2019-2020 学年度高三年级下学期一调考试
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分,下列每小题所给选项只有一
项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知全集 ，集合 ，集合 ，则阴影
部分所示集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由函数 ,得到 ,由函数 ,得到 ,即
, ； 全集 , 则 .所以 B 选项是正
确的．
考点：集合的运算.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚
它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是
解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的
过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含
关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
2.复数 (其中 ， 为虚数单位)，若复数 的共轭复数的虚部为 ，则复数
在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
U = R { }2| 2A y y x x R= = + ∈， ( ){ }| lg 1B x y x= = −
[ ]1 2， ( )1 2，
(1 2]， [1 2)，
3
a iz a i
+= + − a R∈ i z 1
2
−
z先化简复数 z，再求得其共轭复数，令其虚部为 ，解得 ，代入求解即可.
【详解】由题意得 ，
∴ ，又复数 的共轭复数的虚部为 ，
∴ ，解得 .
∴ ，∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选 A.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础
题.
3.若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：首先确定 a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可知： ，即
函数 单调递减，则 ，即 ，
由于 ，结合函数的单调性可得： ，即 ，
由于 ，故 ，结合函数 单调性可得： ，即 ，
综上可得： 的大小关系为 .
本题选择 B 选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂
的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．
在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数
函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既
快捷，又准确．
4.函数 图象的大致形状是（ ）
的
1
2
− 2a =
( )( )
( )( )
( )3 313 1
3 3 3 10 10
a i i a ia i az a ai i i
+ + ++ −= + = + = +− − +
( )313 1
10 10
a iaz
+−= − z 1
2
−
3 1
10 2
a + = 2a =
5 1
2 2z i= + z
2 , , aa aa b a c aπ −= = = , ,a b c
c b a> > b c a> > b a c> > a b c> >
( )2
2
1 0,1a π π
−= = ∈ 1a <
( ) xf x a= 1aa a> aa a>
aa a> aa aa a< b c>
0 1a< < 1aa < 1aaa a> c a>
, ,a b c b c a> >
2( ) 1 cos1 xf x xe
= − + A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数 的奇偶性，可排除 A、C，再判断函数 在区间 上函数值与 的大
小，即可得出答案.
( )f x ( )f x 0, 2
π
0【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以函数 是奇函数，可排除 A、C；
又当 ， ，可排除 D；
故选：B.
点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题.
5.吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟
和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取
一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假
设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，
根据古典概型计算出其概率即可.
【详解】由题：“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰
有两次口香糖一次香烟，记香烟为 ，口香糖为 ，进行四次取物，
基本事件总数为： 种
事件“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖： 种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖： 种
包含的基本事件个数为：54，
【
2 1( ) 1 cos cos1 1
x
x x
ef x x xe e
− = − = + +
( ) ( )1 1 1( ) cos cos cos1 1 1
x x x
x x x
e e ef x x x x f xe e e
−
−
− − −− = − = = = − + + +
( )f x
0, 2x
π ∈
( ) 0f x <
1
5
8
15
3
5
3
20
1 2 3, ,A A A 1 2 3, ,B B B
6 5 4 3 360× × × =
3 3 2 1 18× × × =
3 3 2 1 18× × × =
3 2 3 1 18× × × =所以，其概率为
故选：D
【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件
个数，其本质在于计数原理的应用.
6.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，若 AB=3，AC=5，则 的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】
可 画 出 图 形 ， 并 将 O 和 AC 中 点 D 相 连 ， O 和 AB 的 中 点 E 相 连 ， 从 而 得 到
，根据数量积的计算公式及条件可得出 ，而
，即可得出 的值．
【详解】如图，取 AC 中点 D,AB 中点 E,并连接 OD,OE,
则 ；
故选 C.
