2019—2020 学年度第二学期一调考试
高三年级数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）
1.已知复数 （其中 ， 为虚数单位），若复数 的共轭复数的虚部为 ，
则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先化简复数 ，根据 的共轭复数的虚部为 求出复数 ，再根据复数的几
何意义确定复数在复平面内对应的点的位置．
详解：由题意得 ，
∴ ，
又复数 的共轭复数的虚部为 ，
∴ ，解得 ．
∴ ，
∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限．
故选 A．
点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根
据复数 的共轭复数的虚部为 求得实数 ，由此得到复数 ，然后再根据复数对应的
点的坐标确定其所在的象限．
2.已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表
示的集合为（ ）
3
a iz a i
+= + − a R∈ i z 1
2
−
z
z z 1
2
− z
( )(3 ) 13 1 ( 3)
3 (3 )(3 ) 10 10
a i a i i a a iz a ai i i
+ + + − += + = + = +− − +
13 1 ( 3)
10 10
a a iz
− += −
z 1
2
−
3 1
10 2
a +− = − 2a =
5 1
2 2z i= +
z
z 1
2
− 2a = z
{ }2, 3 4 0 , { | 2 2}U R A x x x B x x= = − − = − ≤ ≤A. B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
, 所 以 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 为
,选 D.
3.已知 ，则“ ”是“函数 的图象恒在 轴上方”
的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
分别研究由“ ”推出“函数 的图象恒在 轴上方”和由“函
数 的图象恒在 轴上方”推出“ ”，得到答案.
【详解】当 时，
函数 图象与 轴没有交点，
当 时， 图像恒在 轴下方，所以是不充分条件；
当函数 的图象恒在 轴上方，
取 ，满足要求，此时 ，
因此不一定能得到 ，所以是不必要条件；
4{ | }2x x− ≤ < { | 2x x ≤ 4}x ≥ { | 2 1}x x− ≤ ≤ −
{ | 1 2}x x− ≤ ≤
{ }2| 3 4 0UC A x x x= − − ≤ = [ 1,4]−
( ) [ 1,4] [ 2,2] [ 1,2]UC A B∩ = − ∩ − = −
a b c R∈、、 2 4 0b ac− < 2( )f x ax bx c= + + x
2 4 0b ac− < 2( )f x ax bx c= + + x
2( )f x ax bx c= + + x 2 4 0b ac− <
2 4 0b ac− <
2( )f x ax bx c= + + x
0a < ( )f x x
2( )f x ax bx c= + + x
0, 0a b c= = > 2 4 0b ac− =
2 4 0b ac− > A B P
ABP∆ 5a
15
5
15
4
15
3
15
2
ABP∆ | | 2AB AP a= = ABP APB θ∠ = ∠ =
1 2F AP θ∠ = θ
ABP∆ 5a∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
设点 P 的坐标为 ，则 ，
故点 P 的坐标为 ．
由点 P 在双曲线上得 ，整理得 ，
∴ ．选 C．
点睛：
本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和
要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中 之间的数量关系，其中通过解三角形得到点
P 的坐标是解题的突破口．在得到点P 的坐标后根据点在椭圆上可得 间的关系，最后根据
离心率的定义可得所求．
8.已知 ，设函数 的零点为 m， 的零点为 n，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个
函数之间的关系求出 m,n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.
