江苏省南通基地2020届高三数学6月高考密卷(含附加题Word版带答案)
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江苏省南通基地2020届高三数学6月高考密卷(含附加题Word版带答案)

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资料简介
数学Ⅰ卷 第 1 页(共 4 页) I ← 1 While I < 6 I ← I +2 S ←2I +3 End While Print S (第 4 题) 高三数学模拟考试试卷 数 学 Ⅰ 参考公式: 样本数据 的方差 ,其中 . 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合 , ,则集合 = ▲ . 2. 已知复数 (i 为虚数单位),则复数 z 的模为 ▲ . 3. 现有 5 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录 如下:10,11,12,13,14,则康复时间的方差为 ▲ . 4. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,则最后输出的 的值 是 ▲ . 5. 一张方桌有四个座位,A 先坐在如图所示的座位上,B,C,D 三人随机坐到其他三个 位置上,则 A 与 B 相对而坐的概率为 ▲ . 1 2 nx x x, , , 2 2 1 1 ( ) n i i s x xn = = −∑ 1 1 n i i x xn = = ∑ { }1 3=A , { }2| 2 0B x x x= − < A B (1 i) 4 3iz − = − S (第 5 题) c b a (第 6 题) 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(共 14 题)、解答题(共 6 题),满分为 160 分,考试时间 为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上。 3. 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。数学Ⅰ卷 第 2 页(共 4 页) B C D E F A (第 14 题) 6. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示.若 ,则 的值为 ▲ . 7. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得函数为偶函数,则 的最小 正值是 ▲ . 8. 已知 是等比数列, 是其前 项和.若 , ,则 的值为 ▲ . 9. 过双曲线 的右焦点 F 作渐近线的垂线,垂足为 P.若△POF 的面积为 , 则该双曲线的离心率为 ▲ . 10.已知直线 经过点 ,则 的最小值是 ▲ . 11.过年了,小张准备去探望奶奶,到商店买了一盒点心.为了美观起见,售货员用彩绳 对点心盒做了一个捆扎(如图(1)所示),并在角上配了一个花结.彩绳与长方体点心 盒均相交于棱的四等分点处.设这种捆扎方法所用绳长为 l1,一般的十字捆扎(如图(2) 所示)所用绳长为 l2.若点心盒的长、宽、高之比为 2:2:1,则 的值为 ▲ . 12.已知函数 ,则不等 式的解集是 . 13.已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)为圆 M: 上的两点,且 ,设 为 弦 AB 的中点,则 的最小值为 ▲ . 14.已知等边 的边长为 1,点 D,E,F 分别在边 AB,BC, AC 上,且 .若 AD=x,CE=y,则 的 取值范围为 ▲ . , ,a b c λ µ λ µ= + ∈R( , )a b c λ µ+ ( )π( ) sin 2 3f x x= + ϕ ϕ { }na nS n 3 14 12a a− = 4 217S S= 2a 22 2 1( 0)5 yx bb − = > 5 8 0ax by+ − = ( )a b∈, R (1 2)−, 12 4 a b + 1 2 l l ( )f x x= 2( 2) ( )f x f x− > 2 2 4x y+ = 1 2 1 2 1 2x x y y+ = − 0 0( )P x y, 0 0|3 4 10 |x y+ − ABC△ ADF DEFS S=△ △ 1 3 ABCS= △ y x (第 11 题)数学Ⅰ卷 第 3 页(共 4 页) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本小题满分 14 分) 在 中,角 所对的边分别为 a,b,c, . (1)若 面积为 ,求 ab 的值; (2)若 ,求 . 16.