2019-2020 学年度高三年级小二调试
数学（文科）试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有
一个符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对集合 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到 的值.
【详解】集合 ，
集合
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.
2.若函数 在 处的切线方程为 ，则 ， 的值为( )
A. 2,1 B. -2，-1 C. 3,1 D. -3，-1
【答案】C
【解析】
【分析】
将 代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到 ，利用导数的几何意义，对
函数求导，代入 ，得到切线斜率，得 的值.
【详解】将 代入切线 ，
得到切点坐标为 ，
将 代入到函数解析式中，得到 ，
所以 ，
{ }| 1 0A x x= + > { }| 1B x x= ∈ ≤Z A B =
{ }| 0 1 1x x≤ + ≤ { }| 1 1x x− < ≤ { }0,1 { }1 A A B { } { }| 1 0 | 1A x x x x= + > = > −
{ }| 1B x x= ∈ ≤Z
{ } { }| 1 1 0,1B x xA = ∈ − < ≤ =Z 2 lny ax b x= − 1x = 5 2y x= − a b 1x = a 1x = b 1x = 5 2y x= − ( )1,3 ( )1,3 3= a 23 lny x b x= −
求导得 ，
代入 得 ，
所以 ，得 .
故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.
3.已知命题 使 .命题 .则命题 是
命题 的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分
也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
根据命题 p、q 的等价条件确定 k 的取值范围，即可得到本题答案.
【详解】p:设 ，因为 ，得当 时， 取
最小值 0，且 使 的等价条件为 在 的值域
即为 k 的范围，即 ;
q： 的等价条件为 ;
所以，命题 p 是命题 q 的充要条件.
故选：C
【点睛】本题主要考查根据全称命题、特称命题确定参数的取值范围，以及判断充分条件、
必要条件.
4.设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
6 by x x
′ = −
1x = 6k b= −
6 5b− = 1b =
[ )0: 0,p x∃ ∈ +∞ 0 04 2 0x x k− − = 2: (0, ), 0q x x k∀ ∈ +∞ + > p
q
( ) 4 2x xf x = −
21 1( ) 4 2 2 2 4
x x xf x = − = − − 0x = ( )f x
0 [0, )x∃ ∈ +∞ 0 04 2 0x x k− − = ( ) 4 2x xf x = − [0, )+∞
0k ≥
2(0, ), 0x x k∀ ∈ +∞ + > 0k ≥
2log 3a = 3log 4b = 5log 8c =
c a b> > c b a> > a b c> > a c b> >
由 比较 ， 的大小，利用中间量 比较 , ，从而得解.
【详解】∵ ， ，∴ .
∵ ，∴ ，∴ .
又 ，∴ ，即 .
故选 D
【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量
进行比较大小，属于难题.
5.若函数 在 上单调递减，则 的最小值是（ ）
A. B. -1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数求导，则函数 在 上单调递减等价于 在 上
恒成立，分离参数 ，即可求出 的最小值．
【详解】由 ，又 在 上单调递减，则 在 上恒成
立，即 在 上恒成立.又当 时， ，故 ，所以 的最小
值为 .
故答案选 A
【点睛】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．
6.已知幂函数 的图象过函数 的图象所经
过的定点，则 的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
3 5
lg64 lg64log 4 log 8lg27 lg25
= =， b c 3
2
a c
3 27
lg64log 4 log 64 lg27
= = 5 25
lg64log 8 log 64 lg25
= = 3 5log 4 log 8< 2 38 5< 3 28 5< 3 2 5 5 3log 8 log 5 2 < = 2 4 4 3log 3 log 9 log 8 2 = > = 2 5 3log 3 log 8 log 4> > a c b> >
( ) lnf x x kx= − ( )1, + ∞ k
1 2 2-
( ) lnf x x kx= − ( )1, + ∞ ( ) 0f x′ ( )1, + ∞
k k
( ) 1f x kx
′ = − ( )f x ( )1,+∞ ( ) 0f x′ ( )1, + ∞
1k x ( )1, + ∞ ( )1,x∈ +∞ 10 1x
< < 1k ³ k 1 1( ) (2 1) ag x a x += − 1( ) ( 0, 1)2 x bf x m m m−= − > ≠且
b
1
2
± 2
2
± 2±
【分析】
由 为幂函数，即可得到 的值，计算出 ， 且
经过的定点，代入 中，即可得到 的值．
【详解】由于 幂函数，则 ，解得： ，
函数 ， 且 ，当 时， ，故 的
图像所经过的定点为 ，
所以 ，即 ，解得： ,
故答案选 B
【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题．
7.若函数 为偶函数，且 时， 则不等式 的解集
为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到 关于 成轴对称，得到 再利用导数，得到 时的单
调性，从而得到不等式 的解集.