【详解】函数 的零点为函数 与 图像的交点 A 的横坐标，函
数 的零点为函数 与 图像的交点 B 的横坐标
22 5 sin
aa θ=
5sin 5
θ = 2 5cos 5
θ =
25 2 5 4 2 5 3sin 2 2 ,cos2 2 ( ) 15 5 5 5 5
θ θ= × × = = × − =
( , )x y 11 8( cos2 ) , sin 25 5
a ax a AP y APθ θ= − + = − = =
11 8( , )5 5
a a−
2 2
2 2
11 8( ) ( )5 5 1
a a
a b
− =
2
2
2
3
b
a
=
2
2
151 3
c be a a
= = + =
,a c
,a b
1a > ( ) 2xf x a x= + − ( ) log 2ag x x x= + −
1 1
m n
+
(2, )+∞ 7 ,2
+∞ (4, )+∞ 9 ,2
+∞
( ) 2xf x a x= + − xy a= 2y x= −
( ) log 2ag x x x= + − logay x= 2y x= −由于指数函数与对数函数互为反函数，
其图像关于 对称，
直线 与 垂直
故两直线的交点 即是 A，B 的中点，
当且仅当： 时等号成立
而 ，故
故选：A
【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运
算能力，属于中档题.
9.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数 ，证明 是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于
函数 相关形式，利用 的性质，解出不等式，得到答案.
【详解】因为
设 ，定义域
，所以 为奇函数，
，
1 0, 0a m n> ∴ > >
y x=
2y x= − y x=
(1,1)
2, 0, 0m n m n∴ + = > >
1 1 1 1 1 1( )( ) (2 ) (2 2 ) 22 2 2
m n n m n m
m n m n m n m n
+∴ + = + = + + ≥ + × =
1m n= =
m n≠ 1 1 2m n
+ >
( ) 3 1 sinf x x x x= + + + ( ) ( )21 2 2f a f a− + ≤ a
3[ 1, ]2
− 3[ ,1]2
− 1[ 1 ]2
− ， 1[ ,1]2
−
( ) ( ) 1g x f x= − ( )g x
( )g x ( )g x
( ) 3 1 sinf x x x x= + + +
( ) ( ) 31 sing x f x x x x= − = + + x∈R
( ) ( )3 sing x x x x g x− = − − − = − ( )g x
( ) 23 1 cos 0g x x x′ = + + ≥所以 单调递增，
不等式
解得
故选 C 项.
【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.
10.在 中， ， ，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意转化 ，利用数量积的分配律即得解.
【详解】 ， ，
故选：C
【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，
数学运算能力，属于中档题.
11.在三棱锥 中，PA、PB、PC 两两垂直， ，Q 是棱 BC 上一个动点，
若直线 AQ 与平面 PBC 所成角的正切的最大值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
( )g x
( ) ( )21 2 2f a f a− + ≤
( ) ( )21 1 2 1f a f a − − ≤ − −
( ) ( )21 2gg a a≤ −−
( ) ( )21 2gg a a≤− −
2a 1 2a− ≤ −
11 2x≤ ≤−
ABC AD AB⊥ 3 ,BC BD= | | 1AD = AC AD⋅
( 3 )AC AD AB BD AD⋅ = + ⋅
AD AB⊥ 3 ,BC BD= | | 1AD =
( ) ( 3 )AC AD AB BC AD AB BD AD∴ ⋅ = + ⋅ = + ⋅
2
3 3 3AB AD BD AD AD= ⋅ + ⋅ = =
P ABC− 1 12PA PB= =
5
2
6π 7π 8π 9π【解析】
【分析】
由已知得 平面 ，因此当 时，直线 AQ 与平面 PBC 所成角最大，此时可
求得 ，从而求得 ，又以 为棱的长方体的对角线就是三棱锥 外
接球直径，从而可求得其表面积．
【详解】∵PA 与 PB、PC 垂直，∴ 平面 ，
∴ 是 在平面 内的射影， 就是直线 与平面 所成的角，
由 平面 得 ， ，要使 最大，则 最小，
显然当 时， 最小，此时 ，
又 ，∴ ，而 ，∴ ，
由 ，得 ，从而 ，
如图，以 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥 的外接球，
外接球直径等于长方体的对角线长 ，
∴球表面积为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于 两两垂直，因
此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥 的外接球，长方体的对角
线就是球的直径．由此可得解．
PA ⊥ PBC PQ BC⊥
PQ PC , ,PA PB PC P ABC−
PA ⊥ PBC
PQ AQ PBC AQP∠ PA PBC
PA ⊥ PBC PA PQ⊥ tan PAAQP PQ
∠ = tan AQP∠ PQ
PQ BC⊥ PQ 5tan 2AQP∠ =
1PA = 2
5
PQ = 2PB = 4
5
BQ =
PB PC⊥
2
5PBBC BQ
= = 1PC =
, ,PA PB PC P ABC−
2 2 2 2 2 21 2 1 6PA PB PC+ + = + + =
2 264 4 ( ) 62S Rπ π π= = × =
, ,PA PB PC
P ABC−12.已知关于 的方程 恰有四个不同的实数根，则当函数 时，
实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数判断 的单调性和极值，得出方程 的根分布情况，从而得出方程
恰有四个不同的实数根等价于关于 的方程 在 上
有一个解，在 上有一个解，利用二次函数的性质列不等式可求出 的范围.
