唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求
的.
1.已知集合 ， ， ，则集合 的子集个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 ，由此可计算出集合 的子集个数.
【详解】 ， ， ，
因此，集合 的子集个数是 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于
基础题.
2.设 是虚数单位，复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数 化为一般形式，可得出复数 ，进而可判断出复数 在复平面内
对应的点所在的象限.
{ }1,0,1,2A = − { }2xB y y= = M A B= M
2 3 4 8
M M
{ } { }2 0xB y y y y= = = > { }1,0,1,2A = − { }1,2M A B∴ = ∩ =
M 22 4=
i 2
3
iz i
+= − z
z z z【详解】 ， .
因此，复数 在复平面内对应的点位第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，考查复数的除法运算和共轭复
数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
3.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标. 年第六次全国人口普查资料
表明，随着我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐
步完善，我国人口平均预期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了
我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下列结论错误的是（ ）
A. 男性的平均预期寿命逐渐延长
B. 女性的平均预期寿命逐渐延长
C. 男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D. 女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
【答案】C
【解析】
【分析】
从图形中的数据变化可判断 A、B 选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度，可
判断 C、D 选项的正误，综合可得出结论.
【详解】由图形可知，男性的平均预期寿命逐渐延长，女性的平均预期寿命也在逐渐延长，
A、B 选项均正确；
( )( )
( )( )
2 32 5 5 1 1
3 3 3 10 2 2
i ii iz ii i i
+ ++ += = = = +− − +
1 1
2 2z i∴ = −
z
2010从 年到 年，男性的平均预期寿命的增幅为 ，女性的平均预期寿
命的增幅为 ，
所以，女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性，C 选项错误，D 选项正确.
故选：C.
【点睛】本题考查统计图的应用，考查学生的数据处理能力，属于基础题.
4.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四
尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一
丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制 丈 尺， 斛 立方尺，圆周率 ），则
该圆柱形容器能放米（ ）
A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.
【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为 ，则 （尺），
所以，该圆柱形容器的体积为 （立方尺），
因此，该圆柱形容器能放米 （斛）.
故选：B.
【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.
5.已知向量 、 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在等式 两边同时平方，求出 的值，进而可得出 在 方向上的投影为 .
1981 2010 72.38 66.28 6.1− =
77.37 69.27 8.1− =
1 10= 1 1.62= 3π =
900 2700 3600 10800
r 54 54 92 6r π= = =
2 218 3 9 18 4374V rπ= × = × × =
4374 27001.62
=
a b a b b+ = 2a = b a
2 2− 1 1−
a b b+ = a b⋅ b a a b
a
⋅
【详解】 ，在等式 两边平方并化简得 ， ，
因此， 在 方向上的投影为 .
故选：D.
【点睛】本题考查向量投影的计算，考查计算能力，属于基础题.
6.已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ，若 、 为正数，
且 ，则（ ）
A. B.
C. D. 、 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
用 、 表示 、 ，然后利用作差法可得出 与 的大小关系.
【详解】由于 、 、 成等差数列，则 ，则 ，
由于 、 、 成等比数列，则 ，则 ，
所以， ，
、 为正数，且 ，因此， ，即 .
故选：A.
【点睛】本题考查数列中项的大小比较，涉及比较法的应用，考查推理能力，属于中等题.
7.已知随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从正态分布 ，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2a =
a b b+ = 2
2 0a a b+ ⋅ =
2
22
aa b∴ ⋅ = − = −
b a 1a b
a
⋅ = −
{ }na { }nb 2 2a b m= = 3 3a b n= = m n
m n≠
1 1a b< 1 1a b>
1 1a b= 1a 1b
m n 1a 1b 1a 1b
1a 2a 3a 2 1 32a a a= + 1 2 32 2a a a m n= − = −
1b 2b 3b 2
2 1 3b b b=
2 2
2
1
3
b mb b n
= =
( )22 2 2
1 1
22 m nm mn n ma b m n n n n
−− −− = − − = = −
m n m n≠ ( )2
1 1 0m na b n
−− = − < 1 1a b<
X ( )0,1N Y ( )1,1N
( )1 0.1587P X > = ( )1 2P Y< < =
0.1587 0.3413 0.8413 0.6587【解析】
【分析】
设 ，可知 ，进而可得出 ，利用正态密度
曲线的对称性可求得结果.
