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2020 届 6 月月考数学卷
第Ⅰ卷（必做题，共 160 分） 2020.6
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1．集合 ，若 ，则 ▲ ．
2．已知复数 ，其中 是虚数单位，则 ▲.
3．袋中共有大小相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4．现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只
球的编号之和是奇数的概率为 ▲ ．
4． 根据如图所示的伪代码，当输出 y 的值为 时，则输入的 的值为 ▲ ．
5．某地区连续 5 天的最低气温（单位：°C）依次为 8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为
▲ ．
6．设 x，y 满足约束条件 则 z=2x+3y 的最大值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，
则 的值为 ▲ ．
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
x2
16－
y2
9 ＝1 的顶点到其渐近线的距离为 ▲ ．
9．在等比数列 中，若 ， ，则 ▲ ．
10．各棱长都为 的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为 ，则 的 值为 ▲ ．
11．如图，已知点 是曲线 上
一个动点， 则 的最小值是 ▲ ．
12．已知函数 ，若 在 R 上有两个不同的零点，则 的取值范
围是 ▲ ．
13．已知正数 a，b 满足 ，则 的最小值等于 ▲ ．
{0 3 }, { 2 0 1}xA B= = −， ，， A B B= x =
( 2 )z i i= − − i z =
1
2 x
2 1 0
2 0 ,
1
x y
x y
x
− + ≥
− ≤
≤
cos2y x= 6
π
( )g x
( )2g
π
{ }na 2 2a = 6 8a = 4a =
2 m m
(0,0), (2,0),O A P ( )0 1y x x= ≤ ≤
OP AP⋅
3 , 0( )
2 2 1, 0
x a xf x
x a x
− ≤= + − > ( )f x a
1a b+ =
2 2b a
ab
+- 2 -
14. 已知函数 是定义域为 上的偶函数，当 时，
若关于 的方程 有且仅有 8 个不同实数根，则实数 的取值
范围是▲ .
[二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，过 的平面
分别与 ， 交于点 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： ∥ ．
16．（本小题满分 14 分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， .
（1）求 及 的值；
（2）若 ，求 的面积.
)(xfy = R 0≥x
,
2,4
3
2
1
20,4
1
)(
2
>−
−
≤≤−
=
x
xx
xf x
x
[ ] Raaxafxf ∈=++ ,016
7)()( 2
a
P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD AD
PB PC E F
PBC ⊥ PCD
AD EF
ABC∆ A B C a b c 2A B=
3sin 3B =
cos A sinC
2b = ABC∆- 3 -
17.（本小题满分 14 分）
如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩
形，南北向渠宽为 4 m，东西向渠宽 m（从拐角处，即图中 处开始）．假定渠内的水
面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点 的一条直线与水渠的内壁交于 两点，且与水渠的一边的夹角
为 ，将线段 的长度 表示为 的函数；
（2）若从南面漂来一根长为 7 m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不
发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．
18．（本小题满分 16 分）
如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，下顶点为 ，点 是椭圆上任一
点，圆 是以 为直径的圆．
⑴ 圆 的面积为 ，求点 的坐标；
⑵当圆 与直线 相切时，求圆 的方程；
2 A B，
A P Q，
θ ( )π0 2
θ< < PQ l θ
12: 2
2
=+ yxC
21, FF A P
M 2PF
M 8
π
P
M 1AF M- 4 -
19．（本小题满分 16 分）
在数列 中， ，其中 ．
⑴ 证明：数列 为等差数列，并求出 通项公式；
⑵ 设 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
⑶ 已 知 当 且 时 ， ， 其 中 ， 求 满 足 等 式
的所有 的值之和．
20．（本小题满分 16 分）
设函数 ， ，
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 （其中 ），证明： ；
（3）是否存在实数 a，使得 在区间 内恒成立，且关于 x 的方程 在
内有唯一解？请说明理由.
n
{ }na 12
1,4
11,1 11 −=−== +
n
n
n
n abaaa ∗∈ Nn
{ }nb { }nb
1
2
2 n
n
n b
bc −
= { }nc n nT nT
∗∈ Nn 6≥n
mn
n
m )2
1()31(
( ) 0F x ≥ ( )0, ∞+ ( ) 0F x =
( )0, ∞+- 5 -
数学Ⅱ(附加题)
21． （本小题满分 10 分）
设点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ．
（1）求矩阵 的逆矩阵 ；
（2）若曲线 C 在矩阵 对应变换作用下得到曲线 ，求曲线 C 的
方程．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设 为 上的点， ，垂足为 ，若 的最小值为 ，求 的值.