【详解】因为函数函数 为偶函数，
所以可得 关于 成轴对称，
所以 ，
当 时， ，
所以
为
1( ) (2 1) ag x a x += − a 1( ) 2
x bf x m −= − ( 0,m >
1)m ≠ ( )g x b
1( ) (2 1) ag x a x += − 2 1 1a − = 1a =
1( ) 2
x bf x m −= − ( 0,m > 1)m ≠ x b= 1 1( ) 2 2
b bf b m −= − = ( )f x
1( , )2b
1( ) 2g b = 2 1
2b = 2
2b = ±
( )1y f x= + 1x ≥ ( ) 2 xf x x e= − ( ) ( )3f x f≥
[ ]3,− +∞ [ ]1,3−
( ] [ ), 1 3,−∞ − +∞ ( ] [ ), 2 2,−∞ − +∞
( )f x 1x = ( ) ( )3 1f f= − 1x ≥
( ) ( )3f x f≥
( )1y f x= +
( )f x 1x =
( ) ( )3 1f f= −
1x ≥ ( ) 2 xf x x e= −
( ) 2 xf x x e′ = −
设 ，则 ，
当 ， ， 单调递减，
，
即 ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以不等式 的解集为 .
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中
档题.
8.已知函数 的导函数为 ，满足 ， 且 ，则不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令 ，这样原不等式可以转化为 ，构造新函数 ，求导，并结合已
知条件 ，可以判断出 的单调性，利用单调性，从而可以解得 ，也就可
以求解出 ，得到答案.
【详解】解:令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，故选 A.
【点睛】本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运
算能力和推理论证能力.
( ) 2 xg x x e= − ( ) 2 xg x e′ = −
1x ≥ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( )1 2 0g x g e≤ = − < ( ) 0f x′ < ( )f x [ )1,x∈ +∞ ( ],1x∈ −∞ ( ) ( )3f x f≥ [ ]1,3− ( )y f x= ( )f x′ Rx∀ ∈ ( ) ( )f x f x′ > (1) ef =
(ln )f x x>
(e, )+∞ (1, )+∞ (0,e) (0,1)
lnt x= ( ) etf t > ( )( ) ex
f xg x =
( ) ( )f x f x′ > ( )g x 1t >
x e>
lnt x= (ln ) ( ) etf x x f t> ⇔ >
( )( ) ex
f xg x = ( ) ( )( ) 0ex
f x f xg x
′ −′ = >
( )g x∴ R ( )( ) e 1e
t
t
f tf t∴ > ⇔ >
( ) (1) 1 ln 1 eg t g t x x⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ >
9.已知函数 ，若关于 的方程 有两个不相等的
实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数 与 的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数 的取值
范围.
【详解】画出函数 与 的图像如下图所示，其中 ,由图可知，当
时 ， 两 个 函 数 图 像 有 两 个 不 同 的 交 点 . ， 故
.注意到 ，即 时，两个
函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除 B,C,D 三个选项.故本小题选 A.
( )
2 2 2 1
1 3 1 5
x x
f x
x xx
，
，
+ − < ≤ = + − < ≤ x ( ) 1 02f x kx− = k ( )220 6 4 225 ∪ − − ， ， ( )110 3 2 225 ∪ − − ， ， ( ] ( )0 1 3 2 2∪ − −， ， ( ] ( )0 2 6 4 2∪ − −， ， ( )f x 1 2y kx= k ( )f x 1 2y kx= 115, 5A ( ]1 0,2 OAk k∈ 11 115 5 25OAk = = 1 11 220, , 0,2 25 25k k ∈ ∈ ( )1 ,2 OA ODk k k∈ 1 11 22,1 , ,22 25 25k k ∈ ∈
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档
题.