【详解】设 ， ，则 ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，考查正态密度曲线对称性的应用，
属于基础题.
8.函数 在 上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析函数 的奇偶性以及函数 在 上的函数值符号，结合排除法可得
出合适的选项.
1Z Y= − ( )0,1Z N ( ) ( )1 2 0 1P Y P Z< < = < <
1Z Y= − ( )1,1Y N ( )0,1Z N
( ) ( ) ( )1 2 0 1 0.5 1 0.5 0.1587 0.3413P Y P Z P Z∴ < < = < < = − > = − =
( ) 2tanf x x x= − ,2 2
π π −
( )y f x= ( )y f x= 0, 4
π
【详解】当 时， ，则 ，
，
所以，函数 为非奇非偶函数，排除 B、D 选项；
当 时，设 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，
所以，当 时， ，则 ，即 ，排除 C 选项.
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调
性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9.设函数 ，则下列结论中正确 是（ ）
A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对
称
C. 在 上单调递减 D. 在 上的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】
计算 的值，可判断 A、B 选项的正误；由 计算 的取值范围，利用
正弦函数的单调性可判断 C 选项的正误；由 计算 的取值范围，利用正
弦函数的基本性质可判断 D 选项的正误.进而可得出合适的选项.
的
,2 2x
π π ∈ − ( ) ( ) ( )2 2tan tanf x x x x x− = − − − = − − ( ) ( )f x f x− ≠
( ) ( )f x f x− ≠ −
( )y f x=
0, 4x
π ∈
( ) sintan cos
xg x x x xx
= − = − ( ) 2
1 1 0cosg x x
′ = − >
( )y g x= 0, 4
π
( ) ( )0 0g x g> =
0, 4x
π ∈ tan 0x x− > 2tan x x x> > ( ) 0f x >
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
( )y f x= ,03
π
( )y f x=
3x
π=
( )f x 0, 3
π
( )f x ,06
π − 0
3f
π
0, 3x
π ∈
22 3x
π+
,06x
π ∈ −
22 3x
π+【详解】 ， ，所以，A、B 选项均错误；
当 时， ，所以，函数 在区间 上单调递减，C
选项正确；
当 时， ，则 ，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，考查了正弦型函数对称性、单调性与最值的
判断，考查推理能力，属于中等题.
10.已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，
，若球 的表面积为 ，则直线 与底面 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出 ，可得出四边形 的外接圆直径为 ，并计算出
四棱锥的外接球直径为 ，结合 底面 可得出直线 与底面
所成角为 ，进而可求得 的值.
【详解】如下图所示：
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
4 3sin3 3 2f
π π ∴ = = −
0, 3x
π ∈
2 2 42 ,3 3 3x
π π π + ∈
( )y f x= 0, 3
π
,06x
π ∈ −
2 22 ,3 3 3x
π π π + ∈ ( )min
3sin 3 2f x
π= =
P ABCD− O PA ⊥ ABCD 1AB AD= =
2BC CD= = O 36π PC ABCD
3
6
5
6
3
3
5
3
90ABC ADC∠ = ∠ = ABCD 5AC =
2 6PC R= = PA ⊥ ABCD PC ABCD
ACP∠ cos ACP∠， ， ， ， ，
易知 、 、 、 四点共圆，则 ， ，
所以，四边形 的外接圆直径为 ，
设四棱锥 的外接球半径为 ，则 ，解得 ，
平面 ， ，且 ，
直线 与底面 所成的角为 ，
在 中， .
故选：B.
【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的计算，同时也考查了四棱锥外接球问题的处
理，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11.已知 是双曲线 的右焦点， 是 的渐近线上一点，且
轴，过 作直线 的平行线交 的渐近线于点 （ 为坐标原点），若 ，
则双曲线 的离心率是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 为双曲线 的渐近线 上的一点，根据 轴求出点 的坐标，结合题意
求得点 的坐标，由 得出直线 和 的斜率之积为 ，可得出关于 、 、
的齐次等式，进而可求得双曲线 的离心率的值.