( )x y， M (2 3 )x y，
M 1−M
1−M 2 2 1C x y′ + =：
xOy l
2 ,
2 ,
x m t
y t
= + = t
x C
2
2
4
1 sin
ρ θ= +
l C
P C PQ l⊥ Q | |PQ 2 m- 6 -
23．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1 AB AC 2，AB⊥AC，M 是棱 BC 的中点，点 P 在
线段 A1B 上．
（1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成角的大小；
（2）若 是 的中点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
求线段 BP 的长度．
24．（本小题满分 10 分）
设二项展开式 的整数部分为 ，小数部分为 .
（1）计算 的值；
（2）求 .
2 1 *( 3 1) ( )n
nC n−= + ∈N nA nB
2211 , BCBC
nn BC
= = =
N 1CC 1A B PMN
7
7- 7 -
数学答案Ⅰ
一、填空题：
1． 0． 2． ． 3． 4． 5．
6．11 7．
8． 9. 4 10．
11． ． 12. 13． 14.
二、解答题：
15．证：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为底面 是矩形，所以 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）底面 是矩形，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ．
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ∥ ．
16. 解：（1）∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
由题意可知， .
∴ .∵ .
5
2
3 e 16
1
2
− 12
5
2
6
1
4
− 1(0, )2 2 2 2+ )9
16,4
7(
PD ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD PD BC⊥
ABCD CD BC⊥
CD PD D= ,CD PD ⊂ PCD BC ⊥ PCD
BC ⊂ PBC PBC ⊥ PCD
ABCD AD BC
BC ⊂ PBC AD ⊄ PBC AD PBC
AD ⊂ ADFE ADFE PBC EF= AD EF
2A B= BBA 2sin212coscos −==
3sin 3B =
3
1
3
121cos =×−=A
)2,0(
π∈B
3
6sin1cos 2 =−= BB 2 2sin sin 2 2sin cos 3A B B B= = =- 8 -
∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，∴ .
∴ .
17．（1）由题意， ， ，
所以 ，即 （ ）．
（2）设 ， ．
由 ，
令 ，得 ．
且当 ， ；当 ， ，
所以， 在 上单调递减；在 上单调递增，
所以，当 时， 取得极小值，即为最小值．
当 时， ， ，
所以 的最小值为 ，
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 m．
因为 ，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
18．解 ⑴易得 ， ， ，设 ，
则 ，
)sin()](sin[sin BABAC +=+−= π
5 3sin cos cos sin 9A B A B= + =
sin sin
b a
B A= 2b =
2
3 2 2
3 3
a
= 4 6
3a =
1 20 2sin2 9ABCS ab C∆ = =
2
sinPA θ= 4
cosQA θ=
l PA QA= + 2 4
sin cosl θ θ= + π0 2
θ< <
2 4( ) sin cosf θ θ θ= + π(0, )2
θ ∈
3 3
2 2 2 2
2(2 2 sin cos )2 cos 4sin( ) sin cos sin cosf
θ θθ θθ θ θ θ θ
−′ = − + =
( ) 0f θ′ = 0
2tan 2
θ =
0(0, )θ θ∈ ( ) 0f θ′ < 0
π( , )2
θ θ∈ ( ) 0f θ′ >
( )f θ 0(0, )θ 0
π( , )2
θ
0
θ θ= ( )f θ
0
2tan 2
θ = 0
1sin
3
θ = 0
2cos
3
θ =
( )f θ 3 6
3 6
3 6 7>
( )0,11 −F ( )0,12F ( )1,02 −A ( )11, yxP
( ) ( ) ( )2
1
2
12
1
2
1
2
1
2
2 22
1
2111 −=−+−=+−= xxxyxPF- 9 -
∴ ，
又圆 的面积为 ，∴ ，解得 ， ∴ 或 ，
⑵ ∵ 直 线 的 方 程 为 ， 且 到 直 线 的 距 离 为
， 化简得 ，联立方程组 ，解得
或 ． 当 时，可得 ，
∴ 圆 的方程为 ；当 时，可得 ，
∴ 圆 的方程为 ；
19．⑴证明：
∴数列 为等差数列 ，又