【详解】
，
令 ，解得 或 ，
当 或 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时，函数 取得极大值 ，
当 时，函数 取得极小值 ，
作出 的大致函数图象如图所示，
x 2[ ( )] ( ) 1 0f x kf x− + = 2( ) xf x x e=
k
( , 2) (2, )−∞ − +∞
2
2
4 ,4
e
e
+ +∞
2
8 ,2e
2
2
42, 4
e
e
+
( )f x ( )f x t=
( ) ( )2f x kf x 1=0− + t 2 1 0t kt− + = 2
40, e
{ }2
4 , 0e
+∞ k
( ) ( )2' 2 2x x xf x xe x e x x e= + = +
( )' 0f x = 0x = 2x = −
∴ 2x < − 0x > ( )' 0f x > 2 0x− < < ( )' 0f x <
( )f x∴ ( ), 2−∞ − ( )2,0− ( )0, ∞+
∴ 2x = − ( )f x ( ) 2
42f e
− =
0x = ( )f x ( )0 0f =
( )f x令 ，则当 或 时，关于 的方程 只有一个解；
当 时，关于 的方程 有两个解；
当 时，关于 的方程 有三个解，
恰有四个零点，
关于 的方程 在 上有一个解，
在 上有一个解，
显然 不是方程 的解，
关于 的方程 在 和 上各有一个解，
，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，故选 B.
【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接
根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将
参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面
直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数
零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相
应位置．）
13. 是定义域为 的偶函数，对 ，都有 ，当 时，
，则 ________.
【答案】
( )f x t= 0t = 2
4t e
> x ( )f x t=
2
4t e
= x ( )f x t=
2
40 t e
< < x ( )f x t=
( ) ( ) ( )2 1g x f x kf x= − +
∴ t ( ) 2 1 0h t t kt= − + = 2
40, e
{ }2
4 , 0e
+∞
0t = 2 1 0t kt− + =
∴ t 2 1 0t kt− + = 2
40, e
2
4 ,e
+∞
2 4 2
4 16 4 1 0kh e e e
∴ = − + +
k
2
2
4 e
e 4
+ + ∞
，
( ) ( ),y g x y h x= =
( ),y a y g x= =
( )f x R x R∀ ∈ ( ) ( )4f x f x+ = − 0 2x≤ ≤
( )
2
2 1,0 1,
log 1,1 2
x xf x
x x
− ≤ 0b > 1a b+ = 1 2a b ab∴ = + ≥ 1
4ab∴ ≤
ab∴ 1
4
∴
2 1( ) 2 1 2 1 2 24a b a b ab ab+ = + + = + ≤ + = 2a b∴ + ≤即 有最大值 ， B 项错误
， 有最小值 4， C 正确；
， 的最小值是 ，不是 ，
D 错误．
故选 C
【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式及其相关变形式，以及等式成立
的条件，是正确解题的关键，属于中档题
15.在 中， 为 的中点， 与 互为余角， ， ，则
的值为__________．
【答案】 或
【解析】
设 , 则 由 + 可 知 ,
为 的 中 点 ，
, 即
,由正弦定理得 或
,当 A=B 时,AC=BC, ,当
时 , , 在 △ACD 中 ,
, 综 上 可 得 , 的 值 为 或
.
