数学Ⅰ卷 第 1 页(共 4 页)
I ← 1
While I < 6
I ← I +2
S ←2I +3
End While
Print S
(第 4 题)
高三数学模拟考试试卷
数 学 Ⅰ
参考公式:
样本数据 的方差 ,其中 .
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 已知集合 , ,则集合 = ▲ .
2. 已知复数 (i 为虚数单位),则复数 z 的模为 ▲ .
3. 现有 5 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录
如下:10,11,12,13,14,则康复时间的方差为 ▲ .
4. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,则最后输出的 的值
是 ▲ .
5. 一张方桌有四个座位,A 先坐在如图所示的座位上,B,C,D 三人随机坐到其他三个
位置上,则 A 与 B 相对而坐的概率为 ▲ .
1 2 nx x x, , , 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
{ }1 3=A , { }2| 2 0B x x x= − < A B
(1 i) 4 3iz − = −
S
(第 5 题)
c
b
a
(第 6 题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题)、解答题(共 6 题),满分为 160 分,考试时间
为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。
2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写
在答题卡上。
3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位
置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。数学Ⅰ卷 第 2 页(共 4 页)
B C
D
E
F
A
(第 14 题)
6. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若 ,则
的值为 ▲ .
7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得函数为偶函数,则 的最小
正值是 ▲ .
8. 已知 是等比数列, 是其前 项和.若 , ,则 的值为 ▲ .
9. 过双曲线 的右焦点 F 作渐近线的垂线,垂足为 P.若△POF 的面积为 ,
则该双曲线的离心率为 ▲ .
10.已知直线 经过点 ,则 的最小值是 ▲ .
11.过年了,小张准备去探望奶奶,到商店买了一盒点心.为了美观起见,售货员用彩绳
对点心盒做了一个捆扎(如图(1)所示),并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心
盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为 l1,一般的十字捆扎(如图(2)
所示)所用绳长为 l2.若点心盒的长、宽、高之比为 2:2:1,则 的值为 ▲ .
12.已知函数 ,则不等 式的解集是 .
13.已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)为圆 M: 上的两点,且 ,设 为
弦 AB 的中点,则 的最小值为 ▲ .
14.已知等边 的边长为 1,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,
AC 上,且 .若 AD=x,CE=y,则 的
取值范围为 ▲ .
, ,a b c λ µ λ µ= + ∈R( , )a b c λ µ+
( )π( ) sin 2 3f x x= + ϕ ϕ
{ }na nS n 3 14 12a a− = 4 217S S= 2a
22
2 1( 0)5
yx bb
− = > 5
8 0ax by+ − = ( )a b∈, R (1 2)−, 12 4
a
b
+
1
2
l
l
( )f x x= 2( 2) ( )f x f x− >
2 2 4x y+ = 1 2 1 2
1
2x x y y+ = − 0 0( )P x y,
0 0|3 4 10 |x y+ −
ABC△
ADF DEFS S=△ △
1
3 ABCS= △
y
x
(第 11 题)数学Ⅰ卷 第 3 页(共 4 页)
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.
15.(本小题满分 14 分)
在 中,角 所对的边分别为 a,b,c, .
(1)若 面积为 ,求 ab 的值;
(2)若 ,求 .
16.(本小题满分 14 分)
如图,已知 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,AB=AC=BC=AE=2CD,F 是 BE 的中点.
(1)若 G 为 AF 中点,求证:CG∥平面 BDE;
(2)求证:AF⊥平面 BDE.
17.(本小题满分 14 分)
如图,某度假村有一块边长为 4 百米的正方形生态休闲园 ABCD,其内有一以正方形中心 O
为圆心, 百米为半径的圆形观景湖.现规划修建一条从边 AB 上点 P 出发,穿过生态园且
与观景湖相切的观赏道 PQ(其中 Q 在边 AD 上).
(1)设 ,求观赏道 PQ 的长 l 关于 的函数关系式 ;
(2)试问如何规划设计,可使观赏道 PQ 的长 l 最短?