【 详 解 】 设 点 为 双 曲 线 的 渐 近 线 上 的 一 点 ， 易 知 点 ， 所 以 点
，
AB AD= BC BD= AC AC= ABC ADC≅∴ ABC ADC∠ = ∠∴
A B C D 180ABC ADC∠ + ∠ = 90ABC ADC∴∠ = ∠ =
ABCD 2 2 5AC AB BC= + =
P ABCD− R 24 36Rπ π= 3R =
PA ⊥ ABCD ( )2 22 31PA R AC∴ = − = 2 6PC R= =
PC ABCD ACP∠
Rt PAC△ 5cos 6
ACACP PC
∠ = =
F ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > M C
MF x⊥ F OM C N O MN ON⊥
C
2 3
3 3 6
2
2
M C by xa
= MF x⊥ M
N MN ON⊥ MN ON 1− a b
c C
M C by xa
= ( ),0F c
, bcM c a
直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，则点
，
，且 ， ， ，
，因此，双曲线 的离心率为 .
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，一般要结合题意得出关于 、 、 的齐次等式，考
查计算能力，属于中等题.
12.已知 ， ，有如下结论：
① 有两个极值点；
② 有 个零点；
③ 的所有零点之和等于零.
则正确结论的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数分析函数 的单调性，结合零点存在定理可判断命题①的正误；利用导数分
析函数 的单调性，结合零点存在定理可判断命题②的正误；由 得出
，设 ，由 推导出 ，由此可判断出命题③的
正误.综合可得出结论.
FN ( )by x ca
= −
( )by x ca
by xa
= −
= −
2
2
cx
bcy a
=
= −
,2 2
c bcN a
−
MN ON⊥
32
2
MN
bc bc
ba ak c ac
+
= =
− ON
bk a
= − 2
2
3 1MN ON
bk k a
∴ ⋅ = − = −
2
2
1
3
b
a
∴ = C
22 2
2
2 31 3
c a b be a a a
+ = = = + =
a b c
2a > ( ) ( )xf x e x a x a= − + +
( )f x
( )f x 3
( )f x
0 1 2 3
( )y f x′=
( )y f x= ( ) 0f x =
x a xe a x
+= − ( ) x a xx e a x
ϕ += − −
( ) 0xϕ = ( ) 0xϕ − =【详解】 ，则 ， .
当 时， ，此时函数 单调递减；
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以，函数 的最小值为 .
， .
令 ，当 时， ，则函数 在 上单调递
增，
则 ，所以，当 时， .
， ，
由零点存在定理可知，函数 在 和 上各有一个零点，
所以，函数 有两个极值点，命题①正确；
设函数 的极大值点为 ，极小值点为 ，则 ，
则 ，所以 ，
函数 的极大值为
，
构造函数 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递减，
当 时， ；当 时， .
， ， ，则 ，即 .
同理可知，函数 的极小值为 .
， .
( ) ( )xf x e x a x a= − + + ( ) ( )1 1xf x x a e′ = − + + ( ) ( )2 xf x x a e′′ = − +
2x a< − ( ) 0f x′′ < ( )y f x′=
2x a> − ( ) 0f x′′ > ( )y f x′=
( )y f x′= ( ) ( ) 2
min 2 1 af x f a e −′ ′= − = −
2a > ( ) ( ) 2
min 2 1 0af x f a e −′ ′∴ = − = − <
( ) 1xg x e x= − − 0x > ( ) 1 0xg x e′ = − > ( )y g x= ( )0, ∞+
( ) ( )0 0g x g> = 0x > 1xe x> +
( ) ( )1
2 2 21 1 1 1 01a a
a a af a e e e e a+
′ − − = − = − > − >⋅ + ( ) 1 0af a e′ = + >
( )y f x′= ( ), 2−∞ −a ( )2,a − +∞
( )y f x=
( )y f x= 1x 2x 1 22x a x< − <
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1 1
2 2
1 1 0
1 1 0
x
x
f x x a e
f x x a e
= − + + = = − + + =
′
′
1
2
1
2
1
1
x
x
x a e
x a e
−
−
− = − −
− = − −
( )y f x= ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1 1 1 1 12x xf x e x a x a e x a x a x= − + + = − − − +
( ) ( )1 1 1 1 1
1 11 1 2 2x x x x xe e e x e e x− − −= − − − − − + = − +
( ) 2x xh x e e x−= − + ( ) ( )2 2 2 0x x x xh x e e e− − +′ = − + ≤ − =
( )y h x= R
0x < ( ) ( )0 0h x h> = 0x > ( ) ( )0 0h x h< =
( )0 2 0f a′ = − ( )1 0f x >
( )y f x= ( ) 2 2
2 22 0x xf x e e x−= − + <
( ) 1
2 11 1 0a
af a e +
+− − = − − 由零点存在定理可知，函数 在区间 、 、 上各存在一个零
点，
所以，函数 有 个零点，命题②正确；
令 ，得 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以，函数 所有零点之和等于零，命题③正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点、极值点相关命题的判断，利用导数分析函数的单调性是判断
的关键，考查推理能力，属于难题.