(本小题满分 14 分) 如图,已知 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC,AB=AC=BC=AE=2CD,F 是 BE 的中点. (1)若 G 为 AF 中点,求证:CG∥平面 BDE; (2)求证:AF⊥平面 BDE. 17.(本小题满分 14 分) 如图,某度假村有一块边长为 4 百米的正方形生态休闲园 ABCD,其内有一以正方形中心 O 为圆心, 百米为半径的圆形观景湖.现规划修建一条从边 AB 上点 P 出发,穿过生态园且 与观景湖相切的观赏道 PQ(其中 Q 在边 AD 上). (1)设 ,求观赏道 PQ 的长 l 关于 的函数关系式 ; (2)试问如何规划设计,可使观赏道 PQ 的长 l 最短? ABC△ A B C, , sin sin sin sin sin sin sin B C B A A B C − −= + ABC△ 3 2 23 c b a+ = cos A 2 APQ θ∠ = θ ( )f θ G (第 16 题) B D F E C A (第 17 题) θ P Q O A B CD数学Ⅰ卷 第 4 页(共 4 页) 18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆上.若直线 与椭圆有且只有一个公共点 ,且 与直线 相交于 . (1)求椭圆的方程; (2)当直线 的斜率为 时,求直线 的方程; (3)点 T 是 x 轴上一点,若总有 , 求 T 点坐标. 19.(本小题满分 16 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 , , . (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 , . ① 求 Tn; ② 求证: . 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 , . (1)若函数 f(x)与 g(x)在 上均单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)当 (其中 e 为自然对数的底数)时,记函数 的最小值为 m. 求证: ; (3)记 ,若函数 h(x)有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 22 2 2 1( 0)yx a b a b + = > > 2 2 ( )21 2 , l P l 2−=x Q l 2 1 l 0 PT QT⋅ = 1( 2) 0n nn S nS n−− − + = N 2n n∗∈ ,≥ 2 2a = 2 2 1 1 11i i i b a a + = + + 1 ( 1) n n i i T b = = −∑ 1 1ln lnn n nT T T+ +< 2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − − (0 )+ ∞, ( e 0]a∈ − , ( )g x 31 2em− < −≤ ( ) ( ) ( ) 2lnh x g x f x x′= − − (第 18 题) P O x y Q数学Ⅰ卷 第 5 页(共 4 页) 高三数学模拟考试试卷 数学Ⅱ(附加题) 21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知 ,矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量为 . (1)求矩阵 ; (2)若曲线 : 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 , 求曲线 的方程. B.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 (t 为参数).在以坐标原 a b∈, R 1 3 a b  =   M 3λ = 1 1      M 1C 29 2y x x= − M 2C 2C xOy l 3 12 1 2 x t y t  = +   = , 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21~23 题)。本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分 钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在答题卡上,并用 2B 铅笔正确填涂考试号。 3.作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。数学Ⅰ卷 第 6 页(共 4 页) 点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 ,求直线 被 曲线截得的弦长. C.