ABC△ A B C, , sin sin sin sin
sin sin sin
B C B A
A B C
− −= +
ABC△ 3
2 23 c b a+ = cos A
2
APQ θ∠ = θ ( )f θ
G
(第 16 题)
B
D
F
E
C A
(第 17 题)
θ
P
Q
O
A B
CD数学Ⅰ卷 第 4 页(共 4 页)
18.(本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 的离心率为 ,点
在椭圆上.若直线 与椭圆有且只有一个公共点 ,且 与直线 相交于 .
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线 的斜率为 时,求直线 的方程;
(3)点 T 是 x 轴上一点,若总有 ,
求 T 点坐标.
19.(本小题满分 16 分)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 , , .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记 , .
① 求 Tn;
② 求证: .
20.(本小题满分 16 分)
已知函数 , .
(1)若函数 f(x)与 g(x)在 上均单调递减,求实数 a 的取值范围;
(2)当 (其中 e 为自然对数的底数)时,记函数 的最小值为 m.
求证: ;
(3)记 ,若函数 h(x)有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.
22
2 2 1( 0)yx a b
a b
+ = > >
2
2
( )21 2
, l P l 2−=x Q
l 2
1 l
0 PT QT⋅ =
1( 2) 0n nn S nS n−− − + = N 2n n∗∈ ,≥ 2 2a =
2 2
1
1 11i
i i
b a a +
= + +
1
( 1)
n
n i
i
T b
=
= −∑
1 1ln lnn n nT T T+ +<
2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − −
(0 )+ ∞,
( e 0]a∈ − , ( )g x
31 2em− < −≤
( ) ( ) ( ) 2lnh x g x f x x′= − −
(第 18 题)
P
O x
y
Q数学Ⅰ卷 第 5 页(共 4 页)
高三数学模拟考试试卷
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作
答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知 ,矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量为 .
(1)求矩阵 ;
(2)若曲线 : 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 ,
求曲线 的方程.
B.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 (t 为参数).在以坐标原
a b∈, R 1
3
a
b
= M 3λ = 1
1
M
1C 29 2y x x= − M 2C
2C
xOy l
3 12
1
2
x t
y t
= +
=
,
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21~23 题)。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分
钟。考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写
在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。
3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位
置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。数学Ⅰ卷 第 6 页(共 4 页)
点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ,求直线 被
曲线截得的弦长.
C.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知 x,y,z 是正实数,且 ,求证: .
【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,1),点 B 在直线 上,点 T 满足
∥ , ,T 点的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程;
(2)过点 P 的直线交曲线 C 于点 ,分别过 M,N 作直线 的垂线,垂足
分别为 .
① 若 ,求实数 的值;
② 点 关于 轴的对称点为 (与 不重合),求证:直线 过一定点,并求出
这个定点的坐标.
23.(本小题满分 10 分)
已知数列 满足: .
x C 4cosρ θ= l
=5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ +
: 1l y =-
TB OA ( )2AB AB TB^ -
( )( )0 0t t, > M N, l
1 1M N,
1 1 90M PNÐ = ° t
M y Q N NQ
}{ na 1
1| |n na a nn
∗
+ − ∈N≤ ,
x
y
A
T
B
O
(第 22 题)数学Ⅰ卷 第 7 页(共 4 页)
(1)证明: ;
(2)证明: .
高三数学模拟考试参考答案及评分细则
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.
1. ; 2. ; 3. 2; 4. 17;
5. ; 6. 0; 7. ; 8. ;
9. ; 10. 32; 11. ; 12. ;
13. ; 14. .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.