二、填空题：本题共 4 小题.
13.若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得 取得最小值时对应的
最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
( )y f x= ( )11,a x− − ( )1 2,x x ( )2 ,x a
( )y f x= 3
( ) 0f x = x a xe a x
+= − ( ) x a xx e a x
ϕ += − −
( )0 0ϕ =
( ) 0x a xx e a x
ϕ += − =− ( ) 1 0x
x
a x a xx e a x e a x
ϕ − − −− = − = − =+ +
( )y f x=
x y
1 0
3 0
3 1 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
− + ≤
2z x y= −
2−
2z x y= −
1 0
3 0
3 1 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
− + ≤联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距最小，
此时 取最小值，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法
找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
14.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁 名同学从中
各选一书进行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选
《论语》，则 名同学所有可能的选择有______种.
【答案】
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中
庸》，利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数，利用分类加法计数原理可求得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》，则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书，则
甲只能选《大学》，丁只能选《论语》，此时选法种数为 种；
（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》，则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书，甲、丁两
人选书时没有限制，此时选法种数为 .
综上所述， 名同学所有可能的选择种数为 .
1 0
3 1 0
x y
x y
− + =
− + =
1
0
x
y
= −
=
( )1,0A −
2z x y= − A 2z x y= − x
z ( )min 2 1 0 2z = × − − = −
2−
4
4
10
2
2A
1 1 2
2 2 2C C A
4 2 1 1 2
2 2 2 2 10A C C A+ =故答案为： .
【点睛】本题考查排列组合中的分配问题，正确将问题进行分类是解答的关键，考查计算能
力，属于中等题.
15.在数列 中，已知 ， （ ， 为非零常数），且 、 、 成
等比数列，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 、 、 成等比数列求出非零实数 的值，再利用累加法可求得 .
【 详 解 】 ， （ ， 为 非 零 常 数 ），则 ，
，
由于 、 、 成等比数列，则 ，即 ，整理得 ，
，解得 ， ，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考
查计算能力，属于中等题.
16.已知 为抛物线 的焦点， 为 的准线与 轴的交点，点 在抛物
线 上，设 ， ， ，有以下 个结论：
① 的最大值是 ；② ；③存在点 ，满足 .
其中正确结论的序号是______.
10
{ }na 1 1a = 1n na a tn+ = + *n N∈ t 1a 2a 3a
na =
2 2
2
n n− +
1a 2a 3a t na
1 1a = 1n na a tn+ = + *n N∈ t 2 1 1a a t t= + = +
3 2 2 3 1a a t t= + = +
1a 2a 3a 2
2 1 3a a a= ( ) ( )21 1 3 1t t+ = × + 2 0t t− =
0t ≠ 1t = 1n na a n+∴ − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2 1 3 2 1
1 1 11 1 2 1 1 2n n n
n na a a a a a a a n−
+ − −∴ = + − + − + + − = + + + + − = +
2 2
2
n n− +=
2 2
2
n n− +
F ( )2: 2 0C y px p= > K C x P
C KPF α∠ = PKF β∠ = PFK θ∠ = 3
β
4
π
tan sinβ θ= P 2α β=【答案】①②③
【解析】
【分析】
由直线 与抛物线相切可求得 的最大值，可判断命题①的正误；利用弦化切的思想和正
弦 定 理 边 角 互 化 思 想 可 判 断 命 题 ② 的 正 误 ； 由 结 合 化 简 得 出
，判断该方程在 时是否有根，由此可判断命题③的正误，
综合可得出结论.
