2020 届高三五月模拟考试（二）
文科数学试题
一、选择题
1.已知集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 ，按交集的定义，即可求解.
【详解】由题意知 ，故 .
故选：B．
【点睛】本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.
2.命题 ：“ ”的否定形式 为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式，即可得出结论.
【详解】命题 ：“ ”的否定形式
， .
故选：A．
【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题,
3.已知 是虚数单位，且 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2{ | 1 3}, { | log ( 2)}A x x B x y x= − ≤ ≤ = = − A B =
{ }| 1 2x x− ≤ < { }| 2 3x x< ≤ { }|1 3x x< ≤
{ }| 2x x >
B
{ | 2}B x x= > { | 2 3}A B x x∩ = < ≤
p ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≥ p¬
0 0
0 ( ,0),2 3x xx∃ ∈ −∞ < 0 0
0 ( ,0),2 3x xx∃ ∈ −∞ ≤
( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ < ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≤
p ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≥
0: ( ,0)p x¬ ∃ ∈ −∞ 0 02 3x x<
i 1 iz i
−= z z【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数的代数形式的除法运算求出 ，从而得到 的共轭复数，再根据复数的几何意义判断
复数在复平面所对应的点所在象限；
【详解】解： ，则 ，所以对应点的坐标为
在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，复数的几何意义，属于基础题.
4.已知条件 ：①是奇函数；②值域为 ；③函数图象经过第一象限．则下列函数中满足条件
的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据选项分别讨论函数的定义域，奇偶性，值域，判断选项.
【详解】A 定义域不关于原点对称，不符合题意：B 选项虽然为奇函数，但 是
， 故 ， 不 符 合 题 意 ： C 选 项 ，
，不符合题意：D．选项 ，故 为奇函数，
值域为 ，图象也经过第一象限，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查判断函数的性质，属于基础题型，需熟练掌握学习过的函数性质.
5.在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 的面积为（ ）
z z
( )( )
( )
11 1 11
i ii iz ii i i
− −− − −= = = = − −⋅ − 1z i= − +
( )1,1−
P R
P
1
2( )f x x= 1( )f x x x
= + ( ) sinf x x=
( ) 2 2x xf x −= −
0x >
( ) 2f x ≥ 1( ) ( , 2] [2, )f x x x
= + ∈ −∞ − ∪ +∞
( ) sin [ 1,1]f x x= ∈ − ( ) ( )f x f x− = − ( ) 2 2x xf x −= −
R
ABC , ,A B C , ,a b c
( )(sin sin ) (sin sin ), 1, 2a b A B c C B b c+ − = + = = ABCA. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦定理边角互化，得到 ，再根据余弦定理求角 ，最后代入三角形面
积公式 求解.
【 详 解 】 根 据 正 弦 定 理 知 化 为 为
，即 ，故 ，故 ，则
．因为 ， 的面积 ．
故选:B
【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积解三角形，重点考查转化与化归的思想，属于基
础题型.
6.已知实数 x，y 满足不等式 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，目标函数 转化为点 与 连线的斜率，从而求
出其最大值.
【详解】根据约束条件 画出可行域，
图中阴影部分为可行域，
1
2
3
2 3
2 2 2a b c bc= + + A
1 sin2S bc A=
( )(sin sin ) (sin sin )a b A B c C B+ − = +
( )( ) ( )a b a b c c b+ − = + 2 2 2a b c bc= + +
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = − 2
3A
π=
3sin 2A = 1, 2b c= = ABC
1 3sin2 2S bc A= =
2 0
2 5 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥ 3
yz x
= +
3
5
4
5
3
4
3
2
3
yz x
= +
( ),x y ( )3,0−
2 0
2 5 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥目标函数 ，
表示可行域中点 与 连线的斜率，
由图可知点 与 连线的斜率最大，
故 的最大值为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.
7.在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根 据 三 角 函 数 的 定 义 求 出 ， ， 再 利 用 三 角 函 数 变 换
展开求值.
