密云区 2019-2020 学年第二学期高三第二次阶段性测试
数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选
项中,选出符合题目要求的一项．
1.已知集合 ， ，则在下列集合中符合条件的集合 可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合间的包含关系进行判断即可.
【详解】因为 ，所以集合 是集合 的子集
对 A 项， ，故 A 正确；
对 B 项， ，由于 ，则 不是
的子集，故 B 错误；
对 C 项，由于 ， ，则 不是 的
子集，故 C 错误；
对 D 项，由于 ，则 不是 的子集，故 D 错误；
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.
2.在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案.
{ | 0}M x x= ∈R ≥ N M⊆ N
{0,1} 2{ | 1}x x = 2{ | 0}x x > R
N M⊆ N M
{0,1} { | 0}x x⊆ ∈R ≥
{ }2{ | 1} 1,1N x x= = = − 1 { | 0}x x− ∉ ∈R ≥ 2{ | 1}x x =
{ | 0}x x∈R ≥
21 { | 0}x x− ∈ > 1 { | 0}x x− ∉ ∈R ≥ 2{ | 0}x x > { | 0}x x∈R ≥
1 , 1 { | 0}R x x− ∈ − ∉ ∈R ≥ R { | 0}x x∈R ≥
siny x= cosy x= | |y x x=
ln | |y x=【详解】对 A 项，令 ，定义域为 ， ，则函
数 为奇函数，故 A 错误；
对 B 项，令 ，定义域为 ， ，则函数
为偶函数，故 B 正确；
对 C 项，令 ， ，则函数 不是偶函数，故 C 错误；
对 D 项， 的定义域为 ，故 D 错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题.
3.已知 ，则下列各不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取特殊值排除 A，B 选项，利用指数函数的性质判断 C 选项，利用指数函数的性质结合基本
不等式，从而判断 D 选项.
【详解】对 A 项，取 ，则 ，故 A 错误；
对 B 项，取 ，则 ，故 B 错误；
对 C 项， 在 上单调递减， ， ，故 C 错误；
对 D 项， 在 上单调递增， ，
则 ， ，当且仅当 时取等号
即 ，故 D 正确；
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据已知条件判断所给不等式是否成立，涉及了指数函数性质的应
( ) sinf x x= R ( ) sin( ) sin ( )f x x x f x− = − = − = −
siny x=
( ) cosf x x= R ( ) cos( ) cos ( )f x x x f x− = − = = cosy x=
( ) | |f x x x= ( 1) 1 (1) 1f f− = − ≠ = | |y x x=
ln | |y x= { | 0}x x ≠
x y>
2 2x y> 1 1
x y
> 1 1( ) ( )3 3
x y>
3 3 2x y−+ >
1, 2x y= − = − 2 21 4x y= < =
11, 2x y= = 1 11 2x y
= < =
1( ) 3
x
f x = R x y> 1 1
3 3
x y ∴ 3 3x y∴ >
3 3 3 3x y y y− −+ > + 3 3 2 3 3 2y y y y− −+ ≥ ⋅ = 0y =
3 3 2x y−+ >用，属于中档题
4.已知函数 满足 ，且 ，则 （ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 可得 , 与 的关系,进而求得关于 的表达式求解即
可.
【详解】因为 ,且 ,故 ,解得 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.
5.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据渐近线方程得出 ，结合离心率公式求解即可.
【详解】 可化为
，解得
则
故选：A
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了双曲线性质的应用，属于中档题.
6.已知平面向量 和 ，则“ ”是“ ”的（ ）
( )y f x= ( 1) 2 ( )f x f x+ = (5) 3 (3) 4f f= + (4)f =
( 1) 2 ( )f x f x+ = ( )5f ( )3f ( )4f ( )4f
( 1) 2 ( )f x f x+ = (5) 3 (3) 4f f= + ( ) ( )32 4 4 42f f= + ( )4 8f =
2
2 1( 0)x y aa
− = > 2 0x y+ =
5
2
17
4
3
2
15
4
4a =
2 0x y+ = 1
2y x= −
1 1
2a
∴ = 4a =
4 1 5
24
e
+= =
a b | | | |b a b= − 1( ) 02b a a− ⋅ = A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
分析】
两边平方得出 ，展开等价变形得出 ，根据充分条件和
必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
则“ ”是“ ” 充分必要条件
故选：C
【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.
7.已知圆 ，若点 P 在圆 上，并且点 P 到直线 的距离为 ，则满
足条件的点 P 的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，根据点到直线的距离公式得出 ，再结合点 在圆 上，得
出 ，联立两式，求解方程组，即可得出答案.