16.如图，曲线 上的点 与 轴的正半轴上的点 及原点 构成一系列正三角
形， ， ， 设正三角形 的边长为
+a b 2 ∴
1 1 1 4a b
a b ab ab
++ = = ≥ 1 1
a b
∴ + ∴
2 2 2 1 1( ) 2 1 2 1 2 4 2a b a b ab ab+ = + − = − ≥ − × = 2 2a b∴ + 1
2
2
2
∴
ABC∆ D AB ACD∠ CBD∠ 2AD = 3AC =
sin A
5
3
7
4
ACD∠ = , BCDα β∠ = ACD∠ 90CBD∠ = ° 90 ,B Aα β= °− + =
( )180 90 , 90 ,B Aα β°− + = ° ∴ = °− D AB
1 1, · sin · sin , sin sin2 2ACD BCDS S AC CD BC CD AC BCα β α β∆ ∆∴ = ∴ = ∴ =
cos cosAC B BC A= sin cos sin cos , sin 2 sin 2 ,B B A A A B A B= ∴ = ∴ =
90A B+ = ° 9 4 5, sin 3 3
CDCD AB A AC
−∴ ⊥ ∴ = = = 90A B+ = °
90 , 2C AD BD DC= ° ∴ = = =
2 2 2 3 9 7cos , sin 12 · 4 16 4
AC AD CDA AAC AD
+ −= = ∴ = − = sinA 5
3
7
4
2 ( 0)y x y= ≥ 1P x iQ O
1 1OPQ△ 1 2 2Q PQ△ 1n n nQ P Q− ，△ 1n n nQ P Q− , *na n N∈（记 为 ）， .数列 的通项公式 =______.
【答案】
【解析】
分析】
先得出直线 的方程为 ，与曲线的方程联立得出 的坐标，可得出 ，
并设 ，根据题中条件找出数列 的递推关系式，结合递推关系式选择作差法求出
数列 的通项公式，即利用 求出数列 的通项公式．
【详解】设数列 的前 项和为 ，则点 的坐标为 ，
易知直线 的方程为 ，
与曲线的方程联立 ，解得 ， ；
当 时，点 、 ，所以，点 ，
直线 的斜率为 ，则 ，即 ，
等式两边平方并整理得 ，可得 ，
以上两式相减得 ，即 ，
易知 ，所以 ，即 ，
【
0Q O ( ),0n nQ S { }na na
2
3
n
1OP 3y x= 1P 1 1a OP=
( ),0n nQ S { }na
{ }na 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥
{ }na
{ }na n nS nQ ( ),0nS
1OP 3y x=
( )2
3
0
y x
y x y
= = ≥
1
3
3
3
x
y
=
=
22
1
1 3 2
3 3 3a
∴ = + =
n ∗∈N ( ),0n nQ S ( )1 1,0n nQ S+ +
1 1,2 2
n n n n
n
S S S SP + +
+ +
n nP Q 3
1 1
1 1
2 2 3
2 2
n n n n
n n n n
n
S S S S
S S S SS
+ +
+ +
+ +
= =+ −−
1 13
2 2
n n nS S a+ ++ =
2
1 13 2 2n n na S S+ += + 2
13 2 2n n na S S −= +
( )2 2
1 13 3 2n n n na a a a+ +− = + ( )( ) ( )1 1 13 2n n n n n na a a a a a+ + ++ − = +
0na > ( )13 2n na a+ − = 1
2
3n na a+ − =所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差也为 ，因此， .
故答案为 ．
【点睛】本题考查数列通项的求解，根据已知条件找出数列的递推关系是解题的关键，在求
通项公式时需结合递推公式的结构选择合适的方法求解数列的通项公式，考查分析问题的能
力，属于难题．
三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
（一）必考题
17.设 是等差数列，公差为 ，前 项和为 .