【 详 解 】 由 题 意 知 ， 则
．
3
yz x
= +
( , )x y ( 3,0)−
(1,3)P ( 3,0)−
z 3
4
3
πα + ( )1,2P sinα =
2 5 15
10
− 3 5 15
10
− 3 5 15
10
+
2 5 15
10
+
sin 3
πα + cos 3
πα +
sin sin 3 3
π πα α = + −
2 1sin ,cos3 35 5
π πα α + = + =
sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3
π π π π π πα α α α = + − = + − + 故选：A
【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算
能力，属于基础题型，本题的关键是三角变换 .
8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图
的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白
圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ，则满足 的概率
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由题意抽象出阳数和阴数包含哪些数字，并通过列举的方法列举 的基本事件的
个数，并求对立事件的概率.
【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数
共有： 种情况．
满足 有 ，共 9 种情况，故
满足 的情况有 16 种，故根据古典概型得满足 的概率为 ．
故选：C
【点睛】本题考查数学文化，古典概型，属于基础题型，本题的关键读懂题意，并转化为典
型的古典概型.
9.某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图如图
2 1 1 3 2 5 15
2 2 105 5
−= × − × =
sin sin 3 3
π πα α = + −
,a b | | 2a b− ≥
8
25
9
25
16
25
18
25
1− =a b
5 5 25× =
| | 1− =a b (1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10)
| | 2a b− ≥ | | 2a b− ≥ 16
25所示，分组区间为：
，其中 成等
差数列且 ．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进人面试阶段学生名单，根据
频率分布直方图进人该校面试的分数线为（ ）
A. 117 B. 118 C. 119 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】
由频率和为 1，以及已知条件，求得 的值，再根据中位数左边的矩形面积和为 0.5，计
算中位数.
【详解】由于 ，解得 ，
前三个组的频率之和为 ，第四个组的频率为 0.2，故中位数为
（分）．
故选：C
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，重点考查中位数，频率，属于基础题型.
10.如图，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，
则 的最大值是（ ）
A. B. 5 C. D.
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]80,90 , 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 , ,a b c
2c a=
, ,a b c
2 0.052, 2 , 2a b c a c b c a+ + = + = = 0.008, 0.012, 0.016a b c= = =
0.04 0.12 0.16 0.32+ + =
0.18110 10 1190.2
+ × =
ABCD 2 2AB BC= = M C BD
AM BD⋅
1− 3 5− + 3 5+【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知先求出圆 的半径，由 ，结合向量数量积运算律， 的最
大值转化为求 的最大值，再由向量的数量积公式，即可求出结论.
【详解】由题意知 ，设 到 的距离为 ，
则有 ，
故 ，
其中 ，
设 的夹角为 ，
，
当且仅当 与 同向时，等号成立；
所以 的最大值为 .
故选：A．
【点睛】本题考查向量的线性关系的几何表示、向量数量积及其最值，考查计算求解能力，
属于中档题.
11.函数 的相邻两条对称轴间的距离为
的图象与 轴交点坐标为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 是 的一条对称轴 B.
C. 在 上单调递增 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据二倍角公式化简函数 ，由周期求 ，以及根据 求
C AM AC CM= + AM BD⋅
CM BD⋅
| | | | 5AC BD= = C BD d
1 2 2 5
55
d
×= =
( )AM BD AC CM BD AC BD CM BD⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅
( ) ( ) 3A AD ADD ABC B AB⋅ = + ⋅ − = −
,CM BD θ
| | | | cos | | | | 2CM BD CM BD CM BDθ⋅ = ⋅ ⋅ ≤ ⋅ =
CM BD
AM BD⋅ 1−
2( ) 4cos ( ) 2( 0,0 )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + − > < < , ( )2 f x
π
y ( )0,1
5
6x
π= ( )f x 1ω =
( )f x ( , )3 6
π π−
6
π=ϕ
( ) ( )2cos 2 2f x xω ϕ= + ω ( )0,1 ϕ的值，求得 ，并根据函数性质，依次判断选项.
【详解】由题意知 ，由周期为 ，知 ；
又因为 ，
即 ， ．
所以 ，
所以 B,D 正确
当 时， ，是函数 的对称轴，所以 A 正确；
当 时，
此时当 时，函数单调递增，当 时函数单调递减，
所以 C 不正确.
故选：C
【点睛】本题考查三角恒等变换，根据函数性质求函数的解析式，以及判断三角函数的性质，
属于中档题型，本题的关键是正确求得函数的解析式，并会根据选项判断函数性质.