15.【解】(1)因为 ,
在 中,由正弦定理 ,
得 ,化简得 , ……3 分
在 中,由余弦定理得, , ……4 分
因为 ,所以 ,
又 面积为 ,可得 ,所以 . ……7 分
(2)因为 ,
在 中,由正弦定理 ,所以
因为 ,所以 ……9 分
由(1)得 ,所以 ,
| |n k n
ka a n kn
∗
+ − ∈≤ , , N
2 2
1
( 1)| | 2m i
m
i
m ma a m ∗
=
−− ∈∑ ≤ , N
{ }1 5 2
2
1
3
5
12
π 4±
3 5
5
2
2 -21( ,)
5 710 2
− 1 30 22 2
, ,
(sin sin )(sin sin ) sin (sin sin )B C B C A B A+ − = −
ABC sin sin sin
a b c
A B C
= =
( )( ) ( )b c b c a b a+ − = − 2 2 2a b c ab+ − =
ABC
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
(0, )C π∈
3
πC =
ABC 3 1 sin 32 ab C = 4ab =
2 23 c b a+ =
ABC sin sin sin
a b c
A B C
= = 2 sin sin 2sin3 C B A+ =
A B C π+ + = 2 sin sin( ) 2sin3 C A C A+ + =
3
πC = 2 sin sin( ) 2sin3 3 3
π πA A+ + =数学Ⅰ卷 第 8 页(共 4 页)
化简得 ,所以 . ……11 分
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 . ……14 分
16.(本小题满分 14 分)
证明:(1)取 EF 中点 Q,连结 GQ,
因为 G 为 AF 中点,
所以 GQ∥AE,且 . ……2 分
因为 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,
所以 CD∥AE,又 AE=2CD,
所以 GQ∥CD,且 .
所以四边形 CDQG 为平行四边形,
所以 CG∥DQ, ……4 分
又 平面 BDE, 平面 BDE,
所以 CG∥平面 BDE. ……6 分
(2)取 AB 中点 P,连结 FP,CP,
因为 F 是 BE 的中点,
所以 FP∥AE,且 .
因为 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,
所以 CD∥AE.
又 AE=2CD,所以 CD∥PF,且 CD=PF,
所以四边形 CDFP 是平行四边形.
3 3 3sin cos2 2 2A A− = 1sin( )6 3
πA − =
20 3A π< <
6 6 2
π π πA− < − <
2 2 2cos( ) 1 sin ( )6 6 3
π πA A− = − − =
2 2 3 1 1 2 6 1cos cos ( )6 6 3 2 3 2 6
π πA A
− = − + = ⋅ − ⋅ =
1
2GQ AE=
GQ CD=
CG ⊄ DQ ⊂
1
2FP AE=数学Ⅰ卷 第 9 页(共 4 页)
所以 CP∥DF. ……8 分
因为 AC=BC,P 为 AB 中点,
所以 CP⊥AB,所以 DF⊥AB.
因为 EA 垂直于平面 ABC, 平面 ABC,
所以 CP⊥AE,所以 DF⊥AE. ……10 分
因为 , 平面 ABE,
所以 DF⊥平面 ABE. 因为 平面 ABE,
所以 DF⊥AF. ……12 分
因为 AB=AE,F 是 BE 的中点,
所以 AF⊥BE.
因为 , 平面 BDE,
所以 AF⊥平面 BDE. ……14 分
17.(本小题满分 14 分)
解:(1)以点 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,
则 , , ,
所以直线 PQ 的方程为 ,
即 . ……3 分
因为直线 PQ 与圆 O 相切,
所以圆心到直线 PQ 的距离为 ,
化简得 , ……5 分
解得 ,
, . ……7 分
CP ⊂
AB AE A= AB AE ⊂,
AF ⊂
BE DF F= BE DF ⊂,
(2 2)O , ( cos 0)P l θ, (0 sin )Q l θ,
sin ( cos )cos
ly x ll
θ θθ= −−
sin cos sin cos 0x y lθ θ θ θ⋅ + ⋅ − =
2 2
2sin 2cos sin cos 2
sin cos
ld
θ θ θ θ
θ θ
+ −= =
+
2sin 2cos sin cos 2 0lθ θ θ θ+ − − =
2sin 2cos 2
sin cosl
θ θ
θ θ
+ −=
2sin 2cos 2( ) sin cosf
θ θθ θ θ
+ −= π 5π
12 12
θ ∈ ,数学Ⅰ卷 第 10 页(共 4 页)
(2)因为 ,
则 ,……9 分
因为 ,所以 ,
所以
令 ,得 , ……11 分
则 时, , 单调递减,
时, , 单调递增,
所以 时, 取得最小值为 百米.