【点睛】解题的关键是要熟练的运用数量积的公式 以及三角形法则．
7.给出下列五个命题：
①若 为真命题，则 为真命题；
②命题“ ，有 ”的否定为“ ，有 ”；
③“平面向量 与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ”；
54 3
360 20
=
AO BC ⋅
,OD AC OE AB^ ^ 25 9· , ·2 2AO AC AO AB= =
( )AO BC AO AC AB⋅ = ⋅ − AO BC⋅
,OD AC OE AB^ ^
∴ 2 21 25 1 9· , ·2 2 2 2AO AC AC AO AB AB= = = =
∴ ( ) 25 9 82 2AO BC AO AC AB AO AC AO AB⋅ = ⋅ − = ⋅ − ⋅ = − =
cosa b a b θ⋅ =
p q∨ p q∧
0x∀ ＞ 1xe ≥ 0 0x∃ ≤ 0 1xe ＜
a b • 0a b +
{ }na ( )*, , ,m n p qa a a a m n p q N+ = + ∈ m n p q+ = +
• 0a b
p q∨ p q p q∧
: 0p x∀ ＞ 1xe ≥ p¬
0 0x∃ > 0 1xe ＜
• 0a b − > −
sin cos sin cosA B B A，> > sin sin cos cosA B A B+ > +
{ }na ,na t t= 1 2 3 4a a a a+ = +
( )*, , ,m n p qa a a a m n p q N+ = + ∈ 1 2 3 4+ = + m n p q+ = +
( )0, ∞+ ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( )' 2f x f x f x< <
( ) ( )1 : 2f fA. B. C. D.
【答案】D
【解析】
令 ， 则 ，
， ，
，选 D．
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问
题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，
常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也
是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换
不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
9.已知点 ，抛物线 ： 的焦点为 ，射线 与抛物线 相交于点 ，与其
准线相交于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标，从而得到 AF 的斜率 k＝-2．过 M 作 MP⊥l 于 P，根据抛物线
物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN 中，根据 tan∠NMP＝﹣k＝2，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出
|MN| |PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．
【详解】∵抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F（1，0），点 A 坐标为（0，2），
∴抛物线的准线方程为 l：x＝﹣1，直线 AF 的斜率为 k＝﹣2，
过 M 作 MP⊥l 于 P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，
( ),2e e 1 1,2e e
( )3,e e 2
1 1,e e
( ) ( ) ( ) ( )
2,x x
f x f xg x h xe e
= = ( ) ( ) ( )
2
' 2' 0x
f x f xh x e
−= <
( ) ( ) ( )'' 0x
f x f xg x e
−= > ( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 1 2g g h h∴
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2 4 2
1 2 1 2 11 1, , 2
f f f f f
e e e e e f e
∴ ∴ < <
(0,2)A C 2 4y x= F FA C M
N :FM MN =
2: 5 1: 2 1: 5 1:3
5=∵Rt△MPN 中，tan∠NMP＝﹣k＝2，
∴ 2，可得|PN|＝2|PM|，
得|MN| |PM|，
因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1： ．
故选 C．
【点睛】本题给出抛物线方程和射线 FA，求线段的比值，着重考查了直线的斜率、抛物线的
定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
10.定义 为 个正数 、 、…、 的“均倒数”，若已知正整数列 的
前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得 ，求出 后，利用当 时，
即可求得通项 ，最后利用裂项法即可求和.
【详解】由已知得 ，
PN
PM
=
2 2| | 5PN PM= + =
5
1 2 n
n
p p p+ + +
n 1p 2p np { }na
n 1
2 1n +
1
4
n
n
ab
+=
1 2 2 3 10 11
1 1 1
b b b b b b
+ +⋅⋅⋅+ =
1
11
1
12
10
11
11
12
( )1 2 2 1n na a a n n S+ + + = + = nS 2n ≥ 1n n na S S −= −
na
1 2
1
2 1n
n
a a na
=+ + + +，
当 时， ，验证知
当 时也成立，
，
，
故选：C
【点睛】本题是数列中 新定义，考查了 与 的关系、裂项求和，属于中档题.
11.对于任意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
原方程化为 ，令 ，令 ，
可 得 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 利 用 数 形 结 合 可 得
，得到关于 不等式组，解出即可.
【详解】
的
∴ ( )1 2 2 1n na a a n n S+ + + = + =
2n ≥ 1 4 1n n na S S n−= − = −
1n =
1
4
n
n
ab n
+∴ = =
1
1 1 1
1n nb b n n+
∴ = −⋅ +
1 2 2 3 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 101 2 2 3 3 4 10 11 11b b b b b b
+ +⋅⋅⋅+ = − + − + − + − =
∴
nS na
[1,e]x∈ [ 1,5]y∈ − 2 1 ln 0yy xe ax x− − − =
a
2
4
25 1( , ]ee e
− 4
25 3[ , )e e 4
25(0, ]e
2
4
25 3[ , )ee e
−
2 1 lny xy e ax
− = + ( ) [ ]ln , 1,xf x a x ex
= + ∈ ( ) [ ]2 1 , 1,5yg y y e y−= ∈ −
( ) 1,f x a a e
∈ +
( )g y
4
1 25 4, ,a a e e e
+ ⊆ a， 原式可化为 ，
令 时 递增，
故 ，令 ，
故 ，
故 在 上递减，在 上递增，在 上递减，
而 ，
要使总存在三个不同的实数 ，使得 成立，
即 ，故 ，
故 ，实数 的取值范围是 ，故选 B.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题.