（1）设 ， ，求 的最大值.
（2）设 ， ，数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都有
，求 的取值范围.
【答案】（1）2020（2）
【解析】
【分析】
（1）运用等差数列的通项公式可得公差 d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函
数的最值求法，可得最大值；
（2）由题意可得数列{bn}为首项为 2，公比为 2d 的等比数列，讨论 d＝0，d＞0，d＜0，判断
数列{bn}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范
围．
【详解】（1）a1＝40，a6＝38，可得 d ，
可得 Sn＝40n n（n﹣1） （n ）2 ，
由 n 为正整数，可得 n＝100 或 101 时，Sn 取得最大值 2020；
（2）设 ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，
可得 an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为 2，公比为 2d 的等比数列，
若 d＝0，可得 bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；
{ }na 2
3
2
3
( )2 2 213 3 3n
na n= + − =
2
3
n
}{ na d n nS
1 40a = 6 38a = nS
1 1a = *2 ( )na
nb n N= ∈ }{ nb n nT *n N∈
20nT ≤ d
2
9- ,log 10
∞
6 1 2
5 5
a a−= = −
1
2
− 2 1
5 5
= − 201
2
− 2201
20
+
( )*
1 1 2 na
na b n N= = ∈，当 d＜0 时，Tn ，
对任意的 n∈N*，都有 Tn≤20，可得 20 ，且 d＜0，
解得 d≤ ．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成
立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
18.如图，三棱柱 的所有棱长都是 2， 面 ， ， 分别是 ，
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 推 导 出 ， 从 而 平 面 平 面 ， 进 而 平 面 ，
，再求出 ，由此能证明 平面 ．
（2）本问方法较多，可用割补法，转换顶点法，构造法等，其中割补法较为方便，将
转化为 ，即可求解.
【详解】解：（1）∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵三棱柱 中 平面 ，
( )2 1 2 2
1 2 1 2
dn
d d
−
= − −＜
2
1 2d
≥ −
2
9log 10
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC D E AC
1CC
AE ⊥ 1A BD
1B ABE−
2 3
3
BD AC⊥ 1 1AAC C ⊥ ABC BD ⊥ 1 1AAC C
BD AE⊥ 1A D AE⊥ AE ⊥ 1A BD
1B ABEV −
1 1 1 1 1 1ABC A B C B ACE B AEC AV V V− − −− −
AB BC CA= = D AC
BD AC⊥
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC∴平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴
又∵在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
又 ，
∴ 平面 .
（2）解法一（割补法）：
.
解法二（利用平行顶点轮换）：
∵ ，
1 1AAC C ⊥ ABC 1 1AAC C ABC AC=
BD ⊥ 1 1AAC C
AE ⊂ 1 1AAC C
BD AE⊥
1 1AAC C D E AC 1CC
1A D AE⊥
1A D BD D∩ =
AE ⊥ 1A BD
1 1 1 1 1 1 1B ABE ABC A B C B ACE B AEC AV V V V− − − −= − −
1 11
1
3ABC ACC AS AA S BD∆= × − × ×正方形
1 1 2 32 3 2 2 2 32 3 3
= × × × − × × × =
1 1/ /BB CC∴ ，
∴
.
解法三（利用对称顶点轮换）：
连结 ，交 于点 ，
∵ 为 的中点，
∴点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离.
∴
.
解法四（构造法）：
连结 ，交 于点 ，则 为 的中点，再连结 .
由题意知在 中， ， ，所以 ，且 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
又 ，
∴ 面 ，
∴ .