答:设计成 时,可使观赏道 PQ 的长 l 最短. ……14 分
18.(本小题满分 16 分)
【解】(1)设椭圆的焦距为 2c,
由题意,得
解得 所以椭圆的方程为 . ……3 分
(2)由题意,设直线 的方程为 ,
联立方程组 得 ,
因为直线 与椭圆有且只有一个公共点,
2sin 2cos 2( ) sin cosf
θ θθ θ θ
+ −=
( )2
(cos sin )( 2 sin 2 cos 2 2sin cos )( )
sin cos
f
θ θ θ θ θ θθ
θ θ
− + − −′ =
π 5π
12 12
θ ∈ , 2 sin 2 cos 2 0θ θ+ − ≤
2 sin 2 cos 2 2sin cos 0θ θ θ θ+ − − <
( ) 0f θ′ = π
4
θ =
π π
12 4
θ ∈ , ( ) 0f θ′ < ( )f θ
π 5π
4 12
θ ∈ , ( ) 0f θ′ > ( )f θ
π
4
θ = ( )f θ 2 2
π
4APQ∠ =
2 2
2 2 2
1 1+ =1
2
2
2
.
a b
c
a
a b c
=
= +
,
,
2
1.
a
b
= =
, 2 2 12
x y+ =
l mxy +=
2
1
2 2
1
2
12
y x m
x y
= +
+ =
,
,
04443 22 =−++ mmxx
l数学Ⅰ卷 第 11 页(共 4 页)
所以 解得 ,
所以直线 l 的方程为 . ……6 分
(3)当直线 的斜率不存在时, 与直线 无交点,不符合题意,
故直线 的斜率一定存在,设其方程为 y=kx+m,
由 得 ,
因为直线 l 与椭圆有且只有一个公共点,
所以 ,
化简得: , ……8 分
所以 ,即 ,
因为直线 与直线 相交于 ,所以 ,……10 分
设 ,
所以 ,
即 对任意的 k,m 恒成立, ……14 分
所以 ,即 ,
所以点 坐标为 . ……16 分
19.(本小题满分 16 分)
解:(1)因为 ,
所以 时, ,即 .
因为 时, ,
即 .
n=1 时也适合该式.
( )2 216 12 4 4 0m m∆ = − − = 6
2m = ±
2
6
2
1 ±= xy
l l 2−=x
l
2 2 12
y kx m
x y
= + + =
,
,
( ) 022412 222 =−+++ mkm
( )( )2 2 2 216 8 1 2 1 0k m m k∆ = − − + =
2 22 1m k= +
4 12 ,P P P
kx y kx mm m
= − = + =
−
mm
kP 1,2
l 2−=x Q )2,2( kmQ −−
( 0)T t,
021)2(2 =−+−−
−−=⋅
m
kttm
kTQTP
0)1(12 =+
++ ttm
k
01=+t 1−=t
T ( )0,1−
1( 2) 0n nn S nS n−− − + =
2n = 1 1S = 1 1a =
2n≥ 1( 2) 0n nn S nS n−− − + =
2 n nS na n= +数学Ⅰ卷 第 12 页(共 4 页)
所以 时, ,
,
两式相减得 ,
则 ,
两式相减得 .
所以 ,
所以 .
所以数列{an}为等差数列.
因为 , ,所以公差 ,
所以 . ……4 分
(2)①因为 an =n,
所以
, ……6 分
所以 ,……8 分
②要证 ,只要证 ,
只要证 ,即证 .……10 分
设 ,x>1,令 ,
则 , ……12 分
易证 ,故 在 上恒成立.