12.已知函数 对于任意 ，均满足 ，当 时，
，（其中 为自然对数的底数），若存在实数
满足 ，则 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数关于 对称，并根据函数的解析式画出函数的图象，根据对称性可判断
( ) 2cos 2 3f x x
π = +
2( ) 4cos ( ) 2 2cos(2 2 )f x x xω ϕ ω ϕ= + − = + π 1ω =
(0) 2cos2 1f ϕ= = 0 0 22
πϕ ϕ π< < <
2
4( ) 2ln2 1,g b e
∈ −
( ) 4 ln 2aa b c d b e b b+ + + − = − − 2
1 1be e
< ≤
3( ) ( 0)f x ax ax a= − > 0x = 1x = a =
2
2【解析】
【分析】
求出导函数，则 可得．
【详解】 ，由 ，即 ，解得 .
故答案为 ．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件．属于简单题．
14.已知双曲线 ： 的焦点关于一条渐近线的对称点在 轴上，则该双
曲线的离心率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意列方程得双曲线是等轴双曲线，进而可得离心率.
【详解】设焦点坐标是 ， 其中一条渐近线方程是 ，设焦点关于渐近线
的对称点是 ，
则 ，得： ，解得： ，
所以， ，
所以双曲线的离心率是 .
故答案 ： .
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查等轴双曲线的几何性质，属于基础题型.
15.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ，
，则该四棱锥的外接球的表面积为______．
为
'(0) '(1) 1f f = −
( )2( ) 3 1f x a x′ = − (0) (1) 1f f′ ′⋅ = − 22 1a = 2
2a =
2
2
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > y
2
( ),0F c 0c > by xa
=
( )0,n
2 2
n a
c b
n b c
a
= −−
= ×
acn b
bcn a
=
=
a b=
2 2 2 22 2cc a b a a
= + = ⇒ =
2
2
P ABCD− ABCD 2AB AP= =
60PAB PAD∠ = ∠ = 【答案】
【解析】
【分析】
由已知，易得 为全等的等边三角形，且边长为 2，过 P 作 垂直于底面 ABCD
于 T，连接 ， 为正方形 的中心，进一步可得球心 O 即为 T，即可得到外
接球半径及表面积.
【详解】因为 ， ， 为正方形，
所以 为全等的等边三角形，且边长为 2，过 P 作 垂直于底面 ABCD 于 T，
连接 ，
如图，
易知 ，所以 为 的外心，又 为正方形，
即 为正方形 的中心，设四棱锥的外接球的球心为 O，半径为 R，连接 ，
由已知， ，
，所以 ，
即 ，解得 ，即球心与 T 重合，
8π
,PAB PAD PT
, ,TD TA TB T ABCD
60PAB PAD∠ = ∠ = 2AB AP= = ABCD
,PAB PAD PT
, ,TD TA TB
TD TA TB= = T ABD△ ABCD
T ABCD OA
2 2BD =
2 2 2 22 ( 2) 2PT PA AT= − = − = 2 2 2 2( )OT TA R PT OT+ = = −
2 22 ( 2 )OT OT+ = − 0OT =所以外接球半径 ，
其表面积为 .
故答案 ：
【点睛】本题考查四棱锥与球的切接问题，涉及到球的表面积，考查学生的空间想象能力，
数学运算能力，是一道中档题.
16.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上的三
个动点，其中 且 若 为 的重心，记 三边 的
中点到抛物线 的准线的距离分别为 且满足 ，则 ____； 所在
直线的方程为____．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据焦半径公式和中位线定理可知 ，代入
已 知 得 到 ， 根 据 重 点 坐 标 公 式 可 知
，公式结合后可得 ，代入抛物线方程求 ，并求得
的中点坐标 ，并代入斜率公式 化简求值，最后代入点斜式方程
求直线.