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数 （个）和温度
（ ）的 7 组观测数据，其散点图如所示：
1 1BB E BB CS S∆ ∆=
1 1 1 1B ABE A BB E A BB C B ABCV V V V− − − −= = =
1
1
3 ABCS BB∆= × ×
1 1 2 32 3 23 2 3
= × × × × =
1AB 1A B O
O 1A B
B 1AB E 1A 1AB E
1 1 1 1 1 1 1B ABE B AB E A AB E B AA E B AA EV V V V V− − − − −= = = =
1
1 1 1 2 32 2 33 3 2 3AA ES BD∆= × × = × × × × =
1AB 1A B O O 1AB EO
1AB E∆
1 5AE B E= = 1 2 2AB = 1EO AB⊥ 3EO =
2BO = 5BE = 2 2 2BE BO EO= + EO BO⊥
1AB BO O=
EO ⊥ 1ABB
1 1 1
1
3B ABE E ABB ABBV V S EO− − ∆= = × × 1 1 2 32 2 33 2 3
= × × × × =
y
x C根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 和温度 可用方程 来拟合，令 ，
结合样本数据可知 与温度 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：
27 74 182
表中 ， ．
（1）求 和温度 的回归方程（回归系数结果精确到 ）；
（2）求产卵数 关于温度 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在 之间
（包括 与 ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： ，
， ， ， ．）
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距
的最小二乘估计分别为 ．
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
【分析】
(1)根据公式计算出 和 ,可得 ;
(2)根据 可得 ,再根据函数 为增函数可得答案.
y x bx ay e += lnz y=
z x
x y z ( )7 2
1
i
i
x x
=
−∑ ( )7 2
1
i
i
z z
=
−∑ ( )( )7
1
i i
i
x x z z
=
− −∑
3.537 11.9 46.418
lni iz y=
7
1
1
7 i
i
z z
=
= ∑
z x 0.001
y x 26 ~ 36C C
26 C 36 C 3.282 27e ≈
3.792 44e ≈ 5.832 341e ≈ 6.087 440e ≈ 6.342 568e ≈
( )1 1,vω ( )2 2,vω ( ),n nvω ˆˆˆv α βω= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
v vω ω
β
ω ω
=
=
− −
=
−
∑
∑
ˆ 0.255 3.348z x= − 0.255 3.348xy e −= [ ]27.341
ˆb ˆa ˆ 0.255 3.348z x= −
lnz y= ln 0.255 3.348y x= − 0.255 3.348xy e −=【详解】（1）因为 与温度 可以用线性回归方程来拟合，设 ．
，
所以 ，
故 关于 的线性回归方程为 ．
（2）由（1）可得 ，
于是产卵数 关于温度 的回归方程为 ,
当 时， ；
当 时， ；
因为函数 为增函数，
所以，气温在 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是 内的正
整数．
【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.
20.设椭圆 ，过点 的直线 分别交 于相异的两点 ，直线
恒过点 ．
（1）证明：直线 的斜率之和为 ；
（2）设直线 分别与 轴交于 两点，点 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）设直线 为 ,与椭圆方程联立可得 ,利
用 韦 达 定 理 得 到 关 系 , 由 斜 率 公 式 可 得的
z x ˆˆˆz a bx= +
( )( )
( )
7
1
7 2
1
46.418ˆ 0.255182
i i
i
i
i
x x z z
b
x x
=
=
− −
= = =
−
∑
∑
ˆˆ 3.537 0.255 27 3.348a z bx= − = − × = −
z x ˆ 0.255 3.348z x= −
ln 0.255 3.348y x= −
y x 0.255 3.348xy e −=
26x = 0.255 26 3.348 3.282 27y e e× −= = ≈
36x = 0.255 36 3.348 5.832 341y e e× −= = ≈
0.255 3.348xy e −=
26 ~ 36C C [ ]27.341
2 2
: 18 2
x yC + = ( )21A ， ,AP AQ C ,P Q
PQ ( )4,0B
,AP AQ 1−
,AP AQ x ,M N ( )3,0G GM GN⋅