转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件
研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，
希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为
.
12.如图，在正方体 中， 平面 ，垂足为 H，给出下面结论：
①直线 与该正方体各棱所成角相等；
②直线 与该正方体各面所成角相等；
③过直线 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；
④垂直于直线 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，
其中正确结论的序号为（ ）
0x ≠ ∴ 2 1 lny xy e ax
− = +
( ) [ ]ln , 1,xf x a x ex
= + ∈ ( ) ( )1 ln' 0,xf x f xx
−= ≥
( ) 1,f x a a e
∈ +
( ) [ ]2 1 , 1,5yg y y e y−= ∈ −
( ) ( )1 2 1 1' 2 2y y yg y y e y e y y e− − −= ⋅ − = −
( )g y ( )1,0− ( )0,2 ( )2,5
( ) ( ) ( ) ( )2
4
4 251 , 0 0, 2 , 5g e g g ge e
− = = = =
[ ]1,5y∈ − 2 1 ln 0yy xe ax x− − − =
4
1 25 4, ,a a e e e
+ ⊆
4
25
1 4
a e
a e e
≥
+ > 1F 2 2 2
2 :C x y a+ =
M 1F M 2
3 : 2 ( 0)C y px p= > N 1,C 3C
1 0MF MN+ =
1C
5 1
2
+【分析】
设双曲线的右焦点为 ，根据曲线 与 有一个共同的焦点，得到抛物线方程， 再根据 O
为 的中点，M 为 的中点，利用中位线定理，可得， ， ，
， .设 ，根据抛物线的定义可得 ，
过 点作 x 轴的垂线，点 到该垂线的距离为 2a，然后在 中，利用勾股定理求
解.
【详解】如图所示：
设双曲线的右焦点为 ，则 的坐标为 ，
因为曲线 与 有一个共同的焦点，
所以 ，
因为 O 为 的中点，M 为 的中点，
所以 OM 为 的中位线，
所以 ，
因为 ，所以
又 ，
所以 .设 ，
则由抛物线的定义可得 ，
过 点作 x 轴的垂线，点 到该垂线的距离为 ，
在 中，由勾股定理即得 ，
2F 1C 3C
1 2F F 1F N 2/ /OM NF 2 2NF a=
2 1NF NF⊥ 1 2NF b= ( ),N x y 2 , 2x c a x a c+ = ∴ = −
1F ( ),N x y 1ANF∆
2F 2F ( ),0c
1C 3C
2 4y cx=
1 2F F 1F N
1 2NF F∆
2/ /OM NF
OM a= 2 2NF a=
2 1NF NF⊥ 2 2 ,FF c=
1 2NF b= ( ),N x y
2 , 2x c a x a c+ = ∴ = −
1F ( ),N x y 2NA a=
1ANF∆ 2 2 24 4y a b+ =即 ，
即 ，
解得 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的
能力，属于中档题.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．）
17.如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
， ， 分别为线段 上的点，且 ， ．
（1）求线段 的长；
（2）求 的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（I）在△ABC 中，利用余弦定理计算 BC，再在△ACD 中利用余弦定理计算 AD；
（II）根据角平分线的性质得到 ，又 ，所以 ，所以
， ，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果.