10.已知函数 ，若有且只有两个整数 ， 使得
，且 ，则 a 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令 ，可得 ，原问题转化为直线有且只有两个整数点
处的函数值大于函数 的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于 a 的不等
式组，求解不等式组即可确定 a 的取值范围.
( ) ( ) ( )ln 2 2 4 0f x x a x a a= + − − + > 1x 2x
( )1 0f x > ( )2 0f x >
( )ln3,2 [ )0,2 ln3−
( )0,2 ln3− ( ]0,2 ln3−
( ) 0f x > ( )2 2 ln 4 0ax a x x a− > − − >
2 ln 4y x x= − −
【 详 解 】 令 ， 则 ： ，
，
设 ， ，
故 ，由 可得 ，
在 上， ， 为减函数，在 上， ， 为增函数，
的图像恒过点 ，在同一坐标系中作出 ， 的图像，
如图所示，若有且只有两个整数 ，使得 ，且 ，
则 ，即 ，
解得： .
故选 D.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想
等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.已知函数 ，对于任意 ， ，不等式
恒成立，则整数 的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
( ) 0f x > ( ) ( )ln 2 2 4 0 0x a x a a+ − − + > >
( )2 2 ln 4 0ax a x x a∴ − > − − >
( ) 2 ln 4g x x x= − − ( ) 2h x ax a= −
( )' 1 2 12 xg x x x
−= − = ( )' 0g x = 1
2x =
10, 2
( )' 0g x < ( )g x 1 ,2 +∞ ( )' 0g x > ( )g x
( ) ( )2 0h x ax a a= − > ( )2,0 ( )g x ( )h x
1 2,x x ( )1 0f x > ( )2 0f x >
0
(1) (1)
(3) (3)
a
h g
h g
>
>
≤
0
2
2 ln3
a
a
a
>
− > −
≤ −
0 2 ln3a< ≤ − 2( ) ( 1) 2 x af x x e x= − − 1x R∈ ( )2 0,x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 2 22f x x f x x x+ − − > − a
1 2 3 4
首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数 的最大值.
【详解】 ，
设 ， 则有 且 ，即 恒成立，
即 ，令 ，
则 在 上单调递增，即 恒成立，
即 ， ，得 ，
下证 成立：
，易证当 时， ，
考查函数： ，则 ，故函数 在区间 上单调递减，在
区间 上单调递增，当 时，函数的最小值为 ，
据此可得： ，
当 时， ，
故 成立.
故选 C.
【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有
，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
函数 是定义在 上的函数，所以有 ，
a
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 22f x x f x x x x x x x+ − − > − = − − +
1 1 2t x x= + 2 1 2t x x= − 1 2,t t R∈ 1 2t t> ( ) ( )1 2 2 1f t f t t t− > −
( ) ( )1 1 2 2f t t f t t+ > + ( ) ( )g x f x x= +
( )g x R ( ) 0g x′ ≥
( ) 1 0xg x xe ax= − + ≥′ (1) 1 0g e a− +′ = ≥ 1 4a e≤ + < 3a = ( ) 3 1xg x xe x′ = − + 0x ≤ ( ) 3 1 1x xg x xe x xe′ = − + ≥ + xy x e= ⋅ ( )' 1xy e x= + xy x e= ⋅ ( ), 1−∞ − ( )1,− +∞ 1x = − min 1y e = − ( ) 1' 1 1 0xg x xe e ≥ + ≥ − >
0x > ( ) 3 1xg x xe x′ = − + > 2 2( 1) 3 1 2 1 ( 1) 0x x x x x x+ − + = − + = − ≥
3a =
( )f x ( ),0- ¥ ( )f x¢
( ) ( )2 3xf x x f x> +′ ( ) ( ) ( )38 2014 2014 2 0f x x f+ + + − >
( ), 2016−∞ − ( )2018, 2016− − ( )2018,0−