PQ ( )4y k x= − ( )2 2 2 21 4 32 64 8 0k x k x k+ − + − =
1 2,x x, 将 , 代入, 进而即
可得证；
（2）设直线 为 ,令 ,可求得 ,同理 ,进而
求解即可
【详解】（1）证明:设直线 为 ,
联立 ,得 ,
且 ,可得; ,
设 ,
由韦达定理可得 , ,
设直线 、 斜率分别为 ,
所以
,
所以直线 的斜率之和为
（2）设 ,
因为直线 为 ,令 ,得 ,即 ,
的
( ) ( )1 21 2
1 2
1 2 1 2
4 1 4 11 1
2 2 2 2
k x k xy yk k x x x x
− − − −− −+ = + = +− − − −
( )( )
( )1 2 1 2
1 2 1 2
2 6 1 16 4
2 4
kx x k x x k
x x x x
− + + + += − + +
2
1 2 2
32
1 4
kx x k
+ = +
2
1 2 2
64 8
1 4
kx x k
−= +
AP ( )11 2y k x− = − 0y =
1
12 ,0M k
−
2
12 ,0N k
−
PQ ( )4y k x= −
( )
2 2
4
18 2
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 21 4 32 64 8 0k x k x k+ − + − =
> 0∆ 2 1
4k <
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2
1 2 2
32
1 4
kx x k
+ = +
2
1 2 2
64 8
1 4
kx x k
−= +
AP AQ 1 2,k k
( ) ( )1 21 2
1 2
1 2 1 2
4 1 4 11 1
2 2 2 2
k x k xy yk k x x x x
− − − −− −+ = + = +− − − −
( )( )
( )1 2 1 2
1 2 1 2
2 6 1 16 4
2 4
kx x k x x k
x x x x
− + + + += − + +
( )2 2
22 2
2 2 2
2 2
64 8 322 6 1 16 4 16 41 4 1 4 164 8 32 16 42 41 4 1 4
k kk k k kk k
k k k
k k
−⋅ − + ⋅ + + − ++ += = = −− −− ⋅ ++ +
,AP AQ 1−
( ) ( )3 4,0 , ,0M x N x
AP ( )11 2y k x− = − 0y = 3
1
12x k
= −
1
12 ,0M k
−
同理 ,即 ,
因为 ,
所以
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题
21.已知函数 ，其中 为常数.
（1）若 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）2x-y+1=0；（2） .
【解析】
详解】试题分析：（1）求导得斜率，进而由点斜式得直线方程；
（2）令 ，由题得 在 恒成立，求导根据导数判断
单调性求最值即可.
试题解析：
（1） ， ， ，又因为切点（0,1）
所以切线为 2x-y+1=0
(2) 令 ，由题得 在 恒成立，
，所以
①若 ，则 时 ，所以函数 在 上递增，所以
则 ，得
②若 ，则当 时 ，当 时 ，所以函数 在
上递减，在 上递增，所以 ，又因为 ，
【
4
2
12x k
= −
2
12 ,0N k
−
( )3,0G
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 13 2 3 2 1GM GN k k k k k k
⋅ = − − ⋅ − − = + + +
1 2
1 2 1 2
11 k k
k k k k
+= + +
1 2 1 2
1 11 1k k k k
−== + + =
( ) ( ) ( ) 211 e , 2
xf x x a g x x ax= + − = + a
2a = ( )f x ( )( )0, 0f
[ )0,x∈ +∞ ( ) ( )f x g x≥ a
1a ≥
( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )min 0h x ≥ [ )0,x∈ +∞
( ) ( )2, 1 xa f x x e= = +则 ( ) ( )2 xf x x e∴ = +′ ( )0 2f∴ ′ =
( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )min 0h x ≥ [ )0,x∈ +∞
( ) ( ) 211 2
xh x x a e x ax= + − − − ( ) ( )( )1xh x x a e= + −′
0a ≥ [ )0,x∈ +∞ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x [ )0,+∞
( ) ( )min 0 1h x h a= = − 1 0a − ≥ 1a ≥
0a < [ ]0,x a∈ − ( ) 0h x′ ≤ [ ,+x a∈ − ∞） ( ) 0h x′ ≥ ( )h x
[ ]0, a− [ ,+a− ∞） ( ) ( )minh x h a= − ( ) ( )0 1 0h a h a− = −＜ ＜所以不合题意.