试题解析：
（1）因为 ， ，所以 ．
( ) ( )2 2 24 2 4 4c a c a c a− + = −
2 1 0e e− − =
5 1
2e
+=
5 1
2
+
ABC∆ A B C a b c 4c = 2b =
2 cosc C b= D E BC BD CD= BAE CAE∠ = ∠
AD
ADE∆
6AD = 15
6
2ABE
ACE
S AB
S AC
∆
∆
= = ABE
ACE
S BE
S EC
∆
∆
= 2BE
EC
=
1 4
3 3CE BC= = 4 22 3 3DE = − =
4c = 2b = 1cos 2 4
bC c
= =由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
在 中， ， ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 是 的平分线，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ．
18.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，
，平面 平面 ，点 为棱 的中点．
（Ⅰ）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角．
2 2 2 2 4 16 1cos 2 4 4
a b c aC ab a
+ − + −= = =
4a = 4BC =
ACD∆ 2CD = 2AC =
2 2 2 2 cos 6AD AC CD AC CD ACD= + − ⋅ ⋅ ∠ = 6AD =
AE BAC∠
1 sin2 21 sin2
ABE
ACE
AB AE BAES AB
S ACAC AE CAE
∆
∆
⋅ ⋅ ∠
= = =
⋅ ⋅ ∠
ABE
ACE
S BE
S EC
∆
∆
= 2BE
EC
=
1 4
3 3CE BC= = 4 22 3 3DE = − =
1cos 4C = 2 15sin 1 cos 4C C= − =
1 15sin2 6ADES DE AC C∆ = × × × =
P ABCD− ABCD
60 , 90DAB ADP∠ = ° ∠ = ° ADP ⊥ ABCD F PD
AB E AF PCE
D FC B− − 2
4
PB ABCD【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取 的中点 ，连结 、 ，得到故 且 ，进而得到 ，
利用线面平行的判定定理，即可证得 平面 .
（Ⅱ）以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设 ，求得平面 的法向量为
，和平面 的法向量 ，利用向量的夹角公式，求得 ，进而得到 为直线
与平面 所成的角，即可求解.
【详解】（Ⅰ）在棱 上存在点 ，使得 平面 ，点 为棱 的中点．
理由如下：取 的中点 ，连结 、 ，由题意， 且 ，
且 ，故 且 .所以，四边形 为平行四边形.
所以， ，又 平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
（Ⅱ）由题意知 为正三角形，所以 ，亦即 ，
又 ，所以 ，且平面 平面 ，平面 平面
，
所以 平面 ，故以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设 ，则由题意知 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，令 ，则 ， ，
60°
PC Q EQ FQ / /AE FQ AE FQ= / /AF EQ
/ /AF PEC
D FD a= FBC
m DFC n 3a = PBD∠
PB ABCD
AB E / /AF PCE E AB
PC Q EQ FQ / /FQ DC 1
2FQ CD=
/ /AE CD 1
2AE CD= / /AE FQ AE FQ= AEQF
/ /AF EQ EQ ⊥ PEC AF ⊥ PEC / /AF PEC
ABD∆ ED AB⊥ ED CD⊥
90ADP∠ = ° PD AD⊥ ADP ⊥ ABCD ADP ∩
ABCD AD=
PD ⊥ ABCD D
FD a= ( )0,0,0D ( )0,0,F a ( )0,2,0C ( )3,1,0B
( )0,2,FC a= − ( )3, 1,0CB = −
FBC ( ), ,m x y z=
0
0
m FC
m CB
⋅ =
⋅ =
2 0
3 0
y az
x y
− = − =
1x = 3y = 2 3z a
=所以取 ，显然可取平面 的法向量 ，
由题意： ，所以 .
由于 平面 ，所以 在平面 内的射影为 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
易知在 中， ，从而 ，
所以直线 与平面 所成的角为 .
【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考
查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、
平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问
题的能力.
19.如图， 为椭圆 左顶点，过 的直线 交抛物线 于 、
两点， 是 的中点.
（1）求证：点 的横坐标是定值，并求出该定值；
（2）若直线 过 点，且倾斜角和直线 的倾斜角互补，交椭圆于 、 两点，求 的值，
使得 的面积最大.
【答案】(1)证明见解析，定值 1. (2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可求 ，设 、 ， ： ，联立直线与抛物线，
利用 是 的中点得 ，计算可得点 的横坐标是定值；
的
2 31, 3,m a
=
DFC ( )1,0,0n =
2
2 1cos ,4 121 3
m n
a
= =
+ +
3a =
PD ⊥ ABCD PB ABCD BD
PBD∠ PB ABCD
Rt PBD∆ tan 3PDPBD aBD
∠ = = = 60PBD∠ = °
PB ABCD 60°
A
2 2
14 2
x y+ = A l ( )2 2 0y px p= > B C
C AB
C
m C l M N p
BMN∆
9
28p =
( )2,0A − ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y l 2x my= −
C AB 1 22y y= C（2）由题意设直线 的方程为 ，联立方程，利用 是 的中点，
可得 ，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求 的面积最大值，由
取等条件解得 的值.