【详解】由题意知 ，代入 得
， 即 ． 由 为 的 重 心 ， 则 有
， 即 ， 即 ， 所 以 ， 因 此 有
．故 的中点坐标为 ，所在直线的斜率 ，故
为
2R =
24 8Rπ π=
8π
2: 8C y x= F 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )P x y P x y P x y C
1 2 3x x x< < 2 0,y < F 1 2 3PP P 1 2 3PP P 1 2 1 3 2 3, ,PP PP P P
C 1 2 3, , ,d d d 1 3 22d d d+ = 2y = 1 3PP
4− 2 2 0x y− − =
1 2 1 3 2 3
1 2 32, 2, 22 2 2
x x x x x xd d d
+ + += + = + = +
1 3 22d d d+ = 2 1 32x x x= +
1 2 3 1 2 32, 03 3
x x x y y y+ + + += = 2 2x = 2y 1 3PP
1 3 1 3,2 2
x x y y+ +
1 3
1 3
y yk x x
−= −
1 2 1 3 2 3
1 2 32, 2, 22 2 2
x x x x x xd d d
+ + += + = + = + 1 3 22d d d+ =
( )1 2 3 1 32 2x x x x x+ + = + 2 1 32x x x= + F 1 2 3PP P
1 2 3 1 2 32, 03 3
x x x y y y+ + + += = 2 22 6x x= − 2 2x = 2 4y = −
1 3 4y y+ = 1 3PP (2,2) 1 3
1 3 1 3
8 2y yk x x y y
−= = =− + 1 3PP所在直线的方程为 ．
故答案为：-4；
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角形重心的性质，以及直线与抛物线的综合应用，
意在考查转化与化归的思想，计算，变形，化简能力，属于中档题型.
三、解答题
（一）必考题
17.2019 年末，武汉出现新型冠状病毒（ 肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，
传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗方
法.防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起
举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺
炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏
一人.在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 ， 两个小组，排查工作期间社区
随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，根据调查结果统
计后，得到如下 的列联表.
是否满意
组别
不满意 满意 合计
组 16 34 50
组 2 45 50
合计 21 79 100
（1）分别估计社区居民对 组、 组两个排查组的工作态度满意的概率；
（2）根据列联表的数据，能否有 的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作
组别”有关？
附表：
2 2 0x y− − =
2 2 0x y− − =
2019 nCoV−
A B
2 2×
A
B
A B
99%
( )2
0P K k≥ 0.100 0.05 0.025 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828附：
【答案】（1）社区居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 ，对 组排查工作态度
满意的概率估计值为 （2）有 的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作
组别”有关
【解析】
【分析】
（1）根据表格计算满意人数与总人数的比值即可估计两个排查组的工作态度满意的概率；
（2） 计算 ，与临界值比较，得出结论.
【详解】（1）由样本数据， 组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因此
社区居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 .
组排查对象对社区排查工作态度满意的比率为 ，因此社区居民对 组排查工作态
度满意的概率估计值为 .
（2）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据，得
到
，
因此有 的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关.
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验，考查了对数据的处理计算能力，属
于中档题.
18.已知等差数列 的前 项和为 且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 前 项和．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
的
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
A 0.68 B
0.9 99%
2k
A 34 0.6850
=
A 0.68
B 45 0.950
= B
0.9
( )2
2 100 16 45 5 34
50 50 21 79k
× − ×= × × × 7.294 6.635≈ >
99%
{ }na n ,nS 3 6 69, 21a a S+ = =
{ }na
1( )2
nn
n
a
b
= { }nb n
na n= 1( 1) 2 2n
nT n += − × +（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，将已知条件转化为 的关系，求解即可求出数列
的通项公式；
（Ⅱ）由（1）结合已知可得 ，用错位相减法求其和.
【详解】（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
由 得： ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
于是 ，故 ．
（Ⅱ）设 的前项和为 ，因为 ，所以 ，
依题 ，
则
于是
即
故： ．
【点睛】本题考查等差数列的前 项和与通项公式的基本量的计算，以及用错位相减法求数列
的前 项和，考查计算求解能力，属于基础题.
19.如图 1，在 中， 分别是 边上的中点，将
沿 折起到 的位置，使 如图 2．
{ }na d 1,a d { }na
2n
nb n= ×
{ }na d
6 21S = ( )1 66 212
a a+ = 1 6 7a a+ =
3 6 9a a+ = 1d =
1 1a = na n=
{ }nb nT 1
2
n
n
n
a
b
= 2n
nb n= ×
1 21 2 2 2 2n
nT n= × + × + + ×
2 3 12 1 2 2 2 2n
nT n += × + × + + ×
1 2 11 2 1 2 1 2 2n n
nT n +− = × + × + × − ×
1 12(1 2 ) 2 (1 ) 2 21 2
n
n nn n+ +−= − × = − × −−
1( 1) 2 2n
nT n += − × +
1( 1) 2 2n
nT n += − × +
n
n
Rt ABC 90 , 4, ,C BC AC D E∠ = ° = = ,AC AB
ADE DE 1A DE△ 1 1 ,AC A D=（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）要证明线线垂直，需证明线面垂直，易证明 平面 ；
（Ⅱ）利用等体积转化 ，求点 到平面 的距离.