( ), 2018−∞ −
( )f x ( ),0∞− x 2014 0+ 3 3
( 2014) ( 2)
( 2014) ( 2)
f x f
x
+ − = >′ ( )g x ( ),0∞−
( 2014) ( 2)g x g+ < − 2014 0{ 20162014 2 x xx + < ⇒ < −+ < − 3 ( )( ) f xg x x = 3 3 ( 2014) ( 2) ( 2014) ( 2) f x f x + − 1 2x x> 1 2x x≤ 1 2( ) ( )f x f x≤
1 2( ) ( )f x f x> ( )f x 1 2 1 2, , ( ) ( )x x D f x f x且∈ >
1 2x x< :p ( ) ( 1)xf x t= − ( ),−∞ +∞ :q x∃ ∈R 2 2 1x t x+ ≤ + p q t ( )1,2 p q ( ) ( )1 xf x t= − ( ),−∞ +∞ 0 1 1t< − < 1 2t< < :1 2p t< < x R∃ ∈ 2 2 1x t x+ ≤ + 2 2 1 0x x t− + − ≤ ( ) ( )22 4 1 0t− − − ≥ 2t ≤ : 2q t ≤ p q p q 1 2t< ( )f x t=
2
4t e
= ( )f x t=
2
40 t e
< < ( )f x t= 2( ) ( ) ( ) 1g x f x kf x= − + 2 1 0t kt− + = 2 40, e 2 4 , {0}e +∞ ∪ 0t = 2 1 0t kt− + = 2 1 0t kt− + = 2 40, e 2 4 ,e +∞ 4 2 16 4 1 0k e e − + < 2 2 4 4 ek e > +
2
2
4 ,4
ek e
∈ + +∞
2
2
4 ,4
e
e
+ +∞
( ) 3 2f x x x= − ( ) ln 5ag x x x x
= − +
5a = ( )g x 1x =
m 1 ,22n ∈
( ) ( ) 2 0f m g n− + ≤ a
6 6y x= − ( , 1]−∞ −
( )f x ( )f x′ 1x =
（2）根据题意，得到 ，然后利用参变分离，得到 ，设
，利用导数得到 的最小值，从而得到 的范围.
【详解】（1）因为 ，所以函数 ，
所以 ，即切点为
所以 ，
代入 ，得到 ，
故所求的切线方程为 ，
即 .
（2）对任意的 ， ， 恒成立，
可得 ，对任意的 ， 恒成立，
，令 得 或 ，
所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
而 ， ，所以 ，
所以 ，对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，对任意的 恒成立，
( ) ( )max 2f m g n≤ − 2 lna n n n≤ −
( ) 2 lnn n n nϕ = − ( )nϕ a
5a = ( ) 5ln 5g x x x x
= − +
( )1 0g = ( )1,0
( ) 2
5ln 1g x x x
′ = + +
1x = ( )1 6k g′= =
( )6 1y x= −
6 6y x= −
m 1 ,22n ∈
( ) ( ) 2 0f m g n− + ≤
( ) ( )max 2f m g n≤ − m 1 ,22n ∈
( ) 23 2f m m m′ = − ( ) 0f m′ = 0m = 2
3m =
1 2,2 3m ∈
( ) 0f m′ < ( )f m 2 ,23m ∈ ( ) 0f m′ > ( )f m
1 1
2 8f = −
( )2 4f = ( )max 4f m =
( ) 2 4g n − ≥ 1 ,22n ∈
ln 5 2 4an n n
− + − ≥ 1 ,22n ∈
2 lna n n n≤ − 1 ,22n ∈
设 ， ，则
，
设 ，
因为 ，所以 ，所以 单调递增，
即 单调递增，而 ，
所以当 ， ， 单调递减，
当 ， , 单调递增，
所以 时， 取得最小值，为 ，
所以 .
【点睛】本题考查根据导数的几何意义求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和
最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.
18.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产
品需投入固定成本 2 万元，每生产 万件，需另投入流动成本 万元，当年产量小于 万
件时， （万元）；当年产量不小于 7 万件时，
（万元）.已知每件产品售价为 6 元，假若该同学生产 商品当年能全部售完.
（1）写出年利润 （万年）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售
收入-固定成本-流动成本）
（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？
（取 ）.