2n≥ 2 n nS na n= +
1 12 ( 1) 1n nS n a n− −= − + −
1( 2) ( 1) 1 0n nn a n a −− − − + =
1( 1) 1 0n nn a na+− − + =
1 12( 1) ( 1) ( 1) 0 2n n nn a n a n a n− +− − − − − = ,≥
1 12 0 2n n na a a n− +− − = ,≥
1 1n n n na a a a+ −− = −
1 1a = 2 2a = 1d =
1 ( 1) 1na n n= + − × =
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) ( 1)i
i i i ib i i i i
+ + + += + + =+ +
( 1) 1 1 1 11 1( 1) ( 1) 1
i i
i i i i i i
+ += = + = + −+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 3 3 4 1 1 1n
nT n n n n
= − + − + − + ⋅⋅⋅+ − = − =+ + +
1 1ln lnn n nT T T+ +< 1 1ln ln2 1 2
n n n
n n n
+ + + +
+1 +1 2 2ln ln1 1
+1 +21 11
n n n n
n n n n
n n
n n
+ +
+ +>
− −+
+1nx n
= ln( ) 11
x xf x xx
= >− ,
2
1 ln( ) ( 1)
x xf x x
− −′ = −
1 ln 0x x− − > ( ) 0f x′ > ( )1 + ∞,数学Ⅰ卷 第 13 页(共 4 页)
所以 在 上单调递增,
因为 ,所以 .
所以所证不等式成立. ……16 分
20.(本小题满分 16 分)
【解】(1)因为函数 在 上单调递减,
所以 解得 .
因为 在 上单调递减,
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立. ……2 分
令 ,则 ,令 ,得 ,
当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减,
所以 ,所以 .
故实数 a 的取值范围为 . ……4 分
(2)因为 ,所以 .
当 时, ,
所以 恒成立,
所以 在(0,+∞)上单调递增.
因为 ,
( )f x ( )1 + ∞,
1 2
1
n n
n n
+ +> +
1 2( ) ( )+1
n nf fn n
+ +>
2( ) (1 )f x ax a x= − + − (0 )+ ∞,
0
1 02
a
a
a
− ( )t x
( )e +x∈ ∞, ( ) 0t x′ < ( )t x
max
1( ) et x = 1
ea≥
[ )1 + ∞,
( ) lng x x ax′ = − 1 1( ) axg x ax x
−′′ = − =
( e 0]a∈ − , [0 e)a− ∈ ,
1 1( ) 0axg x ax x
−′′ = − = >
( ) lng x x ax′ = −
1 e(1) ( ) 1 0e e e
a ag a g +′ ′= − = − − = − ( )g x
2
0 0 0
min 0 0 0 0 0
ln( ) ( ) ln 2 2
ax x xm g x g x x x x x= = = − − = −
(ln 1( ) 12 e
x xx x xϕ = − ∈ , , ln 1( ) 02
xxϕ −′ = <
ln( ) 2
x xx xϕ = − (1 1e
,
( ) (1) 1xϕ ϕ = −≥ 1 3( ) ( )e 2exϕ ϕ< = −
31 2em− < −≤
2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − −
2( ) ( ) ( ) 2ln ( 1) ln 1 1 2lnh x g x f x x ax a x x ax x′= − − = + − + + − − −
2( ) lnh x ax x x= − −
21 2 1( ) 2 1 ax xh x ax x x
− −′ = − − =
0a ≤ ( ) 0h x′ < (0 )+ ∞, (0 )+ ∞,
0a > 2
2
ln( ) x xh x x a x
+= − 2
ln( ) x xF x a x
+= −
( )h x ( )F x
3
1 2ln( ) x xF x x
− +′ = ( ) 1 2lnG x x x= − +
2( ) 1 0G x x
′ = + > (0 )+ ∞, (1) 0G =
(0 1), (1 )+ ∞,
( )F x′
( )F x数学Ⅰ卷 第 15 页(共 4 页)
所以 的极小值为 ,
所以要使 由两个不同零点,则必须 ,
所以 a 的取值范围为 . ……14 分
因为 , ,又 在 内连续且单调,
所以 在 内有唯一零点.