【详解】证明：（Ⅰ）在图 1 中， ， 为 边中点，所以 ．
又 所以 ．
在图 2 中 ， 且 则 平面 ．
又因为 平面 所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 且 平面 ，
所以平面 平面
且平面 平面 ，
在正 中，过 作 ，垂足为 ，
所以 平面 ．
即为三棱锥 底面上的高，
在 中， ．
在 中， ， ，所以 ．
在梯形 中 ．
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
1DE AC⊥
C 1A BE
4 5
5
DE ⊥ 1ACD
1 1C A BE A BCEV V− −= C 1A BE
ABC D E ,AC AB DE BC∥
AC BC⊥ DE AC⊥
1DE A D⊥ DE DC⊥ 1A D DC D= DE ⊥ 1ACD
1AC ⊂ 1ACD 1DE AC⊥
DE ⊥ 1ACD DE ⊂ BCDE
1ACD ⊥ BCDE
1ACD ∩ BCDE DC=
1ACD△ 1A 1AO CD⊥ O
1AO ⊥ BCDE
1AO 1A BCE−
1ACD△ 1 3AO =
1A BE 1 2 2A E BE= = 1 2 5A B =
1
15A BES =
BCDE 1 42BCE BCDS S BC CD= = ⋅ =
C 1A BE h
1 1C A BE A BCEV V− −=三棱锥 三棱锥所以 ，解得 ．
即点 到平面 的距离为 ．
【点睛】本题考查线线，线面垂直关系，以及点到平面的距离，重点考查空间想象能力，转
化能力，属于基础题型.
20.已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 和 分别是椭圆
的左焦点和上顶点，且 的面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由 的面积为 ，得出 关系，再由离心率结合 关系，求解即可得出椭
圆方程；
（Ⅱ）设 ，由已知可得 ，设直线 方程为 ，
与椭圆方程联立，得到 的关系式，进而得出 的关系式，建立 的方程，求解
即可得出结论.
【详解】（Ⅰ）设 ，由条件知 ，
所以 的面积为 ，①
1 1
1 1
3 3A BE BCES h S AO⋅ = ⋅
4 5
5h =
C 1A BE 4 5
5
( )2,0A C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 ,2
F B C
ABF
3
2
C
A l C P Q 1
3OP OQ⋅ = l
2
2 12
x y+ = 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
ABF
3
2
,b c , ,a b c
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 1 2
1
3x x y y+ = l ( 2)y k x= −
1 2 1 2,x x x x+ 1 2y y k
( ,0)( 0)F c c− > (0, )B b
ABF
1 3(2 )2 2c b+ ⋅ =由 得 ，从而 ，化简得 ，②
①②联立解得 ，
从而 ，所以椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）当 轴时，不合题意，故设 ，
将 代入 得 ．
由题 得 ，
设 ，则
因为 ，
所以 ，
从而 ，
整理得 ， ，
所以直线 的方程为 或 ．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求
方法在相交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论 单调性；
（Ⅱ）当 时，设函数 存在两个零点 ，求证：
．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
2
2
c
a
= 2 22a c= 2 2 22b c c+ = b c=
1b c= =
2a = C
2
2 12
x y+ =
l x⊥ : ( 2)l y k x= −
( 2)y k x= − 2
2 12
x y+ = ( )2 2 2 21 2 8 8 2 0k x k x k+ − + − =
( )24 2 4 0k= − > 2 2
2 2k− < <
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2 2
1 2 1 22 2
8 8 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
−+ = =+ +
1
3OP OQ⋅ =
( )( )2
1 2 1 2 1 2 1 22 2x x y y x x k x x+ = + − − ( ) ( )2 2 2
1 2 1 2
11 2 4 3k x x k x x k= + − + + =
( ) 2 2
2 2 2
2 2
8 2 8 11 2 41 2 1 2 3
k kk k kk k
−+ − + =+ +
228 7k = 1 2 2,2 2 2k
= ± ∈ −
l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
( ) ,xf x e ax a R= + ∈ e
( )f x
3a = − ( ) ( ) ( )g x f x m m R= − ∈ 1 2 1 2, ( )x x x x<
1 2 6x xe e+ >（Ⅰ） ，分 和 两种情况讨论函数 单调性；
（Ⅱ）解法一：由题意可知 ，两式相减可得 ，再利用分
析法转化为证明要证 ，只需证 ，再通过变形，
构造，证明只需证 即可， ，构造函数
，利用导数证明 .