【详解】（1） ，过 的直线 和抛物线交于两点，所以 的斜率存在且不为 0，设 ：
，其中 是斜率的倒数，设 、 ，满足 ，即
， 且 ，因为 是 中点，所以 ，所以
， ，
所以 ，即 点的横坐标为定值 1.
（2）直线 的倾斜角和直线 的倾斜角互补，所以 的斜率和 的斜率互为相反数.设直线
为 ，即 ，
联列方程 得 ，
，所以 ；且 ，
∵点 是 中点，∴ ，
设 到 的距离 ， ，
，令 ，
当且仅当 ，
m 2 13
pmx m y = − − + C AB
BMN AMNS S∆ ∆= BMN∆
p
( )2,0A − A l l l
2x my= − m ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y 2
2
2
x my
y px
= −
=
2 2 4 0y pmy p− + = > 0∆ 1 2
1 2
2
4
y y pm
y y p
+ =
= C AB 1 22y y=
2
2
3
pmy = 2 9
2m p
=
2
2
2 22 2 13 3
pm px m m= ⋅ − = − = C
m l m l m
2 13
pmx m y = − − + 4x my= − +
2 2
4
2 4 0
x my
x y
= − +
+ − =
( )2 22 8 12 0m y my+ − + =
( ) ( )2 2 28 48 2 16 96 0m m m∆ = − + = − > 2 6m >
1 2 2
1 2 2
8
2
12
2
my y m
y y m
+ = +
= +
C AB BMN AMNS S∆ ∆=
( )2,0A − MN 2
2 4
1
d
m
− −=
+
2
1 21MN m y y= + −
( )
2
1 2 22
1 63 32 2AMN
mS MN d y y
m
∆
−= ⋅ ⋅ = − =
+
2 6t m= −
2
13 3 6416 64 16
AMN
tS t t t t
∆ = =+ + + +
1 33 2 8 16 4 2
≤ =× + 8t = 2 14m =时取到，
所以 ， .
法二：因为 点在抛物线 上，不妨设 ，又 是 中点，则
，代入抛物线方程得： ，得： ，∴
为定值.
（2）∵直线 的斜率 ，直线 斜率 ，
∴直线 的方程： ，即 ，令 代入椭圆方程整理得：
，设 、 ，下同法一.
【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理
以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档
题．
20.某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单
车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随
机问卷阶段， ， 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，
两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，
进行了数据统计，具体情况如下表：
组统计结果 组统计结果组别
年龄 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车
27 人 13 人 40 人 20 人
23 人 17 人 35 人 25 人
914 2p
= 9
28p =
B ( )2 2 0y px p= >
2
,2
tB tp
C AB
2 4 ,4 2
t p tC p
−
2 2 422 4
t t pp p
− = ⋅
2 8t p=
8 4 14C
p px p
−= =
l ( )
02
1 2 6
t
tk
−
= =− −
m ' 6
tk = −
m ( )12 6
t ty x− = − − 6 4x yt
= − + 6m t
=
( )2 22 8 12 0m y my+ − + = ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y
A B
A B
[15,25)
[25,35)20 人 20 人 35 人 25 人
（1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 人的
样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶
尔使用单车”中去.
①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数；
②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”
的人员召开座谈会.会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠
券）.已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 组，求 组这 4 人中得到礼品的人数
的分布列和数学期望；
（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作 岁）有关”的结论.在
用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 应取 25 还是 35？
请通过比较 的观测值的大小加以说明.
参考公式： ，其中 .
【答案】(1) ①9 人 ②见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据分层抽样要求，先求从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的人数
，再求“年龄达到 35 岁” 中偶尔使用单车的人数 ；
②确定随机变量 X 的取值，计算 X 各个取值的概率，得分布列及数学期望.
(2)对年龄 m 是否达到 35,m 是否达到 25 对数据重新整理（2 2 联表），根据公式计算相应的
，比较大小确定.
【详解】（1）①从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的有 人，再将
这 20 人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔
使用单车”的人数为 .