又 ,且 ,
又 在 内连续且单调,所以 在 内有唯一零点.
所以满足条件的 a 的取值范围为 . ……16 分
21.【选做题】
A.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
【解】(1)因为 是矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量,
所以 ,即 ,
所以 解得
所以矩阵 ……4 分
(2)设曲线 上任一点 在矩阵 的作用下得到曲线 上一点 ,
则 ,
( )F x (1) 1F a= −
( )F x (1) 1 0F a= − <
( )0 1,
(1) 0F < 1( ) 0eF > ( )F x ( )0 1,
( )F x ( )0 1,
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2 2 22 2ln2 0
2 2
a a a aa aF aa
a a
⋅ − −+
= − > = 2 1a
>
( )F x ( )1 +∞, ( )F x ( )1 +∞,
( )0 1,
1
1
1
3
a
b
= M 3λ =
1 1
1 1
λ = M 1 1 133 1 1
a
b
=
1 3
3 3
a
b
+ =
+ =
,
,
2
0
a
b
=
=
,
.
2 1
3 0
= M
1C 0 0( )Q x y, M 2C ( )P x y,
0
0
2 1
3 0
xx
y y
= 数学Ⅰ卷 第 16 页(共 4 页)
所以 解得
因为 ,
所以 ,即曲线 的方程为 . ……10 分
B.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
【解】曲线的直角坐标方程为 , ……3 分
即 ,圆心 ,半径 ,
直线 的普通方程为 , ……6 分
所以圆心 到直线 的距离 ,
所以直线 被曲线 截得的线段长度 .……10 分
C.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知 x,y,z 是正实数,且 ,求证: .
证明:由柯西不等式得 ………… 6 分
因为 , 所以 ,
所以 ,当且仅当 时取等号.…………………… 10 分
【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分)
解:(1)设 T 的坐标为 ,则 B 为 ,
因为 A(0,1),所以 ,
因为 ,所以 ,
0 0
0
2
3
x y x
x y
+ =
=
,
,
0
0
3
2
3
yx
y x y
=
= −
,
.
2
0 0 09 2y x x= −
( )22 9 23 3 3
y yx y− = − ⋅ 2C 2y x=
2 2 4 0x y x+ − =
2 2( 2) 4x y− + = (2 0), 2r =
l 3 1 0x y− − =
(2 0), l 1
2d =
l C ( )2
2 2 2 12 2 2 152L r d= − = − =
=5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ +
( ) ( )
2
2 22 2 2 222 1 12x y z x y z
+ + + + + +
≥
=5x y z+ + 2 2 2 5( 2 ) 252
≥x y z+ + ⋅
2 2 22 10≥x y z+ + 2a b c= =
( ),x y ( ), 1x -
( )0, 1TB y= - - ( ), 2AB x= -
( )2AB AB TB^ - ( )2 0AB AB TB× - = 数学Ⅰ卷 第 17 页(共 4 页)
所以 ,所以 ,
即 ,所以曲线 C 的方程为 ……4 分
(2)法一:由题意,直线 的斜率必存在,设为
则直线 的方程为: ,
由 可得:
设 ,
则
①因为 ,所以
因为
所以 ,所以
解得: ……6 分
②因为点 关于 y 轴的对称点为 ,所以
所以
所以直线 的方程为:
令 得:
所以直线 过定点,定点坐标为 ……10 分
(2)法二:设 ,
因为 三点共线,所以 ,
所以 ,化简得:
因为 ,所以
①由题意: ,所以
因为 ,所以 ,所以 ,
2
2 0AB AB TB- × = ( )2 4 4 4 0x y+ - + =
2 4x y= 2 4x y=
MN k
MN y kx t= +
2 4