解法二：由题意可知 ，再换元令 ，即
，两式相减得 ，要证 ，即只需证 ，
即证 ，再通过变形，构造得到 ， ，
，利用导数证明 .
【详解】解：（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 得 ， 在 上单调递减，在
上单调递增；
（Ⅱ）解法一：由题意知 ，由 得 ，
两式相减得 ，因为 ，故 ，
要证 ，只需证 ，
两边同除以 得 ，
令 ，故只需证 即可．
的( ) xf x e a′ = + 0a ≥ 0a <
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
( )1 2
1 23x xe e x x− = −
1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )1 2 1 2
1 23 6x x x xx x e e e e− + < −
( 2) 2 0uu e u− + + < 1 2 0u x x= − <
( ) ( 2) 2uG u u e u= − + + ( ) 0G u <
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
1 2
1 2 1 2, ,0x xe t e t t t= = < <
1 1
2 2
3ln
3ln
t t m
t t m
= +
= +
1
1 2
2
3ln 0tt t t
− = < 1 2 6x xe e+ > 1 2 6t t+ >
1
1 2 2
1 2
3ln
6
t
t t t
t t
− >+
1
21
12
2
2 1
ln 0
1
t
tt
tt
t
− − <
+
2( 1)( ) ln 1
uG u u u
−= − +
1
2
(0,1)tu t
= ∈ ( ) 0G u <
( ) xf x e a′ = +
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞
0a < ( ) 0f x′ = ln( )x a= − ( )f x ( ,ln( ))a−∞ − (ln( ) )a− + ∞
( ) 3xg x e x m= − −
( )
( )1
2
0
0
g x
g x
= =
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
( )1 2
1 23x xe e x x− = − 1 2x x< ( )1 2
1 23 0x xe e x x− = − <
1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )1 2 1 2
1 23 6x x x xx x e e e e− + < −
23 xe ( )( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2 1x x x xx x e e− −− + < −
1 2 0u x x= − < ( 2) 2 0uu e u− + + = ( )G u ( ,0)−∞ ( ) (0) 0G u G< =
( ) 3xg x e x m= − −
( )
( )1
2
0
0
g x
g x
= =
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
1 2
1 2 1 2, ,0x xe t e t t t= = < < 1 1
2 2
3ln
3ln
t t m
t t m
= +
= +
1
1 2
2
3ln 0tt t t
− = <
1 2 6x xe e+ > 1 2 6t t+ >
1
1 2 2
1 2
3ln
6
t
t t t
t t
− >+
( )1 21
2 1 2
2ln 0t tt
t t t
−− > 1 1 4
1 2 1 7a b
+ ≥+ +
5
2
x ( )f x ( )f x（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，将所求的不等式化为 ，利
用基本不等式，即可证明结论.
【详解】（1）
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．所以 的最小值为 ．
（2）由（1）知 ，即 ，
又因为 ，
所以
．
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ．
【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查
逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
2 5a b+ = 1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b
+ + + + + +
3 1, 2,
1( ) 2 1 2 3, 2 ,2
13 1, ,2
x x
f x x x x x
x x
− − ≤ −
= − + + = − + − < >
1 1
1 2 1a b
++ +
1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b
= + + + + + +
1 2 1 127 1 2 1
b a
a b
+ + = + + + +
1 2 1 12 27 1 2 1
b a
a b
+ +≥ + ⋅ + +
4
7
=
2a b= 5 5,2 4a b= =
1 1 4
1 2 1 7a b
+ ≥+ +
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