② 组这 4 人中得到礼品的人数 的可能取值为 0，1，2，3，相应概率为：
[35,45]
A A X
m
m
2K
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
25m =
60100 300
⋅ 4520 100
⋅
×
2K
60100 20300
× =
4520 9100
× =
A X， ，
， .
故其分布列为
0 1 2 3
∴ .
（2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 35 岁 125 75 200
达到 35 岁 55 45 100
合计 180 120 300
时，由（1）中的列联表，可求得 的观测值
.
时，按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表：
经常使用单车 偶尔使用单车 合计
未达到 25 岁 67 33 100
达到 25 岁 113 87 200
合计 180 120 300
( ) 3
5
3
9
50 42
CP X C
= = = ( ) 1 2
4 5
3
9
101 21
C CP X C
= = =
( ) 2 1
4 5
3
9
52 14
C CP X C
= = = ( ) 3
4
3
9
13 21
CP X C
= = =
X
P 5
42
10
21
5
14
1
21
( ) 5 10 5 1 40 1 2 342 21 14 21 3E X = × + × + × + × =
35m = 2K
( )2 2
1
300 125 45 75 55 300 1500 25
200 100 180 120 200 100 180 120 16k
× × − × ×= = =× × × × × ×
25m =可求得 的观测值
.
∴ ，
欲使犯错误的概率尽可能小，需取 .
【点睛】本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理
解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.
21.已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
【 答 案 】 （ Ⅰ ） 当 时 ， ； 当 时 ，
；
当 时， .（Ⅱ） 的范围为 .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）易得 ，再对分 情况确定 的单调
区间，根据 在 上的单调性即可得 在 上的最小值.（Ⅱ）设 为 在区
间 内的一个零点，注意到 .联系到函数的图象可知，导函数 在区
间 内存在零点 ， 在区间 内存在零点 ，即 在区间 内至少有
两个零点. 由（Ⅰ）可知，当 及 时， 在 内都不可能有两个零点.所以
. 此 时 ， 在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 ， 因 此
， 且 必 有 . 由
得： ，代入这两个不等式即可得 的取值范围.
2K
( )2 2
2
300 67 87 113 33 300 2100 49
200 100 180 120 200 100 180 120 16k
× × − × ×= = =× × × × × ×
2 1k k>
25m =
2( ) 1xf x e ax bx= − − − ,a b R∈ 2.71828e =
( )g x ( )f x ( )g x [0,1]
(1) 0f = ( )f x (0,1) a
1
2a ≤ ( ) (0) 1g x g b≥ = − 1
2 2
ea< ≤
( ) 2 2 ln(2 )g x a a a b≥ − −
2
ea > ( ) 2g x e a b≥ − − a (0,1)
( ) 2 , ( ) 2x xg x e ax b g x e a− =′= − − a ( )g x
( )g x [0,1] ( )g x [0,1] 0x ( )f x
(0,1) (0) 0, (1) 0f f= = ( )g x
0(0, )x 1x ( )g x 0( ),1x 2x ( )g x (0,1)
1
2a ≤
2
ea ≥ ( )g x (0,1)
1
2 2
ea< < ( )g x [0,ln 2 ]a [ln 2 ,1]a
1 2(0,ln(2 )], (ln(2 ),1)x a x a∈ ∈ (0) 1 0, (1) 2 0g b g e a b= − > = − − >
(1) 1 0f e a b= − − − = 1b e a= − − a试题解答：（Ⅰ）
①当 时， ，所以 .
②当 时，由 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以当 时， 在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
.
当 时， 在 上单调递减，所以 .
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故 区间 内存在零点 .
同理 在区间 内存在零点 .
所以 在区间 内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点.
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点.
所以 .
此时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，必有
.
由 得： ，有
.