y kx t
x y
ì = +ïí =ïî
2 4 4 0x kx t- - =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2
1 2
1 2
Δ 16 16 0
4
4
k t
x x k
x x t
ì = + >ïï + =íï × = -ïî
1 1 90M PNÐ = ° 1 1 0PM PN× =
( ) ( )1 1 1 2, 1 , , 1PM x t PN x t= - - = - -
( ) 2
1 2 1 0x x t+ + = ( ) 24 1 0t t- + + =
1t =
M Q ( )( )1 1 1 2, 0Q x y x x- + ¹
2 2
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
4 4
4QN
x x
y y x xk x x x x
-- -= = =+ +
NQ ( )2 1
1 14
x xy y x x-- = +
0x = ( ) 2 2
2 1 1 1 2 1 1 1 2
14 4 4 4 4
x x x x x x x x xy y t-= + = - + = =-
NQ ( )0, t-
( ) ( )2 22 , , 2 ,M m m N n n ( )m n¹
, ,M N P MP NPk k=
2 2
2 2
m t n t
m n
- -= ( )( ) 0mn t m n+ - =
m n¹ mn t=-
( ) ( )1 12 , 1 , 2 , 1M m N n- - ( ) ( )1 12 , 1 , 2 , 1PM m t PN n t= - - = - -
1 1 90M PNÐ = ° 1 1 0PM PN× = ( ) ( )2 , 1 2 , 1 0m t n t- - × - - =
x
y
P
N1
M
N
M1
O数学Ⅰ卷 第 18 页(共 4 页)
所以 ,所以 ,解得: ……6 分
②因为点 关于 y 轴的对称点为 ,所以
所以 ,
所以直线 的方程为:
令 得:
所以直线 过定点,定点坐标为 ……10 分
23.(本小题满分 10 分)
【解析】(1)证明:
. ……3 分
(2)用数学归纳法证明.
① 当 时,左边 =右边;
当 时,由(1)得左边 =右边;
② 设当 时,结论成立,即有 , ……5 分
则当 时,
由(1)得 ,
所以 , ……8 分
所以
( ) 24 1 0mn t+ + = ( ) 24 1 0t t- + + = 1t =
M Q ( )22 ,Q m m- ( )0m n+ ¹
2 2
2 2 2QN
n m n mk n m
- -= =+
NQ ( )2 22
n my m x m-- = +
0x = ( ) 22
2
n m my m mn t-= + = =-
NQ ( )0, t-
| | =n k na a+ − 1 1 2 1| ( ) ( ) ( ) |n k n k n k n k n na a a a a a+ + − + − + − +− + − + + −
1 1 2 1| | | | | |n k n k n k n k n na a a a a a+ + − + − + − +− + − + + −≤
1 1 1
1 2n k n k n
+ + ++ − + − ≤ k
n
≤
1=m 0|| 22 =−= aa
2=m |||| 4424 aaaa −+−= 2 2 2
2| | 12a a+= − =≤
km =
2 2
1
( 1)| | 2k i
k
i
k ka a
=
−−∑ ≤
1+= km ∑+
=
−+
1
1
22 || 1
k
i
ik aa
|| 22
1
22 1 ikkk aaaa
k
i
−+−= ∑
=
+ 12 2
1
| |k k
k
i
a a+
=
−∑≤ ∑
=
−+
k
i
ik aa
1
22 ||
|| 22 1 kk aa −+ || 222 kkk aa −= +
2 12
k
k
=≤
12 2
1
| |k k
k
i
a a k+
=
−∑ ≤
∑+
=
−+
1
1
22 || 1
k
i
ik aa 2 2
1
| |k i
k
i
k a a
=
+ −∑≤
( 1)
2
k kk
−+≤ ( 1)[( 1) 1]= 2
k k+ + −数学Ⅰ卷 第 19 页(共 4 页)
所以 时结论成立.
由①②可知原不等式成立. ……10 分
1+= km