【详解】设 ，由点 P 到直线 的距离为 ，得
两边平方整理得到 ①
在圆 上， ，即 ②
【
的
| | | |b a b= − 2 2( )b a b= − 1 02b a a − ⋅ =
2 2| | | | ( )b a b b a b= − ⇔ = −
2 2 2 2 1 12 2 0 2 0 02 2b a a b b a a b a b a b a a ⇔ = − ⋅ + ⇔ − ⋅ = ⇔ ⋅ − = ⇔ − ⋅ =
| | | |b a b= − 1( ) 02b a a− ⋅ =
2 2: ( 1) 2C x y+ − = C y x= 2
2
( )0 0,P x y 2 2
0 0 0 02 1x y x y+ − = P C
2 2
0 0 02 1x y y+ − =
( )0 0,P x y y x= 2
2
0 0 2
22
x y− =
2 2
0 0 0 02 1x y x y+ − =
( )0 0,x y C ( )22
0 0 1 2x y∴ + − = 2 2
0 0 02 1x y y+ − =联立①②得
解得 或
当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或
当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或
综上，满足条件的点 P 的个数为 个
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，属于中档
题.
8.设函数 ， ，其中 ， ．若 ，
，且 的最小正周期大于 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ， 解 得 ， 由 ， 解 得
，联立方程组得出 ，由周期公式得出 ，
从而得到 的范围，进而得出 的值，再由 得出 .
【详解】由 ，得 ①
由 ，得 ②
( )0 0 1 0y x − =
0 0y = 0 1x =
0 0y = 2
0 1x = 0 1x = 0 1x = − (1,0)P ( 1,0)P −
0 1x = 2
0 02 0y y− = 0 0y = 0 2y = (1,0)P ( )1,2P
3
1( ) sin( )2f x xω ϕ= + x∈R 0>ω | |ϕ π< 5 1
8 2f
π =
08f
11π = ( )f x 2π
1
3
ω =
24
ϕ 11π= − 2
3
ω =
12
πϕ =
1
3
ω = 7
24
πϕ = 2
3
ω =
12
ϕ 11π= −
5 1
8 2f
π =
5 2 ( )8 2 k k Z
π πω ϕ π+ = + ∈ 08f
11π =
( )11
8 k k Z
π ω ϕ π′ ′+ = ∈ ( )2 4 23 3 k kω ′= − + − 0 1ω< <
2k k′− ω 5 2 ( )8 2 k k Z
π πω ϕ π+ = + ∈ ϕ
5 1
8 2f
π =
5 2 ( )8 2 k k Z
π πω ϕ π+ = + ∈
08f
11π =
( )11
8 k k Z
π ω ϕ π′ ′+ = ∈由①②可得
因为最小正周期 ，所以 ，则
即 ，因为 ，所以 ，所以
又 ，将 代入①得
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质得出正弦型函数的解析式，属于中档题.
9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三视图画出原图，并由此计算出最长的棱长.
【详解】由三视图画出原图如下图所示几何体 ，由三视图可知平面 平面
， ， 是 的中点，所以 ，根据面面垂直的性质定理可知
平面 ，且 .作 ，交 的延长线于 ，根据三视图可知 ，
， ，
所以 ， ， ，
，
所以最长的棱长为 .
故选：D
( )2 4 23 3 k kω ′= − + −
2 2T
π πω= > 0 1ω< < ( )2 40 2 13 3 k k′< − + − <
1 522 4k k′< − < 2k k Z′− ∈ 2 1k k′− = 2
3
ω =
| |ϕ π< 2
3
ω =
12
πϕ =
2 2 2 2 3
A BCD− ABD ⊥
BCD AB AD= F BD AF BD⊥ AF ⊥
BCD 1AF = CE BD⊥ DB E 3CE =
1BE = 1BF FD= =
2 21 1 2AB AD= = + = 2BD = ( )2 23 1 2BC = + =
( )223 3 12 2 3CD = + = = ( )2 2 23 2 1 2 2AC = + + =
CD 2 3=【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基
础题.
10.已知函数 的定义域为 R，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，且 ，都有 ；
② ；
③ 是偶函数；
若 ， ，则 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件可知 在 上单调递增，周期为 ，对称轴为 .则 ，
， ，再结合函数的单调性即可判断大小.
【详解】解：由①知， 在 上单调递增；由②知， 的周期为 ；
由③知， 的对称轴为 ；则 ，
， ，
因为 ，由函数的单调性可知， .
( )f x
[ ]1 2, 4,8x x ∈ 1 2x x≠ ( )1 2
1 2
( ) 0f x f x
x x
− >−
( 8) ( )f x f x+ =
( 4)y f x= +
( 7), (11)a f b f= − = (2020)c f= , ,a b c
a b c< < b a c< < b c a< < c b a< <
( )f x [ ]4,8 8 4x = ( )7a f=
( )5b f= ( )4c f=
( )f x [ ]4,8 ( )f x 8
( )f x 4x = ( ) ( ) ( )7 1 7a f f f= − = =
( ) ( ) ( ) ( )11 8 3 8 3 5b f f f f= − = = − = ( ) ( )2020 252 8 4c f f= − × =
4 5 7< < c b a< 31, 2P
1F 2F
A B 1 2
15
6AB F F=
C
6 ,05Q −
y C M N A
MAN∠
C
2
2 14
x y+ = 3
2e = 90MAN∠ =
a b c a b c C（Ⅱ）设直线 的方程为 ，设 、 ，将直线 的方程与椭
圆 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算计算出 ，进
而可得出 为定值.