【详解】如下图所示：
易知点 ，可设直线 的方程为 ，
由图形可知，当直线 与抛物线相切时， 取最大值，
联立 ，消去 得 ， ，得 ，
此时，直线 的斜率为 ，所以， 的最大值为 ，命题①正确；
过点 作抛物线准线 的垂线 ，垂足为点 ，则 ，
PK β
tan sinβ θ= 2α β=
34cos cos 1 0β β− − = 0, 3
πβ ∈
,02
pK − KP 2
px my= −
PK β
2
2
2
px my
y px
= −
=
x 2 22 0y mpy p− + = 2 2 24 4 0m p p∆ = − = 1m = ±
KP ±1 β
4
π
P l PA A APK β∠ =由抛物线的定义可知 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，命题②正确；
若存在点 ，使得 ，则 ，可得 ，则 .
由②知
即 ，
，则 ，
构造函数 ，则 ， ，
由零点存在定理可知，函数 在区间 上有零点，
所以，关于 的方程 在 时有实数解，命题③正确.
因此，正确结论的序号为①②③.
故答案为：①②③.
【点睛】本题考查与抛物线相关命题真假的判断，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力与
计算能力，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17. 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， 的面积为 .
（1）若 ，求 的周长；
（2）求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
PA PF= cos PA PF
PK PK
β = =
KPF
sincos sin
PF
PK
ββ θ= = tan sinβ θ=
P 2α β= 3APF β π∠ = < 0 3
πβ< < 1 cos 12
β< <
( )tan sin sin 3 sin3 sin cos2 cos sin 2β θ π β β β β β β= = − = = +
( ) ( )2 2sin sin cos2 2cos sin 4cos 1cos
β β β β β ββ = + = −
sin 0β > 34cos cos 1 0β β− − =
( ) 34 1f x x x= − − 1 1 02f = −
( )y f x= 1 ,12
β 34cos cos 1 0β β− − = 0, 3
πβ ∈
ABC A B C a b c 4a = ABC 2 3
3A
π= ABC
sin sinB C
4 2 10+ 3
4【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出 的值，然后利用余弦定理求出 的值，由此可得出
的周长；
（2）由正弦定理得出 ，再利用三角形的面积公式结合 得出
，进而可求得 的最大值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，即 ，故 的周长为 ；
（2）由正弦定理得 ，
所以 ，又 ， ，
所以 .
当 时， ，此时 ， ，
即 ， ；或 ， .
故 时， 取得最大值 .
【点睛】本题考查三角形周长的计算，同时也考查了正弦值之积最值的计算，涉及正弦定理、
余弦定理与三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
18.如图，直三棱柱 的底面为等边三角形， 、 分别为 、 的中点，
点 在棱 上，且 .
bc b c+
ABC
2
2
sinsin sin bc AB C a
⋅ = 4a =
3sinsin sin 4
AB C⋅ = sin sinB C
1 3sin 2 32 4ABCS bc A bc= = =△ 8bc =
2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − ( )2 2 3b c a bc+ = +
4a = 8bc = ( )2 40b c+ = 2 10b c+ = ABC 4 2 10+
sin sin sin
a b c
A B C
= =
2
2
sinsin sin bc AB C a
⋅ = 1 sin 2 32ABCS bc A= =
4a =
3sin 3sin sin 4 4
AB C⋅ = ≤
sin 1A =
2A
π= 2 2 2 16b c a+ = = 4 3bc =
2 3b = 2c = 2b = 2 3c =
2A
π= sin sinB C⋅ 3
4
1 1 1ABC A B C− D E AC 1 1AC
F 1CC EF BF⊥（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）推导出 平面 ，可得出 ，结合 ，利用线面垂直的判定
定理可得出 平面 ，再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）由 平面 得出 ，利用勾股定理计算出 的长，然后以点 为坐
标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系 ，
利用空间向量法可求出二面角 的余弦值.
【详解】（1）因为三棱柱 为直三棱柱，所以 平面 ，
平面 ， ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 .
又 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 .
又因为 ， ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）由（1）可知 平面 ，所以 .