综合得 .
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终
转化为 ，若 恒成立
；
（3）若 恒成立，可转化为
.
（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第
一题记分．做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22.选修 4－4：坐标系与参数方程
已知曲线 的参数方程为 ，在同一平面直角坐标系中，将曲线 上
的点按坐标变换 得到曲线 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标
系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，弦
的中点为 ，求 的值.
【答案】（1）曲线 的极坐标方程为 （2）
【解析】
1a ≥
( ) 0f x >
min( ) 0f x > ( ) 0f x <
max( ) 0f x⇔ <
( ) ( )f x g x> min max( ) ( )f x g x>
C ( )2cos
3sin
x
y
θ
θ
θ
= =
为参数 C
1
2
1
3
x x
y y
=
=
′
′
C′ x
C′
3( , )2A π
6
π
l C′ ,M N MN
P
| |
| | | |
AP
AM AN⋅
C′ : 1C ρ′ = 3 3
5
AP
AM AN
=⋅【详解】试题分析：（I）曲线 C 的参数方程为 ，利用平方关系即可
化为普通方程．利用变换公式代入即可得出曲线 C'的直角坐标方程，利用互化公式可得极坐
标方程．
（II）点 的直角坐标是 ，将 的参数方程 （ 为参数）代入曲
线 C'的直角坐标方程可得 ，利用根与系数的关系即可得出．
试题解析：
（Ⅰ） ，
将 ，代入 的普通方程可得 ，
即 ，所以曲线 的极坐标方程为
（Ⅱ）点 的直角坐标是 ，将 的参数方程 （ 为参数）
代入 ，可得 ，
∴t1+t2 ，t1•t2 ，
所以 ．
23.设函数
(1)当 时，求不等式 的解集；
( )2
3
x cos
y sin
θ
θ
θ
= =
为参数
A 3 ,02A − l
3
2 6
6
x tcos
y tsin
π
π
= − +
=
t
24 6 3 5 0t t− + =
2 22
: : 14 33
x cos x yC C
y sin
θ
θ
= ⇒ + = =
1
22
1 3
3
x x x x
y yy y
= = ⇒ =
′
′
′
=
′
C 2 2 1x y′ ′+ =
2 2: 1C x y+ =′ C′ : 1C ρ′ =
A 3 ,02A − l
3
2 6
6
x tcos
y tsin
π
π
= − +
=
t
2 2 1x y+ = 24 6 3 5 0t t− + =
3 3
2
= 5
4
=
1 2
1 2
3 32
5
t t
AP
AM AN t t
+
= =⋅
( ) 2 1.f x k x x= − −
1k = ( ) 0f x >(2)当 时， 恒成立，求 的最小值．
【答案】（1） （2）最小值为3
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段讨论法即可解出绝对值不等式得解集；
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立，数形结合求解.
【详解】解(1)当 时，不等式化为
，或 ，或
综上，原不等式的解集为
(2) 时，
作 与 的图像，
可知
的最小值为 3(这时 )
【点睛】零点分段法求解绝对值不等式，注意分段求解；求解集，注意书写形式；不等式恒
成立转化成两个函数比较大小，数形结合可以事半功倍.
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x b+ > k b+
1( ,1)3
(0, )x∈ +∞ ( ) 0,f x b+ > 2 1k x b x+ > −
1k = 2 1 0,x x− − >
0
2 1 0
x
x x
≤
− + − >
10 2
2 1 0
x
x x
<
1
2
2 1 0
x
x x
≥
− − + >
1{ 1}3x x< <
(0, )x∈ +∞ ( ) 0, 2 1f x b k x b x+ > + > −
2 1y x= − y k x b= +
2, 1,y k b= ≥ ≥
3,k b k b∴ + ≥ + 2, 1k b= =
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