝（ ）＝ （ ）− + + − − 2f x f x+ −（ ）＝ （ ） 4 2f x f x f x+ − +（ ）＝ （ ）＝（ ） f x（ ） 2018 504 4 2 2 0 0f f f f× + −（ ）＝（ ）＝（ ）＝ （ ）＝ 2019 504 5 1 1 1f f f× − −（ ）＝（ ﹣）＝（ ）＝ ( ) ( )2018 2019 0 1 1f f+ = − = − ( )tan 80 4sin 420α + ° = ° ( )tan 20α + ° 3 5 − 3 3 5 3 19 3 7 ( )tan 80 4sin420 4sin60 2 3,α + ° = ° = ° = ( ) ( ) ( ) ( ) tan 80 60 2 3 3 3tan 20 tan 80 60 1 tan 80 60 71 2 3 3 tan tan αα α α + ° − ° − + ° = + ° − ° = = =  + + ° ° + × 0a > 1a ≠ ( ) 2 , 1 4 ln , 1 xa x f x x a x xx  2 41, ( ) lnx f x x a xx ≥ = + + 2 4( ) 2 0af x x x x ′ = − + ≥ [1, )+∞ 2a ≥ 1 4a ≤ + ( ) 2 , 1 4 ln , 1 xa x f x x a x xx  2 41, ( ) lnx f x x a xx ≥ = + + ( )f x 2 4( ) 2 0af x x x x ′ = − + ≥ [1, )+∞ 24 2a xx ≥ − 1x ≥ ( ) 24 2g x xx = − [1, )+∞ 24 42 21 2xx − ≤ − = 24 2a xx ≥ − [1, )+∞ 2a ≥ ( )f x R 1 4 5a ≤ + = 2 5a≤ ≤ ( ),1AB m= ( )1,4BC = 11AB BC⋅ >  m ( )7,+∞【分析】 直接进行向量数量积的坐标运算列出不等式求解即可. 【详解】 ，解得 . 故答案为： 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题. 14.已知实数 ， 满足 则 的最大值为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】 作出可行域，目标函数 可表示为点 到原点的距离的平方，数形结合可知 OA 为此距离的最大值，求出点 A 坐标即可得解. 【详解】作出可行域如图所示： 目标函数 可表示为点 到原点的距离的平方，由图可知 OA 为此距离的最大值， ，则 . 故答案为：13 【点睛】本题考查线性规划中求平方和型目标函数的最值，理解目标函数的几何意义是解题 的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形 中， ，且 ，则对角线 的长为_____. 4 11AB BC m⋅ = + >  7m > ( )7,+∞ x y 1, 3, 1 0, x y x y ≥ −  ≤  − + ≤ 2 2z x y= + 2 2z x y= + ( , )x y 2 2z x y= + ( , )x y 1 0 (2 3)3 x y Ay − + = ⇒ = ， 2 2 max 2 3 13z = + = ABCD 1 5 5 7AB BC CD DA＝， ＝ ， ＝ ， ＝ 90DAB BCD∠ ∠ °＝ ＝ AC【答案】 【解析】 【分析】 设 ，在 中和 中，分别应用余弦定理，列出关于 的方程，即 可求解． 【详解】由题意，设 ， 由 ，则 ， 在 中， ，由余弦定理得 ； 在 中， ，由余弦定理得 ； ∵ ，∴ ． 故答案为 【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦 定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16.甲、乙、丙三个同学同时做标号为 、 、 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个 题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____. （1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都 做对． 【答案】③ 【解析】 【分析】 4 2 ,AC x B θ= ∠ ＝ ABC ACD x ,AC x B θ= ∠ ＝ 90DAB BCD∠ ∠ °＝ ＝ 180D θ∠ = °− ABC 1, 5,AB BC AC x= = = 2 2 2 21 5 26cos 2 1 5 10 x xθ + − −= =× × ACD 5, 7,CD DA AC x= = = ( ) 2 2 2 27 5 74cos 180 2 7 5 70 x xθ + − −°− = =× × ( )180cos cosθ θ°− = − 2 274 26 32 4 270 10 x x x − −= − ⇒ = = 4 2 A B C运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论. 【详解】若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则 题无人做对，所以①错误； 若甲做对 、 ，乙做对 、 ，丙做对 、 ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错 误. 做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每 个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法. 