【答案】（1） （2）当年产量约为 万件，该同学的这一
产品所获年利润最大，最大利润为 万元
的
( ) 2 lnn n n nϕ = − 1 ,22n ∈
( )mina nϕ≤
( ) 2 ln 1n n n nϕ′ = + −
( ) 2 ln 1t n n n n= + − ( ) 2ln 3t n n′ = +
1 ,22n ∈
( ) 0t n′ > ( )t n
( )nϕ′ ( ) 01ϕ′ =
1 ,12n ∈
( ) 0nϕ′ < ( )nϕ ( )1,2n∈ ( ) 0nϕ′ > ( )nϕ
1n = ( )nϕ ( )1 1ϕ = −
1a ≤ −
x ( )C x 7
21( ) 23C x x x= + 3
( ) 6 ln 17eC x x x x
= + + −
( )P x x
3 20e =
2
3
1 4 2,0 73( )
15 , 7
x x x
p x
elnx xx
− + − <
( ) ( ) ( )min1 ln 1 ff x a x g a（） ，= + ≥ ( ) ( )min maxf x g a≥
( )0,+∞ ( ) 2 2
1 ,a x af x x x x
−=′ = −
0a ≤ ( ) 0,f x′ > ( )f x∴ ( )0,+∞
0a > ( ) ( ) ( )0, , 0,x a f x f x
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) ( )0, ,x a f x∈ ( ) ( ), ,x a f x∈ +∞
( ) ( )min ln 1,f x f a a= = +
( ) ( )f x g a∴ ≥ ( )ln 1a g a+ ≥
( )5 2 2ln 1 5 ,a ka ka a
− −+ ≥ = − −
2ln 6a ka
⇔ + ≥ −
( ) 2ln ,h a a a
= + ( )min 6,h a k≥ −
( ) 2 2
1 2 2 ,ah a a a a
−=′ = − ( ) ( ) ( )0,2 , 0,a h a h a′∴ ∈ < ( ) ( ) ( )2, , 0,a h a h a′∈ +∞ > ( ) ( )min 2 ln2 1h a h= = +
ln2 1 6, ln2 7,k k k+ ≥ − ∴ ≤ + ∴ 7.
( ) ( )min maxf x g a≥
1( ) ln ( 1),f x x a a Rx
= + − ∈
( ) 0f x ≥ a
（Ⅱ）证明： .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时，不满足题意，当 时，求 的最小值，即可得到本题答案；
（2）要证 ，只需证当 时， ，
求得 的最小值，即可得到本题答案.
【详解】（Ⅰ）由已知，有
当 时， ，与条件 矛盾,
当 时，若 ，则 ， 单调递减,若 ，则 ，则
单调递增.
所以 在 上有最小值 ，
由题意 ，所以 .
令 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以 在 上有最大值 ，所以 ， ，
， ，
综上，当 时，实数 取值的集合为 ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知： 时， ，即 在 时恒成立.
要证 ，只需证当 时，
令
，令 ，
则 ，令 ，解得 ，
21 2 ln ( 2)xe x x e xx
+ ≥ − + + −
{ }1
0a ≤ 0a > ( )f x
21 2 ln ( 2)xe x x e xx
+ ≥ − + + − 0x > 2 ( 2) 1 0xe x e x− − − − ≥
2( ) ( 2) 1( 0)xh x e x e x x= − − − − >
2 2
1( ) ( 0)a x af x xx x x
−′ = − = >
0a ≤ 1( ) ln 2 02f a= − + < ( ) 0f x ≥ 0a > (0, )x a∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( , )x a∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x (0, )+∞ 1( ) ln ( 1) ln 1f a a a a aa
= + − = + −
( ) 0f x ≥ ln 1 0a a+ − ≥
( ) ln 1g x x x= − + 1 1( ) 1 xg x x x
−′ = − =
(0,1)x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )g x (0, )+∞ (1) 0g = ( ) ln 1 0g x x x= − + ≤ ln 1 0a a− + ≤ ln 1 0a a− + = 1a = ( ) 0f x ≥ a { }1 1a = ( ) 0f x ≥ 1ln 1x x ≥ − 0x >
21 2 ln ( 2)xe x x e xx
+ ≥ − + + − 0x > 2 ( 2) 1 0xe x e x− − − − ≥
2( ) ( 2) 1( 0)xh x e x e x x= − − − − >
( ) 2 ( 2)xh x e x e′ = − − − ( ) 2 ( 2)xu x e x e= − − −
( ) 2xu x e′ = − ( ) 2 0xu x e′ = − = ln 2x =
所以，函数 在 内单调递减，在 上单调递增.
即函数 在 内单调递减，在 上单调递增.
而 .