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 x,y,z 是正实数,且 ,求证: . 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,1),点 B 在直线 上,点 T 满足 ∥ , ,T 点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 P 的直线交曲线 C 于点 ,分别过 M,N 作直线 的垂线,垂足 分别为 . ① 若 ,求实数 的值; ② 点 关于 轴的对称点为 (与 不重合),求证:直线 过一定点,并求出 这个定点的坐标. 23.(本小题满分 10 分) 已知数列 满足: . x C 4cosρ θ= l =5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ + : 1l y =- TB OA ( )2AB AB TB^ -   ( )( )0 0t t, > M N, l 1 1M N, 1 1 90M PNÐ = ° t M y Q N NQ }{ na 1 1| |n na a nn ∗ + − ∈N≤ , x y A T B O (第 22 题)数学Ⅰ卷 第 7 页(共 4 页) (1)证明: ; (2)证明: . 高三数学模拟考试参考答案及评分细则 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. ; 2. ; 3. 2; 4. 17; 5. ; 6. 0; 7. ; 8. ; 9. ; 10. 32; 11. ; 12. ; 13. ; 14. . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.【解】(1)因为 , 在 中,由正弦定理 , 得 ,化简得 , ……3 分 在 中,由余弦定理得, , ……4 分 因为 ,所以 , 又 面积为 ,可得 ,所以 . ……7 分 (2)因为 , 在 中,由正弦定理 ,所以 因为 ,所以 ……9 分 由(1)得 ,所以 , | |n k n ka a n kn ∗ + − ∈≤ , , N 2 2 1 ( 1)| | 2m i m i m ma a m ∗ = −− ∈∑ ≤ , N { }1 5 2 2 1 3 5 12 π 4± 3 5 5 2 2 -21( ,) 5 710 2 − 1 30 22 2           , , (sin sin )(sin sin ) sin (sin sin )B C B C A B A+ − = − ABC sin sin sin a b c A B C = = ( )( ) ( )b c b c a b a+ − = − 2 2 2a b c ab+ − = ABC 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = (0, )C π∈ 3 πC = ABC 3 1 sin 32 ab C = 4ab = 2 23 c b a+ = ABC sin sin sin a b c A B C = = 2 sin sin 2sin3 C B A+ = A B C π+ + = 2 sin sin( ) 2sin3 C A C A+ + = 3 πC = 2 sin sin( ) 2sin3 3 3 π πA A+ + =数学Ⅰ卷 第 8 页(共 4 页) 化简得 ,所以 . ……11 分 因为 ,所以 , 所以 , 所以 . ……14 分 16.(本小题满分 14 分) 证明:(1)取 EF 中点 Q,连结 GQ, 因为 G 为 AF 中点, 所以 GQ∥AE,且 . ……2 分 因为 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC, 所以 CD∥AE,又 AE=2CD, 所以 GQ∥CD,且 . 所以四边形 CDQG 为平行四边形, 所以 CG∥DQ, ……4 分 又 平面 BDE, 平面 BDE, 所以 CG∥平面 BDE. ……6 分 (2)取 AB 中点 P,连结 FP,CP, 因为 F 是 BE 的中点, 所以 FP∥AE,且 . 因为 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC, 所以 CD∥AE. 又 AE=2CD,所以 CD∥PF,且 CD=PF, 所以四边形 CDFP 是平行四边形. 3 3 3sin cos2 2 2A A− = 1sin( )6 3 πA − = 20 3A π< < 6 6 2 π π πA− < − < 2 2 2cos( ) 1 sin ( )6 6 3 π πA A− = − − = 2 2 3 1 1 2 6 1cos cos ( )6 6 3 2 3 2 6 π πA A − = − + = ⋅ − ⋅ =   1 2GQ AE= GQ CD= CG ⊄ DQ ⊂ 1 2FP AE=数学Ⅰ卷 第 9 页(共 4 页) 所以 CP∥DF. ……8 分 因为 AC=BC,P 为 AB 中点, 所以 CP⊥AB,所以 DF⊥AB. 