故答案是：③. 【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共 60 分. 17.在等差数列 中，已知 . （I）求数列 的通项公式 ； （II）记 为数列 的前 项和，求 的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)30 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的基本量运算，得到首项 和公差 ，得到通项 （2）根据（1）求出的等差数列，得到其前 项和 ，表示出 ，然后找到其最小值， 注意 . 【详解】(Ⅰ)由 得 ， 由 ，得 ， 即数列 的通项公式为 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得， ， A B A B A B C A B A C B C { }na 3 4 5 884 , 36a a a a+ = − = { }na na nS { }na n 20nS n + 2 20na n= + 1a d na n nS 20nS n + *n N∈ 3 4 584a a a+ = − 4 28a = ∴ 1 1 3 28 7 36 a d a d + =  + = 1 22 2 a d =  = { }na ( )22 1 2 2 20na n n= + − × = + ( ) 2122 2 212n n nS n n n −= + × = + ， 令 ， ,当 ；当 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， 当 或 时，， 取到最小值 ，即 的最小值为 . 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，数列的函数性质，属于基础题. 18.已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的平均利润最高？ （2）通过计算判断这 3 年 前 7 个月的总利润的发展趋势； （3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的 利润． 月份 1 2 3 4 利润 （单位：百万元） 4 4 6 6 相关公式： ， ． 【答案】(1)5 月和 6 月平均利润最高；(2)总利润呈上升趋势；(3)940 万元. 【解析】 试题分析： (1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得； 的 ∴ 20 20 21nS nn n + = + + ( ) *20 21,f x x n Nx = + + ∈ ( ) 2 201f x x = −′ ( ) ( )0,2 5 , 0x f x∈ ′ < ( ) ( )2 5, , 0x f x∈ +∞ >′ ( )f x ( )0,2 5 ( )2 5,+∞ *n N∈ ( ) ( )4 5 30f f= = ∴ 4n = 5 ( )f n 30 20nS n + 30 x y ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 11 ˆ n n i i i i i i nn i ii i x x y y x y nx yb x nxx x = = == ∑ − − ∑ − ⋅= = ∑ −∑ − ˆˆa y bx= −(2)分别计算出第 1、2、3 年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势； (3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可． 试题解析： （1）由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高． （2）第 1 年前 7 个月的总利润为 （百万元）， 第 2 年前 7 个月的总利润为 （百万元）， 第 3 年前 7 个月 总利润为 （百万元）， 所以这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势． （3）∵ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时， （百万元），∴估计 8 月份的利润为 940 万元． 19.如图，三棱锥 B－ACD 的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，E，F，G 分别是棱 CD，AD，AB 的 中点． （1）证明：平面 ABE⊥平面 ACD； （2）若四面体 BEFG 的体积为 ，且 F 在平面 ABE 内的正投影为 M，求线段 CM 的长． 【答案】(1)见解析.（2）见解析. 【解析】 试题分析：(1)先证明 平面 ，又 平面 ，可得平面 平面 . （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，结合 为 的 1 2 3 5 6 7 4 28+ + + + + + = 2 5 5 4 5 5 5 31+ + + + + + = 4 4 6 6 7 6 8 41+ + + + + + = 2.5x = 5y = 2 2 2 21 2 3 4 30+ + + = 1 4 2 4 3 6 4 6 54× + × + × + × = 2 54 4 2.5 5 0.830 4 2.5 ˆb − × ×= =− × 5 2.5 0.8ˆ 3a = − × = 0.8 3ˆy x= + 8x = 0.8 8 3 9 4ˆ .y = × + = 1 2 CD ⊥ ABE CD ⊂ ACD ABE ⊥ ACD CD ⊥ ABE MF ⊥ ABE / /MF CD F AD的中点，得 为 的中点，由四面体体 的体积为 ， 解得 ，进而可求得 . 