【详解】（Ⅰ）解：根据题意得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ，离心率 ；
（Ⅱ） 因为直线不与 轴垂直，所以直线的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ，设 、 ，
联立方程 ，化简得 .
显然点 在椭圆 的内部，所以 ．
则 ， .
又因为 ，所以 ， ．
所以
，
所以 ，即 是定值.
MN 6
5x ty= − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN
C 0AM AN⋅ =
MAN∠
2 2
2 2
2 2 2
1 3 14
15 26
a b
a b c
a b c
+ =
+ = ×
= +
2
1
3
a
b
c
=
=
=
C
2
2 14
x y+ = 3
2e =
0
MN 6
5x ty= − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2
2
6
5
14
x ty
x y
= −
+ =
( )2 2 12 644 05 25t y ty+ − − =
6 ,05Q − C > 0∆
( )1 2 2
12
5 4
ty y
t
+ =
+ ( )1 2 2
64
25 4
y y
t
= −
+
( )2,0A − ( )1 12,AM x y= + ( )2 22,AN x y= +
( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
4 42 2 5 5AM AN x x y y ty ty y y ⋅ = + + + = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
1 2 1 2 2
64 1 48 16 44 161 05 25 25 4
t t ttt y y y y
t
− + + + +
= + + + + = =
+
AM AN⊥ 90MAN∠ = 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查了韦达定理
设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
20.已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）设函数 ，试判断函数 是否存在最小值，若存在，求出最小值，
若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）当 时，写出 与 的大小关系．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先利用导数求出切线 斜率，然后再求得切点坐标，最后写出切线方程即可；
（Ⅱ）对 a 进行分类讨论，利用导数研究函数的最值，当 时，函数 不存在最小值；
当 时，函数 有最小值 ．
（Ⅲ）当 时， 与 的大小关系等价于 与 的大小关系，
令 ，通过研究 的单调性和极值，进而可得 ，从而可得结果.
【详解】（Ⅰ）当 时， ， ，
所以 ， ，因此 ，
又因为 ，所以切点为 ，
所以切线方程为 ；
（Ⅱ） ， ， ，
的
( ) lnf x x a x= − a R∈
1a = ( )f x 1x =
1( ) ( ) ah x f x x
+= + ( )h x
0x > lnx x 2x x−
1y = 2lnx x x x≤ −
1a ≤ − ( )h x
1a > − ( )h x 2 ln( 1)a a a+ − +
0x > lnx x 2x x− ln x 1x −
( ) ln 1g x x x= − + ( )g x ( ) 0g x ≤
1a = ( ) lnf x x x= − 0x >
1'( ) 1f x x
= − 0x > '(1) 0k f= =
(1) 1f = (1,1)
1y =
1( ) ln ah x x a x x
+= − + 0x > a R∈所以 ，
因为 ，所以 ；
（1）当 ，即 时，
因为 ，所以 ，故 ，
此时函数 在 上单调递增，
所以函数 不存在最小值；
（2）当 ，即 时，
令 ，因为 ，所以 ，
与 在 上的变化情况如下：
− 0 +
↘ 极小值 ↗
所以当 时， 有极小值，也是最小值，
并且 ，
综上所述，
当 时，函数 不存在最小值；
当 时，函数 有最小值 ．
（Ⅲ）当 时， 与 的大小关系等价于 与 的大小关系，
下面比较 与 的大小关系：
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
2 2
1 ( 1)( 1)'( ) 1 0a a x x ah x xx x x
+ + − −= − − >= ，
0x > 1 0x + >
1 0a + ≤ 1a ≤ −
0x > ( 1) 0x a− + > '( ) 0h x >
( )h x (0, )+∞
( )h x
1 0a + > 1a > −
'( ) 0h x = 0x > 1x a= +
( )h x )'(h x (0, )+∞
x (0, 1)a + 1a + ( 1, )a + +∞
)'(h x
( )h x
1x a= + ( )h x
min( ) ( 1) 2 ln( 1)h x h a a a a= + = + − +
1a ≤ − ( )h x
1a > − ( )h x 2 ln( 1)a a a+ − +
0x > lnx x 2x x− ln x 1x −
ln x 1x −
( ) ln 1g x x x= − + 1 1( ) 1 xg x x x
−′ = − =
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′
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