因为 EA 垂直于平面 ABC, 平面 ABC, 所以 CP⊥AE,所以 DF⊥AE. ……10 分 因为 , 平面 ABE, 所以 DF⊥平面 ABE. 因为 平面 ABE, 所以 DF⊥AF. ……12 分 因为 AB=AE,F 是 BE 的中点, 所以 AF⊥BE. 因为 , 平面 BDE, 所以 AF⊥平面 BDE. ……14 分 17.(本小题满分 14 分) 解:(1)以点 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 , , , 所以直线 PQ 的方程为 , 即 . ……3 分 因为直线 PQ 与圆 O 相切, 所以圆心到直线 PQ 的距离为 , 化简得 , ……5 分 解得 , , . ……7 分 CP ⊂ AB AE A= AB AE ⊂, AF ⊂ BE DF F= BE DF ⊂, (2 2)O , ( cos 0)P l θ, (0 sin )Q l θ, sin ( cos )cos ly x ll θ θθ= −− sin cos sin cos 0x y lθ θ θ θ⋅ + ⋅ − = 2 2 2sin 2cos sin cos 2 sin cos ld θ θ θ θ θ θ + −= = + 2sin 2cos sin cos 2 0lθ θ θ θ+ − − = 2sin 2cos 2 sin cosl θ θ θ θ + −= 2sin 2cos 2( ) sin cosf θ θθ θ θ + −= π 5π 12 12 θ  ∈   ,数学Ⅰ卷 第 10 页(共 4 页) (2)因为 , 则 ,……9 分 因为 ,所以 , 所以 令 ,得 , ……11 分 则 时, , 单调递减, 时, , 单调递增, 所以 时, 取得最小值为 百米. 答:设计成 时,可使观赏道 PQ 的长 l 最短. ……14 分 18.(本小题满分 16 分) 【解】(1)设椭圆的焦距为 2c, 由题意,得 解得 所以椭圆的方程为 . ……3 分 (2)由题意,设直线 的方程为 , 联立方程组 得 , 因为直线 与椭圆有且只有一个公共点, 2sin 2cos 2( ) sin cosf θ θθ θ θ + −= ( )2 (cos sin )( 2 sin 2 cos 2 2sin cos )( ) sin cos f θ θ θ θ θ θθ θ θ − + − −′ = π 5π 12 12 θ  ∈   , 2 sin 2 cos 2 0θ θ+ − ≤ 2 sin 2 cos 2 2sin cos 0θ θ θ θ+ − − < ( ) 0f θ′ = π 4 θ = π π 12 4 θ  ∈  , ( ) 0f θ′ < ( )f θ π 5π 4 12 θ  ∈  , ( ) 0f θ′ > ( )f θ π 4 θ = ( )f θ 2 2 π 4APQ∠ = 2 2 2 2 2 1 1+ =1 2 2 2 . a b c a a b c    =   = +  , , 2 1. a b  = = , 2 2 12 x y+ = l mxy += 2 1 2 2 1 2 12 y x m x y  = +   + = , , 04443 22 =−++ mmxx l数学Ⅰ卷 第 11 页(共 4 页) 所以 解得 , 所以直线 l 的方程为 . ……6 分 (3)当直线 的斜率不存在时, 与直线 无交点,不符合题意, 故直线 的斜率一定存在,设其方程为 y=kx+m, 由 得 , 因为直线 l 与椭圆有且只有一个公共点, 所以 , 化简得: , ……8 分 所以 ,即 , 因为直线 与直线 相交于 ,所以 ,……10 分 设 , 所以 , 即 对任意的 k,m 恒成立, ……14 分 所以 ,即 , 所以点 坐标为 . ……16 分 19.(本小题满分 16 分) 解:(1)因为 , 所以 时, ,即 . 因为 时, , 即 . n=1 时也适合该式. ( )2 216 12 4 4 0m m∆ = − − = 6 2m = ± 2 6 2 1 ±= xy l l 2−=x l 2 2 12 y kx m x y = + + = , , ( ) 022412 222 =−+++ mkm ( )( )2 2 2 216 8 1 2 1 0k m m k∆ = − − + = 2 22 1m k= + 4 12 ,P P P kx y kx mm m = − = + =     − mm kP 1,2 l 2−=x Q )2,2( kmQ −− ( 0)T t, 021)2(2 =−+−−     −−=⋅ m kttm kTQTP 0)1(12 =+     ++ ttm k 01=+t 1−=t T ( )0,1− 1( 2) 0n nn S nS n−− − + = 2n = 1 1S = 1 1a = 2n≥ 1( 2) 0n nn S nS n−− − + = 2 n nS na n= +数学Ⅰ卷 第 12 页(共 4 页) 所以 时, , , 两式相减得 , 则 , 两式相减得 . 