存在 ，使得
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
当 时， 单调递增，
又 ，
对 恒成立，即 ，
综上可得： 成立.
【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题以及利用导数证明不等式.
21.已知函数 ， .
（1）求 在区间 上的值域；
（2）是否存在实数 ，对任意给定的 ，在 存在两个不同的 使得
，若存在，求出 的范围，若不存在，说出理由.
【答案】（1） （2）满足条件的 不存在，详见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数 进行求导，知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，由
此能求出 的值域；（2）对函数 进行求导，对 进行分类讨论，当 和
时，不合题意，求出当 时，判断单调性， ，由（1）知
在 上值域为 ，根据数形结合思想原题意可等价于 ，解不等式即可.
( )u x (0,ln 2) (ln 2, )+∞
( )h x′ (0,ln 2) (ln 2, )+∞
(0) 1 ( 2) 3 0h e e′ = − − = − > (ln 2) (1) 0h h′ < ′ = ∴ 0 (0,ln 2)x ∈ 0( ) 0h x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0, ( )h x h x′ > 0( ,1)x x∈ ( ) 0, ( )h x h x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )h x h x′ >
(0) 1 1 0, (1) 1 1 ( 2) 0h h e e= − = = − − − − =
∴ 0, ( ) 0x h x∀ > ≥ 2 ( 2) 1 0xe x e x− − − − ≥
21 2 ln ( 2)xe x x e xx
+ ≥ − + + −
( ) ( )( )1 1 ln 1f x a x x= − − − + ( ) 1 xg x xe −=
( )g x ( ]0,e
a ( ]0 0,x e∈ [ ]1,e ( )1,2ix i =
( ) ( )0if x g x= a
( ]0,1 a
( )g x ( )g x ( ]0,1 [ )1,e
( )g x ( )f x a 0a ≤ 11a e
≥ −
10 1a e
< < − ( )min 1 1f x f a = − ( )g x ( ]0,e ( ]0,1 ( ) 1 1 01 f e f a ≥ ≤ −
【详解】（1） ， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
， ， ，
∴ 在 上值域为 .
（2）由已知得 ，且 ，
当 时， ， 在 上单调递增，不合题意．
当 时， ， 在 上单调递减，不合题意．
当 时， 得 ．
当 时 ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，∴ .
由（1）知 在 上值域为 ，而 ，
所以对任意 ，在区间 上总有两个不同的 ，使得 .
当且仅当 ，即 ，
由（1）得 .
设 ， ，
，
当 ， ， 单调递减，∴ .
∴ 无解.
综上，满足条件的 不存在.
【点睛】本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足
( ) ( ) 1' 1 xg x x e −= − ( )0,1x∈ ( )' 0g x > ( )g x
( ]1,x e∈ ( )' 0g x < ( )g x ( )0 0g = ( )1 1g = ( ) 1 0eg e e e −= × >
( )g x ( ]0,e ( ]0,1
1( ) 1f x a x
=′ − − [ ]1,x e∈
0a ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x [ ]1,e
11a e
≥ − ( )' 0f x ≤ ( )f x [ ]1,e
10 1a e
< < − ( ) 0f x′ = 0 1 1x a = − 1(1, )1x a ∈ − ( )' 0f x < ( )f x 1( )1x ea ，∈ − ( )' 0f x > ( )f x ( )min
1
1f x f a
= −
( )g x ( ]0,e ( ]0,1 ( )1 1f =
( ]0 0,x e∈ [ ]1,e ( )1,2ix i = ( ) ( )0if x g x=
( ) 1
1 01
f e
f a
≥
≤ −
( )( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
ln 1 1 0 2
a e
a a
− − ≥ + − + ≤
11 1a e
≤ − −
( ) ( )ln 1 1h a a a= + − + 10,1a e
∈ −
( ) 1' 1 1 1
ah a a a
= − =− −
10,1a e
∈ −
( )' 0h a < ( )h a ( ) 1 11 1 0h a h e e > − = − >
( ) 0h a ≤
a