设 ，则有 ，即 ，得 .
以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标
系 ，
BEF ⊥ BDF
4AB = 1 2C F FC= D BE F− −
2
3
BD ⊥ 1 1ACC A BD EF⊥ EF BF⊥
EF ⊥ BDF
EF ⊥ BDF EF DF⊥ CF D
DB DC DE x y z D xyz−
D BE F− −
1 1 1ABC A B C− 1A A ⊥ ABC
BD ⊂ ABC 1A A BD∴ ⊥
ABC D AC BD AC⊥
1A A AC A= BD ⊥ 1 1ACC A
EF ⊂ 1 1ACC A BD EF⊥
EF BF⊥ BD BF B= EF ⊥ BDF
EF ⊂ BEF BEF ⊥ BDF
EF ⊥ BDF EF DF⊥
CF m= 2 2 24 4 4 9m m m+ + + = 24 8m = 2m =
D DB DC DE x y z
D xyz−则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，令 ，可得 ， ，则 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
，
由图形可知，二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考
查推理能力与计算能力，属于中等题.
19.甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜
利.在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为 .
（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为 ，求其分布列和期望 ；
（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）设 甲在第一局失利， 甲获得了比赛的胜利，利用条件概率的概率公式可求得所求
事件的概率；
（2）根据题意可知随机变量 的可能取值为 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下的
( )0,0,0D ( )2 3,0,0B ( )0,2,0C ( )0,0,3 2E ( )0,2, 2F
BEF ( ), ,m x y z= ( )2 3,0,3 2BE = − ( )0,2, 2 2EF = −
2 3 3 2 0
2 2 2 0
BE m x z
EF m y z
⋅ = − + =
⋅ = − =
3x = 2z = 2y = ( )3,2, 2m =
DC ⊥ BDE BDE ( )0,2,0DC =
4 2cos , 32 9
m DCm DC
m DC
⋅< >= = =
×
D BE F− − D BE F− − 2
3
( )0 1p p< <
1
2p = X ( )E X
p
2p 1 ,12
:A :B
X 0 1 2 X概率，列出分布列，进而可计算出随机变量 的数学期望；
（3）计算出甲获得该场比赛的概率，根据题意得出关于 的不等式，即可解得 的取值范围.
【详解】（1）设 甲在第一局失利， 甲获得了比赛的胜利，则
；
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值为 、 、 ，
则 ， ，
.
随机变量 的分布列如下：
则 ；
（3）甲获得该场比赛胜利的概率为 ，则 .
即 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，考查
计算能力，属于中等题.
20.已知 是 轴上的动点（异于原点 ），点 在圆 上，且 .设线段
的中点为 ，当点 移动时，记点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
X
p p
:A :B
( ) ( )
( )
( ) 2
21
1
P AB p pP B A pP A p
−= = =−
X 0 1 2
( ) ( )2 10 1 4P X p= = − = ( ) ( )21
2
11 1 4P X C p p= = − =
( ) ( )2 1 2
2
12 1 2P X p C p p= = + − =
X
X 0 1 2
P 1
4
1
4
1
2
( ) 1 1 1 50 1 24 4 2 4E X = × + × + × =
( )2 1 2
2 1p C p p+ − ( )2 1 2
2 1p C p p p+ − >
22 3 1 0p p− + < 1 12 p< < p 1 ,12
P x O Q 2 2: 4O x y+ = 2PQ =
PQ M P M E
E（2）当直线 与圆 相切于点 ，且点 在第一象限.
（ⅰ）求直线 的斜率；
（ⅱ）直线 平行 ，交曲线 于不同的两点 、 .线段 的中点为 ，直线 与曲
线 交于两点 、 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接 ，设 ，求出点 的坐标，然后将点 的坐标代入圆 的方程，
化简后可得出曲线 的方程；
（2）（i）由题意可得出 ，再由 可判断出 为等腰直角三角
形，可求出点 、 的坐标，并求出点 的坐标，由此可求出直线 的斜率；
（ii）设 ， ，直线 ，将直线 的方程与曲线 的方程联立，
列出韦达定理，求出点 的坐标，进而可求得直线 的方程，由此可求得点 、 的坐标，
再利用弦长公式化简可证得结论成立.