所以 , 所以 . 所以数列{an}为等差数列. 因为 , ,所以公差 , 所以 . ……4 分 (2)①因为 an =n, 所以 , ……6 分 所以 ,……8 分 ②要证 ,只要证 , 只要证 ,即证 .……10 分 设 ,x>1,令 , 则 , ……12 分 易证 ,故 在 上恒成立. 2n≥ 2 n nS na n= + 1 12 ( 1) 1n nS n a n− −= − + − 1( 2) ( 1) 1 0n nn a n a −− − − + = 1( 1) 1 0n nn a na+− − + = 1 12( 1) ( 1) ( 1) 0 2n n nn a n a n a n− +− − − − − = ,≥ 1 12 0 2n n na a a n− +− − = ,≥ 1 1n n n na a a a+ −− = − 1 1a = 2 2a = 1d = 1 ( 1) 1na n n= + − × = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) ( 1)i i i i ib i i i i + + + += + + =+ + ( 1) 1 1 1 11 1( 1) ( 1) 1 i i i i i i i i + += = + = + −+ + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 3 3 4 1 1 1n nT n n n n = − + − + − + ⋅⋅⋅+ − = − =+ + + 1 1ln lnn n nT T T+ +< 1 1ln ln2 1 2 n n n n n n + + + + +1 +1 2 2ln ln1 1 +1 +21 11 n n n n n n n n n n n n + + + +> − −+ +1nx n = ln( ) 11 x xf x xx = >− , 2 1 ln( ) ( 1) x xf x x − −′ = − 1 ln 0x x− − > ( ) 0f x′ > ( )1 + ∞,数学Ⅰ卷 第 13 页(共 4 页) 所以 在 上单调递增, 因为 ,所以 . 所以所证不等式成立. ……16 分 20.(本小题满分 16 分) 【解】(1)因为函数 在 上单调递减, 所以 解得 . 因为 在 上单调递减, 所以 在 上恒成立, 即 在 上恒成立, 所以 在 上恒成立. ……2 分 令 ,则 ,令 ,得 , 当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减, 所以 ,所以 . 故实数 a 的取值范围为 . ……4 分 (2)因为 ,所以 . 当 时, , 所以 恒成立, 所以 在(0,+∞)上单调递增. 因为 , ( )f x ( )1 + ∞, 1 2 1 n n n n + +> + 1 2( ) ( )+1 n nf fn n + +> 2( ) (1 )f x ax a x= − + − (0 )+ ∞, 0 1 02 a a a − ( )t x ( )e +x∈ ∞, ( ) 0t x′ < ( )t x max 1( ) et x = 1 ea≥ [ )1 + ∞, ( ) lng x x ax′ = − 1 1( ) axg x ax x −′′ = − = ( e 0]a∈ − , [0 e)a− ∈ , 1 1( ) 0axg x ax x −′′ = − = > ( ) lng x x ax′ = − 1 e(1) ( ) 1 0e e e a ag a g +′ ′= − = − − = − ( )g x 2 0 0 0 min 0 0 0 0 0 ln( ) ( ) ln 2 2 ax x xm g x g x x x x x= = = − − = − (ln 1( ) 12 e x xx x xϕ = − ∈ , , ln 1( ) 02 xxϕ −′ = < ln( ) 2 x xx xϕ = − (1 1e  , ( ) (1) 1xϕ ϕ = −≥ 1 3( ) ( )e 2exϕ ϕ< = − 31 2em− < −≤ 2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − − 2( ) ( ) ( ) 2ln ( 1) ln 1 1 2lnh x g x f x x ax a x x ax x′= − − = + − + + − − − 2( ) lnh x ax x x= − − 21 2 1( ) 2 1 ax xh x ax x x − −′ = − − = 0a ≤ ( ) 0h x′ < (0 )+ ∞, (0 )+ ∞, 0a > 2 2 ln( ) x xh x x a x  += −   2 ln( ) x xF x a x += − ( )h x ( )F x 3 1 2ln( ) x xF x x − +′ = ( ) 1 2lnG x x x= − + 2( ) 1 0G x x ′ = + > (0 )+ ∞, (1) 0G = (0 1), (1 )+ ∞, ( )F x′ ( )F x数学Ⅰ卷 第 15 页(共 4 页) 所以 的极小值为 , 所以要使 由两个不同零点,则必须 , 所以 a 的取值范围为 . ……14 分 因为 , ,又 在 内连续且单调, 所以 在 内有唯一零点. 