⑵因为 ＝ ，
所以 ＝ ． ①
＝ ． ②
①－②，得 ＝ － ．
故 ＝ － ＝8－ － ＝8－ ．
⑶由⑵得等式
可化为
( )222
22 112 ≤≤−−= xxPF
M 8
π ( )2
1 288
−= x
ππ
11 =x
2
2,1P
−
2
2,1
1AF 01=++ yx
+
2,2
1 11 yxM
1AF
1
11
4
2
2
2
2
122
1
x
yx
−=
+++
12 11 −−= xy
=+
−−=
12
12
2
1
2
1
11
yx
xy
01 =x 9
8
1 −=x 01 =x
−
2
1,2
1M
M 2
1
2
1
2
1 22
=
++
− yx
9
8
1 −=x
18
7,18
1M
M 162
169
18
7
18
1 22
=
−+
− yx
112
1
12
12
1
12
1
12
1
1
1 =−−
−−
=−−−=−
+
+
n
n
nn
nn a
a
aabb
{ }nb 1
1
1 1 12 1 2 1b a
= = =− − 1 ( 1) 1nb n n∴ = + − ⋅ =
nc
112 2
n
n
−
nT
0 2 2 11 1 1 1 12 2 3 ( 1)2 2 2 2 2
n n
n n
− − + + + + − +
1
2 nT
1 2 3 11 1 1 1 12 2 3 ( 1)2 2 2 2 2
n n
n n
− + + + + − +
1
2 nT
0 2 11 1 1 12 2 2 2 2
n− + + + + 12 2
n
n
nT
11 24 11 2
n −
− 14 2
n
n
8
2n
14 2
n
n
1(8 4 ) 2nn+
nb
n
nnn bn )3()2(43 +=++++
nnnn nn )3()2(43 +=++++ - 10 -
即
∴
∵当 时， ，
∴ …
∴
∴当 时，
当 时，经验算 时等号成立
∴满足等式 的所有
其和为 5.
20．解（1）由已知得：
当 时， ， 在 上递增；
当 时，令 得
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减；
综上： 当 时， 的递增区间为 ；
当 时， 的递增区间为 ，
的递减区间为 .
1)3
2()3
4()3
3( =+
++++++
nnn
n
n
nn
1)3
11()3
11()31( =+−+++
−−++− nnn
nn
n
n
n
6≥n
mn
n
m )2
1()31( > ( )1 1ln 0 12u u uu
− − < >
( ) 1 1ln 2u u u u
ϕ = − − ( ) ( )2
2
1 02
uu u
ϕ − −′ =
( )1 0F = ( ) 0F x ≥ ( )0, ∞+
( )1 0F′∴ = 1
2a = −
1
2a = − ( ) 21 3ln 2 2x
exF x x xe
= − + − ( ) 21 3ln 02 2x
exF x x xe
= − + − ≥
( ) ( ) ( )( )1 1 x
x
x ex x e
F x x e
− − +′ = ⋅
( ) ( )1 xA x ex x e= − + ( ) ( )2 xA e ex x′ = − + ( )0, ∞+
( )0 2 0A e′ = − > 1 5 02 2A e e ′ = − min
| 2 2 || | 2
3
mPQ
−= = 2 3 2 2m = +
0m < min
| 2 2 || | 2
3
mPQ
− −= = 2 3 2 2m = − −
2 3 2 2m = + 2 3 2 2m = − −
1{ }AB AC AA， ，
(0 0 0)A ， ， (2 0 0)B ， ， (0 2 0)C ， ， 1(0 0 2)A ，， (1 1 0)M ，，
(1 0 1)P ， ， (0 1 1)MP = − ， ， (0 2 0)AC = ， ，
2cos 2
MP ACMP AC
MP AC
⋅< >= = −
⋅
，
[0 π]MP AC< >∈ ， ， 3π
4MP AC< >= ，
π
4
(0 2 1)N ， ， ( 1 1 1)MN = − ，，
( )P x y z， ， 1BP BAλ= 0 1λ≤ ≤
( 2 ) ( 2 0 2)x y z λ− = −， ， ， ，
N- 14 -
所以 ，所以 ，所以 ．
设平面 的法向量 ，
则 ， ，
所以 取 ．
因为 ，设直线 与平面 所成角为 ．
由 ，得 ．
所以 ，所以 ．
24．
2 2
0
2
x
y
z
λ
λ
= −
=
=
，
，
(2 2 0 2 )P λ λ− ， ， (1 2 1 2 )MP λ λ= − − ， ，
PMN ( , , )x y z=n
MN⊥n MP⊥n
0,
(1 2 ) 2 0,
x y z
x y zλ λ
− + + =
− − + =
1 1(1 , ,1)2 2λ λ= +n
1 ( 2 0 2)BA = − ，，
1A B PMN θ
1
1
2 21
1( 2) (1 ) 2 72sin cos 71 1(1 ) ( ) 1 2 22 2
BABA
BA
λθ
λ λ
− × + +⋅= < > = = =
⋅ + + + ⋅
， nn
n
1
4
λ =
1
1
4BP BA=
1
21
4 2BP BA= =
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