条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．
22.已知函数 ．
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值；
（Ⅱ）若 在 处取得极大值，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）当 a=2 时，若函数 有 3 个零点，求 m 的取值范围．（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对函数求导，由点 处的切线与 轴平行可得 ，即可求出实数 ；
（Ⅱ）对函数求导可得 ，令导数等于零，解得 ，
，分类讨论 与 的大小，即可求出实数 的范围，使得 在 处取
得极大值；
（Ⅲ）对 求导，分别讨论 大于零和小于零时函数的单调性，结合单调性，讨论函数极
值的正负，即可求出使函数 有 3 个零点时， 的取值范围．
【详解】（Ⅰ）函数 的定义域为 ． ．
因为曲线 在点 处的切线与 x 轴平行，
所以 ，解得 ．此时 ，所以 的值为 ．
（Ⅱ）因为 ，
①若 ，
则当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
所以 在 处取得极大值．
②若 ，则当 时， ，
( ) ( )2 1[ ]1 xf x x a x e= + + +
( )y f x= ( )( )0 0f，
( )f x 1x = −
( ) ( ) 1g x mf x= −
2− ( )1−∞ −，
4
5
em＞
( )( )0 0f， x (0) 0f ′ = a
( ) ( ) ( )' 1 2 xf x x x a e = + + + 1 1x = −
2 ( 2)x a= − + 1x 2x a ( )f x 1x = −
( )g x m
( ) ( ) 1g x mf x= − m
( )f x ( )−∞ + ∞， ( ) ( )' 2 3 2 xf x x a x a e = + + + +
( )y f x= ( )( )0, 0f
( ) 0'(0) 2 0f a e= + = 2a = − ( )0 1 0f = ≠ a 2−
( ) ( ) ( ) ( )2' 3 2 1 2x xf x x a x a e x x a e = + + + + = + + +
1 2 1a a− − + −＜ ，（ ）＞
( )1x∈ −∞ −， ( )1 0 2 1 0x x a x+ + + +＜ ， ＜ ＜ ( )' 0f x ＞
( )( )1 2x a∈ − − +， ( )1 0 2 0x x a+ + +＞ ， ＜ ( )' 0f x ＜
( )f x 1x = −
( )1 2 1a a≥ − − + ≤ −， ( )1 0x∈ − ， ( )1 0 2 1 0x x a x+ + + ≥ +＞ ， ＞
所以 ．所以 不是 的极大值点．
综上可知， 的取值范围为 ．
（Ⅲ）当 时， ，
，
当 时，函数 ，不可能 3 个零点；
①当 时，令 ，解得： ，
令 ，得 ，则 在区间 上单调递增；
令 ，解得： 或 ，则 在区间 和 上单调递减；
由于当 时， 恒成立， ， ，则当 时，
恒成立，所以函数 最多只有两个零点，即
不满足题意；
②当 时，令 ，解得： ，
令 ，得： 或 ，则 在区间 和 上单调递增；
令 ，解得： ，则 在区间 上单调递减；
要使函数 有 3 个零点，则 ，解得：
综上所述 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了导数几何意义，以及导数在研究函数极值与零点中的应用，有一定难
度．
( )' 0f x ＞ 1− f x（ ）
a ( )1−∞ −，
2a = ( ) ( ) ( )21= 3 1 1xg x mf x m x x e= − + + − ( )x R∈
∴ 2 2( ) (2 3) ( 3 1) ( 5 4) ( 1)( 4)x x x xg x m x e m x x e m x x e m x x e′ = + + + + = + + = + +
=0m ( ) ( ) 1= 1g x mf x= − −
0m < ( ) ( 1)( 4) =0xg x m x x e′ = + + 1 4x = − 2 1x = − ( ) 0g x′ > 4 1x− < < − ( )g x ( )4, 1− − ( ) 0g x′ < 4x < − 1x > − ( )g x ( ), 4−∞ − ( )1,+− ∞
4x < − 2 3 1 0x x+ + < 0m < 0xe > 4x < − 2( ) ( 3 1) 1 0xg x m x x e= + + − < ( ) ( ) 1g x mf x= − 0m < 0m > ( ) ( 1)( 4) =0xg x m x x e′ = + + 1 4x = − 2 1x = −
( ) 0g x′ > 4x < − 1x > − ( )g x ( ), 4−∞ − ( )1,+− ∞
( ) 0g x′ < 4 1x− < < − ( )g x ( )4, 1− − ∴ ( ) ( ) 1g x mf x= − ( 4) 0 ( 1) 0 g g − >
−
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