又 ,且 , 又 在 内连续且单调,所以 在 内有唯一零点. 所以满足条件的 a 的取值范围为 . ……16 分 21.【选做题】 A.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) 【解】(1)因为 是矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量, 所以 ,即 , 所以 解得 所以矩阵 ……4 分 (2)设曲线 上任一点 在矩阵 的作用下得到曲线 上一点 , 则 , ( )F x (1) 1F a= − ( )F x (1) 1 0F a= − < ( )0 1, (1) 0F < 1( ) 0eF > ( )F x ( )0 1, ( )F x ( )0 1, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2ln2 0 2 2 a a a aa aF aa a a ⋅ − −+ = − > = 2 1a > ( )F x ( )1 +∞, ( )F x ( )1 +∞, ( )0 1, 1 1      1 3 a b  =   M 3λ = 1 1 1 1 λ   =      M 1 1 133 1 1 a b      =          1 3 3 3 a b + =  + = , , 2 0 a b =  = , . 2 1 3 0  =   M 1C 0 0( )Q x y, M 2C ( )P x y, 0 0 2 1 3 0 xx y y     =         数学Ⅰ卷 第 16 页(共 4 页) 所以 解得 因为 , 所以 ,即曲线 的方程为 . ……10 分 B.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 【解】曲线的直角坐标方程为 , ……3 分 即 ,圆心 ,半径 , 直线 的普通方程为 , ……6 分 所以圆心 到直线 的距离 , 所以直线 被曲线 截得的线段长度 .……10 分 C.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知 x,y,z 是正实数,且 ,求证: . 证明:由柯西不等式得 ………… 6 分 因为 , 所以 , 所以 ,当且仅当 时取等号.…………………… 10 分 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分 10 分) 解:(1)设 T 的坐标为 ,则 B 为 , 因为 A(0,1),所以 , 因为 ,所以 , 0 0 0 2 3 x y x x y + =  = , , 0 0 3 2 3 yx y x y  =   = − , . 2 0 0 09 2y x x= − ( )22 9 23 3 3 y yx y− = − ⋅ 2C 2y x= 2 2 4 0x y x+ − = 2 2( 2) 4x y− + = (2 0), 2r = l 3 1 0x y− − = (2 0), l 1 2d = l C ( )2 2 2 2 12 2 2 152L r d= − = − = =5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ + ( ) ( ) 2 2 22 2 2 222 1 12x y z x y z      + + + + + +         ≥ =5x y z+ + 2 2 2 5( 2 ) 252 ≥x y z+ + ⋅ 2 2 22 10≥x y z+ + 2a b c= = ( ),x y ( ), 1x - ( )0, 1TB y= - - ( ), 2AB x= - ( )2AB AB TB^ -   ( )2 0AB AB TB× - =  数学Ⅰ卷 第 17 页(共 4 页) 所以 ,所以 , 即 ,所以曲线 C 的方程为 ……4 分 (2)法一:由题意,直线 的斜率必存在,设为 则直线 的方程为: , 由 可得: 设 , 则 ①因为 ,所以 因为 所以 ,所以 解得: ……6 分 ②因为点 关于 y 轴的对称点为 ,所以 所以 所以直线 的方程为: 令 得: 所以直线 过定点,定点坐标为 ……10 分 (2)法二:设 , 因为 三点共线,所以 , 所以 ,化简得: 因为 ,所以 ①由题意: ,所以 因为 ,所以 ,所以 , 2 2 0AB AB TB- × =   ( )2 4 4 4 0x y+ - + = 2 4x y= 2 4x y= MN k MN y kx t= + 2 4 y kx t x y ì = +ïí =ïî 2 4 4 0x kx t- - = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2 1 2 1 2 Δ 16 16 0 4 4 k t x x k x x t ì = + >ïï + =íï × = -ïî 1 1 90M PNÐ = ° 1 1 0PM PN× =  ( ) ( )1 1 1 2, 1 , , 1PM x t PN x t= - - = - -  ( ) 2 1 2 1 0x x t+ + = ( ) 24 1 0t t- + + = 1t = M Q ( )( )1 1 1 2, 0Q x y x x- + ¹ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 4 4QN x x y y x xk x x x x -- -= = =+ + NQ ( )2 1 1 14 x xy y x x-- = + 0x = ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 14 4 4 4 4 x x x x x x x x xy y t-= + = - + = =- NQ ( )0, t- ( ) ( )2 22 , , 2 ,M m m N n n ( )m n¹ , ,M N P MP NPk k= 2 2 2 2 m t n t m n - -= ( )( ) 0mn t m n+ - = m n¹ mn t=- ( ) ( )1 12 , 1 , 2 , 1M m N n- - ( ) ( )1 12 , 1 , 2 , 1PM m t PN n t= - - = - -  1 1 90M PNÐ = ° 1 1 0PM PN× =  ( ) ( )2 , 1 2 , 1 0m t n t- - × - - = x y P N1 M N M1 O数学Ⅰ卷 第 18 页(共 4 页) 所以 ,所以 ,解得: ……6 分 ②因为点 关于 y 轴的对称点为 ,所以 所以 , 所以直线 的方程为: 令 得: 所以直线 过定点,定点坐标为 ……10 分 23.(本小题满分 10 分) 【解析】(1)证明: . ……3 分 (2)用数学归纳法证明. ① 当 时,左边 =右边; 当 时,由(1)得左边 =右边; ② 设当 时,结论成立,即有 , ……5 分 则当 时, 由(1)得 , 所以 , ……8 分 所以 ( ) 24 1 0mn t+ + = ( ) 24 1 0t t- + + = 1t = M Q ( )22 ,Q m m- ( )0m n+ ¹ 2 2 2 2 2QN n m n mk n m - -= =+ NQ ( )2 22 n my m x m-- = + 0x = ( ) 22 2 n m my m mn t-= + = =- NQ ( )0, t- | | =n k na a+ − 1 1 2 1| ( ) ( ) ( ) |n k n k n k n k n na a a a a a+ + − + − + − +− + − + + − 1 1 2 1| | | | | |n k n k n k n k n na a a a a a+ + − + − + − +− + − + + −≤ 1 1 1 1 2n k n k n + + ++ − + − ≤ k n ≤ 1=m 0|| 22 =−= aa 2=m |||| 4424 aaaa −+−= 2 2 2 2| | 12a a+= − =≤ km = 2 2 1 ( 1)| | 2k i k i k ka a = −−∑ ≤ 1+= km ∑+ = −+ 1 1 22 || 1 k i ik aa || 22 1 22 1 ikkk aaaa k i −+−= ∑ = + 12 2 1 | |k k k i a a+ = −∑≤ ∑ = −+ k i ik aa 1 22 || || 22 1 kk aa −+ || 222 kkk aa −= + 2 12 k k =≤ 12 2 1 | |k k k i a a k+ = −∑ ≤ ∑+ = −+ 1 1 22 || 1 k i ik aa 2 2 1 | |k i k i k a a = + −∑≤ ( 1) 2 k kk −+≤ ( 1)[( 1) 1]= 2 k k+ + −数学Ⅰ卷 第 19 页(共 4 页) 所以 时结论成立. 由①②可知原不等式成立. ……10 分 1+= km

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