在
( ) 2 , ( ) 2x xg x e ax b g x e a− =′= − −
0a ≤ ( ) 2 0xg x e a−′ = > ( ) (0) 1g x g b≥ = −
0a > ( ) 2 0xg x e a−′ = > 2 , ln(2 )xe a x a> >
1
2a > ln(2 ) 0a >
2
ea > ln(2 ) 1a >
10 2a< ≤ ( )g x [0,1] ( ) (0) 1g x g b≥ = −
1
2 2
ea< ≤ ( )g x [0,ln 2 ]a [ln 2 ,1]a
( ) (ln 2 ) 2 2 ln 2g x g a a a a b≥ = − −
2
ea > ( )g x [0,1] ( ) (1) 2g x g e a b≥ = − −
0x ( )f x (0,1) 0(0) ( ) 0f f x= =
( )f x 0(0, )x
( )g x
( )g x 0(0, )x 1x
( )g x 0( ),1x 2x
( )g x (0,1)
1
2a ≤ ( )g x [0,1] ( )g x (0,1)
2
ea ≥ ( )g x [0,1] ( )g x (0,1)
1
2 2
ea< <
( )g x [0,ln 2 ]a [ln 2 ,1]a
1 2(0,ln(2 )], (ln(2 ),1)x a x a∈ ∈
(0) 1 0, (1) 2 0g b g e a b= − > = − − >
(1) 1 0f e a b= − − − = 1 2a b e+ = − <
(0) 1 2 0, (1) 2 1 0g b a e g e a b a= − = − + > = − − = − >解得 .
当 时， 在区间 内有最小值 .
若 ，则 ，
从而 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 .
又 ，
故此时 在 和 内各只有一个零点 和 .
由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，
故 在 内有零点.
综上可知， 的取值范围是 .
【考点定位】导数的应用及函数的零点.
（二）选考题，满分共 10 分，请考生在 22，23 题中任选一题作答，如果多做，
则按所做的第一题计分．答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 过原点且倾斜角为 .以坐标原点 为极点，
轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 .在平面直角坐标系
中，曲线 与曲线 关于直线 对称.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 过原点且倾斜角为 ，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，直线 与
曲线 相交于 ， 两点，当 变化时，求 面积的最大值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
2 1e a− < <
2 1e a− < < ( )g x [0,1] (ln(2 ))g a
(ln(2 )) 0g a ≥ ( ) 0( [0,1])g x x≥ ∈
( )f x [0,1] (0) (1) 0f f= = (ln(2 )) 0g a <
(0) 2 0, (1) 1 0g a e g a= − + > = − >
( )g x (0,ln(2 ))a (ln(2 ),1)a 1x 2x
( )f x 1[0, ]x 1( ,x 2 )x 2[ ,1]x
1( ) (0) 0f x f> = 2( ) (1) 0f x f< =
( )f x 1( ,x 2 )x
a ( 2,1)e −
xOy 1l 0 2
πα α
0 2a< < x∈R 3( ) 2f x a
≥ a
( , 1) (1, )−∞ − +∞
1a = ( )
3 , 1
12, 1 2
13 , 2
x x
f x x x
x x
− < −
= − + − ≤ ≤
>
0 2a< <
( )
( )
( )
( )
12 , ,
1 11 2 1 2 2, ,2
12 , 2
a x x a
f x ax x a x xa
a x x
− + < −
= + + − = − + − ≤ ≤
+ >可以得到函数 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调
递增，然后利用最值分析法，即可求出参数 的最小值.
【详解】（1）当 时， ，即 ，
解法一：作函数 的图象，它与直线 的交点为 ，
所以， 的解集的解集为 ．
解法 2：原不等式 等价于 或 或 ，
解得： 或无解或 ，
所以， 的解集为 ．
（2） ．
则
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递
( )f x 1, a
−∞ −
1 1, 2a
−
1 ,2
+∞
a
1a = ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( )
3 , 1
12, 1 2
13 , 2
x x
f x x x
x x
− < −
= − + − ≤ ≤
>
( ) 1 2 1f x x x= + + − 3y = ( ) ( )1,3 , 1,3A B−
( ) 3f x > ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
( ) 3f x > 1
3 3
x
x
< −
− >
11 2
2 3
x
x
− ≤ ≤
− + >
1
2
3 3
x
x
>
>
1x < − 1x >
( ) 3f x > ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ +∞
1 10 2, , 2 0, 2 02a a aa
< < ∴− + −
( )f x 1, a
−∞ −
1 1, 2a
−
1 ,2
+∞ 增．
所以当 时， 取得最小值， ．
因为对 ， 恒成立，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，
解得 （ 不合题意）．
所以 的最小值为 1．
【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求
解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不
等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求
解，难度属于中等.
1
2x = ( )f x ( )min
1 12 2
af x f = = +
x R∀ ∈ ( ) 3
2f x a
≥
( )min
31 2 2
af x a
= + ≥
0a >
2 2 3 0a a+ − ≥
1a ≥ 3a ≤ −
a
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