【详解】（1）连接 ，设 ，由 ，可得 ，
由 为 的中点，则 ， ， ，
，则 ，
把 代入 ，整理得 ，
所以曲线 的方程为 ；
PQ O Q Q
OM
l OM E A B AB N ON
E C D NA NB NC ND⋅ = ⋅
( )2
2 1 09
x y x+ = ≠ 1
3
OQ ( )( ), 0M x y x ≠ Q Q O
E
OQ PQ⊥ 2OQ PQ= = OPQ△
P Q M OM
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1: 3l y x t= + l E
N ON C D
OQ ( )( ), 0M x y x ≠ 2OQ PQ= = 2P Qx x=
M PQ 3
2 2
P Q Qx x xx
+= = 2
3Q
xx∴ = 4
3P
xx =
4 ,03
xP ∴
2 ,23
xQ y
2 ,23
xQ y
2 2 4x y+ =
2
2 19
x y+ =
E ( )2
2 1 09
x y x+ = ≠（2）（ⅰ）当直线 与圆 相切于点 ，则 ，
，则 ，所以， 是等腰直角三角形，且 ，
又点 在第一象限，得 ， .
由 为 的中点，得 ，所以直线 的斜率为 ；
（ⅱ）设 ， ，直线 ，
由 ，整理得 ，
由韦达定理得 ， .
所以 点坐标为 ，则直线 方程为 .
由方程组 ，得 ， ，
所以 .
又 ，
所以
PQ O Q OQ PQ⊥
2OQ PQ= = 2 2OP = OPQ△
4POQ
π∠ =
Q ( )2 2,0P ( )2, 2Q
M PQ 3 2 2,2 2M
OM 1
3
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1: 3l y x t= +
2
2
1
3
19
y x t
x y
= +
+ =
2 22 6 9 9 0x tx t+ + − =
1 2 3x x t+ = − 2
1 2
9 9
2
tx x
−=
N 3 ,2 2
t t − ON 1
3y x= −
2
2
1
3
19
y x
x y
= −
+ =
3 2 2,2 2C
−
3 2 2,2 2D
−
( )210 3 2 3 10 3 2 3 5 23 2 2 3 2 2 2
t tNC ND t
⋅ = − ⋅ + = −
( )2 2
1 2 1 2
1 1 10 44 4 9NA NB AB x x x x ⋅ = = × × + − ( ) ( )2 2 25 59 2 9 9 218 2t t t = − − = −
NA NB NC ND⋅ = ⋅【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中有关弦长等式的证明，考查了
韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
21.已知函数 ， 为 的导函数， 且 .
证明：（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求得 ，令 ，利用导数证明出 ，即可证得
结论；
（2）由（1）可知函数 在 ， 上单调递减，可得 ，考查当
时， ，可得出 ，再由函数
在区间 上的单调性可证得结论.
【详解】（1） ，定义域为 ，且 ，
令 ，则 .
所以当 时， ；当 时， .
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
所以 ，对于函数 ， ，因此 ；
（2）由（1）得，函数 在 ， 上单调递减，所以 .
( ) ln 1
1
xf x x
+= −
( )f x′ ( )f x ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x<
( ) 0f x′ <
2 1 1x x− >
( ) ( )2
1 ln
1
xxf x
x
− −
−
′ = ( ) 1 lng x xx
= − − ( ) 0g x <
( )y f x= ( )0,1 ( )1,+∞ 1 20 1x x< < <
0 1x< < ( ) ( )1 0f x f x+ − > ( ) ( ) ( )1 1 21f x f x f x+ > = ( )y f x=
( )1,+∞
( ) ln 1
1
xf x x
+= − ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ ( ) ( )2
1 ln
1
xxf x
x
− −
−
′ =
( ) 1 lng x xx
= − − ( ) 2 2
1 1 1 xg x x x x
−= − =′
0 1x< < ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ <
( )y g x= ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )1 1 0g x g≤ = − < ( )y f x= 1x ≠ ( ) 0f x′ <
( )y f x= ( )0,1 ( )1,+∞ 1 20 1x x< < <
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 1ln 11 1 1
x x x x x xxf x f x x x x x
+ + + − − − +++ − = − =− −， .