试题解析：(1)证明：因为 ， 是棱 的中点，所以 ， 又三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ， 所以 平面 ，则 因为 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ， 所以 又 为 的中点，所以 为 的中点， 因为 ， ， 所以四面体体 的体积为 ， 则 在 中， ， ， 在 中， ， . 20.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为过焦点 且垂直于 轴的抛 物线 的弦，已知以 为直径的圆经过点 . （1）求 的值及该圆的方程； （2）设 为 上任意一点，过点 作 的切线，切点为 ，证明： . 【答案】（1） ，圆的方程为： .（2）答案见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，可知 点的坐标为 ，即可求出 的值，即可求出该圆的方程； M AE BEFG 1 1 3 2 6 BGBE BG MF× × × × = = 1 2 3BG = 46 2CM = BC BD= E CD BE CD⊥ B ACD− BC BD B∩ = AB ⊥ BCD AB CD⊥ AB BE B∩ = CD ⊥ ABE CD ⊂ ACD ABE ⊥ ACD CD ⊥ ABE MF ⊥ ABE / /MF CD F AD M AE 2BE = 1 2 2 2MF DE= = BEFG 1 1 3 2 6 BGBE BG MF× × × × = = 1 2 3BG = Rt ABE∆ 2 6AB BG= = 26 2 38AE = + = Rt CEM∆ 1 38 2 2ME AE= = 2 2 46 2CM ME CE= + = 2: 2 ( 0)C y px p= > F l AB F x C AB ( )1,0− p M l M C N MF FN⊥ 2p = 2 2( 1) 4x y− + = A ,2 p p ±   p（2）由题易知，直线 的斜率存在且不为 0，设 的方程为 ， 与抛物线 联立方程组，根据 ，求得 ，化简解得 ，进而求得 点的坐 标为 ，分别求出 ， ，利用向量的数量积为 0，即可证出 . 【详解】解：（1）易知 点的坐标为 ， 所以 ，解得 又圆的圆心为 ， 所以圆的方程为 . （2）证明易知，直线 的斜率存在且不为 0， 设 的方程为 ， 代入 的方程，得 . 令 ，得 ， 所以 ，解得 . 将 代入 的方程，得 ，即 点的坐标为 . 所以 ， ， . 故 . 【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立 方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力. 21.已知函数 ． M ( )01, ,M y MN− 0( 1)y k x y= + + C 0∆ = 0 1y k k + = 2y k = N 2 1 2,k k      FM FN MF FN⊥ A ,2 p p ±   ( 1)2 pp = − − 2p = ( )1,0F 2 2( 1) 4x y− + = M ( )01, ,M y MN− 0( 1)y k x y= + + C ( )2 04 4 0ky y y h− + + = ( )016 16 0k y k= − + =△ 0 1y k k + = ( ) 2 2 2 0 4 44 4 0k y kyky y y A k − +− + + = = 2y k = 2y k = C 2 1x k = N 2 1 2,k k      ( )02,FM y= − 2 1 21,FN k k  = −    02 2 2 2 2 1 22 2 0FM FN y kk k k k k  ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ =     MF FN⊥ 1xf x e a x（ ）＝ ﹣（﹣）（1）证明：当 时， 恒成立； （2）若函数 在 R 上只有一个零点，求 a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析（2） 或 【解析】 【分析】 （1）对函数 求导，得到函数 的最小值为 2，即可证明. （2 对 a 分类讨论，易得 a=0 时无零点，a0 时求函数的导数，判断函数的单调性和极 值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论． 【详解】（1）f′（x）= ， 令 f′（x）=0，得到 x=0, 当 x0， 单调递增, ∴ 在 x=0 处取得最小值. , ∴ . （2）当 a=0 时， >0 恒成立，无零点，与题意不符； 当 a ( )f x 1 a 11 1 1af e aa a    = − −       1 ae ( )1f ( )f x xe a− 0 ( )x ,lna 0f x，∞ ′∈ − < ( )x lna 0f x∞∈ ′+ >， ， ( )f xLna=2，所以 a= ∴当 a (2) 1f a< + a (0, )a∈ +∞ ( )f x m≥ m 3 17( , )4 + +∞ ( ,2]−∞ (2)f ( )f x m≥ ( )f x min( )f x m≥ 1(2) | 2 | | 2 |f aa = + + − 12 2 1| |a aa + +