由（1）得 ，等号当且仅当 时成立，
从而 ，即 ，等号当且仅当 时成立，
又 时， ，因此 ，
所以当 时， ，又 ，
所以 ，
由于函数 在 上单调递减，且 ， ，所以 ，故
.
【点睛】本题考查利用导数证明函数不等式，解答的关键在于构造新函数，并通过利用函数
的单调性来进行证明，考查推理能力，属于中等题.
（二）选考题：请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题记分.
[选修 4—4：坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中，圆 ，直线 .以极点 为坐标原点，以极轴为
轴的正半轴建立直角坐标系.
（1）求圆 的参数方程，直线 的直角坐标方程；
（2）点 在圆 上， 于 ，记 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】（1） （ 参数）， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线 的极坐标方程转化为直角坐标方
程，将圆 的极坐标方程化为普通方程后，确定圆心和半径，即可得出圆 的参数方程；
为
( )
( )
1 1ln 1 ln 1
1 1
xx x
x x x
− + + = +− −
0 1x< <
( ) 1 ln 1g x xx
= − − ≤ − 1x =
1 1ln 1x x
≤ − ln 1x x≤ − 1x =
0x > 11 1x
+ > 1 1ln 1 x x
+ −
( )
( )
ln 1 01
x
x x
+ >−
( ) ( ) ( )1 1 21f x f x f x+ > =
( )y f x= ( )1,+∞ 1 1 1x + > 2 1>x 2 1 1x x> +
2 1 1x x− >
: 4sinC ρ θ= : cos 2l ρ θ = O x
C l
A C AB l⊥ B OAB S S
2cos: 2 2sin
xC y
α
α
=
= +
α : 2l x = 3 2 2+
l
C C（2）设点 ，可得点 ，利用三角恒等变换思想化简三
角形的面积公式，再利用正弦函数的有界性可得出 的最大值.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
将圆 的极坐标方程化为 ，
由 ， ，所以 的普通方程为 ，即 .
从而 的参数方程为 （ 为参数）；
（2）设 ， ，则 .
所以
.
， ，
当 ，即 时， 取得最大值 .
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用圆
的参数方程求解三角形面积的最值问题，考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，
考查计算能力，属于中等题.
[选修 4—5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）是否存在实数 ，使得 的图象与 轴有唯一的交点？若存在，求 的值；若不存
在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，实数 或 .
( )2cos ,2 2sinA α α+ ( )2,2 2sinB α+
S
cosx ρ θ= : 2l x =
C 2 4 sinρ ρ θ=
2 2 2x yρ = + siny ρ θ= C 2 2 4x y y+ = ( )22 2 4x y+ − =
C
2cos: 2 2sin
xC y
α
α
=
= +
α
( )2cos ,2 2sinA α α+ 0 2α π< < ( )2,2 2sinB α+
( ) ( )( )1 2 2sin 2 1 cos 1 sin2S AB α α α= ⋅ + = − +
( ) ( )2sin 2cos 2cos sin 2 1 2sin cos 2 sin cos 1α α α α α α α α= − − + = − + − +
( ) ( ) ( )
2
2 2sin cos 2 sin cos 1 sin cos 1 2 sin 14
πα α α α α α α = − + − + = − + = − +
0 2α π<
a ( )f x x a
2 23x x
< 1 2 1 1 0x x+ − − − > 1x ≤ − 1 1x− < < 1x ≥
1 2 1 1 0x x+ − − − >
1a > − 1a < − 1a = − ( )y f x=
( )maxf x ( )max 0f x = a
1a = ( ) 0f x > 1 2 1 1 0x x+ − − − >
1x ≤ − 4 0x − >
1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< <
1x ≥ 2 0x− + > 1 2x≤ <
( ) 0f x > 2 23x x
< − ( )
3,
3 3, 1
1, 1
x a x a
f x x a a x
x a x
− − < −
= + − − ≤ ≤
− + + >
( )y f x= ( )1f a= 0a =
1a < − ( )
3, 1
3 1,1
1,
x a x
f x x a x a
x a x a
− − −
( )y f x= ( )1 2f a= − − 2a = −
1a = − ( ) 1 1 0f x x= − − − < 1